专题1.1 三角形中的线段和角（高效培优讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题1.1 三角形中的线段和角 教学目标 1.掌握三角形三边关系，能运用三边关系判断三条线段能否组成三角形，以及已知三角形两边求第三边的取值范围； 2.掌握大边对大角，大角对大边，能运用该知识解决相关角度问题； 3.了解三角形的高、中线、角平分线的定义、画法和性质，会运用其性质解决相关问题； 4.通过观察、操作、推理等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。 教学重难点 1.重点 （1）三角形三边关系和大边对大角及其应用； （2）三角形的高、中线、角平分线的概念和性质。 2.难点 （1）运用三边关系解决实际问题； （2）区分三角形的高、中线、角平分线的性质，并能灵活运用。 知识点01 三角形的边与角 1．三角形的三边关系： 由两点之间线段最短可知，三角形的任意两边之和 第三边；任意两边之差 第三边。这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差＜第三边＜两边之和建立不等式。 相关知识回归：（1）三角形的内角和180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 2.大边对大角，大角对大边（新增内容）： 在同一个三角形中，较大的边所对的 也比 ，较大的角所对的边也比较大。 【即学即练】 1．（2025七年级下·河南·专题练习）开放性试题如图，湖泊对岸的凉亭B和C到大门A的距离分别是和，则的长可能是 m（写出一个即可） 2．（24-25八年级上·江西上饶·期中）等腰三角形的两边为和，则周长为 ． 3．（2025江苏南通一模）综合与实践： 【回归教材】八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下：如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称性质将陌生问题转化为已学习问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． 如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 知识点02 三角形的中线 1. 三角形中线的定义： 在三角形中，连接一个顶点与它的 的线段叫做三角形的中线。如图，AM是△ABC的中线。 2. 三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 BM = CM＝ BC。 ②中线平分三角形的 。即： ③中线分三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 2．（23-24八年级上·山西长治·期中）有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（    ） A．三角形三条中线的交点处 B．三角形三条角平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条边的垂直平分线的交点处 3．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 4．（2025·广东·二模）如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点03 三角形的角平分线 1. 三角形角平分线的定义： 在三角形中，一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的 是三角形的角平分线。如图，AD是△ABC的角平分线。角平分线相关的角度计算常与内角和或外角定理结合考查。 2. 三角形角平分线的性质： ①AD是三角形的角平分线∠1 ∠2。 ②三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比。即 。（利用1.4的知识点证明） ③三角形有 条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的 。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·山东·随堂练习）关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 2．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 知识点04 三角形的高线 1. 三角形高线的定义： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 与 之间的线段是三角形的高线。如图，BD是△ABC的高线BD⊥AC。 2. 三角形高的画法： 一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点；三画：画出垂线段。 3. 锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形所有高线的图示： 4. 三角形的垂心： 三角形有 条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的 。 5. 高线与垂心的位置与三角形形状的关系： 锐角三角形的三条高都在 ，垂心在 。 直角三角形有两条高是 ，垂心在 。 钝角三角形有两条高在 ，垂心在 。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 2．（24-25八年级上·重庆·期中）已知． (1)画出的中线和角平分线；(2)画出的高，． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 4．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ． 5．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，在直角三角形中，，，，，，．(1)点到的距离是______；点到的距离是________．(2)求点到的距离． 题型01 确定三角形的条件 【典例1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）以下列各组数为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列长度的线段能组成三角形的是（   ） A．2，4，8 B．5，5，10 C．2，10，13 D．3，6，8 【变式2】（2025·广东广州·二模）下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11 【变式3】（2025·河北衡水·模拟预测）将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 题型02 求三角形第三边的取值范围 解题时常用两边之差＜第三边＜两边之和建立不等式。 【典例1】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）等腰三角形的周长为16厘米，腰长为厘米，底边长为厘米，其中的取值范围是 ． 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 【变式2】（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知某三角形的三边长分别为，，，其中为正整数，则满足条件的值的和为 ． 题型03 根据三角形的三边关系求值 【典例1】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）已知三角形的两边长分别是和，选一个你喜欢的奇数作第三边，则该三角形的周长是 ． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·专题练习）一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知的两边长分别为2和，则能使得第三边长取到10的最小正整数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3】（24-25八年级上·河北保定·期末）三角形的两边长分别是、，周长是偶数并且是7的倍数，则第三边的长度是（　　） A． B． C． D． 题型04 三角形的三边关系的实际运用 【典例1】（2025·山东聊城·三模）若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（    ） A．只有可以 B．只有可以 C．，都可以 D．，都不可以 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）一木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择（   ）的木条合适． A．3cm B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 【变式4】（24-25七年级下·广东·课后作业）某天，所有文具聚在一起开了个茶话会，圆规先生的话引起了大家的热议，你觉得圆规先生的话合理吗？如果不合理，请说明理由． 【变式5】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 题型05 中线平分三角形的面积 【典例1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【变式4】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 题型06 中线中的周长差与边的差 【典例1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 【变式1】（2025·广东·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知是的中线，，，且的周长为，则的周长是 ． 【变式3】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，，分别是的高和中线． (1)若，，求高的长；(2)若，，求与的周长之差． 【变式4】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，．(1)求，的长；(2)求的长；(3)直接写出的周长． 题型07 重心的相关问题 【典例1】（24-25八年级下·湖北·阶段练习）如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式1】（2025七年级下·成都·专题练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式2】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，点是的重心，连接并延长，交边于点．若，则（    ）    A．2 B． C． D． 【变式3】（2025·浙江金华·二模）的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图． (1)在图①中，作出的中线；(2)在图②中，作出的重心，记为点． 【变式4】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 题型8画三角形的高线 【典例1】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高；(2)过点作直线的垂线，垂足为；(3)点到直线的距离是线段_______的长度；(4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【变式1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C．D． 【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   【变式3】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高；(2)过点画的垂线，垂足为；(3)过点画的平行线，交于点；(4)点到直线的距离是线段___________的长度． 题型09 与高线相关的计算 【典例1】（23-24八年级上·湖北·期中）如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，，，为边上的高，平分，交于点，交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在中，为边上的高，，，则 【变式3】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【变式4】（2023·宁夏中卫·三模）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则，∵，∴． 【性质应用】(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝__________，＝_________；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 题型10 与角平分线相关的计算 【典例1】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是 ． 【变式2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于若，，则的度数为 ． 【变式3】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则 ， ． 题型11 三角形中的“三线”相关角度运算 【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，AD平分交BC于点D，AE是BC边上的高，，则的度数为 ． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为的平分线，为边上的高．若，，则 度． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，则的度为 ． 【变式3】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，为边上的高．(1)若，，求的度数；(2)在（1）的条件下，求的度数； (3)若，直接写出、、的关系． 题型12 三角形中的“三线”相关综合运算 【典例1】（2025·江苏无锡·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，、分别是的高线和中线．若的面积为12，，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【变式2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．(1)若的面积为，，求的长；(2)若，，求的大小． 1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 2．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）下列说法正确的是（） A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线 B．三角形的高就是顶点到对边的距离 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的三条中线必交于一点 3．（24-25七年级下·重庆·期中）已知的三边长分别为，则的值可能是（   ） A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，4，6 D．3，5，10 4．（24-25八年级上·河南周口·期末）在数学课上，同学们用木棍摆三角形，木棍的长度有，，和四种．小颖已经取和两根木棍，那么第三根木棍不可能取（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知三角形两边长分别是3和5，若第三边长是偶数，则最短是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（2025·河北邯郸·二模）如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接 甲：能够比较与的大小；乙：能够比较与的长短。下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的说法都正确 B．甲、乙的说法都不正确 C．甲的说法正确，乙的说法不正确 D．甲的说法不正确，乙的说法正确 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，钝角中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 10．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图在中，是的高．若为内角的平分线．当，，则（   ） A． B． C． D． 11．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 12.（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 14.（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，过点作于点，过点作于点，若，则的高与的比是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为 ． 16．（2025·湖北襄阳·二模）如图，的高相交于点O，添加一个条件： ，使． 17．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在中，平分，若，则的度数为 ． 18.（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简： ． 19．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为边上的高，，，则 ． 20．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为 ． 21．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．(1)画出中边上的高；(2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______．(4)，直接写出______． 22．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，．(1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 23．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高；(2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出．(4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 24．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 三角形中的线段和角 教学目标 1.掌握三角形三边关系，能运用三边关系判断三条线段能否组成三角形，以及已知三角形两边求第三边的取值范围； 2.掌握大边对大角，大角对大边，能运用该知识解决相关角度问题； 3.了解三角形的高、中线、角平分线的定义、画法和性质，会运用其性质解决相关问题； 4.通过观察、操作、推理等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。 教学重难点 1.重点 （1）三角形三边关系和大边对大角及其应用； （2）三角形的高、中线、角平分线的概念和性质。 2.难点 （1）运用三边关系解决实际问题； （2）区分三角形的高、中线、角平分线的性质，并能灵活运用。 知识点01 三角形的边与角 1．三角形的三边关系： 由两点之间线段最短可知，三角形的任意两边之和 大于 第三边；任意两边之差 小于 第三边。这是三角形的限定条件。解题时常用两边之差＜第三边＜两边之和建立不等式。 相关知识回归：（1）三角形的内角和180°；（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和。 2.大边对大角，大角对大边（新增内容）： 在同一个三角形中，较大的边所对的 角 也比 较大 ，较大的角所对的边也比较大。 【即学即练】 1．（2025七年级下·河南·专题练习）开放性试题如图，湖泊对岸的凉亭B和C到大门A的距离分别是和，则的长可能是 m（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：由题意得：，即；在区间内， ∴的长可能是，故答案为：（答案不唯一） 2．（24-25八年级上·江西上饶·期中）等腰三角形的两边为和，则周长为 ． 【答案】 【详解】解：∵等腰三角形的两边为和， 当腰为时，等腰三角形的三边分别为，，，满足三角形三边关系，则周长为； 当腰为时，等腰三角形的三边分别为，，，由，不满足三角形三边关系；故答案为：． 3．（2025江苏南通一模）综合与实践： 【回归教材】八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下：如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点C落在上的为D点，折线交于点E，则，， 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等．大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称性质将陌生问题转化为已学习问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． 如图2，在中，，判断： ______（填“>”、“=”或“<”）． 【答案】>； 【详解】解：（1）如图2，在内作，交于点， ∴，∴；∵，∴； 知识点02 三角形的中线 1. 三角形中线的定义： 在三角形中，连接一个顶点与它的 对边中点 的线段叫做三角形的中线。如图，AM是△ABC的中线。 2. 三角形中线的性质： ①AM是三角形的中线M是BC的 中点 BM = CM＝ 1/2 BC。 ②中线平分三角形的 面积 。即： ③中线分三角形的周长差等于对应另两边的差。即： ④三角形有 3 条中线，且三条中线交于一点，叫做三角形的 重心 。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·上海金山·期中）一个三角形中的三条中线（   ） A．都在这个三角形内 B．都在这个三角形外 C．可能在这个三角形内，也可能在这个三角形外 D．可能和这个三角形的一边重合 【答案】A 【详解】解：三角形的三条中线都在三角形的内部，故答案为：A． 2．（23-24八年级上·山西长治·期中）有一块质地均匀的三角形木板玩具，小明用手顶住三角板的一个点，木板玩具就保持平衡，这个平衡点就是这块三角形木板的重心，三角形的重心是（    ） A．三角形三条中线的交点处 B．三角形三条角平分线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【详解】解：三角形的重心是三角形三条中线的交点处，故选A 3．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，的周长比的周长多，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是的边上的中线，∴， ∵的周长比的周长多，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 4．（2025·广东·二模）如图， 在中， D， E分别是的中点． 若的面积是1，则的面积是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：∵E为的中点，∴，∵D为的中点，∴，故选；B． 知识点03 三角形的角平分线 1. 三角形角平分线的定义： 在三角形中，一个内角的平分线与这个角对边相交，这个角的顶点和交点之间的 线段 是三角形的角平分线。如图，AD是△ABC的角平分线。角平分线相关的角度计算常与内角和或外角定理结合考查。 2. 三角形角平分线的性质： ①AD是三角形的角平分线∠1 = ∠2。 ②三角形的角平分线把三角形分得的两个小三角形的面积比等于被角平分线分边分得的两条线段比。即 。（利用1.4的知识点证明） ③三角形有 3 条角平分线，三条角平分交于一点，这一点叫做三角形的 内心 。 【即学即练】 1．（24-25七年级下·山东·随堂练习）关于三角形的角平分线，下列说法正确的是（　　） A．线段 B．射线 C．直线 D．射线或线段 【答案】A 【详解】解：三角形的角平分线是一条线段．故选：A． 2．（24-25七年级下·重庆·月考）如图，在中，，则的一条角平分线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为 所以，即 所以的一条角平分线为故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：是的角平分线，，， 是的角平分线，．故选：A． 知识点04 三角形的高线 1. 三角形高线的定义： 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线， 顶点 与 垂足 之间的线段是三角形的高线。如图，BD是△ABC的高线BD⊥AC。 2. 三角形高的画法： 一靠：将三角尺的一条直角边靠在要作高的边上；二移：移动三角尺，使另一条直角边通过要作高的顶点；三画：画出垂线段。 3. 锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形所有高线的图示： 4. 三角形的垂心： 三角形有 3 条高线，且三条高线交于一点，这个点叫做三角形的 垂心 。 5. 高线与垂心的位置与三角形形状的关系： 锐角三角形的三条高都在 三角形内部 ，垂心在 三角形内部 。 直角三角形有两条高是 三角形的边 ，垂心在 三角形的直角顶点上 。 钝角三角形有两条高在 三角形外 ，垂心在 三角形外 。 【即学即练】 1．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，边上的高是（   ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】D 【详解】解：由三角形高的定义可知，在中，边上的高是线段，故选：D． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）已知． (1)画出的中线和角平分线；(2)画出的高，． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：即为所求作的中线，为所求作的角平分线，如图所示： （2）解：、为所求作的高线，如图所示： 3．（24-25七年级下·河南南阳·期中）如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（　　） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【解析】解：A、锐角三角形，三条高线交点在三角形内，故错误； B、钝角三角形，三条高线不会交于一个顶点，故错误； C、直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，可以得出这个三角形是直角三角形，故正确； D、能确定C正确，故错误．故选：C． 4．（24-25八年级上·安徽·期中）如图，在中，，两条高交于点O，连接，则 ． 【答案】/42度 【详解】解：如图，延长交于，∵两条高交于点O，∴为边上的高，即， ∴，故答案为：． 5．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，在直角三角形中，，，，，，．(1)点到的距离是______；点到的距离是________．(2)求点到的距离． 【答案】(1)；(2)点到的距离为． 【详解】（1）解：点到的距离是；点到的距离是．故答案为：；； （2）解：设点到的距离为， ∵，，，，∴，即， ∴，∴点到的距离为． 题型01 确定三角形的条件 【典例1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）以下列各组数为边，能组成三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意； B．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意； C．由于，则本选项中的三条线段不能组成三角形，不符合题意； D．由于，则本选项中的三条线段能组成三角形，符合题意．故选：D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）下列长度的线段能组成三角形的是（   ） A．2，4，8 B．5，5，10 C．2，10，13 D．3，6，8 【答案】D 【详解】解：A、因为，所以长度为2，4，8的三条线段不能组成三角形； B、因为，所以长度为5，5，10的三条线段不能组成三角形； C、因为，所以长度为2，10，13的三条线段不能组成三角形； D、因为，所以长度为3，6，8的三条线段能组成三角形；故选：D. 【变式2】（2025·广东广州·二模）下列每组数分别是三根小木棒的长度，将它们首尾顺次相接，能摆成三角形的是（   ） A．3，4，7 B．6，8，15 C．5，12，13 D．5，5，11 【答案】C 【详解】A、3，4，7，∵，∴3，4，7的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； B、6，8，15，∵，∴6，8，15的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形； C、5，12，13，∵，∴5，12，13的三根小木棒首尾顺次相接，能摆成三角形； D、5，5，11，∵，∴5，5，11的三根小木棒首尾顺次相接，不能摆成三角形．故选：C． 【变式3】（2025·河北衡水·模拟预测）将周长为的三角形的三条边依次放在一条直线上，其中所标数据正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、由，此选项不符合题意；B、由，此选项不符合题意； C、由，此选项不符合题意；D、由，此选项符合题意；故选：D． 题型02 求三角形第三边的取值范围 解题时常用两边之差＜第三边＜两边之和建立不等式。 【典例1】（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）等腰三角形的周长为16厘米，腰长为厘米，底边长为厘米，其中的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：依题意， 根据三边关系可得解得： 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期中）已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴；故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·四川雅安·期中）已知某三角形的三边长分别为，，，其中为正整数，则满足条件的值的和为 ． 【答案】 【详解】解：∵三角形的三边长分别为，，8， ∴，解得：， ∵为正整数，∴的值为，，，，， ∴满足条件的值的和为，故答案为：． 题型03 根据三角形的三边关系求值 【典例1】（24-25八年级上·湖北恩施·期末）已知三角形的两边长分别是和，选一个你喜欢的奇数作第三边，则该三角形的周长是 ． 【答案】 【详解】解：三角形的两边长分别是和，设第三边的长为，，即， 为奇数，，该三角形的周长，故答案为：． 【变式1】（24-25七年级下·河南郑州·专题练习）一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 【答案】11或13 【详解】解：根据三角形三边关系可得，即， ∵边长为偶数，∴或，∴当时，三角形的周长为， 当时，三角形的周长为，故答案为：11或13． 【变式2】（24-25八年级上·四川绵阳·期末）已知的两边长分别为2和，则能使得第三边长取到10的最小正整数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：设三角形的第三边长是， 由三角形三边关系定理得：，， 第三边长取到10，，， 能使得第三边长取到10的最小正整数是．故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·河北保定·期末）三角形的两边长分别是、，周长是偶数并且是7的倍数，则第三边的长度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设第三边的长度为，则即， 又因为周长是偶数并且是7的倍数，所以x为偶数， 当时，周长为，不是7的倍数， 但时，周长为，是7的倍数，故选：A． 题型04 三角形的三边关系的实际运用 【典例1】（2025·山东聊城·三模）若使用如图所示的、两根直铁丝做成一个三角形框架，需要将其中一根铁丝折成两段，则可以分为两段的铁丝是（    ） A．只有可以 B．只有可以 C．，都可以 D．，都不可以 【答案】A 【详解】解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的细木条分为两截．理由：，满足两边之和大于第三边．故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）一木工师傅有两根长分别为的木条，他要找第三根木条，将它们钉成一个三角形框架，以下4根木条，他选择（   ）的木条合适． A．3cm B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设三角形框架的第三边长为x，根据题意，可得 ，即， 故选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意．故选：B． 【变式3】（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：、、是的三边的长，，，， 原式．故选：A． 【变式4】（24-25七年级下·广东·课后作业）某天，所有文具聚在一起开了个茶话会，圆规先生的话引起了大家的热议，你觉得圆规先生的话合理吗？如果不合理，请说明理由． 【答案】不合理，理由见解析 【详解】解：不合理，理由：由题意得圆规先生的两腿与它所画的圆的一条半径组成一个三角形，设所画的圆的一条半径为，根据三角形三边关系定理得，即，，，即圆规先生不能画出半径为的圆． 【变式5】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）已知，如图四边形中，是与的交点，试说明：与的和小于四边形的周长． 【答案】见解析 【详解】证明：在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， 与的和小于四边形的周长． 题型05 中线平分三角形的面积 【典例1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，连接、、； ，，，， ，同理可得，， ， ；故选：B 【变式1】（24-25七年级下·辽宁本溪·期中）如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：∵是的的中线，且的面积为12，∴， 又∵是的的中线，∴，故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，在中，D、E、F分别为的中点，且，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，且点是的中点，． 点是的中点，．点为的中点，．故选：B． 【变式3】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，在中，点D是的中点，连接，点E在上，且，于点F．若，，则的面积为（    ） A．50 B．55 C．60 D．65 【答案】C 【详解】解：如图，连接．∵点D是的中点，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵点D是的中点，∴．故选：C． 【变式4】（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，对面积为的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…； 按此规律继续下去，可得到，则其面积为 （         ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，连接，过点作于点，过点作于点， ，，，， ，， ，， ，，同理可得：， ，同理可得：， 依此类推：． 故选：D． 题型06 中线中的周长差与边的差 【典例1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 【答案】 【详解】解：∵是的中线，∴， ∴的周长的周长，故答案为：． 【变式1】（2025·广东·二模）如图，的周长是，是边上的中线，，，则与的周长之差为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】解：的周长为，∴， ∵是边上的中线，∴，则，∴， ∵的周长为，的周长为， ∴， ∴与的周长之差为，故选：A ． 【变式2】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，已知是的中线，，，且的周长为，则的周长是 ． 【答案】 【详解】解：是的中线，， 的周长为，即，， 的周长．故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·陕西渭南·期末）如图，，分别是的高和中线． (1)若，，求高的长；(2)若，，求与的周长之差． 【答案】(1)4(2)1 【详解】（1），， ，解得，高的长为4． （2）的中线是，， 与的周长之差为：． 【变式4】（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，．(1)求，的长；(2)求的长；(3)直接写出的周长． 【答案】(1)，(2)(3)的周长为30 【详解】（1）解：∵分别是边上的中线，∴点分别为的中点． ∵，，∴，． （2）解：∵的周长比的周长长2， ∴，由（1）得，∴， （3）解： 由（1）（2）得，，，∴的周长为：． 题型07 重心的相关问题 【典例1】（24-25八年级下·湖北·阶段练习）如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵F是的重心，∴ ∴，∴；故选：A． 【变式1】（2025七年级下·成都·专题练习）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点在小正方形的顶点上，则的重心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：由图可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点， ∴点是重心，故选：． 【变式2】（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，点是的重心，连接并延长，交边于点．若，则（    ）    A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点是的重心，∴点为的中点，∴，∴，故选：C． 【变式3】（2025·浙江金华·二模）的顶点都在正方形网格格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形边长为1．请借助网格和无刻度直尺按要求作图． (1)在图①中，作出的中线；(2)在图②中，作出的重心，记为点． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：如图，点为所求作点． （2）如图，点为所求作点 【变式4】（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析(2)相等，；(3) 【详解】（1）解：               由题意可知，，， ，， ， ，， ，． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为．∵∴，即故答案为；相等，；  ． （3）解：是的重心，， ，， ． 题型8画三角形的高线 【典例1】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)作边上的高；(2)过点作直线的垂线，垂足为；(3)点到直线的距离是线段_______的长度；(4)线段的长度表示点_____到直线_______的距离．（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析；(3)；(4)，； 【详解】（1）解：如下图所示，线段即为边上的高； （2）解：如下图所示， （3）解：点到直线的距离是线段的长度，故答案为：； （4）解：线段的长度表示点到直线的距离，故答案为：，； 【变式1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）下列能表示的边上的高的是（   ） A． B． C．D． 【答案】B 【详解】解：A．不是任何边上的高，故不符合题意；B．是任何边上的高，故符合题意； C．是任何边上的高，故不符合题意；D．不是任何边上的高，故不符合题意；故选B． 【变式2】（24-25八年级上·浙江金华·期末）在中，作边上的高，正确的是（    ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【详解】解：根据三角形高线的定义，边上的高是过点B向作垂线垂足为E， 纵观各图形，D选项符合高线的定义，故选：D． 【变式3】（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，根据下列要求画出图形并回答问题： (1)作边上的高；(2)过点画的垂线，垂足为；(3)过点画的平行线，交于点；(4)点到直线的距离是线段___________的长度． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4) 【详解】（1）解：如图所示，过点C作交延长线于D，则即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：∵，∴，∴点到直线的距离是线段的长度． 题型09 与高线相关的计算 【典例1】（23-24八年级上·湖北·期中）如图，在中，，，垂足分别为，，与交于点，连接并延长交于点若，，，则（  ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，与交于点， ∴（三角形三条高所在的直线交于一点），∵， ∵，，，∴，∴，故选B． 【变式1】（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，在中，，，为边上的高，平分，交于点，交于点，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∵平分，， ∵为边上的高，，，，故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）在中，为边上的高，，，则 【答案】或 【详解】解：如图1，∵为边上的高，∴， 又∵，∴，∴； 如图2，∵为边上的高，∴， 又∵∴， ∴；故答案为：或． 【变式3】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）（1）如图1，在中，，，，，于点D，求的长； （2）如图2，在中，，，求的高与的比； （3）如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）10． 【详解】（1）解：，，； （2）解：，，，； （3）解：，，， ，， 又，，即． 【变式4】（2023·宁夏中卫·三模）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①，在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】如图①，用，分别表示和的面积． 则，∵，∴． 【性质应用】(1)如图②，D是的边上的一点．若，则__________；（直接写出答案） (2)如图③，在中，D，E分别是和边上的点．若，，，则＝__________，＝_________；（直接写出答案） (3)如图③，在中，D，E分别是和边上的点，若，，，请用含的式子表示的面积． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵是等高三角形，∴；故答案为：； （2）解：∵，，∴，∴； ∵，∴，∴；故答案为：； （3）解：∵，，∴，∴； ∵，∴，∴； 题型10 与角平分线相关的计算 【典例1】（24-25八年级下·山西晋中·期中）如图，在中，，点在内部，且到三边的距离相等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：点在内部，且到三边的距离相等， 平分，平分，，， ，， ，，故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是 ． 【答案】 【详解】解：是的角平分线，，， 是的角平分线，，故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线，与交于若，，则的度数为 ． 【答案】/60度 【详解】解：如图，连接，，， ，， 是的平分线，是的平分线， ，，， ，故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝ ；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝ ° 【答案】 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线，∴，， 又∵，，∴，∴， ∵，∴；同理可得，……∴，∴，故答案为：； 【变式4】（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，已知，点O为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分平分，平分，…，以此类推，则 ， ． 【答案】 【详解】解：，， ，，， 平分，平分，，， ，， ，，，， 同理可得：，， ，， ，，， 归纳类推得：，其中为正整数， ∴，故答案为：；． 题型11 三角形中的“三线”相关角度运算 【典例1】（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，AD平分交BC于点D，AE是BC边上的高，，则的度数为 ． 【答案】9 【详解】解：∵平分交于点D，于点E，∴，， ∵∴，∴，∵，∴．故答案为：9 【变式1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为的平分线，为边上的高．若，，则 度． 【答案】20或60 【详解】解：∵为边上的高，∴， ∵，∴，分以下两种情况： 如图，当点E在点D左边时，∵，∴， ∵是平分线，∴， ∴； 如图，当点E在点D右边时，∵，∴， ∵是平分线，∴， ∴．故答案为：20或60． 【变式2】（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，则的度为 ． 【答案】或 【详解】解：如图：当时， ∵是的角平分线，，∴， ∴中，； 如图∶当时，同理可得， ∵，∴， ∴．综上所述：的度数为或．故答案为：或． 【变式3】（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，为边上的高．(1)若，，求的度数；(2)在（1）的条件下，求的度数； (3)若，直接写出、、的关系． 【答案】(1)(2)；(3)，理由见解析 【详解】（1）解：在中，，，； 又是的平分线，； （2）解：是边上的高，， 在中，，，， 由（1）知，，，即； （3）解：，理由如下： 且是的平分线，， ，． 题型12 三角形中的“三线”相关综合运算 【典例1】（2025·江苏无锡·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意；故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，、分别是的高线和中线．若的面积为12，，则的长为（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是的中线，的面积为 12 ，， ∵是的高线，，∴，则，故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：∵是的中线，，∴， ∵是的高线，∴，即，解得，故选：B． 【变式3】（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线．(1)若的面积为，，求的长；(2)若，，求的大小． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：是的中线，的面积为，，， ，，； （2），，， 是的角平分线，，是的高，， ，． 1．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的外部 B．锐角三角形的三条高的交点在三角形的外部 C．三角形的重心是三角形三条中线的交点 D．直角三角形的三条中线的交点在斜边的中点 【答案】C 【详解】解：、钝角三角形的三条角平分线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、锐角三角形的三条高的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意； 、三角形的重心是三角形三条中线的交点，原选项结论正确，符合题意； 、直角三角形的三条中线的交点在三角形的内部，原选项结论错误，不符合题意；故选：． 2．（24-25八年级上·内蒙古乌兰察布·阶段练习）下列说法正确的是（） A．三角形的中线就是过顶点平分对边的直线 B．三角形的高就是顶点到对边的距离 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的三条中线必交于一点 【答案】D 【详解】解：A、三角形的中线就是连接三角形一个顶点与它对边中点的线段，故选项不符合题意； B、三角形的高就是三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段，故选项不符合题意； C、三角形的角平分线是线段，故选项不符合题意； D、三角形的三条中线必交于一点，说法正确，故选项符合题意；故选：D． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）已知的三边长分别为，则的值可能是（   ） A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，4，6 D．3，5，10 【答案】B 【详解】解：A、，不符合三角形的三边关系，故该选项不符合题意； B、，符合三角形的三边关系，故该选项符合题意； C、，不符合三角形的三边关系，故该选项不符合题意； D、，不符合三角形的三边关系，故该选项不符合题意；故选：B． 4．（24-25八年级上·河南周口·期末）在数学课上，同学们用木棍摆三角形，木棍的长度有，，和四种．小颖已经取和两根木棍，那么第三根木棍不可能取（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设三角形第三边长为，即，∴， ∴选项B，C，D不符合题意，A符合题意．故选：A． 5．（24-25八年级上·河北邢台·期中）已知三角形两边长分别是3和5，若第三边长是偶数，则最短是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】解：设三角形的第三边长为， ∵三角形两边长分别是3和5，∴，即， ∵第三边长是偶数，∴最短是，故选：B． 6．（2025·河北邯郸·二模）如图，将折叠，使点A、B重合，折痕为．连接 甲：能够比较与的大小；乙：能够比较与的长短。下列判断正确的是（   ） A．甲、乙的说法都正确 B．甲、乙的说法都不正确 C．甲的说法正确，乙的说法不正确 D．甲的说法不正确，乙的说法正确 【答案】A 【详解】解：根据折叠可得， ，根据折叠可得，， 在中，，即，∴甲、乙的说法都正确，故选：A． 7．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，钝角中，边上的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，钝角中，边上的高是．故选C． 8．（24-25八年级上·广东江门·期中）如图△中，已知，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，平分，∴．故选：B． 9．（24-25八年级上·陕西延安·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长比的周长多．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是边上的中线，∴， ∵的周长比的周长多，∴， ∵，∴，故选：D． 10．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图在中，是的高．若为内角的平分线．当，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，∴， ∵是的角平分线，∴， ∵是的高，∴，∵，∴， ∴．故选：B． 11．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，是中线．则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵是的中线，∴，A说法正确，不符合题意； ∵是角平分线，∴，B说法正确，不符合题意； ∵是高，∴，∴，C说法正确，不符合题意； ∵，∴，D说法错误，符合题意．故选：D． 12.（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，是上任意一点，于点，于点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：如图所示，连接， ∵，∴， ，∴，故选：A ． 13．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，在中，分别是的中点，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：分别是的中点，，， ，，，，故选：B． 14.（2024·陕西渭南·模拟预测）如图，在中，过点作于点，过点作于点，若，则的高与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，， ∴，∴，故选：A． 15．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为 ． 【答案】6 【详解】解：∵为的中线，的面积为6，∴， ∵为的高线，∴，∵，∴，故答案为：6． 16．（2025·湖北襄阳·二模）如图，的高相交于点O，添加一个条件： ，使． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：添加条件，证明如下： ∵的高相交于点O，∴， ∵，∴，故答案为：（答案不唯一）． 17．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在中，平分，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴， ∵平分，∴，∵，∴， ∴，∴，故答案为： 18.（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简： ． 【答案】/ 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴，∴， ∴；故答案为：． 19．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，为边上的高，，，则 ． 【答案】或 【详解】解：①如图，在的内部， ∵为边上的高，∴，∵，∴， ∴； ②如图，在的外部， ∵为边上的高，∴，∵，∴， ∴；故答案为或． 20．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，已知的面积为，分别延长至点，使，延长至点，使，延长至点，使，依次连接，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵，∴，∵，∴， ∴，同理可得，，， ∴，故答案为：． 21．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图方格纸中，每个小正方形边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．(1)画出中边上的高；(2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______．(4)，直接写出______． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)(4) 【详解】（1）解：如图所示，为所求； （2）解：如图所示，为所求； （3）解：； （4）解：∵，，∴． 22．（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，．(1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 【答案】(1)(2)的周长为21 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：，即，是偶数，； （2）解：的周长为13，， ，，是的中线，，， ，的周长． 23．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，，根据下列要求画图并回答问题： (1)画边上的高；(2)点到直线的距离是线段______的长度； (3)边上有一点，连接，如果，那么线段是的______；（填“高”、“中线”或“角平分线”），并在图中画出．(4)在（1）（3）的条件下，如果，，那么______． 【答案】(1)见解析(2)(3)中线(4)30 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：点到直线的距离是线段的长度，故答案为：； （3）解：如图，∴线段是的中线，故答案为：中线； （4）解：， ，故答案为：． 24．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形内找一点，使它与四边形四个顶点的距离的和最小，并说出你的理由． 【答案】见解析 【详解】解：连接，它们相交于点，则点到四个顶点的距离之和最小． 理由如下：∵，且， ∴，∴，即四边形对角线的交点到四边形四个顶点的距离之和最小，即我们所找的点． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$