第14讲 平行线和平行线的判定（暑假预习讲义）新七年级数学新教材华东师大版

第14讲 平行线和平行线的判定 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 平行线的定义和画法 考点1：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 知识点2 平行线的公理 考点2：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 知识点3 平行线的判定 考点3：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 教材习题01 解题方法 画平行线 【答案案】 教材习题02 解题方法 平行线的判定 【答案】 / 考点一 平面内两直线的位置关系 1．平行、垂直和相交的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．表示直线、互相平行，直线、互相垂直的是（    ） A．， B．， C．， D．， 考点二 用直尺、三角板画平行线 1．利用直角三角板作图 (1)在图中，过点P分别作垂线段，其中于E，于F； (2)在图中，过点P作直线， 使，交于M． 2．如图，点P为内一点，按要求完成下列问题： (1)过点P作射线的垂线，垂足为点D； (2)过点P作射线的平行线，交射线于点E； (3)比较线段和的大小，并说明理由． 3．已知：及内部一点． (1)①过点作直线于点； ②过点作直线交于点； (2)比较线段与线段的大小：______，理由是______． 4．如图，直线与交于点，点在直线上，根据下列语句画图并解决问题． (1)①过点画直线，垂足为； ②过点画直线，使； (2)线段与的大小关系是________，依据是________． 考点三 平行公理的应用 1．按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 2．如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 3．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 4．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 5．已知a，b，c为不重合的三条直线，，，则．理由是 ． 考点四 平行线的判定-同位角相等两直线平行 1．如图，已知，证明． 2．如图，平分，若，，与平行吗？为什么？ 3．问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 4．如图，，，平分，求证：． 考点五 平行线的判定-内错角相等两直线平行 1．如图，已知平分，且，请说明的理由． 2．按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且． 请说明：． 解：∵（已知）， ∴_____________（_______________）． ∴_____________． ∵（已知）， ∴_____________=_____________（_____________）． ∴（__________________________）． 3．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 4．如图，已知，，，与平行吗？ 考点六 平行线的判定-同旁内角互补两直线平行 1．如图，平分，平分，且，求证：． 2．如图，，，．试说明． 3．填空：如图，，，图中哪些直线会平行？ 解：∵（已知）， ∴________________（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（________）， ∴________（________）， ∴（________）． 4．已知：如图，直线与直线分别交于点E、F，直线与直线交于点A，且，，试说明：，． 知识导图记忆 知识目标复核 1. 平面内两直线的位置关系 2. 用直尺、三角板画平行线 3. 平行公理的应用 4. 平行线的判定-同位角相等两直线平行 5. 平行线的判定-内错角相等两直线平行 6. 平行线的判定-同旁内角互补两直线平行 一．选择题 1．在同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是（    ） A．1个或3个 B．0个或2个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 2．如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．如图，直线、被l所截，下列说理过程正确的是（   ） A．因为与互补，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 4．小明为了验证学校的百米跑道是由若干条平行线组成的，按照如图所示的方式分别测出，从而得到结论．这种验证方法的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 5．如图，下列推理中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果那么 D．如果，那么 6．下列条件：①，②，③，④中，能判断的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②④ 二、填空题 7．如图，从正方形中写出互相平行的边： 8．如图，在长方体中，与线段平行的线段有 ． 9．若，，则与的位置关系是 ． 10．如图，请添加一个条件，使得，则可以添加的条件是 ．（写出一个即可）． 11．如图，若将木条绕点旋转后使其与木条平行，则旋转的最小角度为 ． 12．如图，，若使，则可将直线绕点逆时针旋转 度． 三、解答题 13．如图，点A，B，E在一条直线上．在空格上填写推理的依据． (1)（已知），∴（　　 ） (2)（已知），（　　 ）； (3)（已知），∴（　　 ） 14．如图，．试说明：．请你完成下列推理过程（括号内写出理由）： 解：因为， 所以____________（____________）． 因为， 所以____________（____________）， 所以（____________）． 15．如图，于点，，求证： 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 平行线和平行线的判定 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练习题 讲典例：教材习题学解题、快速掌握解题方法 练考点 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 平行线的定义和画法 考点1：平行线的定义及画法 1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b． 注意： (1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可； (2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行． (3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系． 2.平行线的画法： 用直尺和三角板作平行线的步骤： ①落：用三角板的一条斜边与已知直线重合. ②靠：用直尺紧靠三角板一条直角边. ③推：沿着直尺平移三角板,使与已知直线重合的斜边通过已知点. ④画：沿着这条斜边画一条直线,所画直线与已知直线平行. 知识点2 平行线的公理 考点2：平行公理及推论 1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 记作：如果 a∥b，a∥c，那么a∥c 注意： (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质． （2）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性 知识点3 平行线的判定 考点3：平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 教材习题01 解题方法 画平行线 【答案案】 教材习题02 解题方法 平行线的判定 【答案】 / 考点一 平面内两直线的位置关系 1．平行、垂直和相交的关系可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两直线的位置关系，平面内两直线的位置关系有相交和平行两种，所以平行和相交是并列存在的，而垂直是相交的一种特殊情况，所以相交包括垂直． 【详解】解：平面内两直线的位置关系有相交和平行两种， 当两直线相交，夹角是时，两直线互相垂直， 垂直是相交的一种特殊情况， 平行、垂直和相交的关系如下图所示， 故选：D． 2．表示直线、互相平行，直线、互相垂直的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查直线的平行与垂直，解题的关键是掌握两直线平行、垂直的意义及其表示方法． 【详解】解：表示直线、互相平行，直线、互相垂直的是，． 故选：C． 考点二 用直尺、三角板画平行线 1．利用直角三角板作图 (1)在图中，过点P分别作垂线段，其中于E，于F； (2)在图中，过点P作直线， 使，交于M． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了画垂线和画平行线，熟知画垂线和画平行线的方法是解题的关键． （1）根据画垂线的方法作图即可； （2）根据画平行线的方法画图即可． 【详解】（1）解；如图所示，线段即为所求； （2）解：如图所示，直线即为所求． 2．如图，点P为内一点，按要求完成下列问题： (1)过点P作射线的垂线，垂足为点D； (2)过点P作射线的平行线，交射线于点E； (3)比较线段和的大小，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)，理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短 【分析】本题考查画垂线和平行线，垂线段最短，熟练掌握相关知识，能利用直尺与三角板准确作图是解题的关键； （1）借助三角板画垂线即可； （2）利用直尺和三角板画平行线即可； （3）根据垂线段最短，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3），理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短． 3．已知：及内部一点． (1)①过点作直线于点； ②过点作直线交于点； (2)比较线段与线段的大小：______，理由是______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)；垂线段最短 【分析】本题考查了画垂线、画平行线、垂线段最短，理解题意正确作出图形是解题的关键． （1）①根据垂线的定义画出图形即可；②根据平行线的定义画出图形即可； （2）利用垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：①如图所示，直线即为所求： ②如图所示，直线即为所求： （2）解：根据垂线段最短可知，． 故答案为：；垂线段最短． 4．如图，直线与交于点，点在直线上，根据下列语句画图并解决问题． (1)①过点画直线，垂足为； ②过点画直线，使； (2)线段与的大小关系是________，依据是________． 【答案】(1)见解析 (2)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了画垂线、平行线，垂线段最短，解题的关键是熟练掌握相关知识． （1）①根据题意画图即可；②根据平行线作图步骤画图即可； （2）根据垂线段最短进行判断求解，即可解题． 【详解】（1）解：①如图所示，即为所作： ②如图所示，即为所作： （2）解：线段与的大小关系是：；依据是：垂线段最短； 故答案为：；垂线段最短． 考点三 平行公理的应用 1．按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答． 【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线； 在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线； 在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线； 故选：D． 2．如图，过点P作直线的平行线，可作的平行线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行公理，根据过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行求解即可． 【详解】解，∵过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， ∴过点P作直线的平行线，可作的平行线有1条， 故选：A 3．如图是一个可折叠的衣架，是地平线，当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上，这样判定的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．内错角相等，两直线平行 C．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理及推理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行解决问题即可． 【详解】解：根据题意，可知当时，；时，，就可以确定点，，在同一直线上； 依据是过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行； 故选：C 4．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 【答案】过直线外点有且只有条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理．根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点M，C，N在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 5．已知a，b，c为不重合的三条直线，，，则．理由是 ． 【答案】如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查了平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．注意：平行公理的推论可以看作是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用． 【详解】解：∵，，（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 考点四 平行线的判定-同位角相等两直线平行 1．如图，已知，证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，证明，即可解答，解答此题的关键是注意平行线的判定定理． 【详解】解：， ， ． 2．如图，平分，若，，与平行吗？为什么？ 【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，根据平分，，得出，再结合同位角相等，两直线平行，即可作答． 【详解】解：与平行，理由如下： 平分，， ， ， ． 3．问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 【答案】；角平分线的定义；对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义和对顶角的性质，先由角平分线的定义和对顶角相等证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】解：．理由如下： ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵与相交于点， ∴（对顶角相等）． ∴（等量代换）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． 4．如图，，，平分，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，根据角平分线的定义可得，结合已知可得，根据同位角相等两直线平行，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 考点五 平行线的判定-内错角相等两直线平行 1．如图，已知平分，且，请说明的理由． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查的是平行线的判定，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．证明，最后再利用内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． 2．按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在三角形中，于点是上一点，且． 请说明：． 解：∵（已知）， ∴_____________（_______________）． ∴_____________． ∵（已知）， ∴_____________=_____________（_____________）． ∴（__________________________）． 【答案】；垂直的定义；；； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据垂直的定义得到，结合题意得到，由内错角相等，两直线平行即可求解． 【详解】解：：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴， ∵（已知）， ∴（同角的余角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；垂直的定义；；； ；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 3．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出，那么，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：可以判断，理由如下： ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 4．如图，已知，，，与平行吗？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到是解题的关键．由，得到，继而，即可求证． 【详解】解：，理由如下， 证明，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点六 平行线的判定-同旁内角互补两直线平行 1．如图，平分，平分，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，根据角平分线的定义，结合已知条件，推出，即可得证． 【详解】证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，，，．试说明． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行．先求解，证明即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．填空：如图，，，图中哪些直线会平行？ 解：∵（已知）， ∴________________（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（________）， ∴________（________）， ∴（________）． 【答案】；；已知；3；等量代换；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，掌握同旁内角互补，两直线平行是解题的关键．利用同旁内角互补，两直线平行证明，根据，，得出，根据同旁内角互补，两直线平行证明． 【详解】解：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；；已知；3；等量代换；同旁内角互补，两直线平行． 4．已知：如图，直线与直线分别交于点E、F，直线与直线交于点A，且，，试说明：，． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定，理解并掌握平行线的判定定理是解题关键．先证，可得，再证，可证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 知识导图记忆 知识目标复核 1. 平面内两直线的位置关系 2. 用直尺、三角板画平行线 3. 平行公理的应用 4. 平行线的判定-同位角相等两直线平行 5. 平行线的判定-内错角相等两直线平行 6. 平行线的判定-同旁内角互补两直线平行 一．选择题 1．在同一平面内的三条直线产生的交点个数可能是（    ） A．1个或3个 B．0个或2个 C．1个或2个或3个 D．0个或1个或2个或3个 【答案】D 【分析】本题考查直角的交点个数问题，当三条直线平行时，三条直线没有交点，三条直线两两相交时至少有一个交点，至多有3个交点，即可得出结果． 【详解】解：由题意，如图：当三条直线平行时，三条直线没有交点， 三条直线两两相交时，如图： 可能有1个，2个或3个交点， 故选D． 2．如图1为一长方体水果箱，图2为其模型，则模型中与平行的棱共有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考查平行公理，根据平行线的定义和平行公理的推论，进行判断即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， 故模型中与平行的棱共有3条； 故选C． 3．如图，直线、被l所截，下列说理过程正确的是（   ） A．因为与互补，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解题关键．根据平行线判定定理逐一判断即可得答案． 【详解】解：A．与不是同旁内角，、不平行，故该选项错误，不符合题意， B．因为，所以，故该选项错误，不符合题意， C．与不是同位角或内错角，、不平行，故该选项错误，不符合题意， D．因为，所以，故该选项正确，符合题意， 故选：D． 4．小明为了验证学校的百米跑道是由若干条平行线组成的，按照如图所示的方式分别测出，从而得到结论．这种验证方法的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定方法，由图可得和是一对和是内错角，根据内错角相等，两直线平行即可判断． 【详解】解：∵， ∴内错角相等，两直线平行， 即学校的百米跑道是由若干条平行线组成的， 故选：C 5．如图，下列推理中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 如果，那么，故该选项不正确，不符合题意；     B. 如果，不能得出，故该选项不正确，不符合题意； C. 如果那么，故该选项正确，符合题意；     D. 如果，不能得出，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 6．下列条件：①，②，③，④中，能判断的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟悉平行线的判定方法是解题的关键；根据平行线的判定方法进行逐一判断即可． 【详解】解：当时，无法判定，故①错误； 当时，根据内错角相等，两直线平行可判定，故②正确； 当时，由内错角相等，两直线平行可判定，但不能判定，故③错误； 当时，由同旁内角互补两直线平行可判定，故④正确； 综上，正确的有②④； 故选：D． 二、填空题 7．如图，从正方形中写出互相平行的边： 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的识别，正方形对边平行，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 8．如图，在长方体中，与线段平行的线段有 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线．据此解答即可． 【详解】解：与线段平行的线段有：． 故答案为：． 9．若，，则与的位置关系是 ． 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．根据平行公理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴则与的位置关系是是平行， 故答案为：平行． 10．如图，请添加一个条件，使得，则可以添加的条件是 ．（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据内错角相等，两直线平行作答即可． 【详解】解：添加的条件是，理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 11．如图，若将木条绕点旋转后使其与木条平行，则旋转的最小角度为 ． 【答案】/度 【分析】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．根据同位角相等两直线平行可得当时，，进而算出答案． 【详解】解：∵当时， ∴旋转的最小角度为， 故答案为：． 12．如图，，若使，则可将直线绕点逆时针旋转 度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，根据邻补角，求出旋转前的度数，再根据时，，求出旋转的角度即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ， ∴将直线绕点逆时针旋转度，可以得到； 故答案为：17． 三、解答题 13．如图，点A，B，E在一条直线上．在空格上填写推理的依据． (1)（已知），∴（　　） (2)（已知），（　　）； (3)（已知），∴（　　） 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2)同位角相等，两直线平行 (3)同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键．根据平行线的判定可进行求解． 【详解】（1）解：（已知）， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行； （2）解：（已知）， （同位角相等，两直线平行）， 故答案为：同位角相等，两直线平行； （3）解：（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：同旁内角互补，两直线平行． 14．如图，．试说明：．请你完成下列推理过程（括号内写出理由）： 解：因为， 所以____________（____________）． 因为， 所以____________（____________）， 所以（____________）． 【答案】；；内错角相等，两直线平行；；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定、平行公理的推论．先根据可得，再根据可得，然后根据平行公理的推论即可得证． 【详解】解：因为， 所以（内错角相等，两直线平行）． 因为， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 15．如图，于点，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再由已知条件推出，据此可证明． 【详解】证明：， ， ， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$