暑假作业01 等腰三角形（15大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 等腰三角形 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：等腰三角形性质的计算问题】 1．（2024•兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　　） A．100° B．115° C．130° D．145° 【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解． 【详解】解：在△ABC中，AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠BAC＝130°， ∴∠B＝∠C25°， ∵DA⊥AC， ∴∠DAC＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 2．（2024秋•云梦县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 【分析】根据已知可得BD+CD＝5，从而可得AB＝AC＝5，然后利用等腰三角形的三线合一性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵BC＝3，且△BDC的周长为8， ∴BD+CD＝8﹣3＝5， ∵AD＝BD， ∴AD+DC＝5， ∴AC＝5， ∵AB＝AC， ∴AB＝5， ∵AD＝DB，DE⊥AB， ∴AEAB＝2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2024春•西安月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 【分析】先得出AD是△ABC的中线，得出S△ABC＝2S△ABD＝2AB•DE＝AB•DE＝5AB，又S△ABCAC•BF，将AC＝AB代入即可求出BF． 【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD是△ABC的中线， ∴S△ABC＝2S△ABD＝2AB•DE＝AB•DE＝5AB， ∵S△ABCAC•BF， ∴AC•BF＝5AB， ∵AC＝AB， ∴BF＝5， ∴BF＝10（cm）， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键． 4．（2024春•藁城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝DC，AE⊥BD，若∠DAE＝28°，则∠BAE＝　 　°． 【分析】根据等腰三角形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵AE⊥BD， ∴∠ARD＝90°， ∵∠DAE＝28°， ∴∠ADB＝62°， ∵∠ABC＝90°，AD＝DC， ∴AD＝BD， ∴∠DAB＝∠ABD（180°﹣62°）＝59°， ∴∠BAE＝∠BAD﹣∠DAE＝31°， 故答案为：31． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【题型二：等腰三角形性质的证明问题 】 1．已知，如图在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P为BC的中点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E， 求证：PD＝PE． 【分析】首先连接AP，由在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P为BC的中点，根据等腰三角形的三线合一的性质，即可得∠BAP＝∠CAP，又由PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，根据角平分线的性质，即可证得PD＝PE． 【详解】解：连接AP， ∵在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P为BC的中点， ∴∠BAP＝∠CAP， ∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴PD＝PE． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与角平分线的性质．此题比较简单，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 2．如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F， 求证：EC∥DF． 【分析】先由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据角平分线定义得到∠DBC∠ABC，∠ECB∠ACB，那么∠DBC＝∠ECB，再由∠DBC＝∠F，等量代换得到∠ECB＝∠F，于是根据平行线的判定得出EC∥DF． 【详解】证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD、CE为底角的平分线， ∴∠DBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠DBC＝∠ECB， ∵∠DBC＝∠F， ∴∠ECB＝∠F， ∴EC∥DF． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线定义，平行线的判定，难度适中．得出∠DBC＝∠ECB是解题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F． （1）求证：∠CBE＝∠BAD； （2）若CE＝EF，求证：AF＝2BD． 【分析】（1）根据∠CBE+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°，得出∠CBE＝∠CAD，再根据等腰三角形的性质得出∠CAD＝∠BAD即可得证结论； （2）根据AAS证△BCE≌△AFE，得出AF＝BC，根据BC＝2BD，即可得证结论． 【详解】证明：（1）∵∠CBE+∠C＝90°，∠CAD+∠C＝90°， ∴∠CBE＝∠CAD， ∵AB＝AC，AD是BC边上的中线， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠CBE＝∠BAD； （2）由（1）知∠CBE＝∠CAD， 在△BCE和△AFE中， ， ∴△BCE≌△AFE（AAS）， ∴AF＝BC， ∵BC＝2BD， ∴AF＝2BD． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 4．（2024春·湖南·八年级期末）如图，在中，，点D在边上，，，，垂足分别为E，F． (1)求证； (2)若，求证． 【分析】（1）先证明，再根据可证； （2）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，，再证明，根据角平分线的性质可知，进一步即可得证． 【详解】（1）证明： ，， ，， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：过点作于点，如图所示： ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【题型三：等腰三角形的判定个数问题 】 1．（2024秋•灌南县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【分析】由已知条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏． 【详解】解：AB＝AC，∠ABC＝36°， ∴∠BAC＝108°， ∴∠BAD＝∠DAE＝∠EAC＝36°， ∴等腰三角形△ABC，△ABD，△ADE，△ACE，△ACD，△ABE，共有6个， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键，难度适中． 2．如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于F，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据三角形高线的性质及直角三角形的性质推出∠ADC＝∠ADB＝90°，∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°，∠DAC＝90°﹣∠C＝45°，从而利用等腰三角形的判定定理得到△ADC是等腰三角形，再根据角平分线的性质得到∠ABF＝∠CBE∠ABC＝30°，从而由∠ABF＝∠BAD推出△ABF是等腰三角形，而∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°，∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA，进而求解． 【详解】解：∵AD是边BC上的高线， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠ABC＝60°，∠C＝45°， ∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝30°， ∠DAC＝90°﹣∠C＝45°， ∴△ADC是等腰三角形， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠ABF＝∠CBE∠ABC＝30°， ∴∠ABF＝∠BAD， ∴△ABF是等腰三角形， 则∠BEA＝∠EBC+∠C＝45°+30°＝75°， 而∠BAC＝180°﹣60°﹣45°＝75°＝∠BEA， 故△ABE为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定及直角三角形的性质，应充分运用数形结合的思想方法，结合图形从中寻找角之间的关系，结合相关定理及性质进行求解． 3．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的格点C有（　　） A．3个 B．5个 C．6个 D．8个 【分析】根据等腰三角形的判定即可确定． 【详解】解：如图所示： 满足条件的点C有6个， 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键． 4．（2024春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在中，度，，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】根据等腰三角形的判定定理，分情况讨论，正确作图，即可得到结论． 【详解】解：如下图， 作垂直平分线与相交于点P，可得， 以A为圆心，为半径画圆，交有两个交点，可得， 以B为圆心，为半径画圆，交有一个交点，可得， 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质 ，解题的关键是正确作图，分情况讨论． 【题型四：等腰三角形判定的证明问题 】 1．已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠BAD，等量代换得到∠ADE＝∠CAD于是得到结论． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠CAD ∴AE＝ED， ∴△AED是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 2．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形． 【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形． 【详解】证明：∵DF⊥AC， ∴∠DFA＝∠EFC＝90°． ∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF， ∵BD＝BE， ∴∠BED＝∠D． ∵∠BED＝∠CEF， ∴∠D＝∠CEF． ∴∠A＝∠C． ∴△ABC为等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定方法；角的等量代换是正确解答本题的关键． 3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BP，CQ是△ABC两腰上的高．求证：△BCO是等腰三角形． 【分析】根据等边对等角得到∠ABC＝∠ACB，再根据等角的余角相等得到∠OBC＝∠OCB，从而证明OB＝OC． 【详解】证明： 在△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB； ∵BP、CQ分别是两腰AC、AB上的高， ∴∠BQC＝∠CPB＝90°， ∵∠OBC＝90°﹣∠ACB，∠OCB＝90°﹣∠ABC， ∴∠OBC＝∠OCB； ∴OB＝OC， ∴△BCO为等腰三角形． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，综合利用了三角形内角和，直角三角形两锐角的性质，对各知识点能够熟练运用是解题的关键． 4．已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC是等腰三角形． 【分析】过点D作DG∥AE于点G，利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF，进而利用ASA得出△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 【详解】证明：过点D作DG∥AE于点G， ∵DG∥AC ∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等）， 在△GDF和△CEF中， ， ∴△GDF≌△CEF（ASA）， ∴DG＝CE 又∵BD＝CE， ∴BD＝DG， ∴∠DBG＝∠DGB， ∵DG∥AC， ∴∠DGB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 【题型五：等边三角形性质的计算问题 】 1．如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠DEC的度数为（　　） A．60° B．75° C．105° D．115° 【分析】根据等边三角形三线合一的性质可求出∠DAC＝30°，结合AD等于AE求出∠AED的度数即可解出∠DEC的度数． 【详解】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点， ∴∠DAC＝30°（三线合一）， 在△ADE中，AD＝AE， ∴∠AED＝∠ADE（180°﹣30°）＝75°， ∵∠AED+∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝180°﹣75°＝105°， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，解题关键在于能够熟练掌握该知识并进行合理运用． 2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【分析】利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和依次计算∠GDC和∠E即可． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°． ∵∠ACB＝∠CGD+∠CDG， ∴∠CGD+∠CDG＝60°． ∵CG＝CD， ∴∠CGD＝∠CDG＝30°． ∵∠CDG＝∠DFE+∠E， ∴∠DFE+∠E＝30°． ∵DF＝DE， ∴∠E＝∠DFE＝15°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的内角和定理的推论，等腰三角形的判定与性质，利用等边对等角和三角形的外角 等于和它不相邻的两个内角的和解答是解题的关键． 3．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】先根据等边三角形的性质推出∠AFD＝∠BDE，再证△AFD和△BDE全等，得出BD＝AF＝2，BE＝AD，根据等边△ABC的周长求出AB的长，于是得出AD的长，即可求出BE的长． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°， ∴∠ADF+∠AFD＝120°， ∵△DEF是等边三角形， ∴∠FDE＝60°，DF＝ED， ∴∠ADF+∠BDE＝120°， ∴∠AFD＝∠BDE， 在△AFD和△BDE中， ， ∴△AFD≌△BDE（AAS）， ∴BD＝AF＝2，BE＝AD， ∵△ABC的周长为15且△ABC是等边三角形， ∴AB＝5， ∴AD＝AB﹣BD＝5﹣2＝3， ∴BE＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 4．如图，已知等边三角形的边长为，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ．    【分析】延长，过点Q作于点F，先证明，得出，，再证明，得出，即可求解． 【详解】解：延长，过点Q作于点F， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：．        【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等边三角形三个角都是，正确画出辅助线，构造全等三角形． 【题型六：等边三角形的性质的证明问题 】 1．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE． 【分析】根据等边三角形的性质可得到两组边对应相等，一组角相等，从而利用SAS判定两三角形全等，根据全等三角形的对应边相等即可得到BD＝CE． 【详解】证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形（已知）， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°（等边三角形的性质）． ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC（等式的性质），即∠BAD＝∠CAE． 在△BAD与△CAE中， ∵， ∴△BAD≌△CAE（SAS）． ∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质；证明线段相等常常通过三角形全等进行解决，全等的证明是正确解答本题的关键． 2．如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE． 求证：CD＝CE． 【分析】根据等边三角形的性质得到BD⊥AC，∠ACB＝60°，求得∠DBC＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠DBC＝30°，求得∠E＝∠2＝30°，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：∵BD是等边△ABC的中线， ∴BD⊥AC，∠ACB＝60°， ∴∠DBC＝30°， ∵BD＝DE， ∴∠E＝∠DBC＝30°， ∵∠CDE+∠E＝∠ACB＝60°， ∴∠E＝∠CDE＝30°， ∴CD＝CE． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 3．如图，△BCD，△ACE都是等边三角形，求证：BE＝AD． 【分析】根据等边三角形各边长相等和各内角为60°的性质，可以证明△BCE≌△ACD，根据全等三角形对应边相等的性质可得BE＝AD． 【详解】证明：∵△ABC和△ECD是等边三角形， ∴∠ACE＝∠BCD＝60°，BC＝AC，EC＝CD． ∴∠BCD+∠ACB＝∠ACE+∠ACB， 即∠BCE＝∠ACD． 在△BCE和△ACD中， ∴△BCE≌△ACD（SAS）． ∴BE＝AD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，等边三角形各边长相等、各内角为60°的性质，本题中求证△BCE≌△ACD是解题的关键． 4．如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD． 求证：MB＝ME． 【分析】要证MB＝ME，根据题意可知，证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线重合即可得证． 【详解】证明：连接BD． ∵△ABC是等边三角形，且D是AC的中点， ∴∠DBC∠ABC60°＝30°，∠ACB＝60°， ∵CE＝CD， ∴∠CDE＝∠E， ∵∠ACB＝∠CDE+∠E， ∴∠E＝30°， ∴∠DBC＝∠E＝30°， ∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形， 又∵DM⊥BC， ∴MB＝ME． 【点睛】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键． 【题型七：等边三角形的多结论判断问题】 1．下列说法中，正确的个数是（　　） ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为60°的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据等边三角形的判定、轴对称的性质即可判断； 【详解】解：①三条边都相等的三角形是等边三角形；正确． ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；正确． ③有两个角为60°的三角形是等边三角形；正确． ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形；正确． 故选：D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的有（　　） （1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则最小的角将不是60°，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形． 【详解】解：因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则不合题意，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形； 其最大角不大于90度，所以是锐角三角形； 等边三角形是特殊的等腰三角形． 所以前三项正确，即正确有三个． 故选：C． 【点睛】此题主要考查学生对等边三角形的判定的理解及运用． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（　　） ①∠DCB＝∠B；②CDAB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】由在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB，易证得∠DCA＝∠DAC，继而可得①∠DCB＝∠B正确； 由①可证得AD＝BD＝CD，即可得②CDAB正确； 易得③△ADC是等腰三角形，但不能证得△ADC是等边三角形； 由若∠E＝30°，易求得∠FDC＝∠FCD＝30°，则可证得DF＝CF，继而证得DE＝EF+CF． 【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴∠ADE＝∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°， ∵∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD，∠DCB＝∠B；故①正确； ∴CD＝BD， ∵AD＝CD， ∴CDAB；故②正确； ∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， 但不能判定△ADC是等边三角形；故③错误； ∵若∠E＝30°， ∴∠A＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴∠ADC＝60°， ∵∠ADE＝∠ACB＝90°， ∴∠EDC＝∠BCD＝∠B＝30°， ∴CF＝DF， ∴DE＝EF+DF＝EF+CF．故④正确． 故选：B． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质．注意证得D是AB的中点是解此题的关键． 4．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据先证明△BCE≌△ACD，得出AD＝BE，根据已知给出的条件即可得出答案； 【详解】解：∵△ABC和△DEC都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°， ∴∠ACB+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴AD＝BE，故选项①正确； ∵∠ACB＝∠ACE＝60°，由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD， ∴∠BMC＝∠ANC，故选项②正确； 由△BCE≌△ACD得：∠CBE＝∠CAD， ∵∠ACB是△ACD的外角， ∴∠ACB＝∠CAD+∠ADC＝∠CBE+∠ADC＝60°， 又∠APM是△PBD的外角， ∴∠APM＝∠CBE+∠ADC＝60°，故选项③正确； 在△ACN和△BCM中， ， ∴△ACN≌△BCM， ∴AN＝BM，故选项④正确； ∴CM＝CN， ∴△CMN为等腰三角形，∵∠MCN＝60°， ∴△CMN是等边三角形，故选项⑤正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形及全等三角形的判定与性质，难度一般，关键是找出条件证明两个三角形全等． 【题型八：等边三角形的判定的证明问题】 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形． 【分析】在△ABC中，AF平分∠CAB、AF＝BF求得∠B＝∠2＝∠1＝60°，根据外角性质可得∠4＝60°，在RT△ADE中可得∠3＝∠5＝60°，进而可知∠4＝∠5＝60°，得证． 【详解】证明：如图， ∵AF是∠BAC的平分线， ∴∠CAB＝2∠1＝2∠2， ∵AF＝BF， ∴∠2＝∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠CAB＝90°，即∠B+2∠1＝∠B+2∠2＝90°， ∴∠B＝∠1＝∠2＝30°， ∵∠4是△ABF的外角， ∴∠4＝∠2+∠B＝60°， ∵CD是AB边上的高， ∴∠2+∠3＝90°， ∴∠3＝60°， ∵∠5＝∠3， ∴∠4＝∠5＝60°， ∴△CEF是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、角平分线的定义、直角三角形两锐角互余的性质，利用阿拉伯数字加弧线表示角更简单明了． 2．如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．求证：△ADE为等边三角形． 【分析】先判定△ABD≌△DCE（ASA），即可得到AD＝ED，再根据∠ADE＝60°，即可得出△ADE是等边三角形． 【详解】证明：∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝60°+∠CDE， ∠ADC＝∠B+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAD＝∠CDE， 在△ABD和△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（ASA）， ∴AD＝ED， 又∵∠ADE＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具． 3．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB． （1）求∠C的度数； （2）求证：△ADE是等边三角形． 【分析】（1）因为AB＝AC，根据等腰三角形的性质，等腰三角形的两个底角相等，又∠BAC＝120°，根据三角形内角和，可求出∠C的度数为30°． （2）AD⊥AC，AE⊥AB，∠ADE＝∠AED＝60°，三个角是60°的三角形是等边三角形． 【详解】（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°， 故答案为：30°． （2）证明：∵∠B＝∠C＝30°，AD⊥AC，AE⊥AB． ∴∠ADC＝∠AEB＝60°， ∴∠ADC＝∠AEB＝∠EAD＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的底角相等，以及等边三角形的判定定理，三个角是60°的三角形，是等边三角形． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． （1）求证：BE垂直平分CD； （2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形． 【分析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可知CD＝DB，又根据DB＝BC，即可证明结论． 【详解】证明：（1）∵∠ACB＝90，且DE⊥AB， ∴∠EDB＝∠ACB＝90°， 在Rt△EBC和Rt△EBD中， ， ∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL）， ∴∠CBE＝∠DBE， ∵BD＝BC， ∴△BDC是等腰三角形， ∴BF⊥CD，CF＝DF， ∴BE垂直平分CD． （2）∵D是AB的中点，∠ACB＝90°， ∴DC＝DB， 又∵BD＝BC， ∴DC＝DB＝BC， ∴△CBD是等边三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形与等边三角形，熟练掌握直角三角形的性质与等边三角形的判定是解决本题的关键． 【题型一：等腰三角形与折叠问题 】 1．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（　　）cm A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由题意得到DA′＝DA，EA′＝EA，经分析判断得到阴影部分的周长等于△ABC的周长即可解决问题． 【详解】 如图，由题意得： DA′＝DA,EA′＝EA， ∴阴影部分的周长＝DA′＋EA′＋DB＋CE＋BG＋GF＋CF ＝(DA＋BD)＋(BG＋GF＋CF)＋(AE＋CE) ＝AB＋BC＋AC ＝1＋1＋1＝3(cm) 故选C. 【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及折叠的问题，折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系. 2．如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等边三角形折叠的性质及垂直的定义得出，结合图形及三角形外角的性质得出，利用折叠得出即可求解． 【详解】解：∵，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上， ∴， 故选：C． 【点睛】题目主要考查等边三角形的性质、三角形外角的定义及折叠的性质，结合图形找准各角之间的关系是解题关键． 3．如图，已知等边中，点D，E分别在边，上，把沿直线翻折，使点B落在点处，，分别交边于点F，G.若，则的度数为 度．    【答案】 【分析】根据等边三角形的性质，折叠的性质，得到，结合，根据三角形内角和定理，对顶角的性质得，根据得，计算即可． 【详解】∵等边，沿直线翻折，使点B落在点处， ∴， ∵， 根据三角形内角和定理，对顶角的性质得 ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝ ． 【答案】45°或30° 【分析】先确定△CDF是等腰三角形，得出∠CFD=∠CDF=45°，因为不确定△BDE是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，①DE=DB，②BD=BE，③DE=BE，然后分别利用角的关系得出答案即可． 【详解】∵△CDF中，∠C＝90°，且△CDF是等腰三角形， ∴CF＝CD， ∴∠CFD＝∠CDF＝45°， 设∠DAE＝x°，由对称性可知，AF＝FD，AE＝DE， ∴∠FDA＝∠CFD＝22.5°，∠DEB＝2x°， 分类如下： ①当DE＝DB时，∠B＝∠DEB＝2x°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B，得45°+22.5°+x＝4x， 解得：x＝22.5°． 此时∠B＝2x＝45°； 见图形（1），说明：图中AD应平分∠CAB． ②当BD＝BE时，则∠B＝（180°﹣4x）°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得：45°+22.5°+x＝2x+180°﹣4x， 解得x＝37.5°， 此时∠B＝（180﹣4x）°＝30°． 图形（2）说明：∠CAB＝60°，∠CAD＝22.5°． ③DE＝BE时，则∠B＝（180﹣2x）°， 由∠CDE＝∠DEB+∠B得，45°+22.5°+x＝2x+（180﹣2x）°， 此方程无解． ∴DE＝BE不成立． 综上所述，∠B＝45°或30°． 故答案为：45°或30°． 【点睛】本题考查了翻折变换及等腰三角形的知识，在不确定等腰三角形的腰时要注意分类讨论，不要漏解，另外要注意方程思想在求解几何问题中的应用． 【题型二：等腰三角形与动点问题 】 1．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　 　秒． 【分析】设运动的时间为x，则AP＝20﹣3x，当APQ是等腰三角形时，AP＝AQ，则20﹣3x＝2x，解得x即可． 【详解】解：设运动的时间为x， 在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm， 点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动， 当△APQ是等腰三角形时，AP＝AQ， AP＝20﹣3x，AQ＝2x 即20﹣3x＝2x， 解得x＝4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4 厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度 为 　 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等． 【分析】首先求出BD的长，要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP，得出方程12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过x秒后，使△BPD与△CQP全等， ∵AB＝AC＝24厘米，点D为AB的中点， ∴BD＝12厘米， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴要使△BPD与△CQP全等，必须BD＝CP或BP＝CP， 即12＝16﹣4x或4x＝16﹣4x， 解得：x＝1或x＝2， x＝1时，BP＝CQ＝4，4÷1＝4； x＝2时，BD＝CQ＝12，12÷2＝6； 即点Q的运动速度是4或6， 故答案为：4或6 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定的应用；熟练掌握等腰三角形的性质，根据题意得出方程是解决问题的关键． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　　 °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形． 【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出∠BAD，根据点D的运动方向可判定∠BDA的变化情况． （2）假设△ABD≌△DCE，利用全等三角形的对应边相等得出AB＝DC＝2，即可求得答案． （3）假设△ADE是等腰三角形，分为三种情况：①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°，根据∠AED＞∠C，得出此时不符合；②当DA＝DE时，求出∠DAE＝∠DEA＝70°，求出∠BAC，根据三角形的内角和定理求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠BDA即可；③当EA＝ED时，求出∠DAC，求出∠BAD，根据三角形的内角和定理求出∠ADB． 【详解】解：（1）∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠BDA＝180°﹣40°﹣115°＝25°； 从图中可以得知，点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小； 故答案为：25°；小． （2∵∠EDC+∠EDA＝∠DAB+∠B，∠B＝∠EDA＝40°， ∴∠EDC＝∠DAB．， ∵∠B＝∠C， ∴当DC＝AB＝2时，△ABD≌△DCE， （3）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝40°， ①当AD＝AE时，∠ADE＝∠AED＝40°， ∵∠AED＞∠C， ∴此时不符合； ②当DA＝DE时，即∠DAE＝∠DEA（180°﹣40°）＝70°， ∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠BAD＝100°﹣70°＝30°； ∴∠BDA＝180°﹣30°﹣40°＝110°； ③当EA＝ED时，∠ADE＝∠DAE＝40°， ∴∠BAD＝100°﹣40°＝60°， ∴∠BDA＝180°﹣60°﹣40°＝80°； ∴当∠ADB＝110°或80°时，△ADE是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强． 4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 【分析】（1）用t可分别表示出BP和BQ，根据等腰三角形的性质可得到BP＝BQ，可得到关于t的方程，可求得t； （2）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分CQ＝BC和BQ＝CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【详解】解：（1）由题意可知AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝16， ∴BP＝AB﹣AP＝16﹣t， 当△PQB为等腰三角形时，则有BP＝BQ， 即16﹣t＝2t，解得t， ∴出发秒后△PQB能形成等腰三角形； （2）①当△BCQ是以BC为底边的等腰三角形时：CQ＝BQ，如图1所示， 则∠C＝∠CBQ， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBQ+∠ABQ＝90°． ∠A+∠C＝90°， ∴∠A＝∠ABQ， ∴BQ＝AQ， ∴CQ＝AQ＝10（cm）， ∴BC+CQ＝22（cm）， ∴t＝22÷2＝11（秒）． ②当，△BCQ是以BQ为底边的等腰三角形时：CQ＝BC，如图2所示， 则BC+CQ＝24（cm）， ∴t＝24÷2＝12（秒）． 综上所述：当t为11秒或12秒时，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用． 【题型三：等腰三角形中的分类讨论问题 】 1．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此等腰三角形的周长为（    ） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 【分析】首先根据非负数的性质即可得到关于a、b的方程组，接下来解方程组即可求出a、b的值，再分类讨论，可得结论． 【详解】解：根据题意得，， ∴，， ①当是腰时，三边分别为2、2、3，能组成三角形， 周长为：． ②当是腰时，三边分别为3、3、2，能组成三角形， 周长为：． 所以等腰三角形的周长7或8． 故选：A． 【点睛】本题考查非负数的性质，等腰三角形的性质等知识，解题关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 2．等腰三角形的一个内角是70°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为（　　） A．20° B．35° C．20°或35° D．30°或35° 【分析】题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解． 【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高． ①当∠A＝70°时， 则∠ABC＝∠C＝55°， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC＝90°﹣55°＝35°； ②当∠C＝70°时， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC＝90°﹣70°＝20°； 故选：C． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 3．若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．无法确定 【分析】分两种情况，画出相应的图形，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，结合等边三角形的判定和性质求出顶角度数，即可得到等腰三角形底角的度数． 【详解】解：当为锐角三角形时，作于点D，取的中点E，连接，如图：        则， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴； 当为钝角三角形时，作，交的延长线于点D，取的中点，连接，如图：      则， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知，此等腰三角形的底角的度数是或，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． 4．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ． 【分析】本题可分别设出等腰三角形的腰和底的长，然后根据一腰上的中线所分三角形两部分的周长来联立方程组，进而可求得等腰三角形的底边长．注意此题一定要分为两种情况讨论，最后还要看所求的结果是否满足三角形的三边关系． 【详解】解：设该三角形的腰长是x cm，底边长是y cm． 根据题意得，一腰上的中线将这个三角形的周长分为27 cm和18 cm两部分， ∴或， 解得或， 经检验，都符合三角形的三边关系． 因此这个等腰三角形的腰长为9cm或21cm． 故答案为：9cm或21cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确两部分是哪一部分含有底边，所以一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 【题型四：等边三角形中的最值问题 】 1．如图，点为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰，则的最小值为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】连接，证明，得，从而点P在射线上运动，再利用垂线段最短解决问题． 【详解】解：连接， ∵是等边三角形， ∴，    在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点P在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∴； 故选B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，点的运动轨迹问题，证明点P在射线上运动是解题的关键． 2．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴PC＝PB， ∴PE+PC＝PB+PE≥BE， 即BE就是PE+PC的最小值， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BCE＝60°， ∵BA＝BC，AE＝EC， ∴BE⊥AC， ∴∠BEC＝90°， ∴∠EBC＝30°， ∵PB＝PC， ∴∠PCB＝∠PBC＝30°， ∴∠ACP＝30°， 故选：A． 【点睛】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键． 3．如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【分析】先根据等边三角形的性质、线段和差可得，再连接，根据折叠的性质可得，从而可得的周长为，然后根据两点之间线段最短可得当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，由此即可得． 【详解】解：是等边三角形，且， ， ， ， 如图，连接， 由折叠的性质得：， 则的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点与点重合时，的值最小，最小值为的长， 则周长的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 4．如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是平分线上一动点连接、，则的最小值为 ．    【分析】连接，根据等腰三角形的性质可证垂直平分，即可得到，再根据当B，P，D在同一直线上时，的最小值为线段长，即可得出的最小值为20． 【详解】解：如图，连接，    ∵点P是的角平分线上一动点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当B，P，D在同一直线上时，的最小值为线段长， 又∵是等边三角形，， ∴的最小值为20， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 【题型五：等边三角形与平面直角坐标系问题 】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点（），连接BC，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E． (1)求证：； (2)在点C的运动过程中，的度数是否会变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； (3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 【分析】（1）先根据等边三角形的性质得，则，然后可根据“”可判定，由全等三角形的判定与性质可得出结论； （2）由是等边三角形知，再由全等三角形的性质分析可得结论； （3）先根据全等三角形的性质以及等边三角形的性质，求得，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，最后根据中，，，求得，据此得到，即可得出点C的位置． 【详解】（1）∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）点C在运动过程中，的度数不会发生变化，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰， 在中，，， ∴， ∴， ∴当点C的坐标为时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题是三角形的综合问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质和判定等知识，解决本题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点，连接BC，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E． (1)求证：； (2)在点C的运动过程中，的度数是否会变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； (3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？ 【分析】（1）根据 “SAS”可判定，由全等三角形的性质可得出结论； （2）由是等边三角形得，再由得，根据可得结论； （3）先求得，进而得出以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰，最后根据中，，求得，据此得到，即可得出点C的位置． 【详解】（1）∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）点C在运动过程中，的度数不会发生变化，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵△OBC≌△ABD， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，和是腰， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当点C的坐标为时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 3．如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，，点为轴上一动点，以为边作等边，延长交轴于点．          （1）求证：； （2）的度数是 ；（直接写出答案，不需要说明理由．） （3）当点运动时，猜想的长度是否发生变化？如不变，请求出的长度；若改变，请说明理由． 【答案】（1）见详解；（2）60°；（3）不变， 【分析】（1）由题意易得△OPB≌△APC，然后根据三角形全等的性质可求证； （2）由（1）可直接进行求解； （3）由题意易得∠EAO=60°，则有∠AEO=30°，进而根据直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴AP=OP，∠APO=60°， ∵△PBC是等边三角形， ∴PB=PC，∠BPC=60°， ∵∠APB是公共角， ∴∠OPB=∠APC， ∴△OPB≌△APC（SAS）， ∴OB=AC； （2）解：由（1）可得△OPB≌△APC， ∴∠BOP=∠CAP， ∵∠BOP=60°， ∴∠CAP=60°， 故答案为60°； （3）解：不变，AE=8，理由如下： 由（2）得：∠CAP=60°， ∵∠OAP=60°， ∴∠EAO=60°， ∴∠AEO=30°， ∵， ∴OA=4， ∴AE=2OA=8． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握平面直角坐标系与图形的综合、等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 4．如图，平面直角坐标系中．A点在y轴上，，在x轴上，，且b、c满足等式． (1)判断的形状，并说明理由； (2)如图1，F为延长线上一点，连，若．求证：平分； (3)如图2，中，，，M为中点，试确定与的位置关系． 【分析】（1）由得B与C关于y轴对称，推出，是等边三角形． （2）连接，知，得，在的延长线上取点P，使，证明，，则结论得证． （3）延长至F，使，连接，证，得，则结论得证． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵ ∴， ∴B与C关于y轴对称， ∴是的中垂线， ∴， ∵， ∴是等边三角形． （2）解：连接， 由（1）知． ∴． 在的延长线上取点P，使． 设，， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即平分． （3）解：延长至F，使，连接． ∵M为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了完全平方公式、等边三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，添加辅助线、构造全等三角形是解题关键． 【题型一：等腰三角形的性质与判定的综合 】 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF， BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）求证：∠B＝∠DEF； （3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE＝FE，进而可得到△DEF是等腰三角形； （2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC＝∠BDE，∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B即可得出结论； （3）由（2）知∠DEF＝∠B，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△DBE和△ECF中，， ∴△DBE≌△ECF， ∴DE＝FE， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△BDE≌△CEF， ∴∠FEC＝∠BDE， ∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B （3）∵由（2）知△BDE≌△CEF， ∴∠BDE＝∠CEF， ∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B， ∴∠DEF＝∠B， ∴AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠DEF＝∠B70°． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键． 2．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，AE＝AC，AD⊥CE， 连接DE． （1）求证：∠DEC＝∠DCE； （2）若AC＝BC，BE＝CE． ①求∠B的度数； ②试探究AB﹣AC与BC﹣DE的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得AD是CE的垂直平分线，即可求解； （2）①由等腰三角形的性质可得∠B＝∠BCE，∠B＝∠BAC，∠AEC＝∠ACE，由三角形内角和定理可求解； ②先证明BD＝BE，可得结论． 【详解】（1）证明：∵AE＝AC，AD⊥CE， ∴AD是CE的垂直平分线， ∴DE＝CD， ∴∠DEC＝∠DCE； （2）①解：∵AC＝BC，BE＝CE，AE＝AC， ∴∠B＝∠BCE，∠B＝∠BAC，∠AEC＝∠ACE， ∵∠AEC＝∠B+∠BCE， ∴∠ACE＝∠AEC＝2∠B， ∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°， ∴∠B+∠B+∠B+2∠B＝180°， ∴∠B＝36°； ②解：AB﹣AC＝BC﹣DE，理由如下： ∵∠DCE＝∠DEC＝36°＝∠B， ∴∠BDE＝72°， ∴∠BED＝72°＝∠BDE， ∴BE＝BD， ∴AB﹣AC＝BC﹣DE． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 3．（2024春·重庆江北·八年级校考期中）如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得出答案； （2）在上取，连接，首先利用证明，得，再说明，利用证明，得，进而证明结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰三角形； （2）在上取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2024春·广东广州·八年级校考期末）如图，四边形中，，过点D作，与C交于点D，与交于点H． (1)求证：为等腰三角形； (2)若E为中点，猜想，与三者的数量关系．并证明之 【分析】（1）由题意可知，利用其性质可得，根据进而可得，从而可得为等腰三角形； （2）如图，延长，使得，可证明，可得，即，再利用线段和差关系即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2），理由如下： 如图，延长，使得， ∵为的中点， ∴ 在与中， ， ∴（SAS）， ∴， 又∵， ∴， ∴，即： 即：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及全等三角形的判定和性质，利用中点倍长中线构造全等三角形是解决问题的关键． 【题型二：等边三角形的性质与判定的综合题 】 1．在中，，，是边上的高，点E为直线上点，且．    (1)如图1，当点E在边上时，求证：为等边三角形； (2)如图2，当点E在的延长线上时，求证：为等腰三角形． 【分析】（1）先证明为等边三角形，得到，再由三线合一定理得到，进而推出，由此即可证明结论； （2）同理可得，进而利用等边对等角和三角形外角的性质得到，再根据三线合一定理得到，则，即为等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． （2）证明：同（1）可知， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴，即为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质等等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键． 2．如图，已知是等边三角形，点D是边上一点． (1)以为边构造等边（其中点D、E在直线两侧），连接，猜想与的位置关系，并证明你的结论； (2)若过点C作，在上取一点F，连接、，使得，试猜想的形状，直接写出你的结论． 【分析】（1）以点A和点D为圆心，长为半径画弧，在右边相交于点E，连接 即为所求；根据等边三角形的性质可得，则，进而得出，则，即可得出； （2）根据题意画出图形，在上截取，使，连接，通过证明为等边三角形，进而得出，则，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图：即为所求，，理由如下： ∵、是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）为等边三角形，理由如下： 如图：在上截取，使，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，则， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、三角形全等的判定及性质、平行线的判定及性质，解题的关键是通过标出相应的角标找出角之间的关系，通过等量代换进行求解，熟练掌握并灵活运用等边三角形的性质和判定． 3．如图，点O是等边内一点．将绕点C顺时针方向旋转得，使得，连接．已知，设．    (1)发现问题：发现的大小不变为 ． (2)分析问题：当时，分析判断的形状是 三角形． (3)解决问题：请直接写出当为 度时，是等腰三角形． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得到，再由等边三角形的性质推出，由旋转的性质可得，则； （2）由旋转的性质可得，则是等边三角形，得到，由此求出，则，即可得到是直角三角形； （3）分，，三种情况，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，进而求出的度数，即可利用周角的定义求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∵将绕点C顺时针方向旋转得， ∴， ∴， 故答案为：    （2）解：∵将绕点C顺时针方向旋转得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角； （3）解：当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理等等，熟知等边三角形的性质与判定条件是解题的关键． 4．已知线段于点，点在直线上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点． (1)当点在线段上时，如图①，直接写出，，之间的关系 　　． (2)当点在线段的延长线上时，如图②，当点在线段的延长线上时，如图③，请分别写出线段、、之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明． (3)在（1）、（2）的条件下，若，，请直接写出的值．    【分析】（1）如图①中，设交于．首先证明，推出，再证明即可解决问题； （2）如图②中，结论：．图③中，结论：；证明方法类似； （3）分类图①，图③两种情形，分别求解即可． 【详解】（1）结论：． 理由：如图①中，设交于．    ，都是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图②中，结论：．图③中，结论：；    如图②中，， ，， ， ， ， ， ∵， ， ， ． 如图③中，同法可证；    （3）①如图①中，， 设， ，， ， ． ②如图③中，设，则， ，， ， ， ， 综上所述，或6． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业01 等腰三角形 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：等腰三角形性质的计算问题】 1．（2024•兰州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（　　） A．100° B．115° C．130° D．145° 2．（2024秋•云梦县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E，若BC＝3，且△BDC的周长为8，则AE的长为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 3．（2024春•西安月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（　　） A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm 4．（2024春•藁城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AD＝DC，AE⊥BD，若∠DAE＝28°，则∠BAE＝　 　°． 【题型二：等腰三角形性质的证明问题 】 1．已知，如图在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P为BC的中点，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E， 求证：PD＝PE． 2．如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F， 求证：EC∥DF． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F． （1）求证：∠CBE＝∠BAD； （2）若CE＝EF，求证：AF＝2BD． 4．（2024春·湖南·八年级期末）如图，在中，，点D在边上，，，，垂足分别为E，F． (1)求证； (2)若，求证． 【题型三：等腰三角形的判定个数问题 】 1．（2024秋•灌南县期中）如图，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．如图，在△ABC中，且∠ABC＝60°，且∠C＝45°，AD是边BC上的高，∠ABC的平分线交AD于F，交AC于E，则图中等腰三角形的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点）．在这张5×5的方格纸中，找出格点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的格点C有（　　） A．3个 B．5个 C．6个 D．8个 4．（2024春·广西钦州·八年级校考期中）如图，在中，度，，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型四：等腰三角形判定的证明问题 】 1．已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E．求证：△AED是等腰三角形． 2．如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形． 3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BP，CQ是△ABC两腰上的高．求证：△BCO是等腰三角形． 4．已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC是等腰三角形． 【题型五：等边三角形性质的计算问题 】 1．如图，在等边△ABC中，D为BC边上的中点，以A为圆心，AD为半径画弧，与AC边交点为E，则∠DEC的度数为（　　） A．60° B．75° C．105° D．115° 2．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 3．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．如图，已知等边三角形的边长为，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为 ．    【题型六：等边三角形的性质的证明问题 】 1．如图：△ABC和△ADE是等边三角形．证明：BD＝CE． 2．如图，BD是等边△ABC的中线，以D为圆心，DB的长为半径画弧，交BC的延长线于E，连接DE． 求证：CD＝CE． 3．如图，△BCD，△ACE都是等边三角形，求证：BE＝AD． 4．如图，在等边△ABC中，DA＝DC，DM⊥BC，垂足为M，E是BC延长线上的一点，CE＝CD． 求证：MB＝ME． 【题型七：等边三角形的多结论判断问题】 1．下列说法中，正确的个数是（　　） ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形； ③有两个角为60°的三角形是等边三角形； ④底角的角平分线所在的直线是这等腰三角形的对称轴，则这个三角形是等边三角形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中正确的有（　　） （1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的点，过点D作DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E，连接CD，∠DCA＝∠DAC，则下列结论正确的有（　　） ①∠DCB＝∠B；②CDAB；③△ADC是等边三角形；④若∠E＝30°，则DE＝EF+CF． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②∠BMC＝∠ANC；③∠APM＝60°；④AN＝BM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【题型八：等边三角形的判定的证明问题】 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB，交CD于E，交BC于F，若AF＝BF，求证：△CEF是等边三角形． 2．如图，点D在线段BC上，∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，AB＝DC．求证：△ADE为等边三角形． 3．如图，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC，AE⊥AB． （1）求∠C的度数； （2）求证：△ADE是等边三角形． 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． （1）求证：BE垂直平分CD； （2）若点D是AB的中点，求证：△CBD是等边三角形． 【题型一：等腰三角形与折叠问题 】 1．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别AB、AC是上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分的周长为（　　）cm A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，将等边三角形纸片折叠，使得点A的对应点D落在边上，其中折痕分别交边于点E，F，连接．若，则的度数是（　　）    A． B． C． D． 3．如图，已知等边中，点D，E分别在边，上，把沿直线翻折，使点B落在点处，，分别交边于点F，G.若，则的度数为 度．    4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点处，设EF与AB、AC边分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么∠B＝ ． 【题型二：等腰三角形与动点问题 】 1．如图，在△ABC中，AB＝20cm，AC＝12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是　 　秒． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4 厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度 为 　 厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E． （1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝　　 °；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）； （2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形． 4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，AC＝20cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当点Q在边BC上运动时，出发几秒后，△PQB是等腰三角形？ （2）当点Q在边CA上运动时，出发几秒后，△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形？ 【题型三：等腰三角形中的分类讨论问题 】 1．已知等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足，则此等腰三角形的周长为（    ） A．7或8 B．6或10 C．6或7 D．7或10 2．等腰三角形的一个内角是70°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为（　　） A．20° B．35° C．20°或35° D．30°或35° 3．若一个等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则此等腰三角形的底角的度数是（　　） A． B． C．或 D．无法确定 4．已知一个等腰三角形的周长为45cm，一腰上的中线将这个三角形的周长分为的两部分，则这个等腰三角形的底长为 ． 【题型四：等边三角形中的最值问题 】 1．如图，点为线段上的动点，，以为边作等边，以为底边作等腰，则的最小值为（　　）    A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠ACP的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．90° 3．如图，将等边△ABC折叠，使得点B恰好落在边AC上的点D处，折痕为EF，O为折痕EF上一动点，若AD＝2，AC＝6，△OCD周长的最小值是（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 4．如图，在等腰中，，，是等边三角形，P是平分线上一动点连接、，则的最小值为 ．    【题型五：等边三角形与平面直角坐标系问题 】 1．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点（），连接BC，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E． (1)求证：； (2)在点C的运动过程中，的度数是否会变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； (3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点C的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以线段为边在第四象限内作等边三角形，点C为x轴正半轴上一动点，连接BC，以线段为边在第四象限内作等边三角形，连接并延长，交y轴于点E． (1)求证：； (2)在点C的运动过程中，的度数是否会变化？如果不变，请求出的度数；如果改变，请说明理由； (3)当点C运动到什么位置时，以A、E、C为顶点的三角形是等腰三角形？ 3．如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，，点为轴上一动点，以为边作等边，延长交轴于点．          （1）求证：； （2）的度数是 ；（直接写出答案，不需要说明理由．） （3）当点运动时，猜想的长度是否发生变化？如不变，请求出的长度；若改变，请说明理由． 4．如图，平面直角坐标系中．A点在y轴上，，在x轴上，，且b、c满足等式． (1)判断的形状，并说明理由； (2)如图1，F为延长线上一点，连，若．求证：平分； (3)如图2，中，，，M为中点，试确定与的位置关系． 【题型一：等腰三角形的性质与判定的综合 】 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF， BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）求证：∠B＝∠DEF； （3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 2．如图，在△ABC中，点D，E分别在BC，AB边上，AE＝AC，AD⊥CE， 连接DE． （1）求证：∠DEC＝∠DCE； （2）若AC＝BC，BE＝CE． ①求∠B的度数； ②试探究AB﹣AC与BC﹣DE的数量关系，并说明理由． 3．（2024春·重庆江北·八年级校考期中）如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 4．（2024春·广东广州·八年级校考期末）如图，四边形中，，过点D作，与C交于点D，与交于点H． (1)求证：为等腰三角形； (2)若E为中点，猜想，与三者的数量关系．并证明之 【题型二：等边三角形的性质与判定的综合题 】 1．在中，，，是边上的高，点E为直线上点，且．    (1)如图1，当点E在边上时，求证：为等边三角形； (2)如图2，当点E在的延长线上时，求证：为等腰三角形． 2．如图，已知是等边三角形，点D是边上一点． (1)以为边构造等边（其中点D、E在直线两侧），连接，猜想与的位置关系，并证明你的结论； (2)若过点C作，在上取一点F，连接、，使得，试猜想的形状，直接写出你的结论． 3．如图，点O是等边内一点．将绕点C顺时针方向旋转得，使得，连接．已知，设．    (1)发现问题：发现的大小不变为 ． (2)分析问题：当时，分析判断的形状是 三角形． (3)解决问题：请直接写出当为 度时，是等腰三角形． 4．已知线段于点，点在直线上，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，直线交直线于点． (1)当点在线段上时，如图①，直接写出，，之间的关系 　　． (2)当点在线段的延长线上时，如图②，当点在线段的延长线上时，如图③，请分别写出线段、、之间的数量关系，在图②、图③中选一个进行证明． (3)在（1）、（2）的条件下，若，，请直接写出的值．    1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$