第15讲 平行线的性质（暑假预习讲义）新七年级数学新教材华东师大版

第15讲 平行线的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 平行线的性质 考点1：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点2 两平行线间的距离性质 两平行间的距离处处相等。 教材习题01 解题方法 平行线的性质 【答案案】 / 考点一 根据平行线的性质求角的度数 1．（2025·广东·模拟预测）如图，是上一点，连接平分，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，由平行线的性质可得的度数，由角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：C． 2．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，直线，被直线所截，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，利用邻补角的定义求角的度数，根据平行线的性质得出，再根据邻补角的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， 故选：C 3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图所示，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故选：B． 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在音符中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 根据两直线平行，同旁内角互补即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 考点二 平行线的性质在生活中的应用 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，车道与平行，若拐角，则拐角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质．由两直线平行，内错角相等，即可得到． 【详解】解：∵， ， 故选：D． 2．（22-23七年级下·湖北鄂州·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线 从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示，，， 根据题意可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 3．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查平行线的性质的应用，根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，即可求解． 【详解】解：如图所示，依题意，， ∴， ∵，， ∴ ∴．    故答案为：． 考点三 根据平行线判定与性质求角度 1．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是平行线的判定与性质、角平分线的相关计算、垂线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的判定与性质． （1）根据证明后，由两直线平行，内错角相等得，再结合并进行等量代换后即可根据同旁内角互补，两直线平行证； （2）结合（1）题得，再由平分得，再由可得． 【详解】（1）解：与平行，理由如下：            （已知）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 2．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． (1)求证：； (2)若平分，求扶手与靠背的夹角度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据题意得到，由同位角相等，两直线平行即可求解； （2）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义得到，则有，根据，得即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴． 3．（24-25七年级下·广东东莞·阶段练习）如图，已知，于D，于F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角互补，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据垂直的定义得，证明，得，结合，得，根据内错角相等，两直线平行，即可作答． （2）根据角的关系得，然后运用邻补角互补，列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵于D，于F． ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）设交于点，求出，得到，即可得到结论； （2）由（1）知，得到，推出，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：如图，设交于点， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ， ， ． 考点四 利用平行线间距离性质及应用 1．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【详解】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 设与之间的距离为， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·广西来宾·期末）如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行线之间的距离，关键是掌握平行线之间距离的定义．从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，由此可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴平行线a、b之间的距离为， 故答案为：8． 3．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知直线，直线d与它们分别垂直且相交于三点，若，，则平行线b、c之间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点， ∴平行线b，c之间的距离是4． 故答案为：4． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，若，，则平行线，之间的距离是 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．依据直线，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，即可得到长为直线a和c之间的距离，长为直线b和c之间的距离，长为直线a和b之间的距离，再根据，，即可得出直线a与直线b之间的距离． 【详解】解：∵，直线与它们分别垂直且相交于，，三点， ∴长为直线a和c之间的距离，长为直线b和c之间的距离，长为直线a和b之间的距离， ∵， ∴， 即直线a与直线b之间的距离为3． 故答案为：3 知识导图记忆 知识目标复核 1. 根据平行线的性质求角的度数 2. 平行线的性质在生活中的应用 3. 根据平行线判定与性质求角度 4. 利用平行线间距离性质及应用 一、单选题 1．（2025·云南昭通·二模）如图，直线与直线a，b都相交．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，邻补角互补求角度，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键． 先根据邻补角求出，再根据平行线得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（2025·贵州遵义·三模）如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质．根据两直线平行内错角相等进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B 3．（2025·广西百色·二模）如图是“垃圾入桶”标志及垃圾桶的平面示意图，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到答案． 【详解】解；∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．（2025·山东济宁·二模）如图，直线，分别经过（）的顶点，．若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，角度的和差，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．利用平行得出，再利用，求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．（2025·海南·一模）绿色出行，健康出行，某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，已知、则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平角的定义，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据平角的定义，求出，再根据平行线的性质即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， 故选：A． 6．（2025·广西南宁·一模）如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握是解题的关键． 根据平行线同旁内角之和为即可解题． 【详解】解：由题意得，和为平行线间同旁内角， 故． 故选C． 7．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，潜望镜中的两面镜子与互相平行放置，光线经过镜子反射时，，．若入射光线与镜面的夹角，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线性质的应用（根据平行线的性质求角的度数），熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由，可得，由两直线平行内错角相等可得，然后由即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 的度数是， 故选：． 二、填空题 8．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线m，n被直线l所截，，若，则 度． 【答案】60 【分析】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记性质是解题的关键．利用两直线平行，同位角相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：60． 9．（2025·浙江·模拟预测）如图，直线，，，则 ． 【答案】85 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的性质运用．根据平行线的性质和平角的性质列式计算即可得解． 【详解】解：如图： ∵ ，， ， 故答案为：85． 10．（24-25八年级上·广西桂林·开学考试）如图，，的面积等于4，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线间间距相等可得与是同底等高的三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵，的面积等于4， ∴， 故答案为：4． 11．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为 ． 【答案】74 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 根据折叠的性质得出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又∵长方形纸片的对边平行， ∴， 故答案为：． 三、解答题 12．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，直线分别交，于点，，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和邻补角的概念，解题的关键是掌握平行线的性质． 利用两直线平行，同位角相等求出的度数，利用邻补角即可求出的度数． 【详解】解：， ， ． 13．（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线性质．根据平行以及的度数，可求得的度数，进而根据求得的度数，再根据平行线性质求出． 【详解】解：，， ； ， ； ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 平行线的性质 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：4大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 平行线的性质 考点1：平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 知识点2 两平行线间的距离性质 两平行间的距离处处相等。 教材习题01 解题方法 平行线的性质 【答案案】 / 考点一 根据平行线的性质求角的度数 1．（2025·广东·模拟预测）如图，是上一点，连接平分，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，直线，被直线所截，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）如图所示，一把矩形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上，若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在音符中，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点二 平行线的性质在生活中的应用 1．（2024·浙江·模拟预测）如图，车道与平行，若拐角，则拐角的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·湖北鄂州·期中）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线 从水中射向空气时要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的，如图，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山西朔州·期末）如图，在一条公路的两侧铺设了两条平行管道和，如果管道与纵向联通管道的夹角，那么管道与纵向联通管道的夹角的度数等于 ． 4．（23-24七年级下·福建厦门·期中）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为 ．    考点三 根据平行线判定与性质求角度 1．（24-25七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知，． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若平分，于点，，求的度数． 2．（22-23七年级下·北京西城·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点与交于点． (1)求证：； (2)若平分，求扶手与靠背的夹角度数． 3．（24-25七年级下·广东东莞·阶段练习）如图，已知，于D，于F． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 考点四 利用平行线间距离性质及应用 1．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 2．（23-24七年级下·广西来宾·期末）如图，，点在直线上，点，在直线上，，如果，，，那么平行线，之间的距离为 ． 3．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知直线，直线d与它们分别垂直且相交于三点，若，，则平行线b、c之间的距离为 ． 4．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点，若，，则平行线，之间的距离是 知识导图记忆 知识目标复核 1. 根据平行线的性质求角的度数 2. 平行线的性质在生活中的应用 3. 根据平行线判定与性质求角度 4. 利用平行线间距离性质及应用 一、单选题 1．（2025·云南昭通·二模）如图，直线与直线a，b都相交．若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·贵州遵义·三模）如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广西百色·二模）如图是“垃圾入桶”标志及垃圾桶的平面示意图，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·山东济宁·二模）如图，直线，分别经过（）的顶点，．若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·海南·一模）绿色出行，健康出行，某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图1是共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，已知、则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·广西南宁·一模）如图是杠杆受力示意图，为竖直向下的重力，为竖直向下的拉力．若．则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，潜望镜中的两面镜子与互相平行放置，光线经过镜子反射时，，．若入射光线与镜面的夹角，则的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，直线m，n被直线l所截，，若，则 度． 9．（2025·浙江·模拟预测）如图，直线，，，则 ． 10．（24-25八年级上·广西桂林·开学考试）如图，，的面积等于4，则的面积是 ． 11．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，将长方形纸片沿线段折叠，重叠部分为，若，则的度数为 ． 三、解答题 12．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，直线分别交，于点，，已知，求的度数． 13．（23-24七年级下·广东惠州·期中）如图，已知，，，求的度数． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$