专题01 一元二次方程（考点归纳+知识梳理+真题训练）-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

专题01 一元二次方程 【考点01】一元二次方程的相关概念 【考点02】一元二次方程的解 【考点03】解一元二次方程 【考点04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【考点05】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【考点06】一元二次方程根与系数的关系 【考点07】 变化率问题 【考点08】 传播问题 【考点09】 树枝分叉问题 【考点10】 单循环和双循环问题 【考点11】 销售利润与一次函数综合问题 【考点12】 销售利润每每问题 【考点13】 几何图形问题 【考点14】 几何中动点问题 知识点1：一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 知识点2：一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 知识点3：一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点4： 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 知识点5： 解一元二次方程 1.直接开方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 知识点6： 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 知识点7：一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 【解题技巧】 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 知识点8：一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 【考点01】一元二次方程的相关概念 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】解：．分母中含有未知数，不是整式方程，故该选项不符合题意； ．时，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； ．是一元二次方程，故该选项符合题意； ．含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）将方程改写成的形式，则a，b，c的值分别为（    ） A．3，， B．3，2，4 C．3，，4 D．3，2， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项将方程转化为一般式后，进行判断即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴，，的值分别为3，2，． 故选：D． 3．（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，移项，将方程化为的形式即可． 【详解】解：， ∴； 故选D． 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 【考点02】一元二次方程的解 1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴方程必有一根为； 故选B． 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； B、当时，，则是方程的根，本选项符合题意； C、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； D、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根和代数式的值，理解一元二次方程的根的定义，利用整体法代入求值是解题的关键．由一元二次方程的根的定义可得，整体代入即可得到答案． 【详解】解： 是方程的一个根， ， ， 代数式的值为2025． 故答案为：2025． 【考点03】解一元二次方程 1．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，． 2．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，； (2) ． 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用因式分解法即可求解； （）利用公式法即可求解； 【详解】（1）解： 分解因式得，， ∴ 或， ∴ ，； （2）解： ∴ ． 3．（2025八年级下·江苏南通·专题练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可． （2）先将方程变形，再利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴， ； （2）， ， ， 或， ∴，． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此解方程即可； （2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可． 【详解】（1）解： ∴， 解得； （2）解： ∴或， 解得． 【考点04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 1．（2025·江苏·三模）关于x的一元二次方程中，则该一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 先计算判别式的值，再利用根据判别式的意义进行判断即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程中，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 2．（2025·河南商丘·模拟预测）若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．时，没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式，先把代入方程求出的值，再求出的值即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴方程为， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：． 3．（2025·云南楚雄·二模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，根据得出一元二次方程有两个不相等的实数根是解题的关键．先求出的值，再进行判断即可． 【详解】解：， ， ， ，即， 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）定义运算：．方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据定义运算得到，得到，得出方程没有实数根，即可得到答案． 【详解】解：根据定义运算得， ， 方程没有实数根， 故选：C ． 【考点05】根据一元二次方程根的根的情况求参数 1．（2025·河南信阳·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 根据一元二次方程有有实数根，满足，解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴， 解之，得． 故选：B． 2．（2025年天津市河西区中考二模数学试题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可． 【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选：B． 3．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，由题意可得且，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， 解得且， 故答案为：且． 4．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）设、是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由进行求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2025·北京海淀·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是一元二次方程的解，求该方程的另一个解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）根据根的判别式得出，解不等式即可； （2）根据是方程的解，得出，求出，得出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； （2）解：是方程的解， ， ． 方程为． 解得． 方程的另一个解为． 【考点06】一元二次方程根与系数的关系 1．（24-25八年级下·江西宜春·期中）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系,根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴， 故选：C． 2．（2025·四川乐山·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关公式是解题关键． 先对进行变形得，利用一元二次方程的根与系数的关系得、，后整体代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，得：，， ． 故答案为：． 3．（2025·湖南长沙·三模）已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，熟知根与系数的关系是解题的关键． （1）根据根与系数的关系得到，再由计算求解即可； （2）根据根与系数的关系得到，再把所求式子去括号得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的两根， ∴， ∴ ． 【考点07】 变化率问题 1．（2025·安徽合肥·三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．设年平均增长率为x，由题意得出三月份的销量为：，再根据3月份的销量比1月份增加了2100辆为等量关系列出方程即可． 【详解】解：设每个月销量的平均增长率为， 则三月份的销量为：， 则根据题意有： ， 故选：D 2．（2025·云南昆明·二模）昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸引众多游客纷至沓来．2025年1月，滇池景区接待游客约80万人，到了3月，景区接待游客人数增长至约125万人次．设1~3月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是找准等量关系． 假设出未知数，找出等量关系，列出方程即可． 【详解】解：根据题意得， 故选：C． 3．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率． 【答案】 【分析】设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x，根据题意，得，解答即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握增长率问题的解法是解题的关键． 【详解】解：设该社区2023年至2025年投入资金的增长率x， 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该社区2023年至2025年投入资金的增长率为． 4．（2025·辽宁大连·一模）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知年投入资金万元，年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该社区年至年投入资金的增长率； (2)如果投入资金年增长率保持不变，求该社区在年投入资金多少万元？ 【答案】(1)该社区年至年投入资金的增长率为 (2)该社区在年投入资金万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系． （1）设该社区年至年投入资金的增长率为，根据题意列方程即可求解； （2）用万元乘以年投入资金的百分比，即可求解． 【详解】（1）解：设该社区年至年投入资金的增长率为， 根据题意得：， 解得：或（舍去）； 答：该社区年至年投入资金的增长率为； （2）（万元）， 答：该社区在2025年投入资金3.456万元． 【考点08】 传播问题 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据“有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感”列出方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， ， 整理得：， 解得：，（舍）， ∴每轮传染中平均一个人传染的人数为8人， 故选：A． 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）近期爆发的流感，叫甲型流感，简称甲流，该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是人，则传染人，然后根据经过两轮传染后共有81人患了流感列方程即可． 【详解】解：设每一轮传染中平均每人传染了人， 由题意得，， 故选：D． 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人 (2)第三轮将又有448人被传染 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人数7即可． 【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得 ， 解得或(舍)． 答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人． （2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染． 那么第三轮被传染的人数为人． 答：第三轮将又有448人被传染． 【考点09】 树枝分叉问题 1．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 故每个支干长出个小分支， 故选：C． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），． 故选：B． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： (1)请列出该方程； (2)请解出x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列一元二次方程和解一元二次方程， 根据已知求得主干、支干和小分支的数量，再结合总数为91即可列出方程； 移项化简，利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意知，主干、支干和小分支分别为1，x和，则； （2）解：，化简为， 解得，（舍去）， 故． 【考点10】 单循环和双循环问题 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）某赛季篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与一元二次方程，根据总比赛场数作为等量关系列方程是解题的关键． 设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛240场，列出方程即可． 【详解】解：设参赛队伍有x支， 根据题意得，． 故选：C． 2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学 每名同学要送出张； 又是互送纪念卡， 总共送的张数应该是． 故选：D． 3．（2024九年级上·内蒙古·专题练习）双十一将至，某人将打折活动发在自己的朋友圈，并邀请x个好友转发，每个好友转发后，由各组邀请x个好友转发，经此两轮转发后，已知共有241人次参与了转发，则可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解题的关键．根据经过两轮转发后，共有241人次参与了转发，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：依题意得：， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向个人发送短信．则根据题意列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．根据每一轮中发送人数与接收人数列方程即可． 【详解】解：设每轮发送短信平均一个人向个人发送短信， 则， 故答案为： 5．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有 个商家参加了交易会． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有个商家参加了交易会，利用签订合同的总数参加会议的商家数参加会议的商家数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出参加交易会的商家数． 【详解】解：设共有个商家参加了交易会， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 【考点11】 销售利润与一次函数综合问题 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 90 80 70 日销售量件 10 20 30 (1)求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程，根据判断式进行判断即可． 【详解】（1）解：设， 由题意，把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）该商品日销售利润不能达到1000元，理由如下： 由题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴一元二次方程没有实数根，故该商品日销售利润不能达到1000元． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元？ 【答案】(1) (2)当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为． 把点和代入，得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：根据题意，得． 解得，． ∵规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍， ∴． ∴不符合题意，舍去． 答：当护眼灯销售单价定为60元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元． 3．（2025·湖南常德·三模）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表： 销售单价（元） 销售量（件） (1)求与之间的函数关系式； (2)该商家每天想获得元的利润，应将销售单价定为多少元？ 【答案】(1) (2)或元 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是熟练根据题意列出相关式子． （1）根据给出，的值，利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设销售单价定为元，则单件利润为元，销售量为件，利用“每天想获得元的利润”列式求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设销售单价定为元，则每天销售量为件， 根据题意得：， 解得：，， 所以，应将销售单价定为或元． 【考点12】 销售利润每每问题 1．（2025·陕西渭南·一模）随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店将进价为元/个的哪吒钥匙扣以元/个出售，平均每天能售出个，该文创店通过调查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨元，其每天的销售量就减少个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为元，且售价不能超过元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？ 【答案】这种钥匙扣的售价应定为元/个 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列方程是解题关键． 设这种钥匙扣的售价应定为元/个，由钥匙扣每个的售价每上涨元，其每天的销售量就减少个，列出等式，解一元二次方程即可求解． 【详解】解：设这种钥匙扣的售价应定为元/个， 根据题意，得， 解得，， ∵这种钥匙扣的售价不能超过元/个， ． 答：这种钥匙扣的售价应定为元/个． 2．（2025·辽宁锦州·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． (1)求与之间的函数关系式； (2)水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 【答案】(1) (2)水杯的售价为50元或38元． 【分析】本题考查了一次函数的应用——销售问题以及二次方程的应用．根据销售量与原销售量和增加销售量的关系，总利润与每个利润和销售量的关系，列出函数关系式和方程是解题的关键． （1）根据题意得，注意的取值范围； （2）设每个水杯的售价为元，根据题意列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，． 答：与之间的函数关系式为． （2）解：设每个水杯的售价为元． 根据题意得． 解得：． 答：水杯的售价为50元或38元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元． 3．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）在2024年大满贯比赛期间，买一件文创T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．商店以40元每件的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，四月份的销售量为192件，六月份的销售量为300件． (1)求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率． (2)从七月份起，商场决定采用降价销售回馈顾客，经试验，发现该款T恤在六月销售量的基础上，每降1元，月销售量就会增加20件，则七月份的利润能达到8000元吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系式是解题的关键． （1）该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率x，根据销售量列出方程，求解即可； （2）设降y元，建立一元二次方程，判断方程是否有解，从而确定利润是否能达到目标值． 【详解】（1）解：该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率x， 则， ，（舍）， 答：该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设降y元， 则， ， ， 方程无实数解， 答：所以七月份的利润不能达到8000元． 4．（24-25八年级下·浙江·期中）某健身器材公司推出新款智能跳绳，因其精准计数与便携设计备受消费者欢迎．已知每根跳绳成本为60元，市场调研显示，当定价为100元时，日销量为120根．价格每降低1元，日销量可增加5根．设智能跳绳降价元． (1)日销售量为______根（用含的代数式表示）． (2)该公司能否通过调价实现单日5100元的利润？若能，求出需降价的金额；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)能；需要降价6元或10元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据智能跳绳降价元，价格每降低1元，日销量可增加5根，列出代数式即可； （2）根据总利润单个的利润销售量，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设智能跳绳降价元，则日销售量为根； （2）解：该公司能通过调价实现单日5100元的利润， 根据题意得：， 解得：，， 答：需要降价6元或10元，可实现单日5100元的利润． 【考点13】 几何图形问题 1．（2025·新疆喀什·模拟预测）在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可知：矩形挂图的长为，宽为；则运用面积公式列方程即可．解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积矩形的长矩形的宽． 【详解】解：挂图长为，宽为， 所以根据矩形的面积公式可得：． 故选：D． 2．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形场地，若垂直于墙的一边长为，它的面积为． (1)求矩形的面积与的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）； (2)当长为时，求矩形场地的面积． 【答案】(1)， (2)当长为时，矩形场地的面积为 【分析】此题主要考查了二次函数的关系式的确定和求函数值，关键是根据长方形的面积公式列出函数关系式． （1）先利用长方形的面积公式列出二次函数关系式即可； （2）当时，代入二次函数关系式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）解：当时，， 答：当长为时，矩形场地的面积为． 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某小区有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪． (1)如图，请写出道路的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)已知，并且四块草坪的面积之和为，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ 【答案】(1)这两条道路的面积分别是和； (2)原来矩形的长为28米，宽为14米． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并根据题意列方程求解是解题的关键． （1）由题意矩形场地的长为a米，宽为b米以及道路宽为2米即可得出每条道路的面积； （2）根据题意四块草坪的面积之和为这一等量关系建立方程进行分析计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知这两条道路的面积分别是和； （2）解：∵， ∴， 根据题意得：， 整理得， 解得：，（舍去）， ∴（米） 答：原来矩形的长为28米，宽为14米． 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 【答案】6米 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据阴影部分的面积相等列出方程，求出解即可． 【详解】解：宽度是x米的道路，根据题意，得 ， 解得（舍去）． 所以道路的宽度是6米． 5．（2024九年级下·广东潮州·学业考试）一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18米的住房墙，另外三边用34米长的建筑材料围成，为了方便进出，在平行于住房墙的一边一扇2米宽的门． (1)设矩形猪舍的一边的长为x米，则另一边长为 米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的矩形猪舍的面积为160平方米，求的长． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）设，则，解答即可； （2）根据题意，得，解方程解答即可． 本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：设，则， 故答案为：． （2）解：∵矩形场地面积为， ∴， 即， 解得：，， 当时，，，符合题意， 当时，，，舍去， 故当时，成立， 答：的长为10米． 【考点14】 几何中动点问题 1．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）由题意得,，则，再由勾股定理得出关于的一元二次方程，计算即可得解； （2）根据题意得出关于的一元二次方程，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意得：,，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：（不符合题意，舍去），； 当秒时，的长度等于； （2）解：存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由如下： 由题意可得：矩形的面积是：，， ∵使得五边形的面积等于， ∴的面积为， ∴， 解得：，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 即当秒时，使得五边形的面积等于． 3．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)， (2)2秒或4秒 (3)2.4秒 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了动点问题，一元二次方程的解法，三角形的面积等知识，根据动点的运动速度表示各线段的长是解题的关键． （1）根据路程=速度×时间，可得、的长，从而得出的面积，可得答案； （2）由（1）得，列方程为，解一元二次方程即可，注意本题x的取值范围． （3）根据勾股定理可列方程为： ，解出x即可 【详解】（1）解：关于的函数解析式为：； 所以的取值范围是：． 对于，当时，有最大值； （2）设经过秒，的面积为． 列方程为 解得： 答：设经过2秒或4秒，的面积为． （3）设秒后，的长度等于12mm，列方程为：， 解得（舍去），， 答：出发2.4秒后，的长度等于． 4．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为； (2)连接、，当t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识点，学会利用勾股定理列出一元二次方程是解题的关键． （1）作交于点，利用矩形的性质得到，，再利用勾股定理列出方程求解即可； （2）分两种情况①；②，根据矩形的性质和勾股定理分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：作交于点，则， 由题意得，，， ， 四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， ， 解得：， 当时，点P、Q之间的距离为． （2）解：①若，作交于点，则， 由题意得，，， ， 在中，， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 在中，， ， 解得：，， 或； ②若， ， 四边形是矩形， ，， ， 由①得，， 在中，， ， 解得：，（舍去负值）， ； 综上所述，当或或时，为直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 一元二次方程 【考点01】一元二次方程的相关概念 【考点02】一元二次方程的解 【考点03】解一元二次方程 【考点04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 【考点05】根据一元二次方程根的根的情况求参数 【考点06】一元二次方程根与系数的关系 【考点07】 变化率问题 【考点08】 传播问题 【考点09】 树枝分叉问题 【考点10】 单循环和双循环问题 【考点11】 销售利润与一次函数综合问题 【考点12】 销售利润每每问题 【考点13】 几何图形问题 【考点14】 几何中动点问题 知识点1：一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 知识点2：一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中ax²叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项。 知识点3：一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二 次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解. 知识点4： 一元二次方程的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=1;若x=1是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a+b+c=0。 （2）若a-b+c=0,则一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）必有一根为x=-1;若x=11是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一个根，则a-b+c=0。 知识点5： 解一元二次方程 1.直接开方 2.配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 总结： 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式， （2）求出判别式 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 知识点6： 一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 知识点7：一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 【解题技巧】 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 知识点8：一元二次方程的实际应用 1. 变化率问题 设基准数为a ，两次增长（或下降）后为 b；增长率（下降率）为 x，第一次增长（或下降）后 为 ；第二次增长（或下降）后为 ²．可列方程为 ²=b 2. 传染、枝干问题 有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 设每轮传染中平均一个人传染了x个人： 3. 握手、比赛问题 握手问题：n个人见面，任意两个人都要握一次手，问总共握次手。赠卡问题：n个人相互之间送卡片，总共要送张卡片。 4. 销售利润问题 （1）常用公式：利润=售价-成本；总利润=每件利润×销售量； 5. 几何面积问题 （1）如图①，设空白部分的宽为x,则； （2）如图②，设阴影道路的宽为x,则 （3）如图③，栏杆总长为a，BC的长为b,则 6. 动点与几何问题 关键是将点的运动关系表示出来，找出未知量与已知量的内在联系，根据面积或体积公式列出方程. （2）每每问题中，单价每涨a元，少买b件。若涨价y元，则少买的数量 【考点01】一元二次方程的相关概念 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东肇庆·期中）将方程改写成的形式，则a，b，c的值分别为（    ） A．3，， B．3，2，4 C．3，，4 D．3，2， 3．（24-25九年级上·四川广元·期末）将一元二次方程化成一般形式是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点02】一元二次方程的解 1．（24-25九年级上·四川眉山·期末）关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（   ） A．1 B． C．0 D．2 2．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为 ． 【考点03】解一元二次方程 1．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）解方程： (1) (2) 2．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 3．（2025八年级下·江苏南通·专题练习）解方程： (1)； (2)． 4．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【考点04】根据判别式判断一元二次方程根的根的情况 1．（2025·江苏·三模）关于x的一元二次方程中，则该一元二次方程根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 2．（2025·河南商丘·模拟预测）若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．时，没有实数根 3．（2025·云南楚雄·二模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 4．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）定义运算：．方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【考点05】根据一元二次方程根的根的情况求参数 1．（2025·河南信阳·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．（2025年天津市河西区中考二模数学试题）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（    ） A．0 B． C．1 D．2 3．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 4．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）设、是方程的两个实数根，则 ． 5．（2025·北京海淀·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若是一元二次方程的解，求该方程的另一个解． 【考点06】一元二次方程根与系数的关系 1．（24-25八年级下·江西宜春·期中）已知一元二次方程的两根为，，则的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 2．（2025·四川乐山·模拟预测）已知关于的一元二次方程的两根为，，则的值为 ． 3．（2025·湖南长沙·三模）已知是方程的两根，求下列两个代数式的值： (1)； (2)． 【考点07】 变化率问题 1．（2025·安徽合肥·三模）随着环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠，某销售商该品牌电动车今年1月份的销量为1000辆，由于国补政策的连月升温，3月份的销量比1月份增加了2100辆．设每个月销量的平均增长率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·云南昆明·二模）昆明滇池是著名的高原湖泊生态旅游景点，景区优美的自然风光与宜人气候吸引众多游客纷至沓来．2025年1月，滇池景区接待游客约80万人，到了3月，景区接待游客人数增长至约125万人次．设1~3月滇池景区接待游客人数的月平均增长率为，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3． （24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知2023年投入资金2万元，2025年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同，求该社区2023年至2025年投入资金的增长率． 4．（2025·辽宁大连·一模）为了满足人们对于精神文明的需求，某社区决定逐年增加微型图书阅览室的投入．已知年投入资金万元，年投入资金万元，假定每年投入资金的增长率相同． (1)求该社区年至年投入资金的增长率； (2)如果投入资金年增长率保持不变，求该社区在年投入资金多少万元？ 【考点08】 传播问题 1．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 2．（24-25九年级上·广西南宁·期中）近期爆发的流感，叫甲型流感，简称甲流，该病毒传染性超强．某人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每一轮传染中平均每人传染了人，则可得到方程（   ） A． B．C．D． 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染． (1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？ (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【考点09】 树枝分叉问题 1．（23-24九年级上·湖北黄石·期中）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支 A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校“研学”活动小组在一次野外实践中，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是，则这种植物每个支干长出的小分支的个数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏宿迁·开学考试）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，问： (1)请列出该方程； (2)请解出x的值． 【考点10】 单循环和双循环问题 1．（24-25九年级上·河北廊坊·阶段练习）某赛季篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为240场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张纪念卡，则全班送贺卡共1892张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·内蒙古·专题练习）双十一将至，某人将打折活动发在自己的朋友圈，并邀请x个好友转发，每个好友转发后，由各组邀请x个好友转发，经此两轮转发后，已知共有241人次参与了转发，则可列方程为 ． 4．（24-25九年级上·天津武清·阶段练习）某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向个人发送短信．则根据题意列出的方程是 ． 5．（24-25九年级上·广东江门·阶段练习）某次商品交易会上，所有参加会议的两个商家之间都签订了一份合同，共签订合同45份，则共有 个商家参加了交易会． 【考点11】 销售利润与一次函数综合问题 1．（2025·辽宁葫芦岛·二模）商场出售某种商品，每件的进价为40元，经市场调查发现，平均日销售量（件）与每件售价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价元 90 80 70 日销售量件 10 20 30 (1)求与之间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)该商品日销售利润能否达到1000元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由． 2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）某商店出售某品牌护眼灯，每台进价为40元，规定销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍，日销量y（台）与销售单价x（元）之间的关系如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当护眼灯销售单价定为多少元时，该商店每日出售这种护眼灯所获得的利润为160元？ 3．（2025·湖南常德·三模）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表： 销售单价（元） 销售量（件） (1)求与之间的函数关系式； (2)该商家每天想获得元的利润，应将销售单价定为多少元？ 【考点12】 销售利润每每问题 1．（2025·陕西渭南·一模）随着《哪吒之魔童闹海》电影的大爆，与之相关的哪吒文创周边销售也异常火爆．某文创店将进价为元/个的哪吒钥匙扣以元/个出售，平均每天能售出个，该文创店通过调查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨元，其每天的销售量就减少个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为元，且售价不能超过元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？ 2．（2025·辽宁锦州·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨成功举办，周边文创品销售火爆．某电商销售一款文创水杯，进价为30元/个，销售时售价不低于进价．当售价为52元/个时，每天可销售30个．经市场调查发现，售价每降价1元，每天的销售量将增加5个．设该款文创水杯的售价为元/个，每天的销售量为个． (1)求与之间的函数关系式； (2)水杯的售价定为多少元时，该电商每天销售该款水杯获得的利润为800元？ 3．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）在2024年大满贯比赛期间，买一件文创T恤去看比赛，成为了体育迷们的“仪式感”．商店以40元每件的价格购进一批这样的T恤，以每件60元的价格出售．经统计，四月份的销售量为192件，六月份的销售量为300件． (1)求该款T恤四月份到六月份销售量的月平均增长率． (2)从七月份起，商场决定采用降价销售回馈顾客，经试验，发现该款T恤在六月销售量的基础上，每降1元，月销售量就会增加20件，则七月份的利润能达到8000元吗？请说明理由． 4．（24-25八年级下·浙江·期中）某健身器材公司推出新款智能跳绳，因其精准计数与便携设计备受消费者欢迎．已知每根跳绳成本为60元，市场调研显示，当定价为100元时，日销量为120根．价格每降低1元，日销量可增加5根．设智能跳绳降价元． (1)日销售量为______根（用含的代数式表示）． (2)该公司能否通过调价实现单日5100元的利润？若能，求出需降价的金额；若不能，请说明理由． 【考点13】 几何图形问题 1．（2025·新疆喀什·模拟预测）在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·广东茂名·期中）如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形场地，若垂直于墙的一边长为，它的面积为． (1)求矩形的面积与的函数关系式（要求写出自变量的取值范围）； (2)当长为时，求矩形场地的面积． 3．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）某小区有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪． (1)如图，请写出道路的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)已知，并且四块草坪的面积之和为，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ 4．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）某社区为了解决停车难的问题，计划将一块矩形空地改建成一个小型停车场，其中阴影部分为停车位区域，其余部分均为宽度是x米的道路，如图所示，已知米，米，且停车区域(即阴影部分)的面积为880米，求道路的宽度x(米)． 5．（2024九年级下·广东潮州·学业考试）一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为18米的住房墙，另外三边用34米长的建筑材料围成，为了方便进出，在平行于住房墙的一边一扇2米宽的门． (1)设矩形猪舍的一边的长为x米，则另一边长为 米（用含x的代数式表示）； (2)若围成的矩形猪舍的面积为160平方米，求的长． 【考点14】 几何中动点问题 1．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 2．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（）． (1)当为何值时，的长度等于？ (2)是否存在的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 3．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，在中，．动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点分别从两点同时出发． (1)写出的面积关于的函数解析式及的取值范围，并求出当为何值时，最大； (2)经过几秒，的面积为； (3)出发几秒后，的长度等于？ 4．（24-25九年级上·全国·期末）在矩形中，，，点P从点A开始沿边以的速度移动，点Q从点C开始沿边以的速度移动，如果点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中有一点到达点B或点D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点P、Q之间的距离为； (2)连接、，当t为何值时，为直角三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$