专题05 特殊平行四边形期末高频必刷题汇编-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题05 特殊平行四边形期末高频必刷题汇编 一、单选题 1．小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线垂直 C．对角线与一边夹角为 D．对角线相等 2．在矩形中，若，则对角线的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．若四边形的对角线与相等且互相平分，则下列关于四边形的形状判断正确的是（    ） A．一定是矩形，但不一定是正方形 B．一定是菱形 C．一定是平行四边形，但不可能是矩形 D．一定是正方形 4．如图，在中，是斜边的中点，作于点，于点，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．5.5 D．6.5 5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若点是的中点，连接并延长交于点，若，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 6．如图，四边形是边长为1的正方形，点E，F分别在上，连结，当，时，的长（    ） A． B． C． D． 7．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．邻角互补 D．邻边相等 8．如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边中点．若菱形的面积为24，，则的长为(    ) A． B． C． D． 9．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两点，，点在边上运动（不与点，重合），连结点与的中点并延长交于点，连结，，，．在点从点运动到点的整个过程中，四边形的形状变化依次是（    ） A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 10．下面4种方法中，能判定一个四边形为菱形的是（    ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两条对角线是否互相垂直平分 C．测量其中三个内角是否都为直角 D．测量两条对角线是否相等 11．如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 12．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接，并延长交于点，若是的中点，，则的长（    ）    A．1 B． C． D． 13．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．如图，在矩形中，，，点E为射线上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为（      ）． A． B． C． D． 15．如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 16．如图，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD的中点，则∠CPQ的度数为(　　) A．50° B．60° C．45° D．70° 17．如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 18．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（    ）    A．5 B． C． D．4 二、填空题 19．将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为 ． 20．如图，在菱形中，E为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在边上的F处．若垂直对角线，则 度．    21．如图，在矩形中，，过点作垂直交于点，连接，若直线恰好经过的中点，则 ． 22．如图，为正方形内的一点，，若，，则的长为 ． 23．如图，在矩形中，，．P，Q分别是边和上的点，且，M为的中点，连结，则的长为 ． 24．杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连接点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于的一半，若夹角，则的度数是 ． 25．在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：    第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶ 第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是 ． 26．如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为 ． 27．如图，在正方形中，点在上，，，垂足分别为、，若，则 ． 28．如图，在菱形纸片中，，，将该菱形纸片沿折痕翻折，使点D落在的中点G处，则的长是 ． 29．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．该图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，被称为“赵爽弦图”．若平分的面积是，正方形的面积是，则大正方形的面积是 ． 30．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 三、解答题 31．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 32．如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． (1)求证:四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为 ． 33．如下图，在菱形中，点P是边上的点，连结交对角线于点E，连结． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 34．如图，菱形中，，，，垂足分别为点E，点F． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的面积． 35．如图，在中，，是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的面积． 36．如图，菱形的对角线与交于点O，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若 ，求四边形的周长． 37．如图，点、、分别在正方形的边、、上，与相交于点． (1)如图1，当， ①求证：； ①平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，当，边长，，则的长为________（直接写出结果）． 38．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，把矩形沿BE折叠，使点A落在矩形外的一点 F上，连接BF，并延长交DC的延长线于点G．    （1）求证：． （2）当DG=3，BC=时，求 CG的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 特殊平行四边形期末高频必刷题汇编 一、单选题 1．小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（    ） A．对角线互相平分 B．对角线垂直 C．对角线与一边夹角为 D．对角线相等 【答案】A 【分析】此题考查了矩形，菱形和正方形的判定，根据矩形，菱形和正方形的判定定理求解即可． 【详解】解：A．对角线互相平分的平行四边形不一定是矩形，故A错误，符合题意； B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故B正确，不符合题意； C．对角线与一边夹角为的矩形是正方形，故C正确，不符合题意； D．对角线相等的菱形是正方形，故D正确，不符合题意． 故选：A． 2．在矩形中，若，则对角线的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．熟练掌握矩形的性质，勾股定理是解题的关键． 利用矩形的性质，根据勾股定理计算求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， 故选：C． 3．若四边形的对角线与相等且互相平分，则下列关于四边形的形状判断正确的是（    ） A．一定是矩形，但不一定是正方形 B．一定是菱形 C．一定是平行四边形，但不可能是矩形 D．一定是正方形 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，正方形的判定定理，熟知矩形的判定定理和正方形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形的对角线与相等且互相平分， ∴该四边形一定是矩形，但不一定是正方形， 故选：A． 4．如图，在中，是斜边的中点，作于点，于点，连接．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．5.5 D．6.5 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质，由勾股定理得出，连接，由直角三角形的性质得出，再证明四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ∴， 如图，连接， ， ∵是斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴ 故选：D． 5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若点是的中点，连接并延长交于点，若，则线段的长为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，根据点是的中点，得出垂直平分，设，则，证明得出，设，则，，在中，，，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：解：四个直角三角形全等， 设，则， 点是的中点， ， 又 垂直平分， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 设，则，， 在中，，， 即 解得： ∴， 故选：B． 6．如图，四边形是边长为1的正方形，点E，F分别在上，连结，当，时，的长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．连接，过点作于点，先证，得出，，结合得出，于是得出，即可求出，设，则，根据勾股定理求出的长，再求出的长，根据即可求出的值，从而求出的长． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 四边形是正方形， ，，， 又， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 则， 在中，由勾股定理得，， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 解得， ， ， 故选：B 7．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．邻角互补 D．邻边相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，矩形和菱形具有平行四边形的所有性质，矩形的四个内角都是直角，对角线相等；菱形的四条边都相等，对角线互相垂直． 【详解】解：矩形和菱形的对角线都互相平分，邻角互补，菱形的邻边相等，矩形的对角线相等， 即矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：A． 8．如图，在菱形中，对角线，交于点，点为边中点．若菱形的面积为24，，则的长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据菱形的性质和面积，可以得到的长，从而可以得到的长，然后根据勾股定理可以得到的长，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长． 【详解】解：四边形是菱形， ， 菱形的面积为，， ，， ， ， ， 为边中点， ， 故选：A． 9．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两点，，点在边上运动（不与点，重合），连结点与的中点并延长交于点，连结，，，．在点从点运动到点的整个过程中，四边形的形状变化依次是（    ） A．平行四边形→菱形→矩形→平行四边形 B．平行四边形→矩形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形 D．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，先根据矩形的性质证明，得，再根据勾股定理求出，进而可得，然后根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定即可解决问题，解决本题的关键是得到． 【详解】当点P从点D开始动到如图位置时，四边形是平行四边形，理由如下， ∵的中点为O， ∴， ∵， ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 当点P运动到时，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； 当点P运动到未达到中点M时，如图所示， ∴四边形是平行四边形， 当点P运动到时，如图所示， ∴四边形是矩形； 当点P运动到过中点M后未到点A时，如图所示， ∴四边形是平行四边形， 综上所述：在点P从点D运动到点A的整个过程中，四边形的形状变化依次是平行四边形，菱形，平行四边形，矩形，平行四边形． 故选：C． 10．下面4种方法中，能判定一个四边形为菱形的是（    ） A．测量两组对边是否分别相等 B．测量两条对角线是否互相垂直平分 C．测量其中三个内角是否都为直角 D．测量两条对角线是否相等 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形，菱形的判定，矩形的判定，主要考查学生的推理能力和辨析能力．根据菱形的判定定理，平行四边形的判定定理及矩形的判定定理分别进行判断，即可得出结论． 【详解】解：A、根据两组对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误； B、根据对角线互相垂直平分可得出四边形是菱形，故本选项正确； C、根据其中三个内角是否都为直角，可得出此时四边形是矩形，故本选项错误； D、根据对角线相等不能得出四边形是菱形，故本选项错误； 故选：B． 11．如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，由等边对等角可得，利用三角形外角性质可得，结合，即可求出. 【详解】解： 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 12．赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接，并延长交于点，若是的中点，，则的长（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质等知识，证明垂直平分，则，再证明，得到，设的长为x，则，则,在中，，则，解方程即可得到的长. 【详解】解：∵四边形和都是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， 设的长为x， ∴， ∴, 在中，， ∴ 解得， 即的长为， 故选：C 13．如图，在矩形中，，分别是边，上的点，且，将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处，再将沿折叠，点恰好落在上的点处．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接相交于于点，根据折叠的性质可得，进而得出四边形是平行四边形，设，则，，在中，利用勾股定理列出方程，求得，进而可得． 【详解】解：连接相交于于点， 将矩形沿折叠，点恰好落在边上点处， ，，， ， 又将沿折叠，点恰好落在上的点处，， ，，，， ， ， ， ， ， 又四边形是矩形，， ， 四边形是平行四边形， ， 设，则，， ，， ， ，， 在中，， 即， 化简方程解得，， ， 舍去， ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，平行四边形的性质与判定，矩形的性质等知识，掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 14．如图，在矩形中，，，点E为射线上一动点，沿折叠，得到，若，则的长为（      ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，综合应用这些知识点是解题关键． 设，根据矩形的性质和轴对称的性质求出，，，的长度，根据勾股定理和线段的和差关系求出和的长度，再根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴点F在上，如图所示， 四边形是矩形，，， ，，， 设，则， 将沿折叠，点C恰好落在边上的点F处， ，， ∴， ∴， ∵， ∴． 解得． 故选：A． 15．如图，在边长为4的正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，平分．交于点．若，则的长度为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，先由正方形的性质得到，再证明得到，进一步证明得到，设，则， 在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 16．如图，在正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD的中点，则∠CPQ的度数为(　　) A．50° B．60° C．45° D．70° 【答案】C 【详解】试题解析：∵四边形ABCD为正方形， ∴BA=DA=BC=CD， ∵P、Q分别为BC、CD的中点， ∴DQ=BP， ∴CP=CQ， ∵ ∴ 故选C. 17．如图，在菱形中，对角线与相交于点，是上任一点，于，于，若，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是过作于，证明，由菱形的面积公式求出的长．过作于，由菱形的性质推出，，，，平分，由角平分线的性质推出，由于，，，得到、、共线，因此，由勾股定理求出，由菱形的面积公式得到，即可求出，得到的值． 【详解】解：过作于， 四边形是菱形， ，，，，平分， 于， ， ，，， 、、共线， ， ，， ，， ， 菱形的面积， ， ． 的值为． 故选：C 18．如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接．若，，则（    ）    A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质，先求得，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 是四个全等的直角三角形，， ，， 四边形为正方形， ， ， 故选：C． 二、填空题 19．将两张同样宽度的纸片按如图方式叠放在一起，记重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查菱形的判定和性质，作于R，于S，根据题意先证出四边形是平行四边形，再由推出，得平行四边形是菱形，再根据勾股定理求出即可 【详解】解：作于R，于S，连接交于点 由题意知：, ∴四边形是平行四边形, ∵两个矩形等宽， ∴， ∵， ∴ ∴平行四边形是菱形， ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 20．如图，在菱形中，E为边上的一点，将菱形沿折叠后，点A恰好落在边上的F处．若垂直对角线，则 度．    【答案】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，利用菱形的性质得到，设，求得，利用平角的性质计算即可求解． 【详解】解：连接，   四边形是菱形， ，， 设， 垂直对角线， ， ， 由折叠的性质知， ， ， ， ， 解得 ， ， 故答案为：72． 21．如图，在矩形中，，过点作垂直交于点，连接，若直线恰好经过的中点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，延长交的延长线于点，交于点，证明，得出，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交的延长线于点，交于点， 依题意，是的中点，则， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 又∵， ∴， 故答案为：． 22．如图，为正方形内的一点，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握正方形的性质，勾股定理以及矩形的判定和性质是正确解答的关键． 过点作于,作于点,是矩形，然后根据勾股定理得到，然后利用面积得到长，然后再利用勾股定理求出长，再利用勾股定理求出结果即可． 【详解】过点作于,作于点, 则是矩形， ∴， 在 中, ， ∵ ， ， ∴，， ， ． 23．如图，在矩形中，，．P，Q分别是边和上的点，且，M为的中点，连结，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、梯形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是解题关键．过点作于点，取的中点，连接，先求出，再根据梯形的中位线定理可得，，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接， 则四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∵点为的中点，为的中点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 24．杭州纸伞馆有制作精美的纸伞，如图，四条长度相等的伞骨围成菱形，伞骨连接点A固定在伞柄顶端，伞圈C能沿着伞柄滑动．小聪通过测量发现：当伞完全张开时，伞柄的中点O到伞骨连接点B，D的距离都等于的一半，若夹角，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质，根据菱形的性质可得，，求得，，求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 25．在以 “矩形的折叠” 为主题的数学活动课上， 某位同学进行了如下操作：    第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形 ．然后将纸片展平∶ 第二步：连结 ，将 沿 折叠，得到 ，延长 交边 于点 ，如图②．根据以上操作，若 则 的长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的判定性质，正方形的判定和性质，勾股定理，弄清相关线段间的关系，能灵活运用勾股定理列方程是解题的关键．根据矩形的性质，正方形的性质，翻折的性质用表示，，再利用勾股定理列方程解出即可． 【详解】解：由题意可知：四边形是正方形，四边形和四边形都是矩形， ，，， 是由折叠得到的， ， 在中，，即， 在中，，即， 联立解得：， 故答案为：10． 26．如图，已知菱形的面积为，点P，Q分别是在边，上(不与C点重合) ，且，连结，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、两点间的距离公式、三角形三边关系求最值，熟练掌握相关性质和判定是解决本题的关键．过点作于点，延长到点，使，连接，以点为原点，为x轴，垂直于方向为y轴，建立平面直角坐标系，根据菱形的性质和勾股定理可得，可得到各点坐标为，然后证明．可得，由，可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，利用两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使，连接，以点为原点，为x轴，垂直于方向为y轴，建立平面直角坐标系， 点和关于轴对称， ， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为，边长为， ，解得， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值. 故答案为：. 27．如图，在正方形中，点在上，，，垂足分别为、，若，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了正方形的性质，矩形的判定，以及等腰直角三角形的判定与性质，由正方形，以及对角线的长，得到对角线互相垂直，等于的一半，根据三个角为直角的四边形为矩形得到四边形为矩形，进而得到矩形的对边相等，同时得到三角形为等腰直角三角形，由等量代换得到，求出即可． 【详解】解：正方形，， ， ，，， ，， ， 四边形为矩形，为等腰直角三角形， ，， ． 故答案为：． 28．如图，在菱形纸片中，，，将该菱形纸片沿折痕翻折，使点D落在的中点G处，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、折叠性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．过G作交延长线于H，先根据菱形的性质得到，，，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得 ，设，由折叠性质得，在中利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：过G作交延长线于H， ∵四边形是菱形，，， ∴，，则， ∵点G是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设， 由折叠性质得， 在中，， 由得， 解得， 故答案为： 29．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形．该图形是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，被称为“赵爽弦图”．若平分的面积是，正方形的面积是，则大正方形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，先求出，设点E到的距离为h，由角平分线的性质得到，再利用等面积法求出，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积是， ∴， 设点E到的距离为h， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴大正方形的面积是， 故答案为：． 30．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为 ． 【答案】 【分析】将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′，则MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形，推出AM＝MM′可得MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME，共线时最短；由于点E也为动点，可得当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝DG＋GE的值； 【详解】 解：将△AMD绕点A逆时针旋转60°得到△AM′D′， 由性质的性质可知：MD＝M′D′，△ADD′和△AMM′均为等边三角形， ∴AM＝MM′， ∴MA＋MD＋ME＝D′M＋MM′＋ME， ∴D′M、MM′、ME共线时最短， 由于点E也为动点， ∴当D′E⊥BC时最短，此时易求得D′E＝D′G＋GE＝ ∴MA＋MD＋ME的最小值为， 故答案为： 【点睛】本题考查轴对称、旋转变换、矩形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造等边三角形解决问题，用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题 31．如图，在菱形中，对角线，交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴且， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴ 在中，， 在中，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 32．如图，矩形的对角线、交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接、、． (1)求证:四边形是菱形． (2)若，，则菱形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识； 熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键. （1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出即可得出结论； （2）由矩形的性质得出由菱形的性质得出，的长，然后由菱形的面积公式即可得出结果. 【详解】（1）证明： ， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ， ∵四边形是菱形， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为： ． 33．如下图，在菱形中，点P是边上的点，连结交对角线于点E，连结． (1)求证：． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】（1）由证得，即可得出结论； （2）①由（1）得，则，由，得，由三角形外角的性质即可得方程，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，有一定难度． 34．如图，菱形中，，，，垂足分别为点E，点F． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、中位线定理以及含度角的直角三角形的性质，熟记相关几何结论即可． （1）证得，再证即可； （2）作，可推出是的中位线得，求出即可求解； 【详解】（1）证明：由题意得： ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形 （2）解：作，如图所示： 由（1）可得： ∴是的中位线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 35．如图，在中，，是的中点，连接并延长，交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形． (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）证明可得，进而可得四边形是平行四边形，再由即可求证； （）由平行四边形的性质可得，，由菱形的性质可得，，，进而由勾股定理得，即得，再根据即可求解； 本题考查饿了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，四边形的面积，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 36．如图，菱形的对角线与交于点O，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若 ，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质、平行四边形的判断、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质和矩形的判定，证明为等边三角形是解答的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质得到，进而根据矩形的判定可得结论； （2）证明为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，进而得到 ，，然后根据矩形的周长公式求解即可． 【详解】（1）证明：，． 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 为等边三角形，则 ，则 ， 四边形是矩形， ， 四边形的周长是． 37．如图，点、、分别在正方形的边、、上，与相交于点． (1)如图1，当， ①求证：； ①平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； (2)如图3，当，边长，，则的长为________（直接写出结果）． 【答案】(1)①见解析；①见解析 (2) 【分析】（1）①作交的延长线于点，证明四边形是平行四边形，则，，通过证得，即可证得结论；②在上截取一点，使得．则是等腰直角三角形，．再证明是三角形的中位线即可解决问题； （2）过点作交于点，则四边形是平行四边形，得出，，根据勾股定理求得，进而求得，作，交延长线于，通过证，证得，，，继而证得，证得，从而证得，设．则，根据勾股定理求得，进一步根据勾股定理求得． 【详解】（1）证明：①作交的延长线于点， ∵正方形， ∴，四边形是平行四边形，则，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； ②在上截取一点，使得．则是等腰直角三角形，． 同①， ， ，， ， ， ， ，即； （2）解：过点作交于点，则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 作，交延长线于， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 即， 设．则， 在中，，解得， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理、勾股定理的应用，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键，属于中考压轴题． 38．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，把矩形沿BE折叠，使点A落在矩形外的一点 F上，连接BF，并延长交DC的延长线于点G．    （1）求证：． （2）当DG=3，BC=时，求 CG的长． 【答案】（1）见解析；（2）CG=1． 【分析】（1）由轴对称的性质，矩形的性质，中点的含义证明： 再利用斜边直角边公理证明：，即可得到结论； （2）设CG=x，利用的性质，矩形的性质，用含的代数式表示 再利用勾股定理列方程可得答案． 【详解】解：（1）由折叠知AE=FE，∠BFE=∠A， ∵E是边AD的中点， ∴DE=AE ， ∴DE=FE， 又∵ABCD是矩形， ∴∠D=∠A=∠BFE=90°， ∴∠D=∠EFG=90°， 又∵EG=EG ∴． （2）∵， ∴FG=DG=3， 设CG=x， 则BF=AB=DC=3－x， BG=6－x 在中 解得： x=1   即CG=1． 【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$