暑假作业02 直角三角形（12大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

完成时间： 月 日 天气： 作业02 直角三角形 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：直角三角形的性质 】 1．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·湖北荆州·三模）在中，平分，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是 ． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，分别是，上的点，已知． (1)试说明． (2)若平分，，求的度数． 5．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，，，点是边上一点，且，过点作于点，与交于点，过点作，垂足为点．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【题型二：直角三角形的判定 】 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．（2024春•盐城月考）在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．（2024秋•浉河区校级月考）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．求证：△ACD是直角三角形． 5．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC． （1）求∠BAE； （2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形． 【题型三：添加条件利用HL使三角形全等 】 1．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点B，F，C，E 在一条直线上，，则可得到的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，，若，则的理由是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是 ． 5．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【题型四：利用HL证明三角形全等 】 1．已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形．    2．（2024·四川泸州·统考模拟预测）如图，，，，、是垂足，，求证：．    3．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 4．（2023下·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在中，点是的中点，，，且． (1)求证：≌； (2)连接，求证：平分． 5．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，，，是上的一点，且，． (1)证明： ； (2)判断的形状，并说明理由． 【题型五：利用HL和全等三角形性质的运用 】 1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 4．（2025·湖南怀化·三模）如图，在中，为边上的高，垂足为，为上一点，且，，延长交于点. (1)求证：； (2)若，，求的长. 5．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【题型六：判段逆命题的真假 】 1．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）下列命题的逆命题是真命题的有（    ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．全等三角形的对应边相等 D．对顶角相等 3．（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）下列命题中，逆命题正确的是（    ） A．如果两个实数相等，那么他们的绝对值相等 B．如果两个角是直角，那么这两个角相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，内错角相等 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列各命题的逆命题不成立的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．如果两个实数相等，那么它们的立方相等 C．对顶角相等 D．三边分别相等的两个三角形全等 5．（24-25八年级上·湖南永州·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．每个定理都有逆定理 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的底角必为锐角 D．等腰三角形的顶角一定是锐角 【题型七：判段三边能否构成直角三角形 】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）用下列长度的线段首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（2025·河北邯郸·一模）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川南充·期中）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2﹣b2＝c2，则下列说法正确的是（　　） A．∠A是直角 B．∠B是直角 C．∠C是直角 D．∠A是锐角 5．已知a，b，c是△ABC的三边长，根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形． （1）a＝11，b＝31，c＝21； （2）a＝m2﹣n2，b＝m2+n2，c＝2mn（m＞n，m，n为正整数）． 【题型一： 网格中的直角三角形 】 1．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·北京·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 【题型二： 利用勾股定理的逆定理计算 】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，D为的边上一点，已知，，，，则的长为（    ）    A．18 B．21 C．20 D．23 2．（24-25八年级上·河南开封·期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（   ） A．12 B．10 C． D． 4．（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，在中，，，，是的边上的高，且，，求的长． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，，D为边上一点，，过D作于E，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【题型三： 勾股定理的逆定理的实际应用 】 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O（    ） A．北偏东的方向上 B．北偏东的方向上 C．南偏东的方向上 D．南偏东的方向上 3．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． (1)求的度数； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 【题型一： 勾股定理的逆定理的综合运用 】 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标． 4．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 5．（2025·河南南阳·二模）定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰直角三角形，则这个对角线叫做“奋进线”，这个四边形叫做“奋进四边形”． (1)①如图1，在四边形中，若，，则四边形______（填“是”或“否”）“奋进四边形”，若是，则______是“奋进线”（若不是，此空不填）； ②如图1，若四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，且，，时，当为等腰三角形时，的长为______； (2)如图2，四边形和四边形均为“奋进四边形”，，，对角线分别为这两个四边形的“奋进线”，求证：； (3)如图3，四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，若，，，当为“奋进线”时，且恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时的长． 【题型二： 与直角三角形有关的综合题 】 1．（2023上·河北衡水·八年级校考期末）如图，在中，，，于E，点F在边上，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，直接写出线段，，的数量关系． 2．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，是的中点，将一把三角尺的直角顶点与重合，并绕点旋转，使该三角尺的两直角边与边、相交于点、（、不与A、、重合），连接． (1)在旋转过程中，试观察的形状，并证明你的结论； (2)试猜想：线段、、能否组成一个直角三角形？若能，请给出证明；若不能，请说明理由． 3．（2024上·福建莆田·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，A，P分别是x轴、y轴正半轴上的点，B是线段上一点，连接． (1)如图1，轴于点A，，D是上一点，且； ①求证：； ②若，求证：； (2)如图2，，G是的中点，连接，M是x轴负半轴上一点，，当点P在y轴正半轴上运动时，点M的坐标是否会发生变化？若不变，求点M的坐标；若改变，求出其变化的范围． 4．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A、B、C坐标分别为，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求证：； (3)如图2，点G在延长线上，连接，F是上一点，过点F作的垂线交y轴于点D，D点坐标，垂足为E，当时，求F点坐标． 5．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图1，在中，，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位长的速度运动到点B，动点Q同时从点B出发，沿边以每秒1个单位长的速度运动到点C，设点P，Q运动时间为t（s）． (1)求的度数； (2)当是等边三角形时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，求当是直角三角形时t的值； (4)如图2，若D是边的中点，连接，，请直接写出的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 直角三角形 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：直角三角形的性质 】 1．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，在中，，点在边上，将沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合得到，再利用三角形外角的性质得到，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得，，， 又， ， ， ， ． 故选：C． 2．（2025·湖北荆州·三模）在中，平分，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形的性质（两锐角互余）以及角平分线的定义，先根据直角三角形两锐角互余求出的度数，再利用角平分线的性质求出的度数． 【详解】解：在中，，， , 平分， ． 故选：B． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形的两个锐角互余，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分情况讨论：当或当时，根据三角形内角和，和直角三角形的两个锐角互余分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，为直角三角形, 此时， 当时，为直角三角形, 此时 ∵ ∴， 故答案为：或． 4．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，在中，，，分别是，上的点，已知． (1)试说明． (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定与性质，熟练掌握直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定与性质是解决问题的关键． （1）根据直角三角形性质得，再根据得，然后根据同位角相等两直线平行即可得出结论； （2）先求出，再根据（1）的结论得，然后根据角平分线的定义即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ； （2）解：，， 由（）可知：， ， ， 平分， ． 5．（24-25八年级上·吉林四平·阶段练习）如图，在中，，，点是边上一点，且，过点作于点，与交于点，过点作，垂足为点．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键． （1）过点C作于点G，根据直角三角形的两锐角互余及角平分线的定义即可得解； （2）由，得出，即得，根据三角形外角定理得出，由（1）知，可得，由“等角对等边”即可得解． 【详解】（1）证明：如图，    ∵， ∴为等腰三角形， ∵， ∴ ， ∵于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰三角形， 理由：∵，， ∴， ∵，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【题型二：直角三角形的判定 】 1．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断． 【详解】解：①由得到，即，是直角三角形； ②由题可得，是直角三角形； ③由得到2，解得，，不是直角三角形； ④由得到，解得，，，是直角三角形； ⑤由得到，解得，不是直角三角形； 故选：C． 2．（2024春•盐城月考）在下列条件中①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝∠B＝2∠C，④∠A＝2∠B＝3∠C，中能确定△ABC为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【详解】解：①∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠B＝∠C180°＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， ③∵设∠C＝x，则∠A＝∠B＝2x， ∴2x+2x+x＝180°，解得x＝36°， ∴2x＝72°，故本小题不符合题意； ④设∠A＝6x，∠B＝3x，∠C＝2x，则6x+2x+3x＝180°， 解得x＝（）°，故6x≠90°， ∴△ABC是不直角三角形，故本小题符合题意； 综上所述，是直角三角形的是①②共2个． 故选：B． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）满足下列条件的，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．利用以上知识点对各选项分别判断，即可求解． 【详解】解：A、由，设，则，，，得，是直角三角形，故本选项不符合题意； B、由，得，根据三角形内角和定理，，是直角三角形，故本选项不符合题意； C、由，可得，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、由，得最大角，不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 4．（2024秋•浉河区校级月考）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．求证：△ACD是直角三角形． 【分析】根据直角三角形的性质得到∠A+∠B＝90°，根据题意得出∠ADC＝90°，证明结论． 【详解】证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠ACD＝∠B， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴△ACD是直角三角形． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 5．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC． （1）求∠BAE； （2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形． 【分析】（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠BAE的度数； （2）由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠BAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF的度数． 【详解】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣62°＝88°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC88°＝44°； （2）证明：∵AD⊥BC； ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣44°＝16°， ∵∠ADF＝74°， ∴∠ADF+∠EAD＝74°+16°＝90°， ∴∠AFD＝90°， ∴△ADF是直角三角形． 【点睛】此题考查了三角形内角和定理与直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 【题型三：添加条件利用HL使三角形全等 】 1．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点B，F，C，E 在一条直线上，，则可得到的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据题目中的条件，可以写出判断的依据，即可解答．解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法． 【详解】解：， ， 故选：D． 2．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用“”证明三角形全等，根据“”证明三角形全等的条件即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 当时， 在和中 ， ∴． 故选：B 3．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，，若，则的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，能熟练地运用全等三角形的判定定理进行推理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵在和中 ， ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”直接证明，应添加的条件是 ． 【答案】 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定方法“”是解题的关键． 根据“”判定方法求解即可． 【详解】解：应添加的条件是，理由是： ∵，， ∴， ∵，， ∴，即应添加的条件是， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，，若利用证明，需添加的条件是 ．（写出一种即可） 【答案】（或） 【分析】本题主要考查的是直角三角形全等的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 根据两个直角三角形全等的判定方法HL，即“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”即可求解． 【详解】解：， 和都是直角三角形， ，， 当或时，． 故答案为：（或）． 【题型四：利用HL证明三角形全等 】 1．已知：在中，D为的中点，，，垂足分别为点E、F，且．求证：是等腰三角形．    【答案】见解析 【分析】易得，，即可根据证明，则，即可求证． 【详解】证明：∵，，垂足分别为点E，F， ∴， ∵D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等，等角对等边． 2．（2024·四川泸州·统考模拟预测）如图，，，，、是垂足，，求证：．    【答案】见解析 【分析】求出，根据定理推出即可 ． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的判定定理有，，，，． 3．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得，证明，即可证明； （2）证明，得到即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 4．（2023下·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在中，点是的中点，，，且． (1)求证：≌； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】求出，，根据证出≌即可； 根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的判定推出即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ，， ， 在与中 ， ≌， （2）证明：≌， ，， ， 平分． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定和等腰三角形的判定的应用． 5．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，，，是上的一点，且，． (1)证明： ； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)是等腰直角三角形，理由见解析． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定，掌握全等三角形的性质定理和判定定理是解题的关键． （）先由等腰三角形的判定可得，然后证明，根据“”证明即可； （）由（）可知，，再通过全等三角形的性质得出，然后求出，即有，最后通过等腰三角形的定义即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：是等腰直角三角形，理由： 如图， 由（）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【题型五：利用HL和全等三角形性质的运用 】 1．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）运用“”定理直接证明，即可得解； （2）求出，证出，即可得解． 【详解】（1）证明：， 与为直角三角形， 在与中， ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的应用，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形判定定理． （1）由，，可得，再由 “”即可证明； （2）由可知，进而求得，结合，即可得解． 【详解】（1）解：证明： ，， ， 在和中 ； （2）解：， ∴， ， ， ∴， ， ∴， ， ． 3．（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图，已知，，与相交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求的值并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)6；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，所对直角边是斜边的一半，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用证明，即可作答． （2）先得，因为是的外角，故，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴与都是直角三角形， 在和中， ， ； （2）解：∵， ∴， ∵是的外角， ∴ ∴， ∵， ∴． 4．（2025·湖南怀化·三模）如图，在中，为边上的高，垂足为，为上一点，且，，延长交于点. (1)求证：； (2)若，，求的长. 【答案】(1)见解析 (2)14 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握直角三角形的判定方法. （1）根据即可证明； （2）由勾股定理求出，再根据线段的和差即可求解. 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ∴； （2）解：在中，， ， . 5．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 【题型六：判段逆命题的真假 】 1．（24-25八年级下·辽宁辽阳·期中）下列命题的逆命题是真命题的有（    ） （1）对顶角相等；（2）全等三角形的面积相等；（3）如果，那么；（4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了写出命题的逆命题，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分别写出各个命题的逆命题，然后判断是否为真命题即可． 【详解】解：（1）对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，是假命题； （2）全等三角形的面积相等的逆命题是面积相等的两个三角形是全等三角形，是假命题； （3）如果，那么的逆命题是若，则，是假命题； （4）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等的逆命题到这条线段两个端点的距离相等的点在这条线段垂直平分线上，是真命题； 因此以上命题的逆命题是真命题的有1个； 故选：A． 2．（24-25八年级下·广东惠州·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A．同旁内角互补，两直线平行 B．角平分线上的点到角的两边距离相等 C．全等三角形的对应边相等 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题与逆命题，分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可，能够写出各个命题的逆命题是解题的关键． 【详解】、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题，不符合题意； 、逆命题为：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，正确，是真命题，不符合题意； 、逆命题为：对应边相等的三角形全等，正确，是真命题，不符合题意． 、逆命题为：相等的角是对顶角，错误，是假命题，符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级下·福建莆田·阶段练习）下列命题中，逆命题正确的是（    ） A．如果两个实数相等，那么他们的绝对值相等 B．如果两个角是直角，那么这两个角相等 C．对顶角相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了实数绝对值的性质、对顶角的性质、平行线的性质，解决此题的关键是掌握这些基本性质，即可快速解决这类题型． 根据实数绝对值的性质、对顶角的性质、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、该选项的逆命题是：两个实数，如果它们的绝对值相等，那么这两个实数相等； 例如：，故本选项错误，不符合题意； B、该选项的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角； 不一定是直角，故本选项错误，不符合题意； C、该选项的逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角， 不一定是对顶角，故本选项错误，不符合题意； D、该选项的逆命题是：内错角相等，两直线平行，正确，符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）下列各命题的逆命题不成立的是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．如果两个实数相等，那么它们的立方相等 C．对顶角相等 D．三边分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【分析】分别写出各选项的逆命题，然后判断正误即可．本题考查了逆命题，平行线的判定，全等三角形的判定，对顶角相等，实数等知识．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：由题意知，A中逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，故不符合要求； B中逆命题为实数的立方相等，这两个实数相等，正确，故不符合要求； C中逆命题为相等的角是对顶角，错误，故符合要求； D中逆命题为两个全等三角形的三边分别相等，正确，故不符合要求； 故选：C． 5．（24-25八年级上·湖南永州·期中）下列命题为真命题的是（   ） A．每个定理都有逆定理 B．三个角对应相等的两个三角形全等 C．等腰三角形的底角必为锐角 D．等腰三角形的顶角一定是锐角 【答案】C 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理的定义，根据等腰三角形的性质，全等三角形的判定定理，定理的定义，逐一判断各个选项即可． 【详解】解：A．每个定理都有逆命题，但不一定有逆定理，故不正确，是假命题； B．三个角对应相等的两个三角形不一定全等，故不正确，是假命题； C．等腰三角形的底角必为锐角，正确，是真命题； D．等腰三角形的顶角不一定是锐角，故不正确，是假命题； 故选C． 【题型七：判段三边能否构成直角三角形 】 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）用下列长度的线段首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，用勾股定理逆定理逐一判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理：若三角形三边满足，那么这个三角形是直角三角形是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴能构成直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，符合题意； 故选：． 2．（2025·河北邯郸·一模）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，，故A不正确； B、，，故B正确； C、，，故C不正确； D、，，故D不正确． 故选：B． 3．（24-25八年级下·四川南充·期中）已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．底与腰不相等的等腰三角形 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理和非负数的性质，几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可得，则，进而可证明，则该三角形是直角三角形． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该三角形是直角三角形， 故选：A． 4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c且a2﹣b2＝c2，则下列说法正确的是（　　） A．∠A是直角 B．∠B是直角 C．∠C是直角 D．∠A是锐角 【答案】A 【分析】如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：由a2﹣b2＝c2，可得c2+b2＝a2， ∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°， 故选：A． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出这个三角形就是直角三角形解答． 5．已知a，b，c是△ABC的三边长，根据下列条件，判断△ABC是不是直角三角形． （1）a＝11，b＝31，c＝21； （2）a＝m2﹣n2，b＝m2+n2，c＝2mn（m＞n，m，n为正整数）． 【分析】b＞c＞a，判断△ABC是不是直角三角形，只需判断a与c的平方和是否等于b的平方． 【详解】解：（1）显然b＞c＞a， ∵b2＝312＝961，a2+c2＝112+212＝562，a2+c2≠b2， ∴△ABC不是直角三角形； （2）∵m＞n， ∴（m﹣n）2＞0， 即m2﹣2mn+n2＞0，可得m2+n2＞2mn． 又m2+n2＞m2﹣n2， ∴m2+n2是最长边． ∵（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+2m2n2+n4＝（m2+n2）2， 即a2+c2＝b2， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理．解题的关键是灵活利用勾股定理的逆定理． 【题型一： 网格中的直角三角形 】 1．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数． 【详解】解：根据勾股定理可得： ，， ，即， 是等腰直角三角形． ． 故选：A． 2．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟悉掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，利用勾股定理求出三角形各边的长度，再用逆定理证明为直角，再通过等腰三角形的性质运算求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： 根据勾股定理可得：，， ， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．已知点A和点B在格点上，在网格中的格点上另找一点C，使A，B，C三点构成一个直角三角形，则这样的点C共有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】此题考查了直角三角形的判定，网格的性质， 根据题意分别作出以A，B，C三点为顶点的直角三角形，进而求解即可． 【详解】如图所示， ∴这样的点C共有5个． 故选：A． 4．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 5．（24-25八年级下·北京·期中）如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 【答案】(1)；5 (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：， ； （2）解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 【题型二： 利用勾股定理的逆定理计算 】 1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，D为的边上一点，已知，，，，则的长为（    ）    A．18 B．21 C．20 D．23 【答案】B 【分析】根据得到，根据勾股定理得到，结合，解答即可． 本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·河南开封·期末）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，则，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（   ） A．12 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，，延长到E，使得，连接，证明得到，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级下·天津河西·期中）如图，在中，，，，是的边上的高，且，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，勾股逆定理，先由勾股定理算出，再结合，则，故的面积，然后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：，，， ， ， 是直角三角形，， 的面积， ． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，，，D为边上一点，，过D作于E，． (1)求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，角直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）可得，先根据角直角三角形的性质求出，，再对运用勾股定理求解； （2）先由勾股定理求出，再由四边形的面积求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍负）； （2）解：∵，，， ∴， ∴四边形的面积． 【题型三： 勾股定理的逆定理的实际应用 】 1．（23-24八年级下·山西吕梁·期末）如图，老李家有一块草坪，家里想整理它，需要知道其面积，老李测量了草坪各边得知：米，米，米，米，且．则这块草坪的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．解题的关键是在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．体会数形结合的思想的应用．连接，根据勾股定理，求得，再根据勾股定理的逆定理，判断是直角三角形．这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和． 【详解】解：连接，如图， ， ， 米，米， 米， 米，米， ， 为直角三角形， 这块草坪的面积， 故选：A． 2．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，，，，点A在点O的北偏西方向，则点B在点O（    ） A．北偏东的方向上 B．北偏东的方向上 C．南偏东的方向上 D．南偏东的方向上 【答案】A 【分析】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，求出，然后再求出的余角即可解答． 【详解】解：，，， ， 是直角三角形， ， 由题意得：， 点在点的北偏东方向上， 故选：A． 3．（23-24八年级下·河北廊坊·期中）如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，根据题意，可得，可得是直角三角形，结合图形用正方形的面积减去直角三角形的面积即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形， ∴，且正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选： C． 4．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． (1)请求出的长度； (2)根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】(1)的长度为 (2)该车符合安全标准 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； （2）解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 5．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． (1)求的度数； (2)若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 【答案】(1) (2)这辆车不能被摄像头监控到，理由见解析． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用勾股定理求出所需边的长度，从而进行计算． （1）连接，易得，由勾股定理求出的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，则，即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于，由（1）易得是等腰直角三角形，即，再由勾股定理求出，再根据车到点距离得出车到点A距离，对比车到点A距离和的长度即可得到结论． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， 在中，有， ∴是直角三角形， ∴， ∴． （2）解：这辆车不能被摄像头监控到，理由如下： 过点作，交的延长线于， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 即点为摄像头能监控的最远位置， 在中，， ∵车到点距离为，， ∴车到点距离为， ∵， ∴这辆车不能被摄像头监控到． 【题型一： 勾股定理的逆定理的综合运用 】 1．（23-24八年级下·福建厦门·期中）定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割． (1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由； (2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)BN＝12或13 【分析】（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题． 【详解】（1）是．理由如下： ∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25， ∴AM2＋NB2＝MN2， ∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形， ∴点M、N是线段AB的勾股分割点． （2）设BN＝x，则MN＝30−AM−BN＝25−x， ①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2， 即（25−x）2＝x2＋25， 解得x＝12； ②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2． 即x2＝25＋（25−x）2， 解得x＝13， 综上所述，BN＝12或13． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 3．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将点代入求解即可； （2）先确定，根据两点间的距离得，，，继而得到，推出，再利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴的值为； （2）∵直线与轴交于点， 当时，得：，解得：， ∴， 由（1）知：， ∴，，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）①当时， 由（2）知：， 此时点与点重合， ∴点的坐标为， ②当时，即，此时点的横坐标为，如图， ∵直线， 当时，得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查函数图象点的坐标特征，勾股定理的逆定理，两点间的距离，直角三角形的定义等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 4．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 5．（2025·河南南阳·二模）定义：在一个四边形中，若一条对角线能把该四边形分成的两个三角形中，至少有一个三角形为等腰直角三角形，则这个对角线叫做“奋进线”，这个四边形叫做“奋进四边形”． (1)①如图1，在四边形中，若，，则四边形______（填“是”或“否”）“奋进四边形”，若是，则______是“奋进线”（若不是，此空不填）； ②如图1，若四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，且，，时，当为等腰三角形时，的长为______； (2)如图2，四边形和四边形均为“奋进四边形”，，，对角线分别为这两个四边形的“奋进线”，求证：； (3)如图3，四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”，若，，，当为“奋进线”时，且恰好为等腰直角三角形的一条直角边，直接写出此时的长． 【答案】(1)①是；；②或 (2)详见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理与勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等待，正确理解“奋进四边形”的定义是解题的关键． （1）①可证明，则可利用勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，据此可得结论； ②可利用勾股定理的逆定理证明不是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，据此分和，两种情况利用勾股定理求解即可； （2）由题意知：和都是等腰直角三角形，则可证明，得到； （3）同理可证明不是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，再分和，两种情况画出示意图讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵在四边形中，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴四边形是“奋进四边形”，且是“奋进线”； ②当时， ∵， ∴此时不是等腰直角三角形， 同理可得当时，不是等腰直角三角形， ∵四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， 当时，则； 当时，； 综上所述，的长为或； （2）解：由题意知：和都是等腰直角三角形， ∵， ，， ∵ ， ， ； （3）解：同理可证明不是等腰直角三角形， ∵四边形为“奋进四边形”，为“奋进线”， ∴是等腰直角三角形， 当时，如图1，作，取，连接， 同理可证明， ， ，是等腰直角三角形， ，， ， ， ∴由勾股定理得， ， 当时，如图，同理可得， 综上：或． 【题型二： 与直角三角形有关的综合题 】 1．（2023上·河北衡水·八年级校考期末）如图，在中，，，于E，点F在边上，连接． (1)求证：； (2)若，，求的长； (3)若，直接写出线段，，的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，等量代换思想． (1)证明即可． (2)根据勾股定理，得，结合，得到，，设，则,，利用勾股定理计算即可． (3)根据三角形全等的性质，结合已知等量代换证明即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）得：， ∴，，， 设，则,， 根据勾股定理，得， 解得∴． ∴． （3），理由如下： 由（1）得：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在中，，，是的中点，将一把三角尺的直角顶点与重合，并绕点旋转，使该三角尺的两直角边与边、相交于点、（、不与A、、重合），连接． (1)在旋转过程中，试观察的形状，并证明你的结论； (2)试猜想：线段、、能否组成一个直角三角形？若能，请给出证明；若不能，请说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形，证明见解析； (2)线段、、能组成一个直角三角形，证明见解析． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、余角的性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）如图：连接，根据题意以及等腰三角形的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质可得：，即可得到是等腰直角三角形； （2）根据可证，根据全等三角形的性质可证，由可知， 根据全等三角形的性质可证，因为，所以，等量代换可得，根据勾股定理的逆定理可知线段、、能组成一个直角三角形． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形， 证明如下： 如图：连接， 在中，，， ， 点O是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：能， 证明如下： 在中，，， ， 点O是的中点， ，， ， ， ， ， ， ， 在与中，， ， ， 由可知， ， ， ， ， 线段、、能组成一个直角三角形． 3．（2024上·福建莆田·八年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，A，P分别是x轴、y轴正半轴上的点，B是线段上一点，连接． (1)如图1，轴于点A，，D是上一点，且； ①求证：； ②若，求证：； (2)如图2，，G是的中点，连接，M是x轴负半轴上一点，，当点P在y轴正半轴上运动时，点M的坐标是否会发生变化？若不变，求点M的坐标；若改变，求出其变化的范围． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)不变， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意知，，，进而可证；②如图1，延长交轴于，过作的延长线于，由，可得，，证明，则； （2）如图，延长到，使，连接，过作于，证明，则，证明，则，进而可求点坐标． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②证明：如图1，延长交轴于，过作的延长线于， 由（1）知，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长到，使，连接，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点A、B、C坐标分别为，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求证：； (3)如图2，点G在延长线上，连接，F是上一点，过点F作的垂线交y轴于点D，D点坐标，垂足为E，当时，求F点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由三点的坐标及勾股定理求得的长，即可证明； （2）由（1）所求，再求出的长，利用勾股定理的逆定理即可证明； （3）过点作y轴的垂线，垂足为，设与y轴交点为，先由证明，结合可得，从而得，再利用证明，则，从而得，最后求得点F的坐标． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （3）解：过点作y轴的垂线，垂足为，设与y轴交点为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理及逆定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识，证明三角形全等是解题的关键． 5．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图1，在中，，，，．动点P从点A出发，沿边以每秒2个单位长的速度运动到点B，动点Q同时从点B出发，沿边以每秒1个单位长的速度运动到点C，设点P，Q运动时间为t（s）． (1)求的度数； (2)当是等边三角形时，求t的值； (3)在点P，Q的运动过程中，求当是直角三角形时t的值； (4)如图2，若D是边的中点，连接，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)t的值为5或8 (4)15． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，从而可得的度数； （2）依题意得， ， ，再根据得当时，是等边三角形，则，由此解出t即可得出答案； （3）当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，则，进而得，则，由此解得；②当时，则，进而得，则，由此解得，综上所述即可得出答案； （4）过点C作于点F，在的延长线上取一点E，使，连接，，，则，，进而得是等腰三角形，，证明得是等边三角形，再由勾股定理求出，继而根据“两点之间线段最短”得，则的最小值为15，由此即可得出的最小值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∴； （2）依题意得：， ， ∴， ∵， ∴当时，是等边三角形， ∴， 解得：， ∴当是等边三角形时，t的值为； （3）当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1所示： ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得：； ②当时，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上所述：当是直角三角形时，t的值为5或8； （4）过点C作于点F，在的延长线上取一点E，使，连接，，，如图3所示： ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴是等腰三角形，， ∴， 由（1）可知：， 又∵， ∴， ∴， ∴等腰三角形是等边三角形， ∴， ∵点D是的中点， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴， ∴的最小值为15， ∵， ∴的最小值为15． 【点睛】此题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，线段的性质，熟练掌握含有30°角的直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，理解两点之间线段最短是解决问题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$