专题10 解答题重点题型专练（3大题型）（黑龙江专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题10 解答题重点题型专练 题型概览 题型01与三角形、四边形有关的探究与证明 题型02与圆有关的探究与证明 题型03与函数有关的探究题 与三角形、四边形有关的探究与证明题型01 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）四边形为正方形，点E，F分别在上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，设与交于点G，，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图中所有等于的线段． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图1所示，在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接． 【问题发现】 （1）如图2，当时与的数量关系为______，与的数量关系为______． 【类比探究】 （2）如图3，当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，判断与之间的数量关系，并就图3说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段的长． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图1，在中，，D是的中点， E是的中点，过点A作 交的延长线于点 F． (1)求证： 四边形是菱形； (2)如图2， 若，菱形的面积为，点M在线段上，，求直接写出的长． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图在四边形中，，点在边上，连接，，过作于，，． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)①如图2，当时，请直接写出和之间的数量关系________； ②如图3，当时，试判断和之间的数量关系，并写出证明过程． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知：的顶点在的外部，点在直线上，且，，． (1)如图1，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图2，当在线段上时，请写出线段之间的数量关系是_____； (3)如图3，当在线段的延长线上时，请写出线段之间的数量关系是_____． 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）【课本再现】 把两个全等的矩形和矩形拼成如图的图案，则______； 【迁移应用】 如图，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．若且，则的面积为____．                              7．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知，，直线交于点，连接，探究线段之间的数量关系． (1)如图①，当时，探究如下：在上取点，连接，使，则，由可得．又因为，则有； (2)当，时，如图②；当，时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）菱形中，，点在上，点直线上，连接、、，． (1)如图1，求证：； (2)①如图2，点在延长线上时，三条线段之间的数量关系为：_________； ②如图3，点在延长线上时，三条线段之间的数量关系为：_________． 9．（2025·黑龙江绥化·二模）【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，且，，则______； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，当与满足什么关系时，成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E在边上，连接与交于点O，当时，求的值．    10．（2025·黑龙江绥化·二模）综合与探究 综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答． 【初步研究】 （1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____． 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长． 11．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G． (1)求证：AE⊥BF； (2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值； (3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积． 12．（2025·黑龙江龙东·二模）在中，，点D与点B在所在直线的同侧，且，过点B作交于点E，M为的中点，连接． (1)当时，如图①，易证线段与的数量关系是； (2)当时，如图②；当时，如图③，分别写出线段与的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 13．（2025·黑龙江绥化·二模）综合与实践 已知正方形中，点E在边上，连接． 【尝试初探】 （1）当点G在边上时，作，如图①，与边相交于点F，直接写出三条线段的数量关系； 【深入探究】 （2）当点G在边的延长线上时，作，如图②，与边相交于点F，试判断三条线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点G与点D重合时，作，如图③，与边的延长线相交于点F，连接，取的中点P，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）阅读理解： 如图在物理光学中我们知道入射光线，反射光线和法线在同一平面内，入射光线、反射光线与法线的夹角分别叫做入射角和反射角，且入射角等于反射角那么入射光线、反射光线与平面镜的夹角我们就称之为镜面角如图中的与，易得    定义：如图在线段上取点O，以O为端点，在的同侧引射线与射线若则称锐角与锐角是一对镜面角 实践感知： （1）如图在矩形中，点E是边中点，连接．求证：与是镜面角；    应用探索 （2）如图正方形中，取边上一点E，连接，在边上取点F，连接，，连接交于G，过点G作交于N，连接，再过点E作交于H，若，请直接写出图中所有的镜面角（不另加辅助线）．    15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 已知等边三角形中，点，分别在，边上，且，将绕点旋转，连接，． 【问题背景】 （1）如图①，当点，分别在，边上时，线段和的数量关系为________； 【问题迁移】 （2）当旋转到如图②的位置时，线段和的数量关系为________；和的数量关系为________，并说明理由； 【问题拓展】 （3）当点旋转到线段上时，如图③所示，若，，则的长为________； （4）若，，则在旋转的过程中，当时，的长为________． 16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 已知正方形纸片，，是边上一点，将正方形沿着直线折叠，点落在点处，把纸片展平，射线交射线于点． (1)根据以上操作，图1中与的数量关系是：________； (2)如图2，若点是的中点，延长交于点． ①猜想与的数量关系为________，请证明你的猜想； ②求线段的长度； (3)如图3，，交于点，则面积的取值范围是________． 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 问题发现： （1）如图，在等边中，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．可通过证明 得到线段和的数量关系是 ； 变式探究： （2）如图，在中，，，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．请写出线段和的数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）如图，在菱形中，，，点M为对角线上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接和． ①当时，的长为 ； ②线段的最小值为 ． 18．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 在综合实践课上，老师组织同学以“图形的旋转”为主题开展数学活动．下面是同学们进行的相关问题的研究． 【观察猜想】如图1，已知是等腰直角三角形，，点D为的中点．作正方形，使点A、C分别在和上，连接．易证：，直线与直线互相垂直． 【实践发现】（1）如图2，将绕点D顺时针旋转，直线与直线交于点M，则与的关系为________，连接，则________； 【类比探究】 观察感知： （2）如图3，若不动，将正方形绕点D逆时针旋转．试判断线段与之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图3证明你的结论；若不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，当取最大值时，的值为________； （4）在（3）的条件下，若点P、C关于直线对称，连接，N为线段上一点，且，在整个旋转过程中，当点N、G、P三点共线时，的长为________． 19．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，平行四边形中，点为对角线上的一动点（不与、重合），为直线且、，点为对角线交点． (1)若与重合时，不难得出线段与的关系为________． (2)若，且点运动到图二位置时，中的关系是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由． (3)当点运动至的延长线上，且时，试探究线段、、三者之间的数量关系． 与圆有关的探究与证明题型02 20．（2025·黑龙江绥化·二模）如图是的直径，是上异于、的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． 【认识图形】 （1）求证：直线是的切线； 【探索关系】 （2）若，探求与的数量关系； 【解决问题】 （3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值． 21．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接. （1）求证：直线是的切线； （2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接： ①当时，求所有点的坐标 （直接写出）； ②求的最大值. 22．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知为的内接三角形，点G为弧的中点，连接交于点D，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M为的中点，过点M作，交于点E，求证：； (3)在（2）的条件下，若且，求半径的长． 23．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，等腰内接于．点是劣弧上的动点，连接与相交于点． (1)如图1，若， ①求的度数；（用含的代数式表示） ②若，求的值． (2)如图2，当刚好过圆心，且，时，求的长． 24．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，已知是的直径，过延长线上一点P作圆的切线，D为上的一点，连接并延长交于点C，G为上的点且的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若将弧沿翻折交半径于点M，且，，求的长度； (3)直线l是的切线向下平移5个单位长度所得到的直线，点Q为直线上的一动点，切于点C，现以为直角边作，，，当时求线段的最小值． 25．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知：为的直径，点C为上一点，连接，，交于点D，交于点E，连接交于点F． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点C作，垂足为G，交于点M，过点F作，垂足为N，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作，垂足为H，交于点R，连接，若，，，求线段的长. 26．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，四边形内接于，对角线交于H，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，作直径交于点F，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在上截取，于点Q，交于L，若，，求的长． 27．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，内接于，连接并延长交于点，与相切于点，． (1)求证：； (2)如图，作的弦，连接，，在上取点，连接，，求证：是正三角形； (3)如图，在（）的条件下作交于，在上取点，连接交于点，连接，若，，，求的长． 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知：是的弦，半径平分，点为上的点，连接、、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，是直径，延长交于点，过作于点，连接、，过作交于点、交于点，连接，若，，求的长． 29．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知四边形内接于，平分． (1)如图1，求证： (2)如图2，若，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取一点E，连接．若，，，将直线沿翻折交于点F，连接，求的长． 30．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知：是的外接圆，点是弦上一点，连接，且，的平分线分别交，于点E，F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求线段的长． 31．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，为的直径，弦交于点，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在弧上，连接，，延长交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，，求的半径． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）两条弦互相垂直，点E为垂足，连接，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点F在上，的延长线交于点G，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的长． 与函数有关的探究题题型03 33．（2025·黑龙江龙东·二模）如图，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，在直线下方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大？若存在，请直接写出面积的最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 34．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点作直线轴，交抛物线于两点，且抛物线的对称轴是． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（2025·黑龙江佳木斯·二模）探究题 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，其顶点为D，连接，点P是线段上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接． (1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； (2)如果P点的坐标为，的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； 36．（2025·黑龙江绥化·二模）如图所示，已知抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)点为轴上一动点，的垂直平分线交于点，交抛物线于两点，且点在第二象限．                         ①当线段时，求的值； ②当以为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标． 37．（2025·黑龙江龙东·二模）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，与直线交于点E，的长（）是一元二次方程的两个根，D为直线上一点，作轴交直线于点G，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)若点，点M在直线上，在直线上是否存在点N，使以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 38．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于点A，与y轴相交于点C，，已知抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q是抛物线上的一点，满足，求点Q的坐标； (3)点H是线段BC上一点，满足以O，H，B为顶点的三角形与相似，则点H的坐标为 ； (4)将抛物线射线方向平移个单位，所得的新抛物线的对称轴与x轴交于点D，交于点E，点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．直接写出的最小值； 39．（2025·黑龙江绥化·二模）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，求的值； (3)点的坐标为，点在直线上，是平面上任意一点，当以，，，四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 40．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D． ①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标； ②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号） 41．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C． (1)如图1，若，则n的值为______（直接写出结果）； (2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标； (3)如图2，过点A作直线的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若，求n． 42．（2025·黑龙江大庆·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标； （3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 43．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值； (3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (4)如图2，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 44．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴负半轴于点，交轴于点，，点在轴正半轴上，． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，点在的延长线上，点的横坐标为，过点作轴的平行线交线段于点，设的长为，求与之间的函数关系式，不必写出自变量的取值范围； (3)如图3，在（2）的条件下，若，点在的延长线上，点在轴正半轴，连接，连接交于点，，分别过点作的垂线，点为垂足，，点在上，的延长线交的延长线于点，过点作轴的平行线交的延长线于点，过点作的垂线交于点，点为垂足，若的面积与四边形的面积相等，求的正切值． 45．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上存在点M，使得，则点M的坐标为________； (3)如图②，E为线段上的动点（点E不与B，C重合），F为射线CA上的动点（点F不与A，C重合），且始终满足，则的最小值为________； (4)如图3，若点P是直线上方抛物线上一点（不与点B，C重合），连接交直线于点Q．设点P的横坐标为m，，请直接写出n与m的函数关系式________，的最大值________． 46．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴的正半轴于点A，交轴的正半轴于点，且，过点的直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点在线段上（不与点，A重合），过点作轴的垂线，分别交直线，于点，．设，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，时，点在上，点在第四象限的直线上，且．连接，，轴交的延长线于点，连接，．点在轴的负半轴上，，连接，若，且，求点的坐标． 47．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点， ，请直接写出的取值范围． 48．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，直线与抛物线：交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线． (1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，如图1，抛物线上两点D、E，其中点D与点B纵坐标相等，点E在直线下方抛物线上运动；连接交直线于点F．求的最大值，及此时的点E坐标； (3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．则直线是否恒过一个定点？若是求出该点坐标，若不是请说明理由． 49．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，连接，交于点，过点作轴的平行线交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)设，则的取值范围是________； (4)在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴的右侧时，若点是轴上的一个动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，则的最小值为________． 50．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交直线于D，且． (1)求点D的坐标； (2)点E为线段上一动点，过点E作x轴的垂线分别与直线、x轴交于F、P两点，设点P的横坐标为t，线段的长为，求d与t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，点Q是线段上一点，连接，使，延长交y轴于点S，线段上有一点G，连接，使，请求出此时直线的解析式． 51．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上的一个动点，连接，，当是以为底边的等腰三角形时，点的坐标为________； (3)如图①，是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值； (4)如图②，是线段上的一个动点，是点右侧轴上的一个动点，且始终保持，连接，，则的最小值为________． 52．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，若以P，Q，N为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ； (3)如图2，连接BP，交于点E，当时，求点P的坐标； (4)如图2，连接AP，若BP交y轴于点F，令，直接写出k的最大值． 53．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点坐标，点坐标． (1)求的值； (2)如图1，点在上（不与、重合），过作轴交直线于点，交抛物线于点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，，连接，点在上，连接，，点与点关于轴对称，点在上，点在的延长线上，连接、，交抛物线与点，若，，求点的横坐标． 54．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴，轴于点，点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． (1)求，的值； (2)如图2，点为第二象限抛物线上一点，连接交于点，设，点的横坐标为，求与的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，点在第一象限，轴，连接，是上一点，连接，交于点，过点作轴，垂足为，为中点，连接，过点作，垂足为，点在上，且，连接，，当，，时，求点的坐标． 55．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，且，A点坐标为 (1)如图1，求抛物线的解析式． (2)如图（2），若点是抛物线第一象限上的动点，且点横坐标为，连接，和，的面积为，求与t之间的函数关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，交y轴于点D，过P作垂直于x轴于点，是第四象限内一点，连接，，，，且，过D点作轴，满足，点K在线段上，连接，，且，求点坐标． 56．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为第四象限抛物线上一点，交y轴于点D，设点P横坐标为t，，求d关于t的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图2，在（2）的条件下，点在x轴正半轴上，，连接交于点H，当时，点T为第一象限抛物线上一点，，求直线的解析式． 57．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，为原点，抛物线交轴于两点，交轴于点，若． (1)______； (2)如图点为第一象限的抛物线上一点，且在对称轴的右侧，抛物线的对称轴交轴于点，连接与抛物线的对称轴交于，点的横标为，的长为，求与的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）； (3)如图，在（）的条件下，作．连接，若，，求点的坐标． 58．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴，轴于点，点． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，过点作轴的平行线，点是第一象限直线上的一点，连接，取的中点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，，连接，点是线段上一点，连接，，过点作轴交的延长线于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，线段的延长线交线段于点，连接，当时，求直线的解析式． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 解答题重点题型专练 题型概览 题型01与三角形、四边形有关的探究与证明 题型02与圆有关的探究与证明 题型03与函数有关的探究题 与三角形、四边形有关的探究与证明题型01 1．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）四边形为正方形，点E，F分别在上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，设与交于点G，，在不添加任何辅助线的情况下，请写出图中所有等于的线段． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）证明，即可得证； （2）先求出，根据含30度角的直角三角形的性质，以及正方形的边长相等，推出，，根据三角形的外角以及等角对等边，推出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴，， 由（1）可知：，， ∴，，，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； 同理：， ∴等于的线段有：； 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图1所示，在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接． 【问题发现】 （1）如图2，当时与的数量关系为______，与的数量关系为______． 【类比探究】 （2）如图3，当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，判断与之间的数量关系，并就图3说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）根据题意可得矩形和矩形是正方形，即点A、N、C在同一条直线上，利用勾股定理可得，，再根据，，进行等量代换即可求解； （2）连接，当时，，证得，可得，，进而证得，利用勾股定理可得，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）由题意得，，，利用勾股定理求得，再分类讨论：当点C，N，M三点共线，且点N在上时；当点C，N，M三点共线，且点N在的延长线上时，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）当时，，， ∴，即， ∵，， ∴矩形和矩形是正方形， ∴， ∴点A、N、C在同一条直线上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2），理由如下： 如图，连接，当时，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵， ∴，，， ∴， 如图，当点C，N，M三点共线，且点N在上时， ∵， ∴， ∴， 如图，当点C，N，M三点共线，且点N在的延长线上时， ∵，， ∴， 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查矩形的性质、正方形的性质、勾股定理、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，利用数形结合和分类讨论思想是解题的关键． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图1，在中，，D是的中点， E是的中点，过点A作 交的延长线于点 F． (1)求证： 四边形是菱形； (2)如图2， 若，菱形的面积为，点M在线段上，，求直接写出的长． 【答案】(1)见详解 (2)的长为3或5 【分析】（1）利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答； （2）利用（1）的结论可得菱形的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算，再结合边之间关系得出，则，，作图进行分类讨论，即可解答． 本题考查了菱形的判定与性质，解直角三角形的相关运算，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ，， 点是的中点， ， ， ， 点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，是的中点， ， 四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形， 菱形的面积的面积， 点是的中点， 的面积的面积， 菱形的面积的面积， ， ， ， ∵ ∴， ∴ 过点A作，如图： ∴在中， ∴， 在中， 当在上时， 当在上时， 综上：的长为3或5 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图在四边形中，，点在边上，连接，，过作于，，． (1)如图1，求证：四边形为平行四边形； (2)①如图2，当时，请直接写出和之间的数量关系________； ②如图3，当时，试判断和之间的数量关系，并写出证明过程． 【答案】(1)见解析 (2)①；②，见解析 【分析】（1）证明，结合，可证明四边形为平行四边形； （2）①当时，判定四边形为矩形，证明，继而证明，得到，结合已知证明． ②当时，判定四边形为菱形，过做于点，证明 ，解答即可． 【详解】（1）证明：设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 在中， ∴ ∴ 又， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． （2）解：①理由如下： ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②．理由如下： ∵，四边形为平行四边形， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴． 过做于点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知：的顶点在的外部，点在直线上，且，，． (1)如图1，当点在线段的延长线上时，求证：； (2)如图2，当在线段上时，请写出线段之间的数量关系是_____； (3)如图3，当在线段的延长线上时，请写出线段之间的数量关系是_____． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，证明是关键． （1）证明，则，等量代换即可得到结论； （2）证明，则，等量代换即可得到结论； （3）证明，则，等量代换即可得到结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴ ∵， ∴ （2）线段之间的数量关系为：． ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴； （3）线段之间的数量关系为：． ∵，， ∴， ∴ ∵ ∵ 6．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）【课本再现】 把两个全等的矩形和矩形拼成如图的图案，则______； 【迁移应用】 如图，在正方形中，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 在菱形中，，是边上一点（不与点，重合），连接，将绕点顺时针旋转至，作射线交的延长线于点．若且，则的面积为____．                              【答案】[课本再现]；[迁移应用]见解析；[拓展延伸] 【分析】[课本再现]根据矩形的性质得出，，，根据推出，根据全等得出，，求出是等腰直角三角形，即可得出答案； [迁移应用]由证明，得到，，即，从而可得，可得，可知是等腰直角三角形，即可得出结论； [拓展延伸]由证明，得到，，，由证明，可得到，再由可知是直角三角形，由直角三角形的性质即可得，根据和底边边上的高相等，可得的面积． 【详解】[课本再现]解：∵四边形和四边形是全等的矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ 故答案为：； [迁移应用]证明：如图，过点作，交的延长线于， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； [拓展延伸]解：如图，过点作，与的延长线交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴和底边边上的高相等， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，矩形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的义键． 7．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知，，直线交于点，连接，探究线段之间的数量关系． (1)如图①，当时，探究如下：在上取点，连接，使，则，由可得．又因为，则有； (2)当，时，如图②；当，时，如图③，分别写出线段之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】(1)，证明见详解 (2)选择图②，或选择图③，，证明见详解 【分析】（1）根据题意得到是等边三角形，再证明，得，即可求解； （2）选择图②，可得，证明，得，可求解；选择图③，可得，证明，得，可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：选择图②，或选择图③，，证明如下， 选择图②，，， 如图所示，在上取点，连接，使， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴，且，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 选择图③，，， 如图所示，在上取点，连接，使， ∴，则， 过点作于点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 同理，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形的计算等知识的综合，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）菱形中，，点在上，点直线上，连接、、，． (1)如图1，求证：； (2)①如图2，点在延长线上时，三条线段之间的数量关系为：_________； ②如图3，点在延长线上时，三条线段之间的数量关系为：_________． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先根据菱形的性质，等边三角形的性质和判定，推出，，，即可证明，进而求出． （2）①点在延长线上时，先根据菱形的性质，等边三角形的性质和判定，推出，，，即可证明，进而求出． ②点在延长线上时，先根据菱形的性质，等边三角形的性质和判定，推出，，，即可证明，进而求出． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：①点在延长线上时， 由上可得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ②点在延长线上时， 由上可得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 9．（2025·黑龙江绥化·二模）【观察与猜想】 （1）如图1，在矩形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，若，且，，则______； 【类比探究】 （2）如图2，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，连接与交于点O，当与满足什么关系时，成立？请说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，，，，，点E在边上，连接与交于点O，当时，求的值．    【答案】（1）；（2）当时，成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）证明，根据相似比即可求解； （2）当时，可证明得到，再证明，得到，由此可得，即； （3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形，证明，则，再证，得，则，在上取一点P，使，连接，证是等边三角形，得，，然后证，得，设，则，，进而由，得出方程，求出，即可解决问题． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ，， ， 故答案为：； （2）当时，成立，理由如下： ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （3）如图所示，过点C作交延长线于N，过点D作交延长线于M，则四边形是平行四边形， ∴，，， 同（2）可得， 在上取一点P使得，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴．    【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，矩形的性质，等边三角形的性质与判定等等，熟知相似三角形的性质与判定条件是解题的关键． 10．（2025·黑龙江绥化·二模）综合与探究 综合实践课上，老师带领同学们对“四边形内互相垂直的线段”进行了探究，请你从中发现方法，完成解答． 【初步研究】 （1）如图1，在正方形中，点M，N分别在线段，上，且，则的值为_____． 【知识迁移】 （2）如图2，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在线段，，，上，且．求的值． 【深入探究】 （3）如图3，在四边形中，，，当时，请直接写出边的长． 【答案】（1）1；（2）；（3）或 【分析】（1）先证明，再证明，可得，从而可得答案； （2）作于点M，作于点N，记的交点为，证明即可得到结论； （3）当时，如图，过作的平行线交的延长线于，过作于，证明，证明，如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于，再仿照（2）的方法结合三角函数可得答案． 【详解】证明：（1）∵四边形正方形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ， ∴； ∴； （2）解：作于点M，作于点N，记的交点为， 则， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）当时，如图，过作的平行线交的延长线于，过作于， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 同（2）可得：， ∴， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，过作的平行线交的延长线于，过作于， 同理可得：，四边形为矩形，，， ∴， 设，则，， ∴， 解得：； 综上：为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形和相似三角形． 11．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G． (1)求证：AE⊥BF； (2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP到BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值； (3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积． 【答案】(1)见解析 (2)sin∠BQP＝ (3)四边形的面积是 【分析】（1）由E，F分别是正方形边的中点知，证明得，根据即可得，据此即可得证． （2）由折叠的性质得，利用角的关系证明，令，则，在中，设，利用勾股定理求出x与k的关系即可解决问题． （3）先求出正方形的边长，利用勾股定理求出的长，由求出的长，再由求出，然后利用求解即可． 【详解】（1）如图1， ∵E，F分别是正方形边的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）如图2，由折叠的性质得， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则， 在中，设， ∴， ∴， ∴． （3）∵正方形的面积为4， ∴边长为2， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形GHMN的面积是． 【点睛】本题考查了旋转的性质，翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟知旋转、翻折不变性是解答此题的关键，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题． 12．（2025·黑龙江龙东·二模）在中，，点D与点B在所在直线的同侧，且，过点B作交于点E，M为的中点，连接． (1)当时，如图①，易证线段与的数量关系是； (2)当时，如图②；当时，如图③，分别写出线段与的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，；当时，；选择图②，证明见解析 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判断和性质，等腰三角形的判断和性质，勾股定理． （1）延长交于F，先判断出，得出，，进而判断出，得出，即可得出结论； （2）选择图②，延长交于F，同（1）的方法，先判断出，得出，，进而判断出，得出，进而可得出结论；选择图③同理证明即可． 【详解】（1）解：如图1，延长交于F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，平分， ∴， ∴； （2）解：当时，如图②，， 当时，如图③，， 选择图②证明如下： 如图，延长交于F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，平分， ∴， 在中，， ∴． 选择图③证明如下： 如图，延长交于F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，平分， ∴， 在中，， ∴． 13．（2025·黑龙江绥化·二模）综合与实践 已知正方形中，点E在边上，连接． 【尝试初探】 （1）当点G在边上时，作，如图①，与边相交于点F，直接写出三条线段的数量关系； 【深入探究】 （2）当点G在边的延长线上时，作，如图②，与边相交于点F，试判断三条线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）当点G与点D重合时，作，如图③，与边的延长线相交于点F，连接，取的中点P，连接，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）过点作于点，，根据全等三角形的性质以及线段和差即可求证； （2）过点作，证明，根据全等三角形的性质以及线段和差即可求证； （3）在上取点，使得，证明，则，则，那么，由勾股定理得，可得是的中位线，则，即可求证． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 过点作，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： 证明：在上取点，使得，如图； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的中点为P，， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 14．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）阅读理解： 如图在物理光学中我们知道入射光线，反射光线和法线在同一平面内，入射光线、反射光线与法线的夹角分别叫做入射角和反射角，且入射角等于反射角那么入射光线、反射光线与平面镜的夹角我们就称之为镜面角如图中的与，易得    定义：如图在线段上取点O，以O为端点，在的同侧引射线与射线若则称锐角与锐角是一对镜面角 实践感知： （1）如图在矩形中，点E是边中点，连接．求证：与是镜面角；    应用探索 （2）如图正方形中，取边上一点E，连接，在边上取点F，连接，，连接交于G，过点G作交于N，连接，再过点E作交于H，若，请直接写出图中所有的镜面角（不另加辅助线）．    【答案】（1）见解析；（2）与，与，与，与． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，正确理解镜面角的定义是解题的关键． （1）根据矩形的性质得到，，再由线段中点的定义得到，则可证明，则，据此可证明结论； （2）由正方形的性质可得，，由平行线的性质和等边对等角可证明；根据，可得，则可证明，得到，进而导角可证明；证明，得到，则可证明， 设，则，可分别求出，，，即． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ，， ∵点E是的中点， ， ， ， 与是镜面角； （2）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与是镜面角； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴与是镜面角； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴与是镜面角； 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与是镜面角； 综上所述，图中的镜面角有：与，与，与，与． 15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 已知等边三角形中，点，分别在，边上，且，将绕点旋转，连接，． 【问题背景】 （1）如图①，当点，分别在，边上时，线段和的数量关系为________； 【问题迁移】 （2）当旋转到如图②的位置时，线段和的数量关系为________；和的数量关系为________，并说明理由； 【问题拓展】 （3）当点旋转到线段上时，如图③所示，若，，则的长为________； （4）若，，则在旋转的过程中，当时，的长为________． 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）． 【分析】（1）直接根据等边三角形的定义及线段和差求解即可； （2）证明（）即可得解； （3）过点作于，由（）得，从而证明是等边三角形，，由勾股定理得，，从而即可得解； （4）如图，过点作于，由（）得，根据平行线的性质得，从而得，，进而利用勾股定理即可得解． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴即， 故答案为：； （2），，理由如下： ∵是等边三角形，将绕点旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴（） ∴，； （3）过点作于， 由（2）得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴； （4）如图，过点作于， 由（2）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键． 16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 已知正方形纸片，，是边上一点，将正方形沿着直线折叠，点落在点处，把纸片展平，射线交射线于点． (1)根据以上操作，图1中与的数量关系是：________； (2)如图2，若点是的中点，延长交于点． ①猜想与的数量关系为________，请证明你的猜想； ②求线段的长度； (3)如图3，，交于点，则面积的取值范围是________． 【答案】(1) (2)①，见解析；② (3) 【分析】（1）可证明，从而得出，进而得出； （2）①连接，可证明，从而； ②设，则，在中，根据勾股定理可得，进一步求解即可得出结果． （3）取的中点，由对折可得：，，证明，可得在以为圆心，为直径的圆上，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设，交于点，如图1， 由轴对称性质可得，， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， （2）解：①，理由如下： 连接，如图2， 由折叠可知，，， 点是的中点， ， ， ，， ， ， ②设，则， 在中，，，， 则由勾股定理可得， 解得， ． （3）解：取的中点， 由对折可得：，， ∴， ∴， ∴在以为圆心，为直径的圆上， 当重合时， ， 如图，当重合时，则重合， 此时的面积最小， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，正方形性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理的应用等知识，熟练掌握相关几何性质，数形结合是解决问题的关键． 17．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 问题发现： （1）如图，在等边中，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．可通过证明 得到线段和的数量关系是 ； 变式探究： （2）如图，在中，，，点M为边上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接．请写出线段和的数量关系，并说明理由； 拓展应用： （3）如图，在菱形中，，，点M为对角线上一动点，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，连接和． ①当时，的长为 ； ②线段的最小值为 ． 【答案】（1）；；（2），理由见详解；（3）①或；② 【分析】（1）根据是等边三角形，得出，根据旋转得出，即可得，证出，可证明， （2）在中，，，，得出，过点作，根据旋转得出，即可得，证明，得出，证出，结合，根据垂直平分线的性质即可证明． （3）①如图，在菱形中，，，得出，，，证明是等边三角形，得出，，勾股定理求出，当点在上时，画出图形，在中，勾股定理求出，从而得出，证明，得出，证出，再在中，根据勾股定理求出即可；当点在上时，画出图形，同理求出，证明，得出，证出，再在中，根据勾股定理求出即可； ②根据①可得，在点运动过程中，，得出点在与边垂直的射线上运动，故当时，线段最小，解直角三角形求出即可． 【详解】解：（1）∵是等边三角形． ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：；． （2）， 理由如下： 在中，，， ∴ ∴， 过点作， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴ 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴． （3）①如图，在菱形中，，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 当点在上时，如图，连接， 在中，， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 当点在上时，如图，连接， 在中，， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，； 综上，或； ②根据①可得，在点运动过程中，，， 即点在与边垂直的射线上运动， 故当时，线段最小，如图， 此时， 即线段的最小值为． 【点睛】该题考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是正确作出图形和辅助线，掌握以上知识点． 18．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与实践 在综合实践课上，老师组织同学以“图形的旋转”为主题开展数学活动．下面是同学们进行的相关问题的研究． 【观察猜想】如图1，已知是等腰直角三角形，，点D为的中点．作正方形，使点A、C分别在和上，连接．易证：，直线与直线互相垂直． 【实践发现】（1）如图2，将绕点D顺时针旋转，直线与直线交于点M，则与的关系为________，连接，则________； 【类比探究】 观察感知： （2）如图3，若不动，将正方形绕点D逆时针旋转．试判断线段与之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图3证明你的结论；若不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若，当取最大值时，的值为________； （4）在（3）的条件下，若点P、C关于直线对称，连接，N为线段上一点，且，在整个旋转过程中，当点N、G、P三点共线时，的长为________． 【答案】（1）；45；（2）仍然成立，证明见解析；（3）；（4）或 【分析】（1）可证明是等腰直角三角形，且，则，再由正方形的性质得到，则有，据此可得，根据平角的定义可得，则A、D、B、M四点共圆，即可得到； （2）同理证明，即可证明； （3）根据，可得当点在线段上时，有最大值，据此求解即可． （4）分图4-1和图4-2两种情况，讨论求解即可． 【详解】解：（1）∵是等腰直角三角形，，点D为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A、D、B、M四点共圆， ∴； （2）仍然成立，证明如下： ∵是等腰直角三角形，，点D为的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴当点在线段上时，有最大值， ∵， ∴，， ． 在中，由勾股定理，得； （4）如图4-1所示，过点D作于R，连接 ∵点P、C关于直线对称，， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴ 如图4-2所示，同理可得，， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆周角定理等等，正确作出辅助线构造直角三角形以及利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． 19．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，平行四边形中，点为对角线上的一动点（不与、重合），为直线且、，点为对角线交点． (1)若与重合时，不难得出线段与的关系为________． (2)若，且点运动到图二位置时，中的关系是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由． (3)当点运动至的延长线上，且时，试探究线段、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)成立，理由见解析； (3)． 【分析】根据平行四边形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得； 连接并延长，交的延长线于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，因为，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证； 连接并延长交的延长线于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证，因为，所以，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可证． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ，， 、， ， 在和中，， ， ， 故答案为：； （2）解：成立， 理由如下， 如下图所示，连接并延长，交的延长线于点， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形， 点为对角线交点， ， 、， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 中的关系仍然成立； （3）解：如下图所示，连接并延长交的延长线于点， 、， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形． 与圆有关的探究与证明题型02 20．（2025·黑龙江绥化·二模）如图是的直径，是上异于、的一点，点是延长线上一点，连接、、，且． 【认识图形】 （1）求证：直线是的切线； 【探索关系】 （2）若，探求与的数量关系； 【解决问题】 （3）在（2）的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）  理由见解析；（3）． 【分析】（1）连接，由等边对的等角的性质，得出，根据直角所对的圆周角是直角，得到，进而推出，即可证明结论； （2）证明，得到，从而得出，即可得到结论； （3）由（2）可得，利用同弧所对的圆周角相等以及直角所对的圆周角是直角，得出，则，再证明，得出，即可求出的值． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2），， ， ， ， ， ，， ， ； （3）由（2）可知，，， ， ，， 平分， ， ，， ， ， 是的直径， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆周角、圆的切线的判定定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． 21．（2025·黑龙江佳木斯·二模）已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接. （1）求证：直线是的切线； （2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接： ①当时，求所有点的坐标 （直接写出）； ②求的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）①，；② 的最大值为. 【分析】（1）连接，证明∠EDO=90°即可； （2）①分“位于上”和“位于的延长线上”结合相似三角形进行求解即可； ②作于点，证明，得，从而得解. 【详解】（1）证明：连接，则： ∵为直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 即： ∵轴 ∴ ∴ ∴直线为的切线. （2）①如图1，当位于上时： ∵ ∴ ∴设，则 ∴ ∴，解得： ∴ 即 如图2，当位于的延长线上时： ∵ ∴设，则 ∴ ∴ 解得： ∴ 即 ②如图，作于点， ∵是直径 ∴ ∴ ∴ ∵半径 ∴ ∴的最大值为. 【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形；相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知为的内接三角形，点G为弧的中点，连接交于点D，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点M为的中点，过点M作，交于点E，求证：； (3)在（2）的条件下，若且，求半径的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，设，根据圆周角定理得出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，最后求出，问题得证； （2）延长、交于点H，过点B作于N，作，先证是的平分线，，再证，最后证，，问题得证； （3）延长交于点S，交于T，设，则，，，，由，得，求得，进而求得，作直径，连接，过点作， ，在中，根据勾股定理求得，，进而求得，最后根据三角函数定义求出，进而问题得解． 【详解】（1）证明：连接，设， ， ， 在中，， ， ． （2）延长、交于点H，过点B作于N，作， 是的中点， ， 点M为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）延长交于点S，交于T，设，则，，，， ， ，即：， ， 由， ，    ，， ，，     作直径，连接，则，过点作， ， 在中，， ， ， ， 【点睛】本题综合考查了圆的性质、三角形全等、 三角函数定义以及勾股定理等多个知识点．在解题过程中，巧妙地利用圆中弧与角的关系，将角度问题和线段问题进行转化是解题的关键． 23．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，等腰内接于．点是劣弧上的动点，连接与相交于点． (1)如图1，若， ①求的度数；（用含的代数式表示） ②若，求的值． (2)如图2，当刚好过圆心，且，时，求的长． 【答案】(1)①，②； (2)． 【分析】（1）①利用圆周角定理，三角形内角和定理即可得到各个角之间的关系，再由等腰三角形性质即可得到答案；②由①中的结论得到，，推出，由可设，，证明，得到，再证明，得到，最后根据，即可求解； （2）延长至点，使，连接，设，则，根据勾股定理得到，利用圆周角定理，得到，根据相似三角形的性质得到，在中，应用勾股定理求出，进而表示出，在中，根据勾股定理列出等量关系式，求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：① ，， ， ， ， ， ； ②由①可知，，， ， ， ， ， 设，， ， ， ，即， ， ， ， ， ，即， ， ； （2）解：延长至点，使，连接， ， 设，则， 刚好过圆心， ， ∴， 在中，， ∵，， ∴ ， ， ∴即， ， 在中，， ， 在中，， 即， 解得：， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及圆周角定理、三角形内角和定理、等腰三角形性质、三角形相似的判定与性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握圆的性质，灵活运用三角形相似的判定与性质是解决问题的关键． 24．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，已知是的直径，过延长线上一点P作圆的切线，D为上的一点，连接并延长交于点C，G为上的点且的延长线交于点F． (1)求证：； (2)若将弧沿翻折交半径于点M，且，，求的长度； (3)直线l是的切线向下平移5个单位长度所得到的直线，点Q为直线上的一动点，切于点C，现以为直角边作，，，当时求线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)8 (3) 【分析】（1）连接，由切线的性质结合等边对等角证明，得到，即可得出结论； （2）连接，过E作垂足为H，设点的对称点为，连接，由翻折结合圆内接四边形可得，易证为等腰三角形，推出平分，再求出，易证，推出，求出，进而得到，即可求解； （3）连接，当直线l时，最小，此时，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵为圆O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过E作垂足为H，设点的对称点为，连接， ∵四边形 内接四边形， ∴， 由翻折的性质得， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴平分， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， （3）解：连接， ∵，直线l是的切线向下平移5个单位长度所得到的直线， ∴点到直线的距离为， ∵中，，， ∴， ∴当最小值时，则有最小值， ∵切于点C，， ∴，且为定值， ∴当最小值时，则有最小值， 则当直线l时，最小，即有最小值， 此时， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的相关性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，切线的性质，圆内接四边形的性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知：为的直径，点C为上一点，连接，，交于点D，交于点E，连接交于点F． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点C作，垂足为G，交于点M，过点F作，垂足为N，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点D作，垂足为H，交于点R，连接，若，，，求线段的长. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角，得出，根据平行线的性质得出，根据垂径定理得出，证明，即可得出答案； （2）过作于点S，根据角平分线性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，证明四边形为矩形，得出，证明，根据线段间数量关系得出答案即可； （3）证明，则，根据，可求，，（舍），求出，求，则，证明，可求． 【详解】（1）证明：为直径， ， ∵， ， ， ， ， 平分； （2）证明：如图，过作于点S， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ∵ ∴四边形为矩形， ， ， ， ； （3）解：∵， ∴，， 根据解析（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， 经检验：是所列方程的解， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，勾股定理，三角形相似的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，解直角三角形的性质等知识，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 26．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，四边形内接于，对角线交于H，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，作直径交于点F，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，在上截取，于点Q，交于L，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）可推出，进而得出，进一步得出结论； （2）设交于点G，可推出，进而推出，进而得出，根据垂径定理得出，进一步得出结论； （3）作于W，可证明，从而，解直角三角形求得，设，则，根据勾股定理得出，列出关于x的方程，求得x的值，进而根据列出，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图1，设交于点G， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直径， ∴， ∴； （3）解：如图2，作于W， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 27．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，内接于，连接并延长交于点，与相切于点，． (1)求证：； (2)如图，作的弦，连接，，在上取点，连接，，求证：是正三角形； (3)如图，在（）的条件下作交于，在上取点，连接交于点，连接，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）利用圆的切线的性质定理，平行线的性质，垂径定理和线段的垂直平分线的判定与性质解答即可； （）作延长线于，连接，利用圆的有关性质，等边三角形的判定与性质得到，利用全等三角形的判定与性质得到，再利用等边三角形的判定定理解答即可； （）在上截取，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用等边三角形的判定与性质得到；作交的延长线于点，利用平行四边形的判定与性质得到，，作于，利用直角三角形的边角关系定理设，则，故，，最后利用勾股定理求得值即可． 【详解】（1）证明：∵与相切于， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵延长线交于点， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）证明：作延长线于，连接， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∴，由（）， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是正三角形； （3）解：在上截取，连接， 由（）得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 作交的延长线于点， ∵，， ∴四边形与四边形都是平行四边形， ∴，， 作于，设，则， ∴， ∴，，， 在中由勾股定理得， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的判定与性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 28．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知：是的弦，半径平分，点为上的点，连接、、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在上，连接、，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，是直径，延长交于点，过作于点，连接、，过作交于点、交于点，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用垂径定理结合直角三角形的性质即可证明； （2）利用圆周角定理结合三角形的外角性质即可证明； （3）延长交于点，连接，延长交于，证明四边形为矩形，连接，过C作于P，连接，是等腰直角三角形，设，，证明，推出，，得到，求得，据此计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵半径平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交于点，连接，延长交于， ∴， ∴四边形为矩形， 则， ∵， ∴， 连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， 连接，过C点作于点， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，解直角三角形．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 29．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知四边形内接于，平分． (1)如图1，求证： (2)如图2，若，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，在的延长线上取一点E，连接．若，，，将直线沿翻折交于点F，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了圆周角定理、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、垂径定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，再根据等量代换可得，即，然后根据等弦所对的圆周角相等即可证明结论； （2）如图：延长到，使，过作于点，先证明可得，；再在中解直角三角形可得，然后根据线段的和差即可解答； （3）如图：过A作于，于，过作于，过作于，连、，先说明，设，根据解直角三角形、勾股定理以及线段的和差可得、、、、、，，；在中运用勾股定理可得，再运用等面积法可得、、；根据余弦的定义可得，由折叠的性质以及垂径定理可得，，再在中解直角三角形可得，，进而完成解答． 【详解】（1）解：∵平分， ∴ 又∵，． ∴， ∴， ∴． （2）解：如图：延长到，使，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴ ∴，， ∵，，， ∴在中，， ∴， ∴． （3）解：如图：过A作于，于，过作于，过作于，连，， ∵将直线沿翻折交于点F，连接， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， 同理：、， ∵， ∴， ∴，， 在中， ∴，解得：， ∴， 利用等积法， ∴，，， 在中，，， ∴， ∵由翻折的性质可得：， ∴在的角平分线上， ∴， ∴，，， 在中，， ∴，解得：； ∴． 30．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知：是的外接圆，点是弦上一点，连接，且，的平分线分别交，于点E，F，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据三角形的外角性质以及，得到，而，再由三角形的外角性质以及圆周角定理得到，，即可得到，即可求证； （2）连接，先证明，再证明，即可解决问题； （3）连接，过点作，垂足为，先证明，再证明，则，由，根据线段和差得到，设，则， 在中和中，由勾股定理建立方程，解得：（舍），则，，则，导角可得，，延长交于点，可得，设，则，由，得到，在中由勾股定理得到，解得：（舍），则，过点作于点，由，设，则，由，求出，． 【详解】（1）证明：如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得，， ∴， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （3）解：连接，过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 解得：（舍）， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长交于点， ∵，， ∴点在都在的垂直平分线上， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：（舍）， ∴， ∴， 过点作于点， ∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的综合问题，难度大，综合性强，涉及圆周角定理，解直角三角形的相关计算，勾股定理，全等三角形的综合问题等知识点，正确添加辅助线，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 31．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，为的直径，弦交于点，连接，，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点在弧上，连接，，延长交于点，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】连接，根据圆周角定理可得：，又因为，可得，因为，根据三角形的三线合一定理可证结论成立； 连接，，设，则由（1）可知，则，从而可得：，又因为，所以，所以可证结论成立； 过作于，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，连接，在上取点，使，利用可证，利用全等三角形的性质可证，根据等边对等角可证，根据可证，根据等角对等边可得，所以，所以可得，因为，可知，延长交于，连接，则，利用三角函数可求出，可知的半径为． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：连接，，设， 则由（1）可知， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如下图所示，过作于， ， ， ， ， ，于， ， 在和中，， ， ，， 连接，在上取点，使， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 延长交于，连接，则， ，， ， 则，， 的半径为． 【点睛】本题主要考查了关于圆的综合运用、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理、解直角三角形、锐角三角函数，本题的综合性较强，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形． 32．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）两条弦互相垂直，点E为垂足，连接，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，点F在上，的延长线交于点G，连接，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，结合，可得的度数为． （2）由（1）可得，从而得出，结合，，可得，再根据三角形内角和即可求得，即． （3）过点B作的垂线交于点H，点I为垂足，连接和，交于点L，连接，延长交于点K，连接，结合（1）和（2）的结论可得，，，，从而证明，根据全等三角形的性质可得，，，，，设，则，，，根据圆周角定理，直角三角形中两个锐角互余，可得，，，，，，，，根据中位线定理可得，，即，设，则，，，，，，结合勾股定理可得，，结合，，即可得，，，连接，得出，，即，根据等腰三角形的性质可得，，，从而得出． 【详解】（1）解：∵，点E为垂足 ∴，为直角三角形 ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴的度数为． （2）证明：∵，点E为垂足， ∴， ∴， ∴， ∵，又， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点B作的垂线交于点H，点I为垂足，连接和，交于点L，连接，延长交于点K，连接， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设，则，，， ∴， ∴， ∴， 又∵对的圆周角为， ∴对的圆周角为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴，， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形内角和，全等三角形的性质和判定，三角函数，圆周角定理，直角三角形中两个锐角互余，中位线定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 与函数有关的探究题题型03 33．（2025·黑龙江龙东·二模）如图，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，在直线下方的抛物线上是否存在点P，使得的面积最大？若存在，请直接写出面积的最大值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积的最大值是，此时点P的坐标为 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求最值． （1）根据题意将A，B两点的坐标代入即可求出解析式； （2）将点代入求得点，设点P的坐标为，过点P作于点M，过点E作于点N，则，，，，，根据 ，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：把点，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， 设点P的坐标为， 如图，过点P作于点M，过点E作于点N，则，，，，， ∴ ， ∴当时，面积的最大值是，此时点P的坐标为． 34．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点作直线轴，交抛物线于两点，且抛物线的对称轴是． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与几何综合等知识，数形结合是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据直线轴，交抛物线于两点，且抛物线的对称轴是，可求出点的坐标为，进而可知的长，再根据，可求出点到的距离为2，进而求出点的纵坐标为，代入解析式可得一元二次方程，解方程即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， ∵抛物线的对称轴是， ∴，即， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图， ∵直线轴，交抛物线于两点，且抛物线的对称轴是， ∴两点关于对称， 又∵点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴点到的距离为， ∴点的纵坐标为， 把点的纵坐标代入抛物线可得：，即， 解得：， ∴直线上方的抛物线上存在点点，使得，P的坐标为或． 35．（2025·黑龙江佳木斯·二模）探究题 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、、三点，其顶点为D，连接，点P是线段上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足点为E，连接． (1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； (2)如果P点的坐标为，的面积为S，求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值； 【答案】(1)，抛物线顶点坐标D为 (2)，最大值为 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象和性质，二次函数最值等知识点，熟悉相关性质并能灵活应用是解题的关键． （1）由抛物线经过、、三点，则代入求得，，，进而得解析式与顶点； （2）由在上，则可求解析式表示点，由，可得，利用一元二次方程的性质可得的最值． 【详解】（1）解：抛物线经过、、三点， ， 解得， 解析式为 ， 抛物线顶点坐标为． （2）解：，， 设为解析式为， 有， 解得， 解析式：， 在上， ， ， 即： 当时，取最大值． 36．（2025·黑龙江绥化·二模）如图所示，已知抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，对称轴是直线，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求直线的函数表达式； (3)点为轴上一动点，的垂直平分线交于点，交抛物线于两点，且点在第二象限．                         ①当线段时，求的值； ②当以为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）①由题意可得，设交抛物线的对称轴于点，则由抛物线的对称性可得，进而可得点的横坐标为，得到，即得，即得到，可得，过点作于点，由得，， 即得，最后根据正切的定义计算即可求解；②分和两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了用待定系数法求二次函数和一次函数解析式，二次函数的几何应用，锐角三角函数，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：把代入，得， 解得，， ∴，， 设直线的函数表达式为， 把和代入得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为； （3）解：①∴，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴轴， 设交抛物线的对称轴于点，则由抛物线的对称性可得， ∵对称轴是直线， ∴点到轴的距离是， ∴点的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分于点， ∴， ∵点是直线与抛物线的对称轴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， 在中，； ②当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的纵坐标为， 此时点和点重合，如图， 把代入，得， 解得，， ∵点在第二象限， ∴， ∴； 当时，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∴点和的纵坐标为， 把代入，得， 解得，， ∵点在第二象限， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或． 37．（2025·黑龙江龙东·二模）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，与直线交于点E，的长（）是一元二次方程的两个根，D为直线上一点，作轴交直线于点G，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)若点，点M在直线上，在直线上是否存在点N，使以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）解一元二次方程得，，即可得，，，，再利用待定系数法求出直线的解析式，联立解方程即可求出点E的坐标； （2）由已知得，分和，，分别表示出即可得出结论； （3）设，，根据题意得出，然后分三种情况分析：①若，为对角线，则的中点即是的中点；②若，为对角线，则的中点即是的中点；③若，为对角线，则的中点即为的中点；分别列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：解一元二次方程得， ， ∵的长（）是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， 直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴； （2）解：由已知得， ∵轴， ∴， ∵，， ∴，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 综上，S与t的函数关系式为； （3）解：点M，N分别在直线和上，以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，设，， ∵，垂直x轴于F， ∴， 分以下三种情况讨论： ①若，为对角线，则的中点即是的中点， ， 解得：， ∴， ∴； ②若，为对角线，则的中点即是的中点， ， 解得：， ∴， ∴； ③若，为对角线，则的中点即为的中点， ， 解得：， ∴， ∴； 综上可得，N的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 38．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与x轴交于点A，与y轴相交于点C，，已知抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q是抛物线上的一点，满足，求点Q的坐标； (3)点H是线段BC上一点，满足以O，H，B为顶点的三角形与相似，则点H的坐标为 ； (4)将抛物线射线方向平移个单位，所得的新抛物线的对称轴与x轴交于点D，交于点E，点N是线段上一动点，作轴于点M，取的中点G，连接，．直接写出的最小值； 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）先根据对称性，求出，，，然后用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）过点G作轴于点H，根据，得出，证明，得出，设，则，，得出，求出结果即可； （3）先求出直线的解析式为：，直线的解析式为，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （4）先求出新抛物线的解析式为：，得出新抛物线的对称轴为直线，连接，，则交y轴于点，先证明四边形为平行四边形，得出，说明当最小时，最小，最小，根据两点之间线段最短，得出当点M在点处时，最小，即最小值为的长，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵抛物线，与x轴交于点A，，抛物线的对称轴为直线， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∴点， 把，，代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点G作轴于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴点G的坐标为； （3）解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 同理可得：直线的解析式为， 当时，如图所示： 则， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ∴此时点H的坐标为； 当时，过点H作轴于点M，如图所示： 则， ∵，， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 把代入得：， ∴此时点H的坐标为； 综上分析可知：点H的坐标为或； （4）解：， ∵， ∴将抛物线射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移个单位，向下平移个单位， ∴新抛物线的解析式为：， ∴新抛物线的对称轴为直线， ∴点D的坐标为， 连接，，则交y轴于点，如图所示： ∵， ∴， ∵点N在直线上，轴， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当最小时，最小，最小， ∵两点之间线段最短， ∴当点M在点处时，最小， 即最小值为的长， ∵点G为的中点， ∴根据中点坐标公式可得：， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，相似三角形的判定和性质，两点间距离公式，二次函数平移，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 39．（2025·黑龙江绥化·二模）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线上一个动点，设点的横坐标为，连接，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若，求的值； (3)点的坐标为，点在直线上，是平面上任意一点，当以，，，四点为顶点的四边形为菱形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【分析】（1）由对称轴计算公式可得，再把A、C两点坐标代入解析式中求解即可； （2）解得到，则；求出点B的坐标，取点，连接，可证明是等腰直角三角形，且；取靠近T的三等分点R，过点R作于H，连接，则；可求出，则，解直角三角形得到，则，即点D即为线段与抛物线的交点，如图所示，取，连接，取靠近点S的三等分点L，则点D为直线与抛物线的交点，据此求解即可； （3）分为边和对角线两种情况，根据菱形的邻边相等，以及对角线中点坐标相同讨论求解即可． 【详解】（1）∵对称轴为直线， ∴，即， ∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵，， ∴， 在中，， ∴； 在中，当时，解得或， ∴， 如图所示，取点，连接， ∴， ， ， ∴， ∴是等腰直角三角形，且； 如图所示，取靠近T的三等分点R，过点R作于H，连接， ∵，， ∴R的横坐标为，纵坐标为， ∴； ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点D即为线段与抛物线的交点， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点D的坐标为； 如图所示，取，连接，取靠近点S的三等分点L， ∴点L的横坐标为，纵坐标为， ∴点L的纵坐标为， 同理可证明此时，即， ∴点D为直线与抛物线的交点， 同理可得直线解析式为， 联立，解得或， 此时点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标为或； （3）解： ，， ∴， ∴， 同理可得直线解析式为， 设， ∴，， 如图3-1所示，当是菱形的边时，则， ∴，解得或， ∴，， 在菱形四边形中，∵对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 同理可得点的坐标为； 如图3-2所示，当是菱形的边时，则， ∴， 解得或， ∴， 在菱形四边形中，∵对角线的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 如图3-3所示，当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴， 同理可得； 综上所述，点Q的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 40．（2025·黑龙江佳木斯·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D． ①动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标； ②连接PA，以AP为边作图示一侧的正方形APMN，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点M或N恰好落在抛物线对称轴上时，求出对应的P点的坐标．（结果保留根号） 【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）①P（，）；②点P（，）或（，2）． 【分析】（1）把点A、B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可． （2）①根据点A、B的坐标求出OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠BAO=45°，然后求出△PED是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，PD越大，△PDE的周长最大，再判断出当与直线AB平行的直线与抛物线只有一个交点时，PD最大，再求出直线AB的解析式为y=x+3，设与AB平行的直线解析式为y=x+m，与抛物线解析式联立消掉y，得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式△=0列式求出m的值，再求出x、y的值，从而得到点P的坐标． ②先确定出抛物线的对称轴，然后（i）分点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q，根据同角的余角相等求出∠APF=∠QPM，再利用“角角边”证明△APF和△MPQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=PQ，设点P的横坐标为n，表示出PQ的长，即PF，然后代入抛物线解析式计算即可得解；（ii）点N在对称轴上时，同理求出△APF和△ANQ全等，根据全等三角形对应边相等可得PF=AQ，根据点A的坐标求出点P的纵坐标，再代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点P的坐标． 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（0，3），C（1，0）， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3． （2）①∵A（﹣3，0），B（0，3），∴OA=OB=3．∴△AOB是等腰直角三角形．∴∠BAO=45°． ∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°﹣45°=45°． 又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形．∴PD越大，△PDE的周长越大． 易得直线AB的解析式为y=x+3， 设与AB平行的直线解析式为y=x+m， 联立，消掉y得，x2+3x+m﹣3=0， 当△=32﹣4×1×（m﹣3）=0，即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长， 此时x=，y=+=， ∴点P（，）时，△PDE的周长最大． ②抛物线y=﹣x2﹣2x+3的对称轴为直线， （i）如图1，点M在对称轴上时，过点P作PQ⊥对称轴于Q， 在正方形APMN中，AP=PM，∠APM=90°， ∴∠APF+∠FPM=90°，∠QPM+∠FPM=90°． ∴∠APF=∠QPM． ∵在△APF和△MPQ中，，∴△APF≌△MPQ（AAS）．∴PF=PQ． 设点P的横坐标为n（n＜0），则PQ=﹣1﹣n，即PF=﹣1﹣n，∴点P的坐标为（n，﹣1﹣n）． ∵点P在抛物线y=﹣x2﹣2x+3上，∴﹣n2﹣2n+3=﹣1﹣n，整理得，n2+n﹣4=0． 解得n1=（舍去），n2=，﹣1﹣n=﹣1﹣=， ∴点P的坐标为（，）． （ii）如图2，点N在对称轴上时，设抛物线对称轴与x轴交于点Q， ∵∠PAF+∠FPA=90°，∠PAF+∠QAN=90°，∴∠FPA=∠QAN． 又∵∠PFA=∠AQN=90°，PA=AN，∴△APF≌△NAQ． ∴PF=AQ． 设点P坐标为P（x，﹣x2﹣2x+3）， 则有﹣x2﹣2x+3=﹣1﹣（﹣3）=2， 解得x=（不合题意，舍去）或x=． ∴点P坐标为（，2）． 综上所述，当顶点M恰好落在抛物线对称轴上时，点P坐标为（，），当顶点N恰好落在抛物线对称轴上时，点P的坐标为（，2）． 【点睛】本题考查二次函数综合题，单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，分类思想的应用． 41．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点（A点在B点的左边），与y轴交于点C． (1)如图1，若，则n的值为______（直接写出结果）； (2)如图1，在（1）的条件下，点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，若以为边，以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P点的坐标； (3)如图2，过点A作直线的平行线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，若，求n． 【答案】(1)2 (2)，， (3) 【分析】（1）根据抛物线与x轴的交点可得，，再利用完全平方公式变形代入可得方程，解之可得n值； （2）求出、坐标，设出点坐标，利用平行四边形对角线互相平分性质，分类讨论点坐标，分别代入抛物线解析式，求出点坐标； （3）设出点坐标，利用相似表示，再由一元二次方程根与系数关系表示，得到点坐标，进而找到与关系，代入抛物线求、即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴，， ∵，即， ∴ ， 解得：； （2）由（1）当时， 解得，， ，， ，， 抛物线对称轴为直线， 设点坐标为，， 由平行四边形性质可知， 当、为平行四边形对角线时，点坐标为，， 代入， 解得则点坐标为，， 当、为为平行四边形对角线时，点坐标为，， 代入， 解得则坐标为，， 综上点坐标为，，； （3）设点坐标为， ， 则，， ， ， ， ， ， 由一元二次方程根与系数关系， ， ， 将点，，代入， ， 解得或（舍去）， 则． 【点睛】本题是代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一元二次方程根与系数关系、三角形相似以及平行四边形的性质，解答关键是综合运用数形结合分类讨论思想． 42．（2025·黑龙江大庆·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：交x轴于两点，与y轴交于点． （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接，过点B作，垂足为E，若，求点D的坐标； （3）如图2，点M为第四象限抛物线上一动点，连接，交于点N，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可； （2）先根据和勾股定理求得，，过点E做平行于交y轴于T，易证，利用相似三角形的性质求得，，进而求得点E坐标，求得直线OE的解析式，和抛物线联立方程组，解之即可求得点D坐标； （3）延长于至点F，使轴，过A点作于点H，作轴交于点T，过M点作于点D，证明，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可得，利用待定系数法求出直线BC的解析式，进而可求得AF，设，则，根据二次函数求最值的方法求的MT的最大值，进而可求得的最大值． 【详解】解：（1）依题意，设， 代入得：，解得： ∴； （2）由， 设=x，则， ∵BE⊥OD， ∴在Rt△OEB中，OB=3，由勾股定理得：， 即，解得：（舍）， ∴，， 过点E做平行于交y轴于T， ∴， ∴， ∴， 即，解得：， ∴， ∴ ， ∴直线的解析式为， ∵的延长线交抛物线于点D， ∴，解得：（舍）， 当时，， ∴  ；           （3）如图所示，延长于至点F，使轴，过A点作于点H 作轴交于点T，过M点作于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ，           设直线的解析式为，将B，C两点代入得 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， 设， ∴， ∵， ∴ ，        ∴． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形、解一元二次方程、三角形的面积、勾股定理、求函数的最值等知识，解答的关键是结合图象，添加合适的辅助线，运用相似三角形的性质和数形结合法进行推理、探究和计算． 43．（2025·黑龙江绥化·二模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点． (1)求二次函数解析式； (2)如图1，点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合），过点作，交于点，作，交于点，交于点，求的周长的最大值； (3)在（2）的结论下，连接，点是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (4)如图2，点的坐标是，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 【答案】(1) (2)的周长的最大值为 (3)存在，或或 (4) 【分析】（1）由一次函数与坐标轴交点坐标特点求出、两点坐标，代入二次函数解析式即可求解； （2）设 ，则可用表示出点、点坐标，由两点间的坐标公式，可用表示出周长，再证明 ，则由周长比等于相似比，即可表示出周长，将得到的式子配成顶点式并利用二次函数性质即可求解； （3）由（2）可知、点坐标，则可分成为边和为对角线去求解即可； （4）在轴上截取 ，连接 ，可证得：，则可得当、 、共线时，有最小值，且最小值为 ，再由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则； 令，则， ， 抛物线经过、两点， ， 解得： ， ； （2）设，则 ， ， ， ， ， 点在线段上方的抛物线上运动（不与、重合）， ， ， 的周长为： ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为： ，， 时，的周长最大值为 ； （3）存在点，或或； 由（2）可知： ， 此时可得： ， ， 抛物线的对称轴为： ， 则点的横坐标为， ， ， 设 ， ①当为平行四边形的边时，且点在点的左侧， 此时： ， 点先向右平移个单位，再向上平移个单位到， 则点先向右平移个单位，再向上平移个单位到， 点的横坐标为， ， 将其代入抛物线解析式得： ， ， ②当为平行四边形的边时，且点在点的右侧， 同理可知：将点先向右平移个单位，再向上平移个单位到， 此时 ， 代入抛物线解析式得： ， ， ③当为平行四边形对角线时，由中点坐标公式得： ， ， 代入抛物线解析式得： ， 综上所述：或或； （4）在轴上截取 ，连接 ， ， ， ， 又 ， ， ， ， ， 当、 、共线时，有最小值，且最小值为 ， 在直角三角形中， ， 的最小值为 ． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数和三角形的综合问题，点到点的距离，相似三角形判定与性质，最值问题，平行四边形的存在性问题，熟练掌握基础知识并会综合应用，掌握分类讨论的数学思想方法，作辅助线构造相似三角形是解题关键． 44．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴负半轴于点，交轴于点，，点在轴正半轴上，． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，点在的延长线上，点的横坐标为，过点作轴的平行线交线段于点，设的长为，求与之间的函数关系式，不必写出自变量的取值范围； (3)如图3，在（2）的条件下，若，点在的延长线上，点在轴正半轴，连接，连接交于点，，分别过点作的垂线，点为垂足，，点在上，的延长线交的延长线于点，过点作轴的平行线交的延长线于点，过点作的垂线交于点，点为垂足，若的面积与四边形的面积相等，求的正切值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由点在轴负半轴，，得，代入求得，进而可得，在中，由，求得，即可求解； （2）延长交轴于点，由轴，得，进而得，得， ，得，进而可得，，即可求得； （3）由，求得，可得，，进而可求，，，证明，得，作，点为垂足，求得，设，证明，进而求得（负值舍去），，设与交于点，由的面积与四边形的面积相等，推出 ，证明，进而可证明，四边形是矩形，求得，， ，求得，，，，根据三角形函数的定义可求得． 【详解】（1）解：∵点在轴负半轴，， ∴， 当时，， ， ， ， 在中，， ， ∵点在轴正半轴上， ∴点坐标为； （2）解：如图，延长交轴于点， 点的横坐标为，轴， ， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵点在直线上， 当时，， ， 点E在第二象限， ∴， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （3）解： ， ， ， ， ，， ，，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 如图，作，点为垂足， ， ， ， 设， ， 是直角三角形，， ， ， ， ， ，即，， ①， ，， ， ∴， ， 即② ，联立①②求得（负值舍去），， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， 设与交于点，由的面积与四边形的面积相等， 得， ， ， ， ， ∴ ， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，，， ∴ ， ，， ， 即， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 中，， ， 即的正切值为． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何图形的综合，涉及三角形全等的性质和判定、矩形的性质和判定、勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识点，综合性强，难度大，正确作出辅助线是解题的关键． 45．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，在抛物线的对称轴上存在点M，使得，则点M的坐标为________； (3)如图②，E为线段上的动点（点E不与B，C重合），F为射线CA上的动点（点F不与A，C重合），且始终满足，则的最小值为________； (4)如图3，若点P是直线上方抛物线上一点（不与点B，C重合），连接交直线于点Q．设点P的横坐标为m，，请直接写出n与m的函数关系式________，的最大值________． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)，1 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，得，则，即可作答． （2）先得出，，再根据点M在抛物线的对称轴上，故设，根据两点之间的距离公式列式，解得，，即可作答． （3）先运用勾股逆定理得，，再过点B作直线，且在上截取一点，使得，连接，证明，则，再求出的解析式，故设直线的解析式为，然后得，结合，解得，因为当三点共线时，即，再运用勾股定理算得，即可作答． （4）先求出直线的表达式为①，依题意，得，再表示直线的表达式为②，整理得，因为，则，化简得，结合以及，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：已知抛物线的对称轴是直线，且与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C，连接， ∴当时，则， 整理得， 解得， ∴， 令当时，则， ∴， ∵点M在抛物线的对称轴上， ∴设， ∵， ∴ ∴， 整理得 ∴， ∴， 解得，， ∴点的坐标为或． （3）解：由（2）得，， ∴，， ∴， 则， ∴， 如图，过点B作直线，且在上截取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， 设的解析式为， 把，代入 把， 得， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入， 得 解得， ∴ 设， ∵， ∴ 则， ∴ ∴ 则或（舍去）， 把代入， ∴把代入（舍去）， 则， 则当三点共线时，即， 此时有最小值， ∴， 故答案为：． （4）解：设直线的函数表达式为， 将、坐标代入得， 解得， ∴直线的表达式为①， ∵点P是直线上方抛物线上一点（不与点B，C重合），连接交直线于点Q．设点P的横坐标为m，，且抛物线的解析式为 ∴， 过点分别作轴，轴， 则， ∵， ∴， ∴， 设直线函数表达式为， 将代入得， 解得． ∴直线的表达式为②， 联立①②并整理得 ∴， ∵， 则 ∴， 即， 整理得， ∴ ∵， ∴当时n有最大值，最大值为1．即的最大值为1． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的图象性质，相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 46．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴的正半轴于点A，交轴的正半轴于点，且，过点的直线交轴于点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点在线段上（不与点，A重合），过点作轴的垂线，分别交直线，于点，．设，求与的函数解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，时，点在上，点在第四象限的直线上，且．连接，，轴交的延长线于点，连接，．点在轴的负半轴上，，连接，若，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由中，令，则．得，得，得，即得解析式． （2）设，得，．，，即得． （3）求出，得，，由，得．过作轴于，过作轴于，设，证明，得，，得，，由，，得，由，得，得，得，得，得为等腰直角三角形，求出，，可得，得，得，解得：，（舍），得． 【详解】（1）中，令，则． ． ． ∵， ． ． 设解析式， ． ． ∴解析式． （2）设， 分别代入和， 可得，． 则． ． ． （3）由（2）得， ． ，． 轴， ． ， ． 过作轴于，过作轴于， 设， 则． ∵， ． ，． ． ∴． ∴． 在中，， ． ． 在中，， ． ， ． ． ， ． 即． ∴． ． ． 为等腰直角三角形． ． ， ． ∴，． ，， ． ∵， ∴． ． ． 解得：，（舍）． ，． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合．熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，线段的比，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正切定义，是解题的关键． 47．（2025·黑龙江大庆·二模）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线C和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线C上，则称是C的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是C的伴随抛物线，则C也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． 【理解与运用】 （1）若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则 ， ． 【思考与探究】 （2）设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求d，e的值； ②如图（2），在①的条件下，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，过点C作x轴的平行线交抛物线于点D，P为抛物线上任意一点，当时，求点P的坐标 ③在①的条件下，若抛物线与x轴有两个不同的交点， ，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）3，；（2）①；②P点坐标为或；③或 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用及新定义理解，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质结合图象求解是解题关键． （1）根据题意确定点在的伴随抛物线上，代入求解即可； （2）①根据题意确定顶点坐标为：，然后代入解析式得出，即可求解；②先求出的坐标，设点，如图，过点P作于点H，则，根据，可得，求解即可；③根据题意得出顶点坐标在图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果． 【详解】解：（1）二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点在的伴随抛物线上， 代入得：，， 解得：，， 故答案为：2；； （2）①， ∴顶点坐标为：， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得：， ∴； ②由①得：函数的图象为抛物线， 令， 解得：或， ∴， 将代入，则， ∴， 令， 解得：或， ∵轴， ∴， 设点， 如图，过点P作于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 当时，即， 解得：（舍去）或； ∴， ∴； 综上，当时，点P的坐标为或； ③∵与x轴有两个不同的交点，， 由①得：函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴顶点坐标在图象上滑动， 顶点为， 当时， 解得：或， 抛物线与x轴交两个点， 当顶点在下方时，抛物线有两个交点，， ∵若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即C的顶点在上． ∴在 上， 当顶点在下方时，； 综上可得：或． 48．（2025·黑龙江大庆·二模）如图，直线与抛物线：交于A、B两点(点A在点B的左侧)，抛物线与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线． (1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式； (2)在（1）的条件下，如图1，抛物线上两点D、E，其中点D与点B纵坐标相等，点E在直线下方抛物线上运动；连接交直线于点F．求的最大值，及此时的点E坐标； (3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．则直线是否恒过一个定点？若是求出该点坐标，若不是请说明理由． 【答案】(1)或 (2)； (3)是； 【分析】本题考查待定系数法，二次函数与相似三角形的综合问题，根与系数的关系等知识，运用数形结合思想和函数交点与方程（组）的关系是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）作轴，作轴，联立方程组可求出点的坐标，继而求出点H的坐标，点 ，证明，得到，即，再根据二次函数的最值求解即可； （3）根据题意得出的解析式为，令，利用根与系数的关系得出得出，，设直线的解析式为，令，同理得出，设直线的解析式为，令，再同理得出，继而得到，设直线的解析式为，令，得到，得到，从而得到直线的解析式为，从而求出定点． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，设顶点坐标为：， ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把A的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为；    或 ； （2）解：作轴，作轴，分别交直线与点H、G 由题意得，， 解得或， ∴， ∵点D与点B纵坐标相等， ∴点D与点B关于直线对称， ∴   ∵点H在直线上，横坐标是， ∴  则    设点 ) 则点G(t， t) ∴ ∵轴，作轴 ∴ ， ， ∴ ∴ ， 即    ∴ 当 时，有最大值， 此时，点； （3）证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线， ∴抛物线的解析式为， 令， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 令， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当，即时，， ∴直线经过定点． 49．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点，连接，交于点，过点作轴的平行线交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求点的坐标； (3)设，则的取值范围是________； (4)在（2）的条件下，当点在抛物线对称轴的右侧时，若点是轴上的一个动点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，，则的最小值为________． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) (4) 【分析】（1）根据抛物线过，，直接利用交点式写抛物线的解析式即可； （2）如图，过作交于，而轴，证明，而，可得，再进一步建立方程求解即可； （3）由（2）可得，结合点是直线下方抛物线上的点，可得，再利用二次函数的性质求解即可； （4）当点在抛物线对称轴的右侧时，可得，如图，作交轴于，作关于直线的对称点，可得，当共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线为：， 即抛物线为：； （2）解：如图，过作交于，而轴， ∴轴， ∴，而， ∴， ∵， 当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∵， ∴，即， 设，则， ∴， ∴， 解得：，， ∴点的坐标为或． （3）解：∵， 结合（2）可得：， ∴， ∵点是直线下方抛物线上的点， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∵， ∴； （4）解：∵的对称轴为直线，当点在抛物线对称轴的右侧时， ∴， 如图，作交轴于，作关于直线的对称点， ∴， ∴， ∵直线，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 当共线时，最小， 此时最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与相似三角形，二次函数与线段和的最小值，二次函数的性质，熟练的建立二次函数的模型是解本题的关键． 50．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线交x轴于点A，交y轴于点B，直线交x轴于点C，交直线于D，且． (1)求点D的坐标； (2)点E为线段上一动点，过点E作x轴的垂线分别与直线、x轴交于F、P两点，设点P的横坐标为t，线段的长为，求d与t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，点Q是线段上一点，连接，使，延长交y轴于点S，线段上有一点G，连接，使，请求出此时直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与几何，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点D作于G，证明，利用相似三角形的性质即可解答； （2）表示出点的坐标即可解答； （3）利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质，求得点的坐标，再利用待定系数法即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点D作于G, ， 当时，可得，解得， 当时，， ， ， 设点D的横坐标为m， ∵点D在， ∴点D的纵坐标为，即 ， ∴， ∴， ， ∴，即， （负值舍去）， 经检验是原方程的解， ∴， ； （2）解：设直线的解析式为， 把代入，可得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 如图， ， 则，， ； （3）解：如图，取线段的中点K，连接，过O作， 在中， ， ∴在中，， ∵在中，K是的中点， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ∴在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图，过Q作于N，连接， ， ， ， ， ， ， ∴，即， ，， ， ， ∵点Q在直线上， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 把G、Q两点代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 51．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）综合与探究 在平面直角坐标系中，抛物线经过，，三点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线上的一个动点，连接，，当是以为底边的等腰三角形时，点的坐标为________； (3)如图①，是直线下方抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值； (4)如图②，是线段上的一个动点，是点右侧轴上的一个动点，且始终保持，连接，，则的最小值为________． 【答案】(1)； (2)或； (3)当时，最大，最大面积为； (4)． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设，由是以为底边的等腰三角形，得，进而得，，解得，从而代入得，，即可得解； （3）利用待定系数法求得直线为，过作轴交直线于点，设，则， ，进而利用铅锤法构造二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （4）连接，，过作轴于点，在射线上取，连接，证明（）得，从而得当点、、三点共线时，的值最小，利用勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，，三点， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， ∵当是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵，， ∴ 解得， ∵在上， ∴ 解得， 当时，， 当时，， ∴或； （3）解：设直线为， ∵，， ∴ 解得， ∴直线为， 如图，过作轴交直线于点， 设，则， ， ∵，， ∴， ∴当时，最大，最大面积为； （4）解：连接，，过作轴于点，在射线上取，连接， ∵， ， ∴轴， ∴， ∵轴 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∵，， ∴（） ∴， ∴当点、、三点共线时，的值最小， 最小值为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短，全等三角形的判定及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，勾股定理，两点之间，线段最短是解题的关键． 52．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，若以P，Q，N为顶点的三角形与相似，则点P的坐标为 ； (3)如图2，连接BP，交于点E，当时，求点P的坐标； (4)如图2，连接AP，若BP交y轴于点F，令，直接写出k的最大值． 【答案】(1) (2) (3)或； (4) 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）过点P、点B分别作轴的垂线，交AC于H、Q，得，再由相似三角形的性质得出方程求解即可； （4）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为； （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即， ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点； （3）解：如图，过点P、点B分别作轴的垂线，交AC于H、Q， 则， ∴， 设点，，则， ， ∵， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：，， ∴或； （4）解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴的最大值为． 53．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点坐标，点坐标． (1)求的值； (2)如图1，点在上（不与、重合），过作轴交直线于点，交抛物线于点，连接交轴于点，设点的横坐标为，的长为，求与的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，，连接，点在上，连接，，点与点关于轴对称，点在上，点在的延长线上，连接、，交抛物线与点，若，，求点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入函数解析式，即可解答； （2）将代入，可得，有，再根据，继而求出，即可解答； （3）先求出，可得，由，求出则，延长交轴于点，在上截取，连接，可证明从而得，连接，过作交与点与点关于轴对称，有可证，既有 ，设，则，过作于，可求出直线的解析式，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线经过， ∴， 得； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ，， ∴ ， ∴； （3）解：∵  ，，， ∴ ，，， ∴ ， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 延长交轴于点，在上截取，连接， ∴ ， 设 ，则， ∴ ， ，， ∴， ∴， ， ∴，， ∴， 连接，过作交与点与点关于轴对称，有，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即，， ∴， ∴， ∴，， ∴ ， 设 ，则，， ∵， ∴，，， ∴， 过作于，则， ∴，即， 设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴直线的解析式为，即 ， 解得（舍），， ∴点的横坐标． 【点睛】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，解直角三角形的计算，相似三角形的判定和性质，面积问题及全等三角形的判定和性质，一次函数与二次函数交点问题等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 54．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴，轴于点，点，抛物线经过，两点，并与轴的正半轴交于点． (1)求，的值； (2)如图2，点为第二象限抛物线上一点，连接交于点，设，点的横坐标为，求与的函数关系式； (3)如图3，在（2）的条件下，点在第一象限，轴，连接，是上一点，连接，交于点，过点作轴，垂足为，为中点，连接，过点作，垂足为，点在上，且，连接，，当，，时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意得和，代入即可求解； （2）过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点．通过平行线的判定结合相似三角形的判定和性质得，设，得，解一元二次方程可得，即可求解； （3）延长，作交于点．设，利用平行的性质和三角形的外角性质得， ，即可得．利用勾股定理求解，通过全等三角形的判定和性质得，，再利用三角函数即可推出．利用等量代换和等腰三角形的判定和性质得，设点的坐标为，点的坐标为，通过解一元二次方程即可求解答案． 【详解】（1）由可求，令，则，则， ， ， ， 令，则，，代入可求， ，，． （2）如图，过点作轴于点，交于点，过点作轴交于点． ， ， ， ，即． ， ， ， 由，令，则， 解得或， ，， ， . （3）如图，延长，作交于点． 设，则，可求， 轴， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ，解得（舍去）或， ． ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ，， ． ， ， 轴， 轴， ， ，． 设点的坐标为，点的坐标为， ， 解得或（舍去）． ． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像与二次函数图像的交点坐标求法，相似三角形的判定与性质，平行的判定和性质，解一元二次方程，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，勾股定理，三角函数，全等三角形的判定与性质等，理解题意并作出适合的辅助线、熟练掌握各种判定与性质是解题关键． 55．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点，且，A点坐标为 (1)如图1，求抛物线的解析式． (2)如图（2），若点是抛物线第一象限上的动点，且点横坐标为，连接，和，的面积为，求与t之间的函数关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，交y轴于点D，过P作垂直于x轴于点，是第四象限内一点，连接，，，，且，过D点作轴，满足，点K在线段上，连接，，且，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）过作于点，于点，连接，先求出的长，再根据求解即可得； （3）延长和交于，连接，过用于，延长交于点，连接，先根据圆周角定理可得，则，再证出，则，然后证出，根据相似三角形的性质可得，据此建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【详解】（1）解：∵时，， ∴点的坐标， ∴， ∴， ∵点也在抛物线上， ∴，解得， ∴． （2）解：如图，过作于点，于点，连接， 由题意得：， ∴，． ∵，，， ∴， ∴ ， 所以与之间的函数关系式为． （3）解：如图，延长和交于，连接，过用于，延长交于点，连接， ∵，，， ∴，，，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心、长为半径的圆上， 由圆周角定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∵轴，轴， ∴轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴点的坐标为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形全等的判定与性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 56．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P为第四象限抛物线上一点，交y轴于点D，设点P横坐标为t，，求d关于t的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (3)如图2，在（2）的条件下，点在x轴正半轴上，，连接交于点H，当时，点T为第一象限抛物线上一点，，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把，代入抛物线，再建立方程组解题即可； （2）如图，过作轴于，求解，可得，证明，可得，再进一步求解即可； （3）在中，求解，由（2）得：，可得，结合，可得，求解：，，，，可得，证明，过作于，过作于，过作于，则是等腰直角三角形，四边形为矩形，证明，进一步可得，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：如图，过作轴于， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵当时，， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 如图， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 同理：， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过作于，过作于，过作于， 则是等腰直角三角形，四边形为矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 57．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）如图所示，在平面直角坐标系中，为原点，抛物线交轴于两点，交轴于点，若． (1)______； (2)如图点为第一象限的抛物线上一点，且在对称轴的右侧，抛物线的对称轴交轴于点，连接与抛物线的对称轴交于，点的横标为，的长为，求与的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）； (3)如图，在（）的条件下，作．连接，若，，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）将点的坐标代入得：，即可求解； （）作于，则，故有，根据性质得， 即可求解； （）证明，，得 到，，作轴于，则有矩形， 设，，，，则，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴将点代入得：， 解得：； （2）解：令，则， ∴或， ∴，， ∵在抛物线对称轴上， ∴， ∴， ∵点横坐标为， 作于， 则， ，， ∴， ∴， ∴， ∴ 即； （3）解：连接交于点，延长，交于点，如图， 由对称性可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴由四边形内角和得：， ∵， ∴， 在上截取，连接， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作轴于， ∵轴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 设， 由勾股定理知：，， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， 解得：， ∴点． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法，矩形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及正确添加辅助线是解题的关键． 58．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线分别交轴，轴于点，点． (1)如图1，求点的坐标； (2)如图2，过点作轴的平行线，点是第一象限直线上的一点，连接，取的中点，设点的横坐标为，线段的长为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段上，，连接，点是线段上一点，连接，，过点作轴交的延长线于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，线段的延长线交线段于点，连接，当时，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线过点，可得，再进一步求解即可； （2）先表示，过作轴于，延长交于，证明，而点的横坐标为，，可得，，证明四边形为矩形，可得，进一步可得结论； （3）取的中点，连接，，证明四边形是平行四边形，，证明，进一步证明，可得，连接，证明，四边形为矩形，可得，，连接，而轴，证明，设，，求解，过作轴于，过作轴于，交的延长线于点，证明，设，则，求解，可得，证明四边形为矩形，可得，而为的中点，则，求解，进一步求解，，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， ∴； （2）解：∵， ∴的纵坐标等于的纵坐标； ∵， ∴， 过作轴于，延长交于， ∴， ∵的中点为， ∴，而， ∴，而点的横坐标为，， ∴， ∵线段的长为， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． （3）解：取的中点，连接，， ∵，， ∴，， ∵，轴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 连接，而轴， ∴， ∴， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作轴于，过作轴于，交的延长线于点， 在中，， 在中，， ∴设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，而为的中点，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线为：， ∴， 解得：， ∴直线为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的几何应用，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$