第05讲 平面上的距离（八大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第05讲 平面上的距离 【苏教版2019】 模块一 平面上两点间的距离 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 【题型1 求平面两点间的距离】 【例1】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【变式1-1】（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知与两点间的距离为4，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 模块二 点到直线的距离 1．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 2．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 3．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型2 点到直线的距离问题】 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点到直线的距离为3，则实数等于（   ） A．3 B． C．0或3 D．0或 【变式2-2】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【题型3 两条平行直线间的距离问题】 【例3】（24-25高二上·甘肃金昌·期中）两平行直线，之间的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【变式3-1】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与之间的距离为，则的值为（    ） A．或8 B．或9 C．或2 D．或2 【变式3-3】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（    ） A． B．48 C．36或48 D．或48 【题型4 与距离有关的最值问题】 【例4】（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【变式4.1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【变式4-3】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 模块三 点、线间的对称关系 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 3．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型5 直线关于点的对称问题】 【例5】（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【变式5-2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【变式5-3】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型6 求点关于直线的对称点】 【例6】（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·广西南宁·期中）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【题型7 直线关于直线的对称问题】 【例7】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型8 光线反射问题】 【例8】（24-25高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（   ） A． B． C． D．3 7．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·广东东莞·期中）过点且与两点距离相等的直线方程（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 三、填空题 12．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）点到直线的距离为 . 13．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 14．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·重庆·期中）已知a为实数，设直线：，：. (1)若，求a的值； (2)若，求与的距离. 16．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求点到直线的距离； (2)求点关于直线l的对称点的坐标. 17．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 18．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 19．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 平面上的距离 【苏教版2019】 模块一 平面上两点间的距离 1．两点间的距离公式 平面内两点间的距离公式为. 特别地，原点O到任意一点P(x,y)的距离为|OP|=. 【题型1 求平面两点间的距离】 【例1】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【解题思路】利用两点之间的距离公式计算即得. 【解答过程】点和点之间的距离为. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高二上·北京大兴·期中）过点，的直线的斜率为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据斜率列方程，求得，进而求得. 【解答过程】依题意，，解得， 所以，所以. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【解题思路】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【解答过程】设，则， 即， 所以. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知与两点间的距离为4，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【解题思路】根据题意，利用两点间的距离公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】因为与，可得， 即，解得或． 故选：A. 模块二 点到直线的距离 1．点到直线的距离公式 (1)定义： 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足.实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外该点的连线的最短距离. (2)公式： 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d=. 2．两条平行直线间的距离公式 (1)定义 两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间的公垂线段的长. (2)公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d=. 3．中点坐标公式 公式： 设平面上两点，线段的中点为，则. 【题型2 点到直线的距离问题】 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【解题思路】直接利用点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】点到直线的距离. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点到直线的距离为3，则实数等于（   ） A．3 B． C．0或3 D．0或 【解题思路】由点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】由题意可得，解得或， 故选：D. 【变式2-2】（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知直线 与 相交于点 ，则点到直线 的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】解方程组求得交点坐标，由点到直线距离公式计算出距离． 【解答过程】由得，即， 所以点到直线 的距离为， 故选：A． 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【解答过程】点到直线的距离公式得，解得或． 故选：C. 【题型3 两条平行直线间的距离问题】 【例3】（24-25高二上·甘肃金昌·期中）两平行直线，之间的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【解题思路】根据两平行直线的距离公式来求得正确答案. 【解答过程】由题意可知可以化为， 所以两平行直线，之间的距离. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知直线与直线平行，则与之间的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【解题思路】根据两条直线平行，求出值，再应用平行线间的距离公式求值即可. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以，解之得. 于是直线，即， 所以与之间的距离为. 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知两条平行直线与之间的距离为，则的值为（    ） A．或8 B．或9 C．或2 D．或2 【解题思路】根据题意，结合两平行线间的距离公式，列出方程，即可求解. 【解答过程】因为两条平行直线与之间的距离为， 由两平行线间的距离公式，可得，解得或． 故选：A. 【变式3-3】（24-25高二下·全国·课堂例题）已知两条平行直线，间的距离为3，则等于（    ） A． B．48 C．36或48 D．或48 【解题思路】由两直线平行，求出的值，由平行直线间的距离求出的值，可得. 【解答过程】将改写为， 因为两条直线平行，所以． 由，解得或， 所以或48． 故选：D. 【题型4 与距离有关的最值问题】 【例4】（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【解题思路】首先求出直线过定点，则到直线的最远距离为，此时直线垂直于，求出，即可得解. 【解答过程】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B. 【变式4.1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点到直线上的点的距离最小问题，即当时，由点到直线的距离公式即可求得. 【解答过程】可理解为动点到定点的距离， 而动点在直线上， 故当且仅当时，取得最小值， 即，故的最小值是. 故选：D. 【变式4-2】（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【解题思路】通过消元，将所求转化为，分析该式子的几何意义为轴上某动点到两定点的距离之和，利用的性质，即可得出所求最小值. 【解答过程】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 【变式4-3】（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【解题思路】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【解答过程】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B. 模块三 点、线间的对称关系 1．点关于点的对称 求点P关于点A(a,b)的对称点P'的问题，主要依据A是线段PP′的中点来求解. 设P(x0,y0)，对称中心为A(a,b)，则P关于A的对称点为P'(2a-x0,2b-y0). 2．直线关于点的对称 求直线l关于点A(a,b)对称的直线l'的步骤： (1)由平行直线系设出直线l'的方程； (2)在l上任取一点P(x,y)，求P关于A的对称点P'(2a-x,2b-y)； (3)将P'的坐标代入直线l'的方程，求出参数，得到l'的方程. 3．两点关于某直线对称 设点A(x0,y0)关于直线l的对称点为B(x,y). (1)直线l的斜率不存在时，设直线1：x=t，则. (2)直线l的斜率为0时，设直线l：y=t，则. (3)直线l的斜率存在且不为0时，设点A(x0,y0)关于直线l：Ax+By+C=0的对称点为B(x,y). 则，由此可求出B(x,y). (4)几种特殊位置的对称： 点 对称轴 对称点坐标 P(a,b) x轴 (a,-b) y轴 (-a,b) y=x (b,a) y=-x (-b,-a) x=m(m≠0) (2m-a,b) y=n(n≠0) (a,2n-b) 4．直线关于直线对称 直线关于直线对称有两种类型： (1)若已知直线l₁与对称轴l相交于点P，则交点P必在l₁关于l对称的直线l2上，再求出l₁上除点P外 任意一个已知点P₁关于l对称的点P2，那么经过交点P及点P2的直线就是l2. (2)若已知直线l₁与对称轴l平行，则l₁关于l对称的直线l2到直线l的距离和l₁到直线l的距离相等，由 平行直线系和对称点即可求出l₁关于l对称的直线l2. 【题型5 直线关于点的对称问题】 【例5】（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解. 【解答过程】因为不在直线l：上， 所以可设直线l：关于点对称的直线方程为， 则，解得或（舍去）， 故所求直线方程为：. 故选：A. 【变式5-1】（23-24高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（    ） A． B． C． D．（1，0） 【解题思路】根据两直线关于点对称，利用中点坐标公式即可求直线上的对称点，且该点在直线上. 【解答过程】由题设关于对称的点为，若该点必在上， ∴，解得，即一定在直线上. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【解题思路】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【解答过程】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B. 【变式5-3】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案. 【解答过程】由可得：， 令，解得：， 所以，设直线关于点的对称直线方程为：， 则到直线与的距离相等， 所以，解得：，即（舍去）或. 故直线关于点的对称直线方程为：. 故选：D. 【题型6 求点关于直线的对称点】 【例6】（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【解答过程】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 【变式6-1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点． 【解答过程】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ， 点关于直线的对称点的坐标为， 即． 故选：D． 【变式6-2】（24-25高二上·北京·期中）若点关于直线的对称点在轴上，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由已知，设点关于直线的对称点为，再由垂直直线的斜率关系和点与点的中点在上，建立方程组，即可得到. 【解答过程】因为点关于直线的对称点在轴上， 设点关于直线的对称点为， 则有 ，解得. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高二上·广西南宁·期中）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出点关于直线的对称点，则所求最短总路程为. 【解答过程】设关于直线对称的点为， 则，解得：，即， “将军饮马”的最短总路程为. 故选：D. 【题型7 直线关于直线的对称问题】 【例7】（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件判断，可设，利用对称性可知与间的距离等于与间的距离，列方程求解即得. 【解答过程】因为，所以，设直线的方程为且. 因为直线关于直线对称，所以与间的距离等于与间的距离. 由两平行直线间的距离公式，得，解得或（舍去）. 所以直线的方程为. 故选：D. 【变式7-1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对称性的性质，用代，以代进行求解即可. 【解答过程】因为直线l：与直线关于直线对称， 所以在方程中，用代，以代，得， 化简，得， 故选：A. 【变式7-2】（24-25高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【解答过程】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 【变式7-3】（24-25高二上·湖北黄石·阶段练习）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线关于直线对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两条直线平行的性质求出n,再利用两条平行直线间的距离求出m，再由平行线间距离即可求解. 【解答过程】因为直线：与：， 所以， 又两条平行直线：与：之间的距离是， 所以解得 即直线：，：， 设直线关于直线对称的直线方程为， 则，解得， 故所求直线方程为， 故选：A. 【题型8 光线反射问题】 【例8】（24-25高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据对称点在反射光线上，即可根据两点求解斜率，即可得直线方程. 【解答过程】点关于轴的对称点为， 故，在反射光线所在的直线上，故， 直线方程为，即， 故选：C. 【变式8-1】（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知一条光线从点发出被直线反射，若反射光线过点，则反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，求出发光点关于直线的对称点，再借助光的反射定律求出反射光线所在直线的方程. 【解答过程】设点关于直线的对称点为，则，解得， 因此反射光线所在直线过点，方程为，即. 故选：A. 【变式8-2】（24-25高二上·浙江绍兴·期中）暨阳分校环境优美，依山傍水，绿树成荫.某日，小明饭后散步至池塘边，恰好可以在池塘中看到太阳的倒影，即入射光线经池塘水面反射后，反射光线经过小明眼睛.建立适当坐标系后，已知入射光线上有一点，经直线反射后经过点，则入射光线所在直线方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】先求出点关于直线对称点的坐标，结合点的坐标即可求得入射光线所在直线的方程． 【解答过程】设关于直线对称的点为， 则，解得，即， 因为入射光线经过点，所以所在直线的斜率为， 则入射光线所在直线方程为，即． 故选：D. 【变式8-3】（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 【解题思路】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【解答过程】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ，光线所经过的路程即的周长， 而的周长为， 所以光线所经过的路程是． 故选：B. 一、单选题 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两条平行直线间的距离公式即可. 【解答过程】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【解答过程】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：C. 3．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据点到直线的距离公式求解即可. 【解答过程】点到直线的距离. 故选：. 4．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线和直线分别过定点和，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由直线方程可得定点A，B，然后由两点间距离公式可得答案. 【解答过程】直线过定点， 直线 ， 则，可得过定点， 所以. 故选：A. 5．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【解题思路】设所求直线上任意一点的坐标为，利用对称的性质得到点P关于直线对称的点为代入直线即可求得结果. 【解答过程】设所求直线上任意一点的坐标为，该点关于直线对称的点的坐标为， 则,故对称点坐标为，代入直线上，， 故选：D. 6．（24-25高二上·北京·阶段练习）如图，在中，，，，当点、分别在、轴上运动，点到原点的最大距离是（   ） A． B． C． D．3 【解题思路】取的中点，连接，，根据数形结合分析可知，根据，，的位置关系即可求解. 【解答过程】取的中点，连接，， ，， ， 由图可知，， 当，，三点共线时，等号成立， 所以点到原点的最大距离是. 故选：A. 7．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案. 【解答过程】设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上，即①， 直线与直线垂直，即②， 解得，即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：B． 8．（24-25高二上·云南玉溪·期中）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线不会经过下列哪个点（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用点斜式求得直线，再利用点关于直线对称求得点关于直线的对称点，进而利用两点式求得反射光线的方程，再逐一分析判断各选项即可得解. 【解答过程】倾斜角为的且过的直线的方程为，即， 设点关于直线的对称点，则， 即，解得，即， 于是反射后的光线所在的直线方程为，即， 对于A：时，； 对于B：时，； 对于C：时，； 对于D：时，. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二上·河北保定·阶段练习）若点和点关于直线对称，则（ ） A． B． C． D． 【解题思路】由点关于直线对称的性质，两点连线与对称轴垂直，且两点中点在对称轴上，先求出两点连线的中点，代入直线的方程，求出，再利用两直线垂直关系求出. 【解答过程】由题意知，的中点，即在直线上， 则可得，解得， 则直线，斜率为， 又直线与直线垂直， 则可得，解得， 故选：AC. 10．（24-25高二上·广东东莞·期中）过点且与两点距离相等的直线方程（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先设直线方程，再根据点到直线距离公式列方程解得结果. 【解答过程】由题意得：满足条件的直线斜率存在， 可设所求直线方程为，即， 因为与点距离相等， 则，可得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：BC. 11．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知直线，直线，则下列说法正确的为（    ） A．若，则 B．若两条平行直线与间的距离为，则 C．直线过定点 D．点到直线距离的最大值为 【解题思路】结合题设直线方程得两直线斜率为，，对于A，由直线垂直的关系列式即可求出m；对于B，根据直线平行和斜率的关系求出m，再结合直线平行间的距离公式即可求解；对于C，根据直线过定点问题的方法直接计算即可得解；对于D，由题设得点到直线距离的最大时，再结合两点间距离即可求解. 【解答过程】由题，斜率为， ，斜率为， 对于A，若，则，即，故A正确； 对于B，因为，所以，即，且即， 又两条平行直线与间的距离为， 所以或，故B错误； 对于C，对，令， 所以直线过定点，故C正确； 对于D，由C可知直线过定点， 所以要使点到直线距离最大，则， 则点到直线距离的最大值为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）点到直线的距离为 . 【解题思路】直接利用点到直线的距离公式计算即可. 【解答过程】直线即， 点到直线的距离为. 故答案为：. 13．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 【解题思路】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于对称点坐标，由垂直斜率的关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程. 【解答过程】联立，得，则两直线的交点为， 在直线上取点，设其关于的对称点为， 则，得，则. 故直线关于直线的对称直线为， 又，所以直线，即. 故答案为：. 14．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【解题思路】求出点关于直线对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【解答过程】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：.    四、解答题 15．（24-25高二上·重庆·期中）已知a为实数，设直线：，：. (1)若，求a的值； (2)若，求与的距离. 【解题思路】（1）根据两直线的位置关系求出即可； （2）根据两直线的位置关系求出，检验并利用两平行线间的距离公式计算即可求解. 【解答过程】（1）由题意知，若， 则，解得. （2）若，则，即，解得或. 当时，，此时， 两平行线之间的距离为； 当时，，此时重合，不符合题意. 所以两平行线之间的距离为. 16．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知点，直线. (1)求点到直线的距离； (2)求点关于直线l的对称点的坐标. 【解题思路】（1）根据条件，利用点到直线的距离公式，即可求解； （2）设对称点坐标为，利用两直线垂直的性质与中点坐标公式列方程组即可得解. 【解答过程】（1）因为点，直线， 所以点到直线的距离为. （2）设，则，即，解得， 所以点关于直线l的对称点的坐标为. 17．（24-25高二上·湖北武汉·期中）已知点 ，直线 . (1)求过点 ，且与直线 平行的直线 的方程； (2)光线通过点 ，经直线 反射，其反射光线通过点 ，求反射光线所在直线的方程. 【解题思路】（1）根据平行设出直线方程，再根据点在线上求参即可； （2）设点关于直线的对称点为，再根据斜率及中点在直线上求出，最后应用两点式写出直线方程. 【解答过程】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为 （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线斜率为， 直线方程为． 18．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知直线的方程为. (1)当时，求点到直线的距离； (2)当时，为直线上一动点，若，，求的最小值. 【解题思路】（1）运用点到线的距离公式求解即可. （2）设点关于直线的对称点，求出坐标，结合求解即可. 【解答过程】（1）当时，直线的方程为， 所以点到直线的距离为. （2）当时，直线的方程为， 设点关于直线的对称点，如图所示， 则，解得，即， 所以， 故的最小值为. 19．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线l的对称点坐标. (2)直线关于直线l对称的直线的方程. (3)直线l关于点对称的直线方程. 【解题思路】（1）设对称点为，由与直线垂直，中点在直线上列方程组求解； （2）求出与的交点坐标，再求出直线上一点关于直线的对称点的坐标，由这两点可得直线方程； （3）设直线关于点对称的直线方程为，由点到这两条平行线间距离相等求解． 【解答过程】（1）设点P的对称点为， 则，解得， 所以对称点坐标为； （2）由，解得，即直线与的交点为， 点是直线上的一点，设它关于直线的对称点为， 则，解得，即， ，所以直线的方程为，即； （3）设直线关于点对称的直线方程为， 由，解得（舍去）或， 所以对称直线方程为． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$