精品解析：河北唐山市路南区2025-2026学年第二学期阶段性抽样评估高一数学试卷

2025-2026学年度第二学期阶段性抽样评估 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 复数满足，那么复数对应的点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 4. 已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 5. 如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了名学生，得到这名学生对食堂用餐质量给出的评分数据（评分均在[50，100]内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为（ ） A. 82.5 B. 81.5 C. 87.5 D. 85 7. 记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 8. 已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且，点P是边DC上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 在直三棱柱中，，点M是棱上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. AM⊥BC B. 四棱锥的体积为2 C. 直三棱柱外接球的表面积是 D. 的最小值为5 10. 已知向量，，均为单位向量，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 13. 已知向量与的夹角为，则__________. 14. 如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 16. 某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出 (不足，按计算)需再收元.该公司将最近承揽的件包裹的重量统计如表： 包裹重量（单位：） 包裹件数 公司对近天，每天揽件数量统计如表： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 天数 以上数据已做近似处理，并将频率视为概率. （）计算该公司未来天揽件数在之间的概率； （）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值； ②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人，每人每天揽件不会超过件，且日工资为元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利? 17. 如下图,梯形中，，且，沿将梯形折起，使得平面平面． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 18. 如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. （1）证明：平面； （2）求点到面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 19. 已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. （1）求丙投篮命中的概率； （2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； （3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期阶段性抽样评估 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后.用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 复数满足，那么复数对应的点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接化简计算，然后可求出其对应的坐标 【详解】由，得， 所以复数对应的点坐标为， 故选：D 2. 设，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的信息，利用指数、对数函数性质，结合“媒介数”比较大小即得. 【详解】依题意，，而， 所以的大小关系为. 故选：D 3. 已知圆台上、下底面面积分别是、，其侧面积是，则该圆台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由侧面积得母线长，再由母线得到高，进而圆台的体积公式可得出. 【详解】如图，由圆台上、下底面面积分别是、，得上底面半径，下底面半径. 侧面积是，得，得，在直角三角形中， ，高， 所以. 故选：A. 4. 已知复数，其中i是虚数单位，则z的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简，可得的虚部. 【详解】解：，则的虚部为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题计算的关键是复数的运算法则.本题考查了复数的计算，属于简单题. 5. 如图，在梯形ABCD中，，E为线段AB的中点，先将梯形挖去一个以BE为直径的半圆，再将所得平面图形以直线AB为旋转轴旋转一周，则所得几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得几何体体积为一个圆锥加一个圆柱体积再减去一个球的体积，据此可得答案. 【详解】旋转后得到的几何体为两个同底面的圆柱，圆锥，再去掉一个球体得到. 由题可得圆柱，圆锥的底面半径为CB， 又，则， 三角形为等腰直角三角形，则， 又由题可得圆柱，圆锥的高均为2， 则圆柱，圆锥体积之和为：， 又注意到球体半径为，则球体体积为：， 则几何体体积为. 故选：A 6. 某校为了加强食堂用餐质量，该校随机调查了名学生，得到这名学生对食堂用餐质量给出的评分数据（评分均在[50，100]内），将所得数据分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为（ ） A. 82.5 B. 81.5 C. 87.5 D. 85 【答案】D 【解析】 【分析】先判断第百分位数所在组，然后根据频率直方图面积之和等于确定取值. 【详解】因为，， 所以第60百分位数位于，设为， 则， 解得，即估计学生对食堂用餐质量的评分的第百分位数为. 故选：D． 7. 记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式、诱导公式可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由此可得出结论. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 整理得， 因为，所以，故，故，所以为直角三角形． 故选：A． 8. 已知正方形ABCD的边长为3，点E是边BC上的一点，且，点P是边DC上的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立直角坐标系，用坐标表示数量积，转化为二次函数求最值. 【详解】以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系， 如图所示，则， 设，则，， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 9. 在直三棱柱中，，点M是棱上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. AM⊥BC B. 四棱锥的体积为2 C. 直三棱柱外接球的表面积是 D. 的最小值为5 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，可由平面证得；对B，由，可知；对C，直三棱柱外接球即以为长、宽、高的长方体的外接球；对，将矩形与矩形展开到同一平面内，的长即为的最小值. 【详解】对于，在直三棱柱中，平面ABC，又BC平面ABC，所以， 又AB＝BC＝2，，所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 对于，因为∥平面，平面， 所以∥平面，所以， 所以，故B错误； 对于，直三棱柱外接球的半径，表面积为，故C正确； 对于，将矩形与矩形展开到同一平面内，连接，与相交于点M，如图， 故的长即为的最小值，故最小值为，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知向量，，均为单位向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由，所以，再平方可得，再逐项验证即可. 【详解】因为，所以， 即， 所以，故A正确； 又，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则的虚部为 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据复数的相关概念及除法运算即可逐项判断. 【详解】对于A，由纯虚数不能比较大小，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，若，则的虚部为，故C正确； 对于D，，则，故D错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等边的边长为，是边上的高，以为折痕将折起，使，则三棱锥外接球的表面积为______. 【答案】52π 【解析】 【分析】由题可得三棱锥为侧棱垂直于底面的三棱锥，据此可由图确定外接球球心，据此可得答案. 【详解】由题，折叠后可得，又平面， 则易得平面. 设为外接圆圆心，过做平面垂线， 则垂线上所有点到顶点距离相等.又垂线与平行，从而垂线与共面， 过A做垂线的垂线，垂足为，则易得四边形为矩形. 取中点为，则，从而为三棱锥外接球球心. 易得，由正弦定理可得， 则外接球半径满足. 则外接球的表面积为. 故答案为：. 13. 已知向量与的夹角为，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量的数量积和模长的运算即可得出结果. 【详解】∵， ∴， 整理得，解得（舍）， 故答案为：1. 14. 如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据三点共线的结论可得，进而可得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为，，三点共线，且，所以，所以，所以， 所以， 又，，，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差. 【答案】（1），， （2）80；37.5 【解析】 【分析】（1）由题意结合各组频率之和为1，即可求得的值，利用中位数的计算方法即可求得中位数； （2）利用平均值以及方差公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由第二组的频数是第一组频数的2倍，可知第二组的频率是第一组频率的2倍， 即，则； 又，解得； 由于成绩在内的频率为，在内的频率为， 故中位数位于，设为m，则，解得； 【小问2详解】 由，可得， 则剔除其中的75和85两个分数，剩余8个数平均数为； 又标准差， 故， 则， 则剩余的8个数的方差为. 16. 某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费元；重量超过的包裹，除收费元之外，超过的部分，每超出 (不足，按计算)需再收元.该公司将最近承揽的件包裹的重量统计如表： 包裹重量（单位：） 包裹件数 公司对近天，每天揽件数量统计如表： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 天数 以上数据已做近似处理，并将频率视为概率. （）计算该公司未来天揽件数在之间的概率； （）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值； ②公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员人，每人每天揽件不会超过件，且日工资为元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润更有利? 【答案】（1）；（2）①元；②裁员前期望值为1000元，裁员后期望值为元，不利. 【解析】 【分析】（1）由频率估计概率即可； （2）①利用平均数公式直接求解即可；②根据题意及（）（），揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元），然后分别求出裁员前后公司每日利润的数学期望比较即可 【详解】（）样本包裹件数在之间的天数为，频率， 显然未来天中，包裹件数在之间的概率为 （）（）样本中快递费用及包裹件数如下表： 包裹重量（单位：） 快递费（单位：元） 包裹件数 故样本中每件快递收取的费用的平均值为（元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为元 （）根据题意及（）（），揽件数每增加，可使前台工资和公司利润增加（元）， 将题目中的天数转化为频率，得 包裹件数范围 包裹件数近似 天数 频率 若不裁员，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数近似 实际揽件数 频率 故公司平均每日利润的期望值为（元）； 若裁员人，则每天可揽件的上限为件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数近似 实际揽件数 频率 故公司平均每日利润的期望值为（元） 因，故公司将前台工作人员裁员人对提高公司利润不利. 17. 如下图,梯形中，，且，沿将梯形折起，使得平面平面． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）记中点为,与交点为,连接,证明为平行四边形即可 （2）先证明平面，再根据等体积法求解即可． 【详解】（1）如下图,记中点为,与交点为,连接, 由题设知,，且， 即且，知：四边形为平行四边形，有， 即.又平面平面， 所以平面． （2）面面,面面面， 面，即平面． 三棱锥的体积为． 18. 如图，已知三棱台的体积为，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. （1）证明：平面； （2）求点到面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据棱台的性质、长度关系和勾股定理可证得；由面面垂直和线面垂直的性质可证得，结合可证得结论； （2）延长交于一点，根据可求得，利用体积桥可构造方程求得结果； （3）根据线面垂直和面面垂直性质可作出二面角的平面角，设，根据几何关系可表示出，由二面角大小可构造方程求得，进而得到结果. 【小问1详解】 连接， 在三棱台中，； ，四边形为等腰梯形且， 设，则. 由余弦定理得：， ，； 平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，； 是以为直角顶点的等腰直角三角形，， ，平面，平面. 【小问2详解】 由棱台性质知：延长交于一点， ，，， ； 平面，即平面， 即为三棱锥中，点到平面的距离， 由（1）中所设：，， 为等边三角形，， ，； ，， ， 设所求点到平面的距离为，即为点到面的距离， ，，解得：. 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 平面，平面，平面平面， 平面平面 取中点，在正中，，平面， 又平面，平面平面． 作，平面平面，则平面， 作，连接，则即在平面上的射影， 平面，平面，， ，平面，平面， 平面，，即二面角的平面角. 设， 在中，作， ，，又平面，平面， ，解得：， 由（2）知：，， ，， ，， ，， 若存在使得二面角的大小为， 则，解得：， ， 存在满足题意的点，. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中的垂直关系的证明、点面距离的求解、二面角问题的求解；求解二面角问题的关键是能够利用三垂线法，作出二面角的平面角，进而根据几何关系构造关于长度的方程，从而求得结果. 19. 已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的. （1）求丙投篮命中的概率； （2）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； （3）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）首先设甲，乙，丙投篮命中分别为事件，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据（1）的结果，根据公式，即可求解； （3）首先表示3人中恰有1人命中的事件，再根据概率的运算公式，即可求解. 【小问1详解】 设甲投篮命中为事件，乙投篮命中为事件，丙投篮命中为事件， 由题意可知，，，， 则，, 所以丙投篮命中的概率为； 【小问2详解】 甲和乙命中，丙不中为事件， 则， 所以甲和乙命中，丙不中的概率为； 【小问3详解】 甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中为事件， 则, 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $