专题1.1 菱形的性质（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题1.1 菱形的性质 教学目标 1.会归纳菱形的特性并进行证明。 2.能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明。 3.在进行探索、猜想、证明过程中，进一步发展推理论证的能力，体会证明的必要性.。 教学重难点 1.重点 （1）菱形的性质定理证明。 2.难点 （1）菱形的性质定理证明、运用 ，生活数学与理论数学的相互转化。 知识点01 菱形的定义 菱形的定义：有一组 的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是 .②有一组 .即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点02 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的 都相等； 2.菱形的两条对角线 ，并且每一条对角线 一组对角； 3.菱形也是 ，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是 . 【即学即练】 1.如图，是菱形的对角线，，则的度数是 ． 2.如图，在菱形中，分别为的中点．若，则菱形的周长是 ． 3．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求菱形的面积． 题型01 菱形的性质 【典例1】下列选项中，菱形不具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【变式1】下列性质中，菱形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．是轴对称图形 【变式2】下列性质中菱形具有而平行四边形不具有的是（     ） A．对角线互相平分 B．两组对角分别相等 C．面积为底与高的积 D．每一条对角线平分一组对角 【变式3】菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对边平行且相等 题型02 利用菱形的性质求角度 【典例1】在菱形中，对角线，交于点O，若，则的度数为 ． 【变式1】如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，的度数为 ． 【变式2】如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为 ． 【变式3】已知在菱形中，，为对角线上一点，连接，过点作，垂足为．若是的中点，则的度数为 ． 题型03 利用菱形的性质求长度 【典例1】在菱形中，对角线，，则菱形的边长为 ． 【变式1】如图，四边形是菱形，过点C作，交的延长线于点B，若，，则的长为 ． 【变式2】如图，在菱形中，，，则 ，作于，则 ． 【变式3】如图，已知菱形的边长为6，，是图中线段上一点，且，连接，则的长为 ． 题型04 利用菱形的性质求面积 【典例1】已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为 ． 【变式1】如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式2】如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且它们的长度分别为和，过点O的直线分别交、于点E、F，则阴影部分面积的和为 ． 【变式3】菱形的周长为，，以为腰在菱形外作等腰直角，连接，，则的面积为 ． 题型05 利用菱形的性质求坐标 【典例1】如图，菱形在平面直角坐标系中，若点D的坐标为，则点B的坐标为 ． 【变式1】如图，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，分别是边的中点，若点的纵坐标分别是，则点的坐标是 ． 题型06 利用菱形的性质求解折叠问题 【典例1】如图，将菱形折叠，使点落在边的点F处，折痕为．若，则 ． 【变式1】如图，菱形纸片，将该菱形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点．则的长为 ． 【变式2】如图，将一个边长为4的菱形沿着直线折叠，使点落在延长线上的点处，若，则的长为 ． 【变式3】如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，若，则 ；若点是的中点，，则的最小值为 ．    题型07 利用菱形的性质求解动点问题 【典例1】如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【变式1】如图，在边长为的菱形中，，E是边上的动点，F是边上的动点，且，连接，则的最小值是 cm．    【变式2】如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为与的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【变式3】如图，菱形的面积为，点是的中点，点是边上的动点．当点运动到边的中点时，的面积为 ；当的面积为时，图中阴影部分的面积为 ． 题型08 利用菱形的性质证明和求解综合问题 【典例1】如图，在菱形中，连接，过B作交于点E，过D作交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式1】如图，在菱形中，交于点，延长交的延长线于点，且为的中点，连接． (1)求证：； (2)求的值． 【变式2】已知：如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点M，过M作于点E，． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)求证：． 【变式3】综合与实践：在菱形中，，作，，分别交，于点，． (1)【动手操作】如图①，若是边的中点，根据题意在图①中画出，则________度； (2)【问题探究】如图②，当为边上任意一点时，求证：； (3)【拓展延伸】如图③，在菱形中，，点，分别在边，上，在菱形内部作，连接，若，求线段的长． 1．如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则菱形的周长为（   ） A．20 B．25 C． D．40 3．如图，从一个含内角的大菱形中截去两个面积分别为和的两个平行四边形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．如图1，在菱形中，，．点从顶点出发，沿着某条直线在菱形内部运动到一点，再从该点沿着直线运动到顶点，设点的运动路程为，，图2是点运动时，随的变化关系图象，则点运动的总路程是（   ） A． B．6 C． D．2 5．如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，P是对角线上一动点，且于点M，于点，下列说法中错误的是（ ） A．为等边三角形 B． C． D． 6．如图，菱形中，，，则菱形的周长为 ． 7．如图，点是菱形对角线上一点，．若，则的面积为 ． 8．如图，已知是菱形，是对角线，且，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的度数为 ． 9．如图，在菱形中，点，的坐标分别是，．若点在轴上，则点的坐标是 ． 10．如图，点E，F是菱形边的中点，，，则菱形的面积是 ． 11．如图．菱形的边长为，，对角线，交于点．求： (1)菱形的两条对角线长； (2)菱形的面积． 12．如图，在菱形中，，直线垂直平分边，交于点E，交于点F，且，垂足为点G；    (1)求的度数； (2)若，求. 13．如图，四边形是菱形，，求： (1)的度数． (2)若，求线段和的长． 14．如图， 在菱形中，，点E，点F 分别在上．    (1)如图1，若点E， 点F 分别是的中点， 则 °； (2)如图2，若满足， 求证：是等边三角形． (3)如图3，若点E为的中点，，点G、点H 分别在，上，且，求和之间的数量关系． 15．综合与实践 问题背景 如图，在菱形中，连接，，． 初步探究 （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸 （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          16．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线相交于点，且． 【初步感知】 （1）当是线段的中点时（如图①），与的数量关系为___________； 【深入探究】 （2）如图②，将图①中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？说明理由； 【拓展应用】 （3）如图③，将图①中绕点A继续顺时针旋转，当时，直接写出的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 菱形的性质 教学目标 1.会归纳菱形的特性并进行证明。 2.能运用菱形的性质定理进行简单的计算与证明。 3.在进行探索、猜想、证明过程中，进一步发展推理论证的能力，体会证明的必要性.。 教学重难点 1.重点 （1）菱形的性质定理证明。 2.难点 （1）菱形的性质定理证明、运用 ，生活数学与理论数学的相互转化。 知识点01 菱形的定义 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 要点：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件. 知识点02 菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 【即学即练】 1.如图，是菱形的对角线，，则的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，熟记菱形的对边平行，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．根据菱形的性质可得，，根据已知得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，是菱形的对角线， ∴，， ∵， ∴， ∵， 故答案为：． 2.如图，在菱形中，分别为的中点．若，则菱形的周长是 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的性质，由中位线定理可得，则有，又四边形是菱形，所以，从而求出菱形的周长，解题的关键是掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，菱形的四条边都相等． 【详解】解：∵分别为的中点， ∴是中位线， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长是， 故答案为：． 3．如图，四边形是菱形，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，可证明，即可求证； （2）先证明，再由勾股定理可得，再由菱形的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 题型01 菱形的性质 【典例1】下列选项中，菱形不具有的性质是（    ） A．四边相等 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．每条对角线平分一组对角 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是本题的关键．根据菱形的性质可判断． 【详解】解：∵菱形四边相等、对角线互相垂直、每条对角线平分一组对角， ∴A、B、D选项不符合题意， ∵菱形的对角线不一定相等， ∴菱形不具有的性质是对角线相等， ∴选项C符合题意， 故选：C 【变式1】下列性质中，菱形不一定具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．是轴对称图形 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四边相等； ③菱形的两条对角线互相垂直平分； ④菱形既是轴对称图形又是中心对称图形是解题的关键．根据菱形的性质解答即可得． 【详解】解：A、菱形的对角线互相平分，故此选项不符合题意； B、菱形的对角线互相垂直，故此选项不符合题意； C、菱形的对角线不一定相等，故此选项符合题意； D、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列性质中菱形具有而平行四边形不具有的是（     ） A．对角线互相平分 B．两组对角分别相等 C．面积为底与高的积 D．每一条对角线平分一组对角 【答案】D 【分析】此题主要考查菱形的性质，菱形的对角线垂直和每一条对角线平分一组对角是菱形的重要性质，而平行四边形不具备这样的性质，解题的关键是熟知平行四边形与菱形的关系． 【详解】解：、菱形和平行四边形的对角线互相平分，原选项不符合题意； 、菱形和平行四边形的两组对角分别相等，原选项不符合题意； 、菱形和平行四边形的面积为底与高的积，原选项不符合题意； 、由菱形性质可知，每一条对角线平分一组对角；而平行四边形不具备这样的性质，原选项符合题意； 故选：． 【变式3】菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线相等 C．四条边相等 D．对边平行且相等 【答案】C 【知识点】利用平行四边形的性质证明、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，掌握菱形的性质好平行四边形的性质是解题的关键．根据菱形的性质和平行四边形的性质进行判断可求解． 【详解】解：菱形具有的性质有：四边相等，两组对边平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分，对角线互相垂直； 平行四边形的性质有：两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，对角线互相平分， 故菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是四边相等，对角线互相垂直， 故选： C． 题型02 利用菱形的性质求角度 【典例1】在菱形中，对角线，交于点O，若，则的度数为 ． 【答案】30 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、直角三角形的两个锐角互余、利用菱形的性质求角度 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质和直角三角形两锐角互余，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 先根据菱形的性质可得，，再根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余即可得． 【详解】解：如图所示， 四边形是菱形， ， ∵ ， ∵ ， 故答案为：30． 【变式1】如图，这是汽车常备的一种千斤顶的示意图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】根据菱形的性质，解答即可． 本题考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图，在菱形中，于点E，于点F，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，根据菱形的性质，等积法得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】解：∵菱形中，于点E，于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式3】已知在菱形中，，为对角线上一点，连接，过点作，垂足为．若是的中点，则的度数为 ． 【答案】 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查了菱形的性质，垂直平分的性质，三角形内角和定理的应用以及等边对等角，连接，，可得垂直平分，则，进而可得，等量代换可得，进而根据三角形内角和定理以及等边对等角，求得，再根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵在菱形中，， ∴，， ∴， ∵垂直平分 ∴ ∵在对角线上，垂直平分， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 题型03 利用菱形的性质求长度 【典例1】在菱形中，对角线，，则菱形的边长为 ． 【答案】5 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理计算边长即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， 则互相垂直且平分， ∴菱形的边长， ∴菱形的边长是5， 故答案为：5． 【变式1】如图，四边形是菱形，过点C作，交的延长线于点B，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、二次根式的乘法 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，先证明，再证明，进一步利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， 故答案为： 【变式2】如图，在菱形中，，，则 ，作于，则 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直平分．利用菱形的性质即可计算得出、的长，再利用勾股定理求出的长，再根据面积法即可得到的长． 【详解】解：如图，设，交于点， ∵是菱形， ∴，，， ∴； ∴， ∵， 即， ∴， 故答案为：；． 【变式3】如图，已知菱形的边长为6，，是图中线段上一点，且，连接，则的长为 ． 【答案】4或或 【知识点】含30度角的直角三角形、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】由题意知，如图，分三种情况求解：当时，；当时，过作交点，则，先求出，根据含的直角三角形求得，，进而求得，最后根据勾股定理求解即可；当时，过作交点，交于点，则，根据含的直角三角形和线段的和差易求，，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴如图，分三种情况求解： 当时，； 当时， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴，， 过作交点，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当时， 过作交点，交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 综上，的长为4或或． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形是解题的关键． 题型04 利用菱形的性质求面积 【典例1】已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为 ． 【答案】24 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，进行求解即可． 【详解】解：由题意，这个菱形的面积为； 故答案为：24． 【变式1】如图，点O是菱形的对称中心，连接，，，为过点O的一条直线，点E，F分别在，上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了中心对称、菱形，关键是掌握菱形的性质．先算出菱形的面积，再算出四边形的面积，因为阴影部分的面积四边形的面积，求得三角形的面积，可得阴影部分的面积． 【详解】解：连接、， ∵点O是菱形的对称中心， ∴，O是与的交点， ∴，， ∴，， ∵为过点O的一条直线， ∴四边形的面积四边形的面积菱形的面积， ∵菱形的面积， ∴四边形的面积， ∵阴影部分的面积四边形的面积，， ∴阴影部分的面积， 故答案为：12． 【变式2】如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且它们的长度分别为和，过点O的直线分别交、于点E、F，则阴影部分面积的和为 ． 【答案】12 【知识点】利用菱形的性质求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相平分的性质，求出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．根据菱形的对角线互相平分可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答． 【详解】解：、是菱形的对角线， ， ， ， 在和中， ， ， 的面积的面积， 阴影部分的面积菱形的面积， 对角线、的长度分别为和， 菱形的面积， 阴影部分面积的和． 故答案为：12． 【变式3】菱形的周长为，，以为腰在菱形外作等腰直角，连接，，则的面积为 ． 【答案】或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积 【分析】分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可． 【详解】解：①如图1，延长交于点， 菱形的周长为， ， ， 三角形是等边三角形， ， 当时，是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 则的面积为：； ②如图2，过点作于点， 由①可知：， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 则的面积为：． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质和勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 题型05 利用菱形的性质求坐标 【典例1】如图，菱形在平面直角坐标系中，若点D的坐标为，则点B的坐标为 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知两点坐标求两点距离、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，坐标与图形．先利用两点间的距离公式计算出，再根据菱形的性质得到，即可写出B点坐标． 【详解】解：∵点D的坐标为， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴B点坐标为， 故答案为：． 【变式1】如图，若菱形的顶点，的坐标分别为，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】坐标系中的平移、利用菱形的性质求线段长、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题主要考查了坐标与图形，菱形的性质，两点距离计算公式，先由两点距离计算公式求出的长，进而由菱形的性质得到，轴，据此可得答案． 【详解】解：∵，的坐标分别为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵点A和点D都在x轴上， ∴轴， ∵， ∴， 故答案为；． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，以为边作菱形，其中点在轴的正半轴上，点在第一象限内，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、勾股定理以及菱形的性质，求出的长是解题的关键．求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用菱形的性质，即可求出结论． 【详解】解：解：当时，， ∴点B的坐标为 ∴； 当时，， 解得：， ∴点A的坐标为， ∴， 在中，，，， ∴， 又∵四边形为菱形， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，分别是边的中点，若点的纵坐标分别是，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握以上知识，数形结合分析是关键． 根据菱形的性质的大，根据中点坐标得到点的纵坐标为，点的纵坐标为，，如图所示，过点作轴于点，则，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵分别是边的中点，若点的纵坐标分别是， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 如图所示，过点作轴于点，则， ∴，，， ∴， 故答案为： ． 题型06 利用菱形的性质求解折叠问题 【典例1】如图，将菱形折叠，使点落在边的点F处，折痕为．若，则 ． 【答案】/30度 【知识点】等边对等角、利用菱形的性质证明、折叠问题 【分析】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，解题关键是理清折叠前后重叠的线段及角相等．根据菱形的性质得，，由折叠的性质可得，，再根据“等边对等角”可得，利用平角计算出的值，然后利用三角形内角和即可计算的值． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵将菱形折叠，使点落在边的点处， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】如图，菱形纸片，将该菱形纸片折叠，使点恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点．则的长为 ． 【答案】 【知识点】折叠问题、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形 【分析】过点作与的延长线交于点E，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出和，设，则，用x表示出，然后在中，利用勾股定理得出方程进行解答． 【详解】解：过点作与的延长线交于点E，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 由折叠的性质知：， 在中，， ∴， 解得：，， 即的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，关键是作辅助线构造直角三角形． 【变式2】如图，将一个边长为4的菱形沿着直线折叠，使点落在延长线上的点处，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求线段长、勾股定理与折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，由菱形得到，，由折叠得：，，再由勾股定理求出即可求解，掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：如图： 在菱形中，，， ∴， 由折叠得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在菱形中，，点是边上一动点，连接，将沿着折叠，得到，连接，若，则 ；若点是的中点，，则的最小值为 ．    【答案】 /度 【知识点】折叠问题、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】（）根据折叠可得，，再根据等腰三角形性质及三角形内角和定理可得结论； （）延长到点，使得，连接，，则是的中位线，证明是等边三角形，求出，，从而可得结论． 【详解】解：由折叠和菱形的定义可知，，， ∵在菱形中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 延长到点，使得，连接，，      则是的中位线， ∴， 当取最小值时，有最小值， 连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴ 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴于， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知， 又， ∴， 当，，共线时，有最小值 此时的最小值为． 故答案为：， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠与轴对称，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，利用轴对称求最值是解题的关键． 题型07 利用菱形的性质求解动点问题 【典例1】如图，在菱形中，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接．若，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查的知识点是三角形的中位线定理、菱形的性质、勾股定理解直角三角形．由三角形中位线定理可得，则当有最小值时，有最小值，即当时，有最小值，由等腰直角三角形的性质可求的最小值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，分别为，的中点， ， 当有最小值时，有最小值， 当时，有最小值， 四边形是菱形， ，， 当时，， 的最小值， 的最小值为． 故答案为：． 【变式1】如图，在边长为的菱形中，，E是边上的动点，F是边上的动点，且，连接，则的最小值是 cm．    【答案】5 【知识点】利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，首先证明是等边三角形，构建垂线段最短可知，当时，最短，即最短． 【详解】解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵时，线最小，最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式2】如图1，在平行四边形中，，，动点从点出发，沿折线方向匀速运动，运动到点停止．设点的运动路程为，的面积为与的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】 【知识点】动点问题的函数图象、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．先证明四边形是菱形，根据图1和图2判定三角形为等边三角形，它的面积为解答即可． 【详解】解：在平行四边形中，， ∴四边形是菱形， ∴， ， 为等边三角形， 设，由图可知，当两点重合时，的面积为， ∴的面积， 解得：(负值已舍)， 故答案为：． 【变式3】如图，菱形的面积为，点是的中点，点是边上的动点．当点运动到边的中点时，的面积为 ；当的面积为时，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中线的性质，当点运动到边的中点时，连接、，根据菱形的性质得，再根据三角形中线平分三角形的面积可得结论；当的面积为时，连接、、，根据菱形的性质得，，根据三角形的中线的性质得，，继而得到，再代入计算即可．解题的关键是掌握：三角形中线平分三角形的面积． 【详解】解：当点运动到边的中点时， 连接、， ∵菱形的面积为， ∴， ∵点是边中点， ∴， ∵点是边中点， ∴； 当的面积为时， 连接、、， ∵菱形的面积为， ∴，， ∵点是边中点， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴和的底相同，高相等， ∴， ∴； 故答案为：；． 题型08 利用菱形的性质证明和求解综合问题 【典例1】如图，在菱形中，连接，过B作交于点E，过D作交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等，综合应用上述知识点是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，，，由可得，再证，即可证明； （2）连接交于O，由菱形的性质可得，，结合可证，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：连接交于O， 则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】如图，在菱形中，交于点，延长交的延长线于点，且为的中点，连接． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）根据菱形的性质可得，则，进而证明，得出，由，根据垂直平分线的性质可得； （2）由（1）可得是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，设，则，在中，勾股定理求得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ． 是的中点， ． 在和中， ， ， ． 又 ． 四边形是菱形， ． （2）解：由（1）可得 是等边三角形， ． ，． 四边形是菱形， ， ． 设，则． 在中，， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式2】已知：如图，在菱形中，F为边的中点，与对角线交于点M，过M作于点E，． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、利用菱形的性质证明 【分析】（1）根据菱形的性质可得对角线平分对角，根据平行线的性质得出，等量代换可得，根据三线合一即可求得，即可求解； （2）由题意，借助三角形全等的判定定理即可得证； （3）由（2）中，得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， 在与中， ， ； （3）证明：由 （2）中得， ， ， ， ，，， ， ，， ， 设，在中，，则， ， 在中，， ，，， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 【变式3】综合与实践：在菱形中，，作，，分别交，于点，． (1)【动手操作】如图①，若是边的中点，根据题意在图①中画出，则________度； (2)【问题探究】如图②，当为边上任意一点时，求证：； (3)【拓展延伸】如图③，在菱形中，，点，分别在边，上，在菱形内部作，连接，若，求线段的长． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 (3)1或3 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质证明 【分析】（1）根据题意作图，由菱形的性质可得是等边三角形，根据等腰三角形的性质可得，由直角三角形的性质即可求解； （2）如解图，连接，由四边形是菱形，可得和都是等边三角形，再证即可求解； （3）根据题意作图如解图，过点作于点，连接，可得是等边三角形，由勾股定理可得，在中，，，由勾股定理可得，同理可得，分类讨论：当点在点的左侧（的位置）时，；当点在点的右侧（的位置）时，；再由（2）知，可得线段的长为1或3，由此即可求解． 【详解】（1）解：作如解图， ∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，连接，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点是中点， ∴，即， ∴， 故答案为：； （2）证明：如解图，连接， 四边形是菱形，且， ，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ． （3）解：根据题意作图如解图，过点作于点，连接， 四边形是菱形，且，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，，， ，同理可得， 当点在点的左侧（的位置）时，； 当点在点的右侧（的位置）时，； 或3； 由（2）知， ， ， 线段的长为1或3． 1．如图，在菱形中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】本题考查菱形性质求角度，涉及菱形邻角互补、菱形对角线平分对角等知识，先由菱形邻角互补求出，再由菱形对角线平分对角求解即可得到答案．熟记菱形性质是解决问题的关键． 【详解】解：在菱形中，，则， 是菱形一条对角线， 平分，则， 故选：D． 2．已知菱形的面积为24，其中一条对角线长为8，则菱形的周长为（   ） A．20 B．25 C． D．40 【答案】A 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了菱形的性质，由菱形的面积求出，再由菱形的性质得出，，，，根据勾股定理求出，再根据菱形的周长公式计算周长即可． 【详解】解：如下图菱形，假设对角线， 则， ∴， 由菱形的性质可知：，，，， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：A 3．如图，从一个含内角的大菱形中截去两个面积分别为和的两个平行四边形，若阴影部分的周长和面积分别是和，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的性质． 设菱形的边长为a，利用菱形内角为，表示出菱形的面积．用菱形的面积减去阴影部分的面积，得到的表达式．根据阴影部分周长和菱形周长的关系，求出菱形的边长a．将求出的a值代入的表达式，计算出结果． 【详解】解：设原菱形的边长为a，内角为，其面积为． 阴影部分的面积为， 因此． 阴影部分的周长为， 根据题干条件阴影部分的周长=菱形的周长，原周长为与阴影周长一致． 此时原面积为：． 阴影面积为， 故， 故选：B． 4．如图1，在菱形中，，．点从顶点出发，沿着某条直线在菱形内部运动到一点，再从该点沿着直线运动到顶点，设点的运动路程为，，图2是点运动时，随的变化关系图象，则点运动的总路程是（   ） A． B．6 C． D．2 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，根据函数图象可得当时，，则当时，点P在线段的垂直平分线上运动，根据菱形的性质可得当时，点P在直线上运动，证明是等边三角形，得到，则由勾股定理得到，根据题意可得点从顶点出发，沿着运动4个单位到达点E，再从点E沿着直线运动到顶点，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，设交于， 由图2可知，当时，，即， ∴当时，点P在线段的垂直平分线上运动， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴当时，点P在直线上运动， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点从顶点出发，沿着某条直线在菱形内部运动到一点，再从该点沿着直线运动到顶点， ∴点从顶点出发，沿着运动4个单位到达点E，再从点E沿着直线运动到顶点， ∴， ∴， ∴点运动的总路程是， 故选：B． 5．如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，P是对角线上一动点，且于点M，于点，下列说法中错误的是（ ） A．为等边三角形 B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】利用菱形的性质可证得，，从而可判定为等边三角形，可判断A；先求出，再根据含度角的直角三角形的性质证得，然后利用勾股定理证得，可判断C；先求得，再根据三角形的内角和定理，可判断B，先利用含度角的直角三角形的性质，证得，，再相加进一步可判断D． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴为等边三角形，故A正确； ∴， ∵四边形是菱形， ∴，平分和， ∴， ∴， ∴，故C正确； ∵，， ∴， ∴， ， 故B正确； ∵，， ∴，， ∴， 故D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 6．如图，菱形中，，，则菱形的周长为 ． 【答案】12 【知识点】利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定， 根据菱形的性质，进而说明是等边三角形，再根据菱形的性质得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 所以菱形的周长是． 故答案为：12． 7．如图，点是菱形对角线上一点，．若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接交于O，则，利用勾股定理求出的长，再由三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．如图，已知是菱形，是对角线，且，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧交于两点，过此两点的直线交边于点E（作图痕迹如图所示），连接，则的度数为 ． 【答案】45 【知识点】利用菱形的性质求角度、线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等边对等角 【分析】本题主要考查了菱形的性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据菱形的性质可得，进而由三角形内角和定理解得的值，由作图可知垂直平分，易得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由作图可知，垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45． 9．如图，在菱形中，点，的坐标分别是，．若点在轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、坐标与图形综合 【分析】本题考查菱形性质的应用，勾股定理，坐标与图形，解题的关键是求出的坐标．由的坐标分别为，可得菱形边长，中求出从而可得点坐标，即可得出点坐标． 【详解】解：∵点的坐标分别为， ， ∵四边形是菱形， ， 在中，， ． ， 故答案为：． 10．如图，点E，F是菱形边的中点，，，则菱形的面积是 ． 【答案】 【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、利用菱形的性质求面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了中位线，菱形的性质，勾股定理等知识．熟练掌握中位线，菱形的性质，勾股定理是解题的关键． 如图，记的交点为，由点E，F是菱形边的中点，，可得，，，，由，可得，设，则，由勾股定理得，，可求，则，根据菱形的面积是，计算求解即可． 【详解】解：如图，记的交点为， ∵点E，F是菱形边的中点，， ∴，，，， ∵， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴菱形的面积是， 故答案为：． 11．如图．菱形的边长为，，对角线，交于点．求： (1)菱形的两条对角线长； (2)菱形的面积． 【答案】(1)菱形的对角线长， (2) 【知识点】利用菱形的性质证明、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求面积 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式，熟练掌握菱形的各种性质是解题关键． （1）利用菱形的性质求得是等边三角形，由勾股定理求出的长，即可求得两条对角线长； （2）利用菱形的面积等于其两条对角线的乘积的一半即可求解． 【详解】（1）解：四边形是菱形，边长为， ，， ， ， 是等边三角形， ， ∴在菱形中，， 在中，， ， ∴在菱形中，． 菱形的对角线长，． （2）解：菱形的面积． 12．如图，在菱形中，，直线垂直平分边，交于点E，交于点F，且，垂足为点G；    (1)求的度数； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求线段长、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形 【分析】（1）由题意易得，，，则有，然后根据三角形内角和可进行求解； （2）由题意易得，，，然后可得，进而根据菱形的性质可进行求解． 【详解】（1）解：∵在菱形中，， ∴，； ∵直线垂直平分边， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵直线垂直平分边，， ∴，，， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在菱形中， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握各个性质定理是解题的关键． 13．如图，四边形是菱形，，求： (1)的度数． (2)若，求线段和的长． 【答案】(1) (2)， 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求角度、利用菱形的性质求面积 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据四边形是菱形，得，，则，即可作答． （2）先根据四边形是菱形，得，，，运用勾股定理算出，然后根据菱形面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴菱形的面积， ∵，且， ∴菱形的面积， ∴， ∴． 14．如图， 在菱形中，，点E，点F 分别在上．    (1)如图1，若点E， 点F 分别是的中点， 则 °； (2)如图2，若满足， 求证：是等边三角形． (3)如图3，若点E为的中点，，点G、点H 分别在，上，且，求和之间的数量关系． 【答案】(1)60 (2)见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、利用平行四边形性质和判定证明、利用菱形的性质证明 【分析】本题考查的是菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质及平行四边形的判定与性质； （1）连接，得到都是等边三角形，根据三线合一性质求出即可； （2）连接，得到是等边三角形，证明，进而证明结论； （3）连接，过点B作交于点P，交于点Q，先证明，设，求出，，即可求出结论； 【详解】（1）解：连接，    在菱形中，， 都是等边三角形， ∴， 点E， 点F 分别是的中点， ， ； 故答案为：60； （2）证明：如图2，连接，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴在和中，   ， ∴ ， ∴ ，， ∴ ， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （3）如图3，连接，过点B作交于点P，交于点Q，    在菱形中，， 四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∵，   ∴， ∴在和中，   ，   ∴， ∴， ∵点E为的中点，， ∴， 设， ∴  ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∵  ， ∴， ∴， ∴． 15．综合与实践 问题背景 如图，在菱形中，连接，，． 初步探究 （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸 （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          【答案】（1）24；（2）4；（3）①；② 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、垂线段最短、全等三角形综合问题 【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可； （2）连接，交于点O，过点E作于点K，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）①过点A作于点，根据垂线段最短，得出的最小值为的长，根据菱形面积求出结果即可； ②在的延长线上截取，连接，．证明，得出，根据当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值，即的最小值为的长，过点A作于点T，根据勾股定理求出． 【详解】解：（1）连接，交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，连接，交于点O，过点E作于点K． ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为4． （3）①如图2，过点A作于点， ∵垂线段最短， ∴的最小值为的长， 由（1）可知菱形的面积为24， ∴， 即， 解得： ， ∴的最小值为． ②如图3，在的延长线上截取，连接，． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值， 即的最小值为的长， ∴的最小值为的长 过点A作于点T， 由①易知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 16．已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线相交于点，且． 【初步感知】 （1）当是线段的中点时（如图①），与的数量关系为___________； 【深入探究】 （2）如图②，将图①中的绕点A顺时针旋转，（1）中的结论还成立吗？说明理由； 【拓展应用】 （3）如图③，将图①中绕点A继续顺时针旋转，当时，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）成立，详见解析；（3） 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据菱形的性质，如图所示，连接，可得是等边三角形，可证，可得，可证是等边三角形，由此即可求证； （2）同（1）的思路通过证明三角形全等，利用全等三角形的性质和等边三角形的性质可得结论； （3）根据题意可得当时，，如图所示，过点作于点，过点作于点，连接，根据等腰直角三角形的性质可求出的长． 【详解】解：解：（1）∵四边形是菱形， ∴，，， ∵点是线段的中点， ∴， 如图所示，连接，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，，则， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，且， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （2）成立，理由如下， 如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，则， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． （3）如图所示，过点作于点，过点作于点，连接， 当时，， ∴， 在中， ∵，， ∴，， 在中， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，含特殊角的直角三角形的性质等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$