精品解析：吉林省长春市第八十七中学（五四制）2024-2025学年七年级下学期第三次月考数学试题

2025年6月七年级自我检测数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中为无理数的是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握开方开不尽，无限不循环小数等是无理数，来进行判断即可． 【详解】解：A．是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．1是有理数，不符合题意； D．是无理数，符合题意； 故选：D． 2. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数估算的方法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查估算无理数的大小，解题的关键是明确估算无理数大小的方法． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，解题的关键是掌握相应的运算法则进行求解． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，选项正确，符合题意； D．，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 若，则 C. 如果，那么 D. 对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：A．如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； B．若，则的逆命题为：若，则．当时，，有．则该命题为假命题，不符合题意； C．如果，那么的逆命题为：如果，那么．该命题为真命题，符合题意； D．对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，该命题为假命题，不符合题意． 故选C． 5. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解． 【详解】解：当长是的边是底边时，腰长为，三边为，，，等腰三角形成立； 当长是的边是腰时，底边长是：，而，不满足三角形的三边关系． 故底边长是： 故选：C． 6. 以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等，即可解答． 【详解】解：A．∵， ∴， ∴，，不能构成直角三角形，不符合题意； B．∵， ∴， ∴，，不能构成直角三角形，不符合题意； C．∵， ∴， ∴，，不能构成直角三角形，不符合题意； D．∵， ∴， ∴，，能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 7. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图和性质，过点D作于点H，根据作图可得平分，再根据角平分线的性质可得，即可求解，熟练掌握知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点D作于点H， 由作图可得，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的面积为， 故选：A． 8. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论其中正确的是（ ） ①； ②； ③当时，分别是的中点； ④若，，则． A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理判断①；根据角平分线的定义和平行线的性质判断②；根据三角形三边关系判断③；根据角平分线的性质判断④． 【详解】解：和的平分线相交于点， ， ，①正确； ， ， 又， ， ， 同理，， ，②正确； 当时，， 不是的中点，③错误； 连接，作于，如图所示： 和的平分线相交于点， 平分， ， ， ，④正确． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算，直接利用同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算将原式变形为，代入数值进行计算即可，熟练掌握相关运算法则是解此题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 10. 若多项式是关于的完全平方式，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了求完全平方式中的参数，根据完全平方公式即可解答，解题的关键是掌握完全平方公式． 【详解】解：∵是关于的完全平方式， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，根据积的乘方法则计算即可 【详解】解：， 故答案为： 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】x≥4 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得：x-4≥0， ∴x≥4， 故答案为：x≥4． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 14. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于、两点，直线恰好经过点，给出下列四个结论： ①若连结，则是等腰三角形； ②若连结，则是等腰三角形； ③； ④． 其中正确结论的序号有______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据尺规作圆可判定①；根据尺规作垂直平分线可判定②；根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理平角的性质可判定③；根据线段的等量关系可判定④；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连结， ∵以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点， ∴， ∴是等腰三角形，故①正确； 分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于、两点，两直线恰好经过点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形，故②正确； 由②正确可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，故③错误； ∵，， ∴在和中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④ ． 【点睛】本题考查了尺规作线段垂直平分线，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质，尺规作图的知识，数形结合分析思想是解题的关键． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，单项式乘以单项式，幂的乘方，多项式除以单项式，正确计算是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先计算绝对值，算术平方根，立方根，再进行加减运算即可； （3）根据同底数幂的乘法，幂的乘方进行计算即可； （4）根据多项式除以单项式法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 16. 因式分解： （1）________ （2）________ （3）________ （4）________ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式分解因式是解题的关键： （1）直接提公因式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （3）直接利用完全平方公式分解因式即可； （4）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解： 故答案为： 【小问3详解】 解： 故答案为： 【小问4详解】 解： 故答案为： 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查的是整式的混合运算，属于基础题型．明确乘法计算法则是解决这个问题的关键．首先根据完全平方公式、平方差公式以及多项式的乘法计算法则将括号去掉，然后再进行合并同类项得出化简结果，最后将a和b的值代入化简结果得出答案． 【详解】解： ， 将，代入得，原式． 18. 如图，点A、E、F、B在同一条直线上，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键．由“”可证，即可得证． 【详解】略 19. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，连接，由勾股定理可得，进而得到，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，最后根据计算即可求解，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴． 20. 如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先证，推出，，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，进而根据即可求解． 【详解】解：∵，为边上的中线， ，， 在和中，，，， ， ∴，， ，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 21. 图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． （2）在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． （3）在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 【答案】（1） 如图①、图②即为所求． （2） 如图③即为所求． （3） 如图④即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了格点画图、直角三角形、等腰三角形的定义等知识点．掌握相关定义成为解题的关键． （1）根据直角三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （2）根据等腰三角形的定义以及面积为3画出所求三角形即可； （3）根据等腰直角三角形的定义画出所求三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】【应用】（1）36，6；（2），最小值 【探究】， 因为，， ； 因为， 所以， 所以， 即． 【解析】 【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． 探究：作差后配方比较大小． 【详解】应用：（1）∵ 故答案为：36，6． （2） ∵， ∴当时，原式有最小值． 【探究】略 23. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 【答案】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）24； （3） 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键． （1）证明即可得证； （2）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （3）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为24． 故答案为：24； （3）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 24. 如图①，在矩形中，，点E在边上，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，连接．当点P运动到点B时，． （1）________； （2）当________秒时，平分矩形的面积； （3）连接，当的面积为6时，求t的值； （4）如图②，作点A关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出t的值． 【答案】（1）3 （2）9 （3）t的值为或7 （4）t的值为或7或8 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）当时满足平分矩形面积，进而根据路程求解即可； （3）分类讨论，当点P在上和上，再根据面积建立关于t的你方程求解即可； （4）分三种情况进行讨论：当点P在边上，点A落在边上时，当点P在边上，A落在边上时，当点A落在边上时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图， 则四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，当点P在时，且，时，平分矩形的面积， ∵，， ∴， ∴， 答：当时，平分矩形的面积， 故答案为：9； 【小问3详解】 解：当点P在上时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当点P在上时，如图， ∵，， ∴， ∴， 综上，当的而积为6时，t的值为或7； 【小问4详解】 解：①如图，当点P在边上，点A落在边上时， ∵点A关于对称点为， ∴，， 过E作于点F，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， 解得：； ②如图，当点P在边上，A落在边上时， 同理，， ∴， ∵， ∴ ， 在中，， 即， 解得：； ③如图，当点A落在边上时， 此时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 综上，t的值为或或8． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年6月七年级自我检测数学试卷 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各数中为无理数的是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果两个角是直角，那么它们相等 B. 若，则 C. 如果，那么 D. 对顶角相等 5. 若等腰三角形的一边长为，周长为，则此等腰三角形的底边长是（ ） A. 或 B. C. D. 或 6. 以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M、N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，则的面积为（ ） A. 15 B. 20 C. 25 D. 30 8. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列四个结论其中正确的是（ ） ①； ②； ③当时，分别是的中点； ④若，，则． A. ①② B. ①②④ C. ③④ D. ①③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 若，，则的值为__________． 10. 若多项式是关于的完全平方式，则______． 11. 计算：______． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 13. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 14. 如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧交于点，交于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于、两点，直线恰好经过点，给出下列四个结论： ①若连结，则是等腰三角形； ②若连结，则是等腰三角形； ③； ④． 其中正确结论的序号有______． 三、解答题（共10小题，共78分） 15. 计算： （1） （2） （3） （4） 16. 因式分解： （1）________ （2）________ （3）________ （4）________ 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，点A、E、F、B在同一条直线上，且，，．求证：． 19. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 20. 如图，在中，，为边上的中线，为上一点，且，，求的度数． 21. 图①、图②、图③是的正方形网格，每个小正方形的边长都为1．线段的端点在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法，并保留作图痕迹． （1）在图①中以AB为直角边画一个直角三角形，使它的面积为3． （2）在图②中以AB为边画一个等腰三角形，使它的面积为3． （3）在图③中以AB为斜边画一个等腰直角三角形． 22. 【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 23. 教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 24. 如图①，在矩形中，，点E在边上，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线向终点C运动．设点P运动的时间为t秒，连接．当点P运动到点B时，． （1）________； （2）当________秒时，平分矩形的面积； （3）连接，当的面积为6时，求t的值； （4）如图②，作点A关于直线的对称点，当点落在矩形的边上时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $