专题2.1 分式（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题2.1 分式 教学目标 1.了解分式的概念； 2.理解分式有意义、无意义的条件及分式值为零的条件； 3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式值为零的条件. 4.理解并掌握分式的基本性质； 5.理解约分和最简分式的意义，能够运用分式的基本性质对分式进行变形. 教学重难点 1.重点 （1）理解分式有意义、无意义的条件及分式值为零的条件； （2）理解并掌握分式的基本性质。 2.难点 （1）能熟练地求出分式有意义的条件及分式值为零的条件； （2）会运用分式的基本性质进行分式的约分和化简。 知识点01 分式的定义及有无意义 1.分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示 ，并且 ，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的 ． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2.分式有无意义的条件 （1）分式有意义的条件是 ． （2）分式无意义的条件是 ． （3）分式的值为正数的条件是 ． （4）分式的值为负数的条件是 ． 【即学即练】 1．代数式，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．要使分式有意义，则的取值应满足（　　） A． B． C． D．为任意实数 3．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 知识点02 分式的值为零的条件 分式值为零的条件是 ． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【即学即练】 1．若分式的值为0，则的值为 ． 2．若分式的值是零，则的值为 ． 3．分式的值为0，则 ． 知识点03 分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母 ，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． （2）约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． （3）最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【即学即练】 1．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 3．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型01 分式的判断 【典例1】在，π，，，，中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】下列各式中：，，，，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【变式2】代数式，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 分式有无意义的条件 【典例1】若分式有意义，则的取值范围是 ． 【变式1】若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式2】若分式无意义，则x的值为 ． 【变式3】当 时，分式有意义；当 时，分式无意义． 题型03 分式的值为零 【典例1】若分式的值为0，则的值为 ． 【变式1】若分式的值为，则的值为 ． 【变式2】分式的值为0，则的值为 ． 【变式3】若分式的值为0，则的值为 ． 题型04 判断分式变形是否正确 【典例1】下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】对下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 题型05 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例1】对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 【变式1】若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【变式2】若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．缩小4倍 【变式3】把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（  ） A．不变 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 题型06 最简分式的判断 【典例1】下列各式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型07 约分 【典例1】约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1】约分： (1)； (2)． 【变式2】约分： (1)； (2)； (3)． 【变式3】约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型08 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【典例1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【变式1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【变式2】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 【变式3】不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（    ） A． B． C． D． 题型09 将分式的分子分母各项系数化为整数 【典例1】不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【变式2】不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【变式3】不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 题型10 求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例1】若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【变式1】若分式的值为整数，则非负整数的值为 ． 【变式2】若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【变式3】使得为整数的自然数的个数为 个． 1．若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．把分式中的x、y都扩大到原来的4倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的8倍 B．扩大到原来的4倍 C．缩小到原来的 D．不变 5．若分式的值为0，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 6．在代数式中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．化简： ． 8．若分式无意义，则的值为 ． 9．下列各式：、、、中，分式共有 个． 10．将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 11．已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ． 12．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 13．下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 14．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（1）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数． ①    ② （2）约分： ①    ② 16．已知分式． (1)当x取何值时，分式有意义？ (2)填表： x 1 2 3 (3)随着x的值的变化，的值是如何变化的？ x 1 2 3 6 3 2 17．已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 18．已知（，是常数，）．① (1)若，，求； (2)试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式； (3)若的取值与无关，试求与的数量关系． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 分式 教学目标 1.了解分式的概念； 2.理解分式有意义、无意义的条件及分式值为零的条件； 3.能熟练地求出分式有意义的条件及分式值为零的条件. 4.理解并掌握分式的基本性质； 5.理解约分和最简分式的意义，能够运用分式的基本性质对分式进行变形. 教学重难点 1.重点 （1）理解分式有意义、无意义的条件及分式值为零的条件； （2）理解并掌握分式的基本性质。 2.难点 （1）能熟练地求出分式有意义的条件及分式值为零的条件； （2）会运用分式的基本性质进行分式的约分和化简。 知识点01 分式的定义及有无意义 1.分式的定义 （1）分式的概念：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． （2）因为0不能做除数，所以分式的分母不能为0． （3）分式是两个整式相除的商，分子就是被除式，分母就是除式，而分数线可以理解为除号，还兼有括号的作用． （4）分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母，亦即从形式上看是的形式，从本质上看分母必须含有字母，同时，分母不等于零，且只看初始状态，不要化简． 2.分式有无意义的条件 （1）分式有意义的条件是分母不等于零． （2）分式无意义的条件是分母等于零． （3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号． （4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 【即学即练】 1．代数式，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查了分式的识别，若为两个整式，且中含有字母，那么就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：代数式，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 2．要使分式有意义，则的取值应满足（　　） A． B． C． D．为任意实数 【答案】C 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．根据分式有意义的条件即可求解． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 故选：C． 3．若代数式有意义，则的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】B 【知识点】分式有意义的条件 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零，进行求解即可，解题的关键是根据分式有意义的条件列出不等式并正确求解．． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴ ∴且， 故选：． 知识点02 分式的值为零的条件 分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 【即学即练】 1．若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题主要查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为分式的分子等于零，且分母不等于零是解题的关键． 根据分式的值为零的条件解答，即可求解． 【详解】解：根据题意得：且， 解得：． 故答案为： 2．若分式的值是零，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查分式的值为零的条件．根据“分式的值为零，需同时具备两个条件分子为0，分母不为0”列式计算即可求解． 【详解】解：因为分式的值为零， 所以，， 解得：． 故答案为：． 3．分式的值为0，则 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查了分式的值，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得， 故答案为：． 知识点03 分式的基本性质 （1）分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． （2）分式中的符号法则： 分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变． （2）约分 （1）约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． （2）确定公因式要分为系数、字母、字母的指数来分别确定． ①分式约分的结果可能是最简分式，也可能是整式． ②当分子与分母含有负号时，一般把负号提到分式本身的前面． ③约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解因式． （3）规律方法总结：由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． （3）最简分式 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【即学即练】 1．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意；    C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 2．将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质．把分式中的、分别用、代替，求出所得分式与原分式相比较即可． 【详解】解：由题意得：， 即扩大为原来的2倍， 故选：A． 3．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】约分 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （2）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （3）先提取公因式，再约分即可得到答案； （4）先提取公因式，再约分即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型01 分式的判断 【典例1】在，π，，，，中，分式有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有字母．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，找到分母中含有字母的式子的个数即可． 【详解】解：在，π，，，，中，式子，，中都含有字母是分式，共有3个分式． 故选：B． 【变式1】下列各式中：，，，，分式的个数为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查了分式的定义，观察分母，看是否有字母，有字母则是分式，没有字母则不是分式，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：和是分式，共2个， 故选：D． 【变式2】代数式，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查了分式的识别，若为两个整式，且中含有字母，那么就叫做分式，据此求解即可． 【详解】解：代数式，，，中，分式有，，共2个， 故选：B． 【变式3】在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】分式的判断 【分析】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式． 故选：B． 题型02 分式有无意义的条件 【典例1】若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是正确理解分式有意义的条件． 根据分母不为零即可求出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴ ∴． 故答案为：． 【变式1】若代数式有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不为零；据此得，即可求解． 【详解】解：由于代数式有意义，则， 得：； 故答案为：． 【变式2】若分式无意义，则x的值为 ． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】当 时，分式有意义；当 时，分式无意义． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、分式无意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零． 根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解；分式无意义分母等于0列方程求解． 【详解】解：当，即时，分式有意义； 当，即时，分式无意义； 故答案为：，． 题型03 分式的值为零 【典例1】若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】1 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查的是分式的值为0的条件，根据题意可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故答案为： 【变式1】若分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查的是分式的值为零的条件，根据分式值为零的条件即可得到答案， 掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键． 【详解】解：依题意， ∴ 故答案为：． 【变式2】分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，准确理解题意是正确解答此题的关键． 根据分式的意义和性质，由分式值为0的条件知，分式，当时的值为0，若分式的值为0，需要且即可求解． 【详解】解：若分式的值为0，得且， 故， 故答案为：． 【变式3】若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件是分子为零，分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得， 故答案为：． 题型04 判断分式变形是否正确 【典例1】下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，变形错误，不符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意； 故选D． 【变式1】若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握性质的本质是解题的关键．根据分式的基本性质“分式的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分式的值不变”求解即可． 【详解】解：A. ，分子、分母同时加2，分式值不一定不变，本选项不符合题意； B. ，分子、分母同时加，分式值不一定不变，本选项不符合题意； C. ，分子、分母同时除以2，分式值不变，本选项符合题意； D. ，分子、分母同时开方，分式值不一定不变，本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是分子分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变成为解题的关键． 根据分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A．分式的基本性质是分子分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变．中，分子分母并非同时进行相同的乘除运算得到，故该选项不符合题意； B．分子分母同时除以2，分子应为，而不是，故该选项不符合题意； C．分子分母同时平方得到，需满足时才成立，一般情况下不成立，故该选项不符合题意； D．对变形，，则，因为作为分母不为0，分子分母同时约去，结果为，故该选项符合题意． 故选D． 【变式3】对下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式性质：分子和分母同时除以或乘上同一个数（不为0），分式的值不变，据此逐项分析，即可作答． 【详解】A. ，不正确； B. ，不正确； C. ，不正确； D. ，正确． 故选：D． 题型05 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例1】对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 【答案】B 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟知分式的基本性质是关键； 根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：， 分式的值扩大到原来的2倍； 故选B． 【变式1】若将分式中的m和n都变为原来的2倍，则分式的值（    ）． A．变为原来的2倍 B．变为原来的4倍 C．变为原来的 D．不变 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，将m和n替换为和，重新计算分式的值，比较即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故分式的值变为原来的2倍， 故选：A． 【变式2】若把分式中和的值都扩大2倍，那么分式的值（　　） A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．不变 D．缩小4倍 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把原分式中的分别用替换，再约分化简即可得到答案． 【详解】解：把分式中和的值都扩大2倍后变形为， ∴分式的值不变， 故选：C． 【变式3】把分式的分子分母中的都扩大为原来的2倍，则分式的值（  ） A．不变 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的2倍 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质；把分式中的分别用代替，再利用分式的基本性质化简即可判断． 【详解】解：， 即分式的值扩大为原来的 2 倍； 故选：D． 题型06 最简分式的判断 【典例1】下列各式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】最简分式 【分析】本题考查最简分式的定义，解题的关键是判断分子分母是否有公因式．根据最简分式的定义即可判断． 【详解】解：A. 是最简公式，故此选项符合题意； B. 还有公因式，故此选项不符合题意； C. 还有公因式，故此选项不符合题意； D. 还有公因式，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式1】下列分式为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简分式、约分 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐项分析即可判断． 【详解】解：A、，故此选项不是最简分式，不符合题意； B、，故此选项不是最简分式，不符合题意； C、是最简分式，符合题意； D、，故此选项不是最简分式，不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简分式 【分析】本题考查最简分式，根据分式的分子和分母不含公因式，这样的分式叫做最简分式，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，是最简分式，符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、，不是最简分式，不符合题意； 故选B． 【变式3】分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义分析即可． 【详解】解：，，故不是最简分式，不符合题意； ，是最简分式，符合题意； 故选C． 题型07 约分 【典例1】约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】完全平方公式分解因式、约分 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确找到分子和分母的公因式是解题的关键． （1）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （2）分子分母同时约去公因式即可得到答案； （3）先提取公因式，再约分即可得到答案； （4）分子和分母分别利用提取公因式法和完全平方公式法分解因式，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】约分 【分析】此题考查了分式的约分，根据分式的基本性质进行约分即可． （1）找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）把分母和分子因式分解，找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质约分即可； 【详解】（1）解：； （2）． 【变式2】约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)1 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、最简分式、约分 【分析】本题考查分式的基本性质，因式分解，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据分式的基本性质约分求解即可． （2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质约分求解即可． （3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质约分求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ． 【变式3】约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】约分 【分析】本题主要考查了约分，正确将原式分解因式找出公因式是解题关键． （1）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （2）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （3）直接将分子与分母上的公因式约掉得出答案； （4）首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型08 将分式的分子分母的最高次项化为正数 【典例1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 【变式1】不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得： ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 【变式2】不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数． 【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==． 故选D． 【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号． 【变式3】不改变分式的值，使的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】将分式的分子分母的最高次项化为正数 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故选D. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 题型09 将分式的分子分母各项系数化为整数 【典例1】不改变分式的值，把的分子、分母中含x项的系数化为整数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查的是分式的基本性质的应用，把分子分母扩大100倍即可. 【详解】解：． 故选：C 【变式1】不改变分式的值，将分式中分子、分母的系数都化为整数，其结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的值不变． 利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解： ． 故选：A． 【变式2】不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，解答此题的关键是要明确：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，把分式的分子、分母同时乘5，判断出所得结果为多少即可． 【详解】解：， 故选：A． 【变式3】不改变分式的值，将分式中各项系数均化为整数，结果为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的性质，掌握其性质是解题的关键． 根据分式的分子、分母同时扩大或缩小相同的倍数，分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B ． 题型10 求使分式值为整数时未知数的整数值 【典例1】若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 【变式1】若分式的值为整数，则非负整数的值为 ． 【答案】或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查分式的求值问题，由分式的值为整数，可得可以为、、、，据此可以得到答案．要注意分类讨论的思想以及分子分母之间的倍数关系，认真审题，抓住关键的字眼是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为整数， ∴可以为、、、， ∴可以为、、、， ∴非负整数的值为或或． 故答案为：或或． 【变式2】若为正整数，且也为正整数，则的值为 ． 【答案】或/6或2 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质化简是解题的关键． 根据题意，将分式化简为，结合正整数的定义进行判定，代入求值即可． 【详解】解：，该分式为正整数，也为正整数，且， ∴当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，原式为正整数，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，的值为或， 故答案为：或 ． 【变式3】使得为整数的自然数的个数为 个． 【答案】6 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，将分式变形为，即可得出，再根据的值为整数且x为自然数计算即可． 【详解】解： ， ∵分式的值为整数且x为自然数， ∴或2或3或4或6或12， ∴或1或2或3或5或11， 共6个， 故答案为：6． 1．若分式有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不能为0得到，进而求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得， 故选：D． 2．下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】最简分式 【分析】本题考查了最简分式的定义，将分式的分子、分母进行因式分解，根据最简分式的定义逐一判断，即可求解；理解“分子分母不含有除1以外的公因式的分式叫最简分式”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A. ，分子分母含有公因式2，不是最简分式，故不符合题意； B. ，分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； C. 分子分母含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； D. 是最简分式，故符合题意； 故选：D． 3．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意； B、，原运算错误，不符合题意； C、，原运算正确，符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选C． 4．把分式中的x、y都扩大到原来的4倍，则分式的值（    ） A．扩大到原来的8倍 B．扩大到原来的4倍 C．缩小到原来的 D．不变 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，把原分式中的x、y都扩大到原来的4倍后，再约分化简即可得解，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴把分式中的x、y都扩大到原来的4倍，则分式的值不变， 故选：D． 5．若分式的值为0，则的值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式为零的条件为且求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得， 故选：B． 6．在代数式中，分式的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】分式的判断 【分析】此题主要考查了分式的概念与识别，关键看式子的分母中是否含有字母；根据分式的概念，看所给的式子是否在分母中含有字母，即可到的分式的个数． 【详解】解：，是分式，，是整式． 分式的个数为2个． 故选：A． 7．化简： ． 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、约分 【分析】本题考查了分式的化简，先对分子分母因式分解，再约分即可，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 8．若分式无意义，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】分式无意义的条件 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，分式分母为0时分式无意义是解题关键．直接利用分式无意义的条件分析得出答案． 【详解】解：∵分式无意义， ∴，解得． 故答案为：2． 9．下列各式：、、、中，分式共有 个． 【答案】2 【知识点】分式的判断 【分析】本题考查的是分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键．根据分式的定义进行解答即可，即分母中含有字母的式子叫分式． 【详解】解：在、、、中，、中的分母含有字母，是分式，共2个， 故答案为：2． 10．将分式的分子、分母中各项系数都化为整数，且分式的值不变，则变形后的分式为 ． 【答案】 【知识点】将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的性质，解题关键是掌握分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数或者整式，分式的值不变． 分式的分子分母都乘以10，可得答案． 【详解】解：． 故答案为：． 11．已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零，则的值为 ． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、分式值为零的条件、分式无意义的条件 【分析】本题考查分式有意义和分式的值为零的条件，熟练掌握是解题的关键． 根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得，从而得到a，b的值，代入即可得到答案． 【详解】解：∵分式，当时，分式没有意义， ∴， ∴； ∵当时，分式的值为零， ∴， ∴， ∴． 12．若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 13．下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键． （1）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可 （2）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可； （3）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可； （4）根据分式有意义的条件是分母不为0列式求解即可． 【详解】（1）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （2）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （3）解：∵分式有意义， ∴， ∴； （4）解：∵分式有意义， ∴， ∴． 14．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、约分 【分析】本题考查分式化简，涉及因式分解、约分等知识，熟练掌握分式运算法则是解决问题的关键． （1）直接约分即可得到答案； （2）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案； （3）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案； （4）先将分式的分子、分母因式分解后约分即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 15．（1）不改变分式的值，将下列分式中分子与分母的各项系数都化为整数． ①    ② （2）约分： ①    ② 【答案】①； ②；（2）①；  ② 【知识点】约分、将分式的分子分母各项系数化为整数 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟知分子分母同时扩大（或缩小）相同的倍数，分式的值不变，是解本题的关键． （1）①根据分式的基本性质将分子分母同时乘以10即可；根据分式的基本性质将分子分母同时乘以2即可． （2）①约去分子分母的公因式即可；②约去分子分母的公因式即可. 【详解】解：（1）①； ②； （2）①； ②. 16．已知分式． (1)当x取何值时，分式有意义？ (2)填表： x 1 2 3 (3)随着x的值的变化，的值是如何变化的？ 【答案】(1) (2)，6，3，2 (3)当时，的值随x增大而减小，当时，的值随x增大而减小 【知识点】分式有意义的条件、分式的求值 【分析】此题考查了分式有意义的条件，分式的求值，解题的关键是掌握以上知识点． （1）依据分式有意义的条件，即分式的分母不等于零，即可得出结论； （2）代数求解即可； （3）根据表格中的数据求解即可． 【详解】（1）∵分式 ∴当时，分式有意义； （2） x 1 2 3 6 3 2 （3）由表格可得， 当时，的值随x增大而减小，当时，的值随x增大而减小． 17．已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、最简分式 【分析】本题主要考查了分解因式，化简分式： （1）提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）分选择A、B，选择A、C，选择B、C三种情况，把选择的两个式子分别作为分子和分母组成分式，再化简分式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：选择A、B，则所得分式为或； 选择A、C，则所得分式为或； 选择B、C，则所得分式为或． 18．已知（，是常数，）．① (1)若，，求； (2)试将等式变形成“”形式，其中，表示关于，，的整式； (3)若的取值与无关，试求与的数量关系． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】约分、等式的性质1、等式的性质2 【分析】本题主要考查了约分，等式的性质，正确理解题意是解题的关键。 （1）把，代入中并约分即可得到答案； （2）根据等式的性质，依次进行去分母、去括号、移项、合并同类项即可； （3）由的取值与无关，可得，进而得到，即，得出结论． 【详解】（1）解：当，时，； （2）解；将两边都乘以得，， 去括号得，， 移项得，， 即， ，； （3）解：的取值与无关， ，即， ，即， 2． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$