专题2.1 正数与负数（高效培优讲义）数学苏科版2024七年级上册

专题2.1 正数与负数 教学目标 1.理解正数与负数的概念，学会书写正数与负数，并掌握两者之间的联系与区别。 2.掌握具有相反意义的量的基本概念，学会用数学语言表示相反意义的量。 3.掌握整数和分数的概念与区别。 4.掌握有理数的概念与分类。 教学重难点 1.重点 （1）正数、负数的定义； （2）相反意义的量； （3）整数和分数的定义。 （4）有理数的概念 2.难点 （1）有理数的分类； （2）正负数的实际应用问题； （3）正负数的规律排列探究问题。 知识点01 正数与负数 正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数. 【即学即练】 1．下列四个数中，是负数的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，据此即可解答． 【详解】解：∵ ∴是负数的是． 故选：A． 2．在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中实际含义．根据题目中的数据可以判断哪些数是负数，从而可以解答本题． 【详解】解：在，0，，，，中，负数有：，，，共3个， 故选：B． 3．负数的引入是数学思想史上一个重要突破．中国古代最早引进正负数的概念，《九章算术》中的“正负术”是数学史上最早的正负数加减运算法则．如果水位上升5米记作米，那么水位下降4米记作 米． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义；运用正负数去表示相反意义的量是解题关键． 【详解】解：∵水位上升5米记作米， ∴水位下降4米记作米， 故答案为：． 4．有一种计分方法：以分记为分，分记为分，小明同学得了分应记为 分． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的意义，根据正负数的意义解答即可求解，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵分记为分，分记为分， ∴小明同学得了分应记为分， 故答案为：． 知识点02 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 【即学即练】 5．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．若公元2025年记作年，则公元前1000年可记作（   ） A．1000年 B．年 C．1025年 D．年 【答案】B 【分析】本题考查正负数的应用，根据正负数可以表示具有相反意义的量求解即可． 【详解】解：∵公元2025年记作年， ∴公元前1000年可记作年， 故选：B． 6．《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思：有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数．下列可以用来表示一个问题中具有相反意义的量的是（   ） A．1和2 B．和 C．1和 D．0和1 【答案】C 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键．根据正负数表示具有相反意义的量，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、1和2都是正数，不能表示具有相反意义的量，不符合题意； B、和都是负数，不能表示具有相反意义的量，不符合题意； C、1是正数，是负数，能表示具有相反意义的量，符合题意； D、0既不是正数也不是负数，1是正数，不能表示具有相反意义的量，不符合题意； 故选：C． 7．我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量的运用，理解题意，掌握相反意义的量的运用是关键． 根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵水库的水位升高时，水位变化记作， ∴水库的水位下降时，水位变化记作， 故答案为：． 8．写出与下列各量具有相反意义的量： （1）零上；（2）盈利200元；（3）运进3吨； （4）支出1000元；（5）低于海平面155米； （6）股票上涨． 【答案】（1）零下；（2）亏损200元；（3）运出3吨；（4）收入1000元；（5）高于海平面155米；（6）股票下跌 【分析】此题考查了对正负数概念的理解，正数和负数是用来表示具有相反意义的量；依据正数和负数的认识，结合相反数意义的量找出与零上相反的量是零下，同理解答其他小题． 【详解】解：（1）零上，则相反意义的量为：零下； （2）盈利200元，则相反意义的量为：亏损200元； （3）运进3吨，则相反意义的量为：运出3吨； （4）支出1000元，则相反意义的量为：收入1000元； （5）低于海平面155米，则相反意义的量为：高于海平面155米； （6）股票上涨，则相反意义的量为：股票下跌． 知识点03 整数和分数 整数：正整数、负整数、零统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 易错点： 1.0不是分数，0是整数； 2.零和正整数又叫自然数； 3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（自然数），负整数和零统称为非负整数； 4.有限小数和无线循环小数都可以化成分数（见知识点五的拓展）. 【即学即练】 9．下列说法正确的是（　　） A．表示一个负数 B．正整数和负整数统称整数 C．表示一个奇数 D．非负数包括零和正数 【答案】D 【分析】根据正负数，整数，奇偶数，非负数的定义判断分析即可求解． 【详解】解：A、当a＜0时，﹣a＞0，故本选项错误； B、整数分正整数、负整数和0，故本选项错误； C、表示一个奇数，其中n是整数，故本选项错误； D、非负数包括零和正数，故本选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查正负数，整数，奇偶数，非负数的定义，解题的关键是熟练掌握并区分以上定义． 10．大于且不大于5的整数有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【分析】根据有理数大小的比较找到符合题意的所有整数即可得到结论． 【详解】解：大于-3且不大于5的整数有：-2，-1，0，1，2，3，4，5， 共有8个， 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的大小及整数的概念，特别注意不大于包括小于等于． 11．下列说法正确的是（   ） A．零是整数 B．零是正数 C．零是负数 D．无法确定 【答案】A 【分析】有理数是整数和分数的统称.分母是1的数是整数. 大于零的数是正数，小于零的数是负数.0既是整数也是自然数；0既不是正数，也不是负数. 【详解】∵0既不是正数也不是负数，且0是整数 ∴A选项正确， 故选A. 【点睛】此题考查有理数，解题关键在于掌握其定义. 12．下列说法正确的是（      ） A．是整数 B．自然数就是整数 C．是负数 D．零是最小的整数 【答案】A 【分析】根据有理数的性质来分别进行判断即可得出正确答案． 【详解】A、0是整数，故正确；B、自然数是非负整数，故错误；C、当a为负数时，则－a为正数，故错误；D、没有最小的整数，故错误；则本题选A． 【点睛】本题主要考查的是有理数的性质，属于基础题型．理解其性质是解决这个问题的关键所在． 知识点04 用正负数表示误差范围 一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围. 【即学即练】 13．【正、负数】一种袋装食品标准净重为，质监工作人员为了解该种食品每袋的净重与标准的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为（    ）g． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查正、负数的意义及应用．通过把多于标准质量的质量叫上偏差，低于标准质量的质量叫下偏差，上偏差、下偏差是两个具有相反意义的量，通常上偏差用“”表示，下偏差用“”表示，食品净重就是低于标准质量，即下偏差为，用“”表示． 【详解】解： 即低于标准，用负数表示为． 故选：D． 14．机床厂工人加工一种直径为的机器零件，要求误差不大于，质检员现抽取10个进行检测（超出部分记为正，不足部分记为负，单位：）得到数据如下： ，，，，，，，，，．其中不合格的零件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，找到数值大于的零件数即可得到答案． 【详解】解：∵要求误差不大于， ∴只有和误差大于， ∴不合格的零件有2个， 故选：B． 15．某种零件的合格标准是表示直径，单位：，表示直径是毫米，与表示与合格产品的误差，那么合格产品的最小直径是 最大直径是 ． 【答案】 【分析】本题考查正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可求解． 【详解】解：合格产品的最小直径是， 最大直径是． 故答案为：；． 16．一批螺帽产品的内径要求可以有±0.03mm的误差，现抽查5个样品，超过规定的毫米值记为正数，不足值记为负数，检查结果如下表． 1 2 3 4 5 ＋0.031 ＋0.017 ＋0.023 －0.021 －0.015 则合乎要求的产品数量为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据题目已知条件可得误差在±0.03mm都可以满足要求． 【详解】解：5个样品中，第一个样品0.031>0.03，故不符合要求， 其他四个都在±0.03mm范围内， 故选：C 【点睛】本题主要考查有理数中的误差问题，正确的掌握误差范围是解题的关键． 知识点05 有理数的概念 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：. （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：、等，混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．例如：，. 【即学即练】 17．在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案． 【详解】解；在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有，，0，，，共5个， 故选：C． 18．在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，整数和分数统称为有理数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．据此判断即可． 【详解】解：是有理数，有6个． 故选B． 19．成语“运筹帷幄”中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．如图所示：当表示一个多位数时，把各个数位的数从左到右排列，个位，百位，万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．用算筹表示的数为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的表示，根据题意可知，所求算筹表示的是一个四位数，千位数字是2，百位数字是0，十位数字是2，个数数字是4，据此可得答案． 【详解】 解：由题意得，算筹表示的数为：， 故答案为： 20．列出下列各数：，1.010010001，，0，，，．其中有理数的个数是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的定义是解题的关键，整数和分数统称为有理数．根据有理数的定义进行解答即可． 【详解】解：在，，，0，，，中，有理数有，，，0，，共5个， 故答案为：5． 知识点06 有理数的分类 由有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按定义分 2.按正负分 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 【即学即练】 21．现给出如下有理数：，0，，，5．其中负有理数的个数是（   ） A． B．个 C．个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，根据负有理数包括负整数和负分数，进行判断即可． 【详解】解：，0，，，5中，负有理数有，，，共3个； 故选B． 22．在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有 个． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分数的定义，负分数是小于0有限小数和无限循环小数的统称，据此可得答案． 【详解】解：在数；；；；；；；0；；中，属于负分数的，，，，，，， 共6个， 故答案为；6． 23．将下列各数填入相应的集合中． 正整数集合：{              …}； 分数集合：{                …}； 负有理数集合：{             …}． 【答案】正整数集合：； 分数集合：； 负有理数集合：； 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握相关的定义是解题的关键. 根据正整数，分数，负有理数的定义分类即可. 【详解】解： ，， 正整数集合：； 分数集合：； 负有理数集合：. 24．把下列各数的序号填入它所属的集合内：①5，②，③2023，④，⑤6.8，⑥0，⑦，⑧4.98，⑨． 分数集合｛ ···｝； 整数集合｛ ···}； 非负整数集合｛ ···}； 【答案】②⑤⑦⑧；①③⑥⑨；①③⑥ 【分析】本题考查了有理数的分类．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．根据有理数的分类求解即可． 【详解】解：分数集合， 整数集合， 非负整数集合， 故答案为：②⑤⑦⑧；①③⑥⑨；①③⑥． 题型01 正负数的定义 【典例1】在有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据小于零的数是负数，可得答案． 【详解】解：在有理数中，是负数的是-2，，-0.7， 故选：C． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是掌握小于零的数是负数． 【变式1】如果体重增加2kg记作+2kg，那么体重减少1.5kg记作（　　） A．0kg B．+1.5kg C．﹣1.5kg D．﹣1kg 【答案】C 【分析】增加和减少具有相反意义，根据正负数可以表示一对具有相反意义的量即可求解． 【详解】解：如果体重增加2kg记作+2kg，那么体重减少1.5kg应记作-1.5kg． 故选：C． 【点睛】本题考查了学生对正负数意义理解与掌握，用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 【变式2】在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 【答案】 5 2 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 根据正数与负数的定义，直接作答即可． 【详解】解：正数有35，，，，，共5个； 负数有，共2个． 故答案为：5：2． 【变式3】读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． ． 【答案】读法见解析，正数有：5，，；负数有：，，， 【分析】根据正负数的概念判定即可． 【详解】解：5读着正五或五，读着负七分之五，读着负三点五，读着正1又三分之一或1又三分之一，读着负零点零一，读着正二点五或二点五，读着负七佰； 正数有：5，，； 负数有：，，，． 【点睛】本题考查正负数及其读法，熟记正负数的概念是解题的关键． 掌握正负数的定义，最主要的是看最终的化简结果，不能一看到负号就觉得是负数； 题型02 相反意义的量 【典例1】如果以西安钟楼为中心，小李向东走，所在的位置记作，那么小红以西安钟楼为中心，向西走，所在的位置应记作（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数表示相反意义的量，熟练掌握用正负数表示具有相反意义的量这一概念是解题的关键．根据正负数表示相反意义的量这一知识点来求解．已知以西安钟楼为中心，规定向东走的距离用正数表示，那么向西走就与向东走是相反的方向，所以向西走的距离应用负数表示，据此可确定小红所在位置的记法． 【详解】解：表示以西安钟楼为中心向东走，规定向东为正方向，那么向西就为负方向，向西走应记作． 故选：D． 【变式1】我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则“”表示（    ） A．向北行走8步 B．向南行走8步 C．向东行走8步 D．向西行走8步 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵将向南行走10步记作“”， ∴“”表示向北行走8步． 故选：A 【变式2】一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数是一组相反意义的量即可求得答案，理解正数和负数是一组相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵食品净重记为， ∴食品净重就记为， 故答案为：． 【变式3】找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 【答案】具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧ 【分析】具有相反意义的量必须是同类量，且只具有相反意义，量不一定相同，所以要先看它们是否是同一类量，再看它们是否意义相反，据此进行逐个分析即可作答．本题考查了正负数的意义． 【详解】解：依题意，具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧． 题型03 正负数的实际应用 【典例1】乒乓球国际比赛用球直径标准为．质检员检测4个乒乓球的直径，超过标准的毫米数记为正数，不足标准的毫米数记为负数，则下列记录中所对应的乒乓球直径最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正负数的实际应用，去掉正负号，直接比较数值的大小，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴最接近标准的是； 故选B． 【变式1】世界上关于负数的最早应用出现在中国古代的《九章算术》中．《九章算术》中虽然使用了“正负术”一词，但并未给出负数的正式定义．刘徽在为《九章算术》作注时，才对负数的定义进行了明确的阐述．《九章算术》中有所记载，若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若益实用“”表示，那么损实就用“”表示，据此求解即可． 【详解】解：若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为斗， 故选：C． 【变式2】某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个零件质量的范围满足时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个数是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据题意，写出10个数据中的一等品，即可得出答案． 【详解】解：∵满足时，评定该零件为一等品， ∴抽取10个零件的一等品有9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，共计7个， 故答案为：7． 【变式3】某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 【答案】(1)见解析 (2)四月的营业状况最好，六月的营业状况最差 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数表示具有相反意义的两种量，再结合题意即可解答； （2）根据（1）中表格数据可得答案． 【详解】（1）解：用正负数表示百货商店的盈亏情况如下： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 （2）解：根据（1）中的百货商店的盈亏情况表可知，四月的营业状况最好，六月的营业状况最差． 题型04 正负数的多结论正误问题 【典例1】下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 【答案】C 【分析】本题考查正数与负数的定义，熟练掌握定义便不难解答． 根据大于0的数是正数，小于0的数是负数，对各选项分析判断后利用排除法求解. 【详解】A．正数是大于0的数，与带不带“”无关，故这种说法不正确； B．0既不是正数，也不是负数，故这种说法不正确； C． a是正数，那么表示a的相反数，一定是负数，正确； D．一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，故这种说法不正确． 故选：C 【变式1】某校规定本次七年级数学考试成绩比上一次增加为“”，下降为“”，嘉淇在这次数学考试中的成绩显示为“”，其表示的意义是（   ） A．比上一次增加了8分 B．上一次比这次高8分 C．比上一次降低了8分 D．以上说法都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的实际意义，具有相反意义的量的表示，牢牢掌握正负数表示一对相反意义的量是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，据此可得到答案． 【详解】解：嘉淇在这次数学考试中的成绩显示为“”，其表示的意义是比上一次增加了8分， 故选：A． 【变式2】规定10吨记为0吨，11吨记为吨，则下列说法错误的是（    ） A．7吨记为吨 B．15吨记为吨 C．6吨记为吨 D．吨表示重量为13吨 【答案】A 【分析】本题考查正负数的意义．根据超出为正，则不足为负，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、7吨记为吨，说法错误，符合题意； B、15吨记为吨，说法正确，不符合题意； C、6吨记为吨，说法正确，不符合题意； D、吨表示重量为13吨，说法正确，不符合题意； 故选A． 【变式3】下列说法正确的有（　　） ①加正号的数是正数，加负号的数是负数； ②任意一个正数，前面加上一个“”号，就是一个负数； ③大于零的数是正数； ④字母a既是正数，又是负数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据正负数的意义逐一判断即可． 【详解】解：加正号的数不一定是正数，如是负数，加负号的数不一定是负数，如是正数，故①错误； 任意一个正数，前面加上一个“”号，就是一个负数，故②正确； 大于零的数是正数，故③正确； 字母a既是正数，又是负数是错误的，如果a是正数，就一定不是负数，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了正负数的意义，解决本题的关键是掌握正负数的相关概念． 题型05 正负数的规律排列问题 【典例1】一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设向右为正，向左为负．根据正负数的意义列出式子计算即可． 【详解】解：设向右为正，向左为负．则 1+（-2）+3+（-4）+．+（-100）=[1+（-2）]+[3+（-4）]+．+[99+（-100）]=-50． ∴落点处离O点的距离是50个单位． 故答案为:B． 【点睛】此题主要考查正负数在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学． 【变式1】在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 列． 【答案】四 【分析】根据所给的排列规律，利用列表法，重新排列发现规律，据此可解决问题． 本题考查实数的排列规律，能发现每8个数一循环且每行4个数字是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 数字序号数 数字 列数 1 2 2 3 3 4 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 发现规律是：每8个数字一个循环，余数为1，在第二列；余数为2，在第三列；余数为3，在第四列；余数为4，在第五列；余数为5，在第四列；余数为6，在第三列；余数为7，在第二列；余数为0，在第一列； 又． 故在第四列． 故答案为：四． 【变式2】将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于中的什么位置？ 【答案】(1)在A处的数是正数 (2)负数排在B和D的位置 (3)第2024个数是正数，排在对应于A的位置 【解析】略 【变式3】如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：    (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 【答案】(1)在处的数是正数 (2)负数排在和的位置 (3)排在的位置 【分析】（1）由图可知，向下的箭头的上方的数为负数，下方的数为正数，向上的箭头的下方的数是负数，上方的数为正数，即可得出结论； （2）由（1）的规律即可得出结论； （3）由图可知，每4个为一组，利用，确定的位置即可； 【详解】（1）解：由图可知，向下的箭头的上方的数为负数，下方的数为正数，向上的箭头的下方的数是负数，上方的数为正数， ∴在处的数是正数； （2）由（1）中规律可知：负数排在和的位置； （3）因为，所以第2024个数是正数，排在的位置． 【点睛】本题考查有理数的规律探究，解题的关键是根据已知数据抽象概括出相应的数字规律． 题型06 有理数的概念 【典例1】下列各数：，0.121121112…，，，，，0，其中有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的概念，根据整数和分数统称为有理数，判定每个数是否是有理数即可． 【详解】解：有理数有，，，，0，共5个， 故选：C． 【变式1】下列各数（相邻两个2之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查有理数的定义，正确理解有理数的定义是解本题的关键．根据有理数的定义，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数． 【详解】解：是整数，是有理数； 是分数，是有理数； 是有限小数，是有理数； 是无限循环小数，是有理数； ，（相邻两个2之间的0的个数逐次增加）不是有理数； 即有理数的个数是4， 故选：B． 【变式2】下列各数：，，，，，，其中有理数有 个 【答案】5 【分析】本题主要考查了有理数的识别，有理数分为整数和分数，据此求解即可． 【详解】解：在，，，，，中有理数有，，，，，共5个， 故答案为：5． 【变式3】一个数的亿位上是最小的质数，十万位上是最大的一位数，万位上是最小的合数，百位上是最小的奇数，其余各位都是0，则这个数写作 ． 【答案】200940100 【分析】本题考查的是有理数，熟知最小的合数是4，最小的质数是2是解题的关键．根据最大的一位数是9，最小的奇数是1，最小的合数是4，最小的质数是2，其余各位都是0即可解答． 【详解】解：∵最小的质数是2，最大的一位数是9，千万位上是5，最小的合数是4，最小的奇数是1，其余各位都是0， ∴这个数是200940100． 故答案为：200940100． 题型07 0的意义 【典例1】下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， 故选：B． 【变式1】下列有关0的说法中，正确的是（    ） A．0是最小的非负整数 B．0是正数 C．0是最小的有理数 D．0是分数 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键；因此此题可根据0的特性及有理数的分类可进行排除选项． 【详解】A、0是最小的非负整数，说法正确； B、0既不是正数也不是负数，故原说法错误； C、0不是最小的有理数，故原说法错误； D、0既不是正数也不是负数，故原说法错误； 故选A． 【变式2】下列关于“0”的说法正确的有（  ） ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查0的意义，正确理解0的意义是解题的关键． 【详解】0是正数和负数的分界点，故①正确； 0既不是正数，也不是负数，故②错误，⑥正确； 0是自然数，故③正确； 存在既不是正数也不是负数的数，即0，故④错误； 0既是整数也是偶数，故⑤正确； 故选：C． 【变式3】下列关于零的说法中，正确的是 ①零是正数 ②零是负数 ③零既不是正数，也不是负数 ④零仅表示没有 【答案】③ 【分析】根据零既不是正数也不是负数以及不同情形下零表示的意义不同进行逐一判断即可． 【详解】解：①零不是正数，说法错误； ②零不是负数，说法错误； ③零既不是正数，也不是负数，说法正确； ④零不仅仅表示没有，不同情形下，零表示的意义不同，说法错误； 故答案为：③． 【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟知零表示的意义是解题的关键． 题型08 有理数的分类 【典例1】把下列各数分别填入相应的集合内． ，，，，，0． (1)正有理数集合：{                                } (2)负有理数集合：{                                } (3)整数集合：{                                } 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的分类，整数和分数统称为有理数，正数大于零，负数小于零，据此即可求解； 【详解】（1）解：正有理数集合：{} （2）解：负有理数集合：{} （3）解：整数集合：{ } 【变式1】把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，， 正有理数集合：｛                ……｝；整数集合：｛                 ……｝； 分数集合：｛                    ……｝；负有理数集合：｛               ……｝． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数可以分为整数和分数，也可以分为正有理数、0、负有理数‌，根据有理数的分类方法求解即可． 【详解】解：正有理数集合：｛，，......｝ 整数集合：｛，0，，......｝ 分数集合：｛， ，......｝ 负有理数集合：｛，，......｝ 【变式2】把下列各数填入到相应的括号内：，，，，，，． 负数：{ …}； 整数：{ …}； 正分数：{ …}； 有理数：{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 根据有理数的分类进行解答即可． 【详解】解：，，，，，，， 负数：{，，…}； 整数：{，，…}； 正分数：{，，…}； 有理数：{，，，，，，…}． 故答案为：，，； ，，； ，，； ，，，，，，． 【变式3】把下列各数填入相应的括号内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧， 正数：{                      }； 负数：{                      }； 整数：{                      }； 负分数：{                   }． 【答案】②④⑥⑦；①③⑤⑧；①②⑦⑧；③⑤ 【分析】本题主要考查有理数的分类，理解并掌握有理数的分类方法是解题的关键． 正数是大于0的数；负数是在正数前面加上负号“”的数；整数包括正整数，负整数；负分数是小于0的分数，由此即可求解． 【详解】解：正数：{ ②④⑥⑦ }； 负数：{ ①③⑤⑧ }； 整数：{①②⑦⑧ }； 负分数：{ ③⑤ }． 题型09 带“非”字的有理数 【典例1】下列有理数：，其中非负有理数有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类、非负有理数等知识点，掌握非负有理数是大于等于0的数成为解题的关键． 根据非有理数的定义逐个判断，然后再统计即可解答． 【详解】解：有理数，其中非负有理数有，共5个． 故选D． 【变式1】下列有理数中：，，，，10，，0，，非正数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类，根据非正数的定义找到符合题意的数，即可得出结果． 【详解】解：题中有理数非正数有：，，，0，，共5个数， 故选：C． 【变式2】把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥；则是非正整数 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查有理数的分类，根据非正整数，包括0和负整数，进行判断即可． 【详解】解：①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥，中，是非正整数的是和0， 故答案为：①③． 【变式3】把下列各数填入相应集合的括号内：． 整数集合：{                                     } 分数集合：{                                     } 非负数集合：{                                   } 【答案】；； 【分析】本题考查了有理数的分类，正数和0为非负数，根据有理数是分数和整数的统称，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据整数分为正整数，0和负整数，分数分为负分数和正分数，非负数是指正数和0，作答即可． 【详解】解：整数集合：； 分数集合：； 非负数集合：． 1、 选择题 1．中国是世界上最早使用负数的国家，若上升17米记作米，则米表示（　　） A．上升5米 B．下降5米 C．下降17米 D．上升17米 【答案】B 【分析】本题考查正数和负数，正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．理解具有相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：上升17米记作米，则米表示下降5米， 故选：B． 2．弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型．在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的应用．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正负数的应用，根据正负数是表示具有相反意义的量，结合题意求解即可． 【详解】解：若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作， 故选：A． 3．某蓄水池标准水位记为，如果表示高于标准水位，那么表示（　　） A．高于标准水位 B．低于标准水位 C．高于标准水位 D．低于标准水位 【答案】B 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题关键是熟练掌握“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，根据正数表示水面高于标准水位的高度，那么表示水面低于标准水位． 【详解】解：∵用正数表示水面高于标准水位的高度， ∴表示水面低于标准水位． 故选：B． 4．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 【答案】A 【分析】此题主要考查了正负数的意义，首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：根据题意，盈利500元记作元， ∴元表示亏损700元， 故选：A． 5．下列各数中：5，，0，0.56，﹣25，，π，+2，其中正数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据大于零的数是正数逐一进行判断即可得到答案. 【详解】下列各数5，，0，0.56，﹣25，，π，+2中正数有5，0.56，，π，+2， 共5个. 故选C. 【点睛】本题主要考查了正数的定义，即大于零的数是正数． 6．排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的标准质量为. 现随机选取8个排球进行质量检测，结果如下表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 275 263 278 270 261 277 282 269 则仅从质量的角度考虑，不符合要求的排球有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据标准质量为（270±10）g，得出小于260g以及大于280g的排球是不合格的，再进行判断即可． 【详解】解：因为排球的标准质量为（270±10）g，即260g≤排球的标准质量≤280g， 故第7个排球不符合要求， 故选：A． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．注意不是同一类别的量，不能看成是具有相反意义的量． 7．下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确； ③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确． 正确的有①③； 故选：C． 8．已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题，分三种情况讨论：①假设都是偶数或都是奇数，②假设其中有两个是偶数，一个是奇数，③假设有两个奇数，一个偶数，即可得出答案． 【详解】解：假设都是偶数或都是奇数，则和都是偶数，那么和都是整数， 假设其中有两个是偶数，一个是奇数，那么和有一个是整数， 假设有两个奇数，一个偶数，那么和有一个是整数， 综上所述：和必定有一个是整数， 故选：C． 二、填空题 9．2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上，记作，夜间平均温度是零下，应记作 ． 【答案】 【分析】本题考查利用正负数表示相反意义的量．据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负，即可求解． 【详解】解：平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作， 故答案为：． 10．下列各数，，，，，，中，负数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了正负数概念，根据负数的定义判断即可，熟知负数小于是解题的关键． 【详解】解：数，，，，，，中，负数有，，，共个， 故答案为：． 11．体育课上全班女生进行了50米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，其中“+”号表示成绩大于，“0”号表示成绩等于，“﹣”号表示成绩小于，该小组达标的女生共有 人． 【答案】6 【分析】本题主要考查了正数和负数，理解正负数的实际意义是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义即可解答． 【详解】解：由题意可得达标的有，共6人． 故答案为：6． 12．某次数学和测验，以90分为标准，老师公布成绩：小明+10分，小刚0分，小敏﹣2分，则小刚的实际得分是 ，小敏的实际得分是 ． 【答案】 90 88 【分析】根据正负数的意义作答. 【详解】以90分为标准，等于90记为0，大于90记为正数，小于90记为负数；90+0=90，所以小刚的实际得分为90；90-2=88，所以小敏的实际得分为88. 【点睛】本题要求学生能够分析题意并且对正负数概念灵活掌握. 13．如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系． 根据题干描述的算筹计数法计数即可． 【详解】 解：根据算筹计数法，“”所表示的数是， 故答案为：． 14．现在桌子上放着6枚一元硬币，全部正面朝上．做这样一个翻硬币游戏：每次翻转其中的4枚，最后把它们全部翻成反面朝上，则需要进行翻转的最少次数为 次． 【答案】3 【分析】本题考查了简单的枚举法，正负数的应用，根据朝上和朝下的两种状态对应正负号，尝试最少的次数满足题意是解题的关键． 用“正”表示正面朝上，用“反”表示正面朝下，找出最少翻转次数能使硬币正面全部朝下的情况即可 【详解】解：用“正”表示正面朝上，，用“反”表示正面朝下， 开始时∶正正正正正正 第一次∶反反反反正正 第二次∶反正正正反正 第三次∶反反反反反反， 至少翻转3次能使所有硬币都反面朝上， 故答案为∶3． 15．把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛ ｝…； 正整数集合：｛ ｝…； 分数集合：｛ ｝… 【答案】 【分析】本题考查了有理数定义及其分类，掌握有理数的相关定义成为解题的关键． 根据有理数的分类，逐一判断即可解答． 【详解】解：负数集合为：； 正整数集合为：； 分数集合为：； 故答案为：；；． 16．在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的分类，注意不要漏写或写错．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据实数的分类：实数是有理数和无理数的统称，整数包括正整数、0和负整数，有理数是正有理数、0和负有理数的统称，即可得出答案． 【详解】解：在（每两个1之间的个数逐次增加中， 正数有（每两个1之间的0个数逐次增加，有5个，则； 非负整数有0，21，有2个，则； 正分数有，有3个，则； 则． 故答案为：0． 三、解答题 17．找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 【答案】具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧ 【分析】具有相反意义的量必须是同类量，且只具有相反意义，量不一定相同，所以要先看它们是否是同一类量，再看它们是否意义相反，据此进行逐个分析即可作答．本题考查了正负数的意义． 【详解】解：依题意，具有相反意义的量分别为：①与⑨；②与⑥；③与⑩；④与⑦；⑤与⑧． 18．国庆节上午，出租车司机小王在东西走向的锦绣大道上拉客，如果规定向东为正，向西为负，那么： (1)向东行和向西行各怎么表示？ (2)，各表示什么意思？ 【答案】(1)向东行用表示，向西行用表示 (2)表示向东行，表示向西行 【分析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据规定向东为正，向西为负，即可求解； （2）根据规定向东为正，向西为负，即可求解． 【详解】（1）解：规定向东为正，向西为负，向东行用表示，向西行用表示， （2）解：表示向东行，表示向西行 19．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，检测结果显示有5袋的质量符合标准，1袋的质量比标准质量少5g，4袋的质量比标准质量少2g，3袋的质量比标准质量多1g，4袋的质量比标准质量多3g，3袋的质量比标准质量多6g．请你借助正数、负数，用列表的方式记录样品的检测情况． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相反意义的量，标准质量记为0，比标准质量多记为正数，比标准质量少记为负数，据此求解即可． 【详解】解：样品的检测情况记录表格如下： 与标准质量的差值（单位：g） 0 袋数 1 4 3 4 3 20．指出下列句子中带符号的数量的含义： (1)上个月市场上鲜菜价格增长了； (2)大熊猫繁育研究基地中某只大熊猫本月体重变化为； (3)据监测，我国沙化土地面积平均每年变化 【答案】(1)“”表示市场上鲜菜价格下降了 (2)“”表示大熊猫体重比上月增长了 (3)“”表示沙化土地面积平均每年缩减 【分析】本题考查了正负数的意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）“增长了”表示“下降了”，据此即可作答． （2）“体重变化为” 表示“体重比上月增长了”，据此即可作答． （3）“沙化土地面积平均每年变化” 表示“沙化土地面积平均每年缩减”，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，“”表示市场上鲜菜价格下降了； （2）解：依题意，“”表示大熊猫体重比上月增长了； （3）解：“”表示沙化土地面积平均每年缩减． 21．如图所示的是图纸上一个零件的标注（单位：）．    (1)零件合格的直径尺寸范围是多少? (2)若某零件的直径尺寸为，则这个产品合格吗? 【答案】(1)零件的直径 (2)不合格 【分析】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键． （1）根据题意即比标准直径多；即比标准直径少，即可得出合格范围； （2）判断是否在这个范围即可． 【详解】（1）解：因为， ， 所以零件的直径的合格范围是零件的直径； （2）解：因为不在该范围之内， 所以这个产品不合格． 22．某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 【答案】见详解 【分析】根据题意，可得合格范围，根据合格范围，可得答案． 本题主要考查了正数和负数的意义，理解正数和负数的意义是解题的关键． 【详解】解：表示比多，表示比少； 所以产品合格的容量为这个范围内， 所以抽查样品容量，，，，，只有不合格，其它的都合格． 23．某班8名同学的体重（单位：）分别为：．你能设定一个标准用正负数表示他们的体重吗？ 【答案】见解析 【分析】根据题目中的数据可以选取50作为标准体重，从而可以解答本题． 【详解】解： 如设定为标准体重，那么这8名同学的体重依次为（单位：）： ； ； ； ； ； ； ； ． 【点睛】本题考查了正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题中的实际意义． 24．[教材习题变式] 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：，，，，，，，，，，． 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 非负整数集合：{ }； 正分数集合：{ }； 有理数集合：{ }． 【答案】，，，，，，；，，；，，；，，，；，，，，，，，，， 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正数、负数、非负整数、正分数、有理数的定义解答即可求解，掌握有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：正数集合：{，，，，，，，}； 负数集合：{，，，}； 非负整数集合：{，，，}； 正分数集合：{，，，，}； 有理数集合：{，，，，，，，，，，}； 故答案为：，，，，，，；，，；，，；，，，；，，，，，，，，，． 25．（1）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量记作，那么表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么？ 【答案】（1）圈；（2）乒乓球的质量低于标准质量；（3）最多超出标准质量，最少少于标准质量 【分析】（1）根据正负数表示相反意义的两种量可知：逆时针记为正，则顺时针记为负，解答即可； （2）超出标准质量记为正，低于标准质量记为负，直接得出结论即可； （3）明确正和负表示的意义，根据题意作答即可． 【详解】解：（1）如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈， 则沿顺时针方向转了12圈记作圈； （2）超出标准质量记作， 则表示乒乓球的质量低于标准质量； （3）每袋大米的标准质量应为，但实际每袋大米可能有的误差，即最多超出标准质量，最少少于标准质量． 【点睛】此题主要考查了正负数的意义，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对相反意义的量，先规定其中一个为正，则另一个用负表示． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 正数与负数 教学目标 1.理解正数与负数的概念，学会书写正数与负数，并掌握两者之间的联系与区别。 2.掌握具有相反意义的量的基本概念，学会用数学语言表示相反意义的量。 3.掌握整数和分数的概念与区别。 4.掌握有理数的概念与分类。 教学重难点 1.重点 （1）正数、负数的定义； （2）相反意义的量； （3）整数和分数的定义。 （4）有理数的概念 2.难点 （1）有理数的分类； （2）正负数的实际应用问题； （3）正负数的规律排列探究问题。 知识点01 正数与负数正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的； 负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的； 0既不是正数，也不是负数. 1.一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略； 2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度； 3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数. 【即学即练】 1．下列四个数中，是负数的是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．负数的引入是数学思想史上一个重要突破．中国古代最早引进正负数的概念，《九章算术》中的“正负术”是数学史上最早的正负数加减运算法则．如果水位上升5米记作米，那么水位下降4米记作 米． 4．有一种计分方法：以分记为分，分记为分，小明同学得了分应记为 分． 知识点02 具有相反意义的量 1.具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量. （1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的； （2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量； （3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等； （4）常见的具有相反意义的量：以海平面为基准，高于海平面为正，则低于海平面为负；常见的还有前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等. 2.当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示. 【即学即练】 5．中国是世界上最早使用负数的国家，战国时期李悝所著的《法经》中已使用负数．若公元2025年记作年，则公元前1000年可记作（   ） A．1000年 B．年 C．1025年 D．年 6．《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思：有两数若其意义相反，则分别叫作正数和负数．下列可以用来表示一个问题中具有相反意义的量的是（   ） A．1和2 B．和 C．1和 D．0和1 7．我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 8．写出与下列各量具有相反意义的量： （1）零上；（2）盈利200元；（3）运进3吨； （4）支出1000元；（5）低于海平面155米； （6）股票上涨． 知识点03 整数和分数 整数：正整数、负整数、零统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 易错点： 1.0不是分数，0是整数； 2.零和正整数又叫自然数； 3.正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（自然数），负整数和零统称为非负整数； 4.有限小数和无线循环小数都可以化成分数（见知识点五的拓展）. 【即学即练】 9．下列说法正确的是（　　） A．表示一个负数 B．正整数和负整数统称整数 C．表示一个奇数 D．非负数包括零和正数 10．大于且不大于5的整数有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 11．下列说法正确的是（   ） A．零是整数 B．零是正数 C．零是负数 D．无法确定 12．下列说法正确的是（      ） A．是整数 B．自然数就是整数 C．是负数 D．零是最小的整数 知识点04 用正负数表示误差范围 一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围. 【即学即练】 13．【正、负数】一种袋装食品标准净重为，质监工作人员为了解该种食品每袋的净重与标准的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为（    ）g． A． B． C． D． 14．机床厂工人加工一种直径为的机器零件，要求误差不大于，质检员现抽取10个进行检测（超出部分记为正，不足部分记为负，单位：）得到数据如下： ，，，，，，，，，．其中不合格的零件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．某种零件的合格标准是表示直径，单位：，表示直径是毫米，与表示与合格产品的误差，那么合格产品的最小直径是 最大直径是 ． 16．一批螺帽产品的内径要求可以有±0.03mm的误差，现抽查5个样品，超过规定的毫米值记为正数，不足值记为负数，检查结果如下表． 1 2 3 4 5 ＋0.031 ＋0.017 ＋0.023 －0.021 －0.015 则合乎要求的产品数量为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点05 有理数的概念 我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数. 1.有理数只包括整数和分数； 2.有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数； 3.无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，等. 拓展：循环小数化成分数如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节． 循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数. （1）纯循环小数化分数 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、等，纯循环小数化为分数的方法是：分子是由一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如：. （2）混循环小数化分数 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：、等，混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．例如：，. 【即学即练】 17．在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 18．在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 19．成语“运筹帷幄”中“筹”的原意是指《孙子算经》中记载的“算筹”．如图所示：当表示一个多位数时，把各个数位的数从左到右排列，个位，百位，万位数用纵式表示；十位，千位，十万位数用横式表示；“0”用空位来代替，以此类推．用算筹表示的数为： ． 20．列出下列各数：，1.010010001，，0，，，．其中有理数的个数是 ． 知识点06 有理数的分类 由有理数的特征，一般会有以下两种分法. 1.按定义分 2.按正负分 补充：有理数的分类原则 1 标准要统一，必须按同一分类标准进行分类，如将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准就不统一； 2 分类不重合，所分的各类应互不包含，如有理数分为非负有理数、0和正有理数就违反了这一原则； 3 分类无遗漏，所分各类之“和”必须是原来的全部，如将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了0. 【即学即练】 21．现给出如下有理数：，0，，，5．其中负有理数的个数是（   ） A． B．个 C．个 D．1个 22．在以下各数中：；；；；；；；0；；．属于负分数的有 个． 23．将下列各数填入相应的集合中． 正整数集合：{              …}； 分数集合：{                …}； 负有理数集合：{             …}． 24．把下列各数的序号填入它所属的集合内：①5，②，③2023，④，⑤6.8，⑥0，⑦，⑧4.98，⑨． 分数集合｛ ···｝； 整数集合｛ ···}； 非负整数集合｛ ···}； 题型01 正负数的定义 【典例1】在有理数中，负数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】如果体重增加2kg记作+2kg，那么体重减少1.5kg记作（　　） A．0kg B．+1.5kg C．﹣1.5kg D．﹣1kg 【变式2】在“，35，，，，0，，”这8个数中，正数有 个，负数有 个． 【变式3】读一读下列各数，并指出哪些是正数，哪些是负数． ． 掌握正负数的定义，最主要的是看最终的化简结果，不能一看到负号就觉得是负数； 题型02 相反意义的量【典例1】如果以西安钟楼为中心，小李向东走，所在的位置记作，那么小红以西安钟楼为中心，向西走，所在的位置应记作（   ） A． B． C． D． 【变式1】我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将向南行走10步记作“”，则“”表示（    ） A．向北行走8步 B．向南行走8步 C．向东行走8步 D．向西行走8步 【变式2】一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 【变式3】找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 题型03 正负数的实际应用 【典例1】乒乓球国际比赛用球直径标准为．质检员检测4个乒乓球的直径，超过标准的毫米数记为正数，不足标准的毫米数记为负数，则下列记录中所对应的乒乓球直径最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】世界上关于负数的最早应用出现在中国古代的《九章算术》中．《九章算术》中虽然使用了“正负术”一词，但并未给出负数的正式定义．刘徽在为《九章算术》作注时，才对负数的定义进行了明确的阐述．《九章算术》中有所记载，若在粮谷计算中，益实三斗（增加3斗）记为斗，那么损实十斗（减少10斗）记为（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【变式2】某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个零件质量的范围满足时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个数是 ． 【变式3】某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 题型04 正负数的多结论正误问题 【典例1】下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 【变式1】某校规定本次七年级数学考试成绩比上一次增加为“”，下降为“”，嘉淇在这次数学考试中的成绩显示为“”，其表示的意义是（   ） A．比上一次增加了8分 B．上一次比这次高8分 C．比上一次降低了8分 D．以上说法都不正确 【变式2】规定10吨记为0吨，11吨记为吨，则下列说法错误的是（    ） A．7吨记为吨 B．15吨记为吨 C．6吨记为吨 D．吨表示重量为13吨 【变式3】下列说法正确的有（　　） ①加正号的数是正数，加负号的数是负数； ②任意一个正数，前面加上一个“”号，就是一个负数； ③大于零的数是正数； ④字母a既是正数，又是负数． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型05 正负数的规律排列问题 【典例1】一跳蚤在一直线上从点开始，第次向右跳个单位，紧接着第2次向左跳个单位，第次向右跳个单位，第次向左跳个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，落点处离点的距离是（    ）个单位. A． B． C． D． 【变式1】在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 列． 【变式2】将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题： (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于中的什么位置？ 【变式3】如图，将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：    (1)在A处的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ (3)第2024个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的什么位置？ 题型06 有理数的概念 【典例1】下列各数：，0.121121112…，，，，，0，其中有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1】下列各数（相邻两个2之间的0的个数逐次增加），其中有理数的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】下列各数：，，，，，，其中有理数有 个 【变式3】一个数的亿位上是最小的质数，十万位上是最大的一位数，万位上是最小的合数，百位上是最小的奇数，其余各位都是0，则这个数写作 ． 题型07 0的意义 【典例1】下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】下列有关0的说法中，正确的是（    ） A．0是最小的非负整数 B．0是正数 C．0是最小的有理数 D．0是分数 【变式2】下列关于“0”的说法正确的有（  ） ①0是正数和负数的分界点；②0是正数；③0是自然数；④不存在既不是正数也不是负数的数；⑤0既是整数也是偶数；⑥0不是负数． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】下列关于零的说法中，正确的是 ①零是正数 ②零是负数 ③零既不是正数，也不是负数 ④零仅表示没有 题型08 有理数的分类 【典例1】把下列各数分别填入相应的集合内． ，，，，，0． (1)正有理数集合：{                                } (2)负有理数集合：{                                } (3)整数集合：{                                } 【变式1】把下列各数填入相应的集合内： ，，，，，，， 正有理数集合：｛                ……｝；整数集合：｛                 ……｝； 分数集合：｛                    ……｝；负有理数集合：｛               ……｝． 【变式2】把下列各数填入到相应的括号内：，，，，，，． 负数：{ …}； 整数：{ …}； 正分数：{ …}； 有理数：{ …}． 【变式3】把下列各数填入相应的括号内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧， 正数：{                      }； 负数：{                      }； 整数：{                      }； 负分数：{                   }． 题型09 带“非”字的有理数 【典例1】下列有理数：，其中非负有理数有（   ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】下列有理数中：，，，，10，，0，，非正数的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式2】把下列各数的序号分别填入相应的位置． ①，②，③0，④，⑤0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0），⑥；则是非正整数 ． 【变式3】把下列各数填入相应集合的括号内：． 整数集合：{                                     } 分数集合：{                                     } 非负数集合：{                                   } 1、 选择题 1．中国是世界上最早使用负数的国家，若上升17米记作米，则米表示（　　） A．上升5米 B．下降5米 C．下降17米 D．上升17米 2．弹簧与单摆都是物理学中一个极具启发性的基础模型．在实际生活中，弹簧振子广泛应用于各种减震和避震系统，在车船、机床、建筑、民生乃至航天工业中都有重要的应用．如图是弹簧振子在工作时的状态，若弹簧振子从自然状态向右拉伸，记作，则弹簧振子从自然状态向左压缩，记作（    ） A． B． C． D． 3．某蓄水池标准水位记为，如果表示高于标准水位，那么表示（　　） A．高于标准水位 B．低于标准水位 C．高于标准水位 D．低于标准水位 4．《九章算术》是《算经十书》中最重要的一部，成书于公元一世纪左右．全书共分为九章，总结了战国和秦汉时期的数学成就，内容十分丰富．在“方程”一章中，首次正式引入了负数的概念．如果将盈利500元记作元，那么元表示（    ） A．亏损700元 B．支出700元 C．亏损元 D．支出元 5．下列各数中：5，，0，0.56，﹣25，，π，+2，其中正数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 6．排球的国际标准指标中有一项是排球的质量，规定排球的标准质量为. 现随机选取8个排球进行质量检测，结果如下表所示： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 质量 275 263 278 270 261 277 282 269 则仅从质量的角度考虑，不符合要求的排球有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 二、填空题 9．2024年5月3日，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度是零上，记作，夜间平均温度是零下，应记作 ． 10．下列各数，，，，，，中，负数有 个． 11．体育课上全班女生进行了50米测试，达标成绩为，下面是某小组8名女生的成绩记录：，其中“+”号表示成绩大于，“0”号表示成绩等于，“﹣”号表示成绩小于，该小组达标的女生共有 人． 12．某次数学和测验，以90分为标准，老师公布成绩：小明+10分，小刚0分，小敏﹣2分，则小刚的实际得分是 ，小敏的实际得分是 ． 13．如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ． 14．现在桌子上放着6枚一元硬币，全部正面朝上．做这样一个翻硬币游戏：每次翻转其中的4枚，最后把它们全部翻成反面朝上，则需要进行翻转的最少次数为 次． 15．把下列各数分别填入相应的集合：， 负数集合：｛ ｝…； 正整数集合：｛ ｝…； 分数集合：｛ ｝… 16．在…（每两个1之间0的个数逐次增加1）中正数有m个，非负整数有n个，正分数有k个，则 ． 三、解答题 17．找出下列各组相反意义的量：①向南走20米；②进球8个；③高于海平面500米；④盈利2000元；⑤运出粮食330吨；⑥失球3个；⑦亏损286元；⑧运进粮食520吨；⑨向北走30米；⑩低于海平面46米． 18．国庆节上午，出租车司机小王在东西走向的锦绣大道上拉客，如果规定向东为正，向西为负，那么： (1)向东行和向西行各怎么表示？ (2)，各表示什么意思？ 19．某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品20袋，检测每袋的质量是否符合标准，检测结果显示有5袋的质量符合标准，1袋的质量比标准质量少5g，4袋的质量比标准质量少2g，3袋的质量比标准质量多1g，4袋的质量比标准质量多3g，3袋的质量比标准质量多6g．请你借助正数、负数，用列表的方式记录样品的检测情况． 20．指出下列句子中带符号的数量的含义： (1)上个月市场上鲜菜价格增长了； (2)大熊猫繁育研究基地中某只大熊猫本月体重变化为； (3)据监测，我国沙化土地面积平均每年变化 21．如图所示的是图纸上一个零件的标注（单位：）．    (1)零件合格的直径尺寸范围是多少? (2)若某零件的直径尺寸为，则这个产品合格吗? 22．某饮料公司生产的一种瓶装饮料，外包装上印有“”的字样，那么“”是什么含义？质检局对该产品抽查了5瓶，容量分别为，，，，，抽查的产品容量是否合格？ 23．某班8名同学的体重（单位：）分别为：．你能设定一个标准用正负数表示他们的体重吗？ 24．[教材习题变式] 把下列各数填入表示它所在的数集的大括号里：，，，，，，，，，，． 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 非负整数集合：{ }； 正分数集合：{ }； 有理数集合：{ }． 25．（1）某人转动转盘，如果用圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量记作，那么表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着“净含量：”，这里的“”表示什么？ 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$