第04讲 命题、定理、定义（四大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（苏教版2019必修第一册）

第04讲 命题、定理、定义 【苏教版2019】 模块一 命题、定理、定义 1．命题及相关概念 (1)定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 2．定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 3．定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【题型1 命题的概念】 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【变式1.1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【变式1.2】（24-25高一上·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ） （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1.3】（2025高一·全国·课后作业）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 【变式2.1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【变式2.2】（24-25高一·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2.3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【题型3 指出命题的条件和结论】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是（    ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 【变式3.1】（2025高一·全国·专题练习）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【变式3.2】（2025高一·江苏·专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【变式3.3】（24-25高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【题型4 已知命题的真假求参数】 【例4】（24-25高二上·甘肃白银·期末）若“且”是真命题，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（2025高一·全国·专题练习）设集合，命题：，命题：. 若和中有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式4.2】（24-25高一上·上海徐汇·阶段练习）设，若，则为真命题，则的取值范围是 ． 【变式4.3】（24-25高一下·全国·课后作业）若命题甲“”和命题乙“或”中至少有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 一、单选题 1．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 3．（24-25高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 4．（25-26高一上·全国·课后作业）命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 5．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）下列语句是命题的个数为（   ） ①空集是任何集合的真子集；②x2－3x－4＝0； ③3x－2>0；④把门关上；⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 7．（24-25高一上·四川成都·开学考试）老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（    ） A．任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果 B．不努力学习也可能有好结果 C．努力学习一定有好结果 D．如果没有取得好结果，那么一定没有努力 8．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南湘西·阶段练习）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 10．（24-25高一·江苏·假期作业）（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 11．（24-25高一上·重庆·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·期中）命题“如果，那么”是 命题（填写“真”或“假”） 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ，真命题的序号为 ． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明命题“个位数字是0的自然数能被5整除”是真命题． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由． (1)一个钝角与一个锐角的差是锐角； (2)若是奇数，则是奇数． 18．（24-25高一上·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 19．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 命题、定理、定义 【苏教版2019】 模块一 命题、定理、定义 1．命题及相关概念 (1)定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题. (2)命题的分类 ①真命题：判断为真的语句； ②假命题：判断为假的语句. (3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. 2．定理 定理：在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理. 3．定义 定义：定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵. 【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题. 【题型1 命题的概念】 【例1】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B．同位角相等 C． D． 【解题思路】利用命题的判断方法，结合选项，即可得出结果. 【解答过程】因为命题是能判断真假的陈述语句，选项A，C和D不能判断真假，选项B可以判断真假， 故选：B. 【变式1.1】（25-26高一上·全国·课后作业）下列语句为命题的是（    ） A．对角线相等的四边形 B． C． D．有一个内角是90°的三角形是直角三角形 【解题思路】由命题的定义判断各个选项即可. 【解答过程】由命题的定义可知，能够判断真假的陈述句是命题，所以D为命题． A，B，C不能判断真假，所以不是命题． 故选:D． 【变式1.2】（24-25高一上·江苏·课后作业）有下列语句，其中是命题的个数为（   ） （1）这道数学题有趣吗？（2）0不可能不是自然数；（3）；（4）；（5）91不是素数；（6）上海的空气质量越来越好． A．3 B．4 C．5 D．6 【解题思路】根据命题的定义即可结合选项逐一求解. 【解答过程】（1）这不是一个陈述句，没有办法判断出真假，故不是命题； （2）这句话表示0是自然数，显然这句话是对的，因此是命题，而且是真命题； （3）因为是正确的，所以是命题，而且是真命题； （4）不能判断是否正确，所以不是命题； （5）因为，所以可以判断“91不是素数这句话”是正确的，所以是命题，而且是真命题； （6）不能判断上海的空气质量越来越好这句话是否正确，所以不是命题. 所以（1）、（4）、（6）不是命题，其余都是命题．其中，（2）是真命题；（3）是真命题；（5）是真命题． 故选：A. 【变式1.3】（2025高一·全国·课后作业）下列语句中：①；②；③有一个根为0；④高二年级的学生；⑤今天天气好热！⑥有最小的质数吗？其中是命题的是（    ） A．①②③ B．①④⑤ C．②③⑥ D．①③ 【解题思路】根据命题的定义即可求解. 【解答过程】命题是能判断真假的陈述句， 由于⑤⑥不是陈述句，故不是命题， ②④无法判断真假，故不是命题， ①③可以判断真假且是陈述句，故是命题， 故选：D. 【题型2 判断命题的真假】 【例2】（24-25高一上·全国·随堂练习）下列命题中的真命题是（    ） A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若，则 D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 【解题思路】由两角互余的概念可判断A；可举对顶角相等判断B；运用平方差公式，可判断C；运用三角形外角的性质可判断D. 【解答过程】对于A，互余的两个角可能相等，比如都为，故A错误； 对于B，相等的两个角可以是对顶角，故B错误； 对于C，若，则，即或，则，故C正确； 对于D，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故D错误； 故选：C. 【变式2.1】（24-25高一上·上海·随堂练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形都全等 B．若，则 C．对顶角相等 D．所有偶数都是合数 【解题思路】A，根据等边三角形和全等的定义作出判断；B，解不等式得到B错误；C，由对顶角定义判断；D，可举出反例. 【解答过程】A选项，等边三角形的边长不一定相等，故不一定全等，A错误； B选项，若，则或，B错误； C选项，对顶角相等，C正确； D选项，2为偶数，但2为质数，D错误. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】根据等式性质知ABC正确，当时，恒成立，D错误，得到答案. 【解答过程】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误； 故选：D. 【变式2.3】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）对于命题：全等三角形的周长相等，命题：周长相等的三角形全等，下列说法中正确的是（   ） A．和都是真命题 B．和都是假命题 C．是真命题，是假命题 D．是假命题，是真命题 【解题思路】根据全等三角形的定义即可判断命题，对A,B,C,D进行判断即可. 【解答过程】解：对命题，全等三角形的形状和大小均相同， 故周长相等，故命题为真命题, 对命题，只要三角形三边和相等，则周长相等， 对形状和大小无要求，故周长相等的三角形不一定全等， 故命题为假命题； 对A,命题为真命题,命题为假命题，故A错； 对B，命题为真命题,命题为假命题，故B错； 对C, 命题为真命题,命题为假命题，故C对， 对D, 命题为真命题,命题为假命题,故D错. 故选：C. 【题型3 指出命题的条件和结论】 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是（    ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 【解题思路】将命题改写成“如果…，那么…”的形式，结合命题的相关概念即可得解. 【解答过程】原命题可以改写为“如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数”， “如果”后面的部分是条件，即两个数只有符号不同是原命题的条件． 故选：B. 【变式3.1】（2025高一·全国·专题练习）命题“在三角形中，大边对大角”改写成“若，则q”的形式为（    ） A．在三角形中，若一边较大，则其对的角也较大 B．在三角形中，若一角较大，则其对的边也较大 C．若一个平面图形是三角形，则其大边对大角 D．若一个平面图形是三角形，则其大角对大边 【解题思路】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【解答过程】命题的大前提是“在三角形中”，条件是“大边”，结论是“对大角”. 故选:A. 【变式3.2】（2025高一·江苏·专题练习）将下列命题改写成“若p，则q”的形式． (1)在中，大角对大边． (2)矩形的对角线互相垂直． (3)相等的两个角的正弦值相等． (4)等底等高的两个三角形是全等三角形． 【解题思路】根据命题的条件和结论进行改写即可. 【解答过程】（1）在中，若一内角较大，则其对的边也较大． （2）若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直． （3）若两个角相等，则它们的正弦值相等． （4）若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等． 【变式3.3】（24-25高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【解题思路】先写出“若p，则q”的形式，再利用相关定义性质或计算，判断真假. 【解答过程】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除， 根据奇数的定义可知，奇数不能被2整除，为真命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 【题型4 已知命题的真假求参数】 【例4】（24-25高二上·甘肃白银·期末）若“且”是真命题，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由集合交集判断真命题的等价条件. 【解答过程】由，解得． 故选：B. 【变式4.1】（2025高一·全国·专题练习）设集合，命题：，命题：. 若和中有且只有一个为真命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【解题思路】若和中有且只有一个为真命题，则有p真q假或者p假q真，由此列出不等式，从而可得出答案. 【解答过程】解：若和中有且只有一个为真命题，则有p真q假或p假q真， 当p真q假时，则，解得， 当p假q真时，则有，无解， 综上，. 故选：C. 【变式4.2】（24-25高一上·上海徐汇·阶段练习）设，若，则为真命题，则的取值范围是 ． 【解题思路】根据命题的真假性，得到两个范围作为集合的关系，进而求出的取值范围即可. 【解答过程】解：由题知，则为真命题， 则，故. 故答案为：. 【变式4.3】（24-25高一下·全国·课后作业）若命题甲“”和命题乙“或”中至少有一个是真命题，则实数x的取值范围是 . 【解题思路】分甲命题为真乙命题为假和甲命题为假乙命题为真分类求解，最后再求并集即可. 【解答过程】若甲、乙命题均为假命题，则， 可得， 所以若甲、乙命题至少有一个是真命题，则或. 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高二下·四川绵阳·阶段练习）下列语句是命题的是（    ） A．二次函数的图象太美啦！ B．这是一棵大树 C．求证： D．3比5大 【解题思路】根据命题的定义逐一判断即可. 【解答过程】能够判断成立或不成立的陈述句叫命题，只有选项D能够判断出真假，3比5大显然不成立，是假命题， 故选：D. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为真命题的是（    ） A．若a，b都是有理数，则是有理数 B．若a，b都是无理数，则是无理数 C．若，则 D．若是小数}，则 【解题思路】根据题意，逐项判断即可. 【解答过程】A正确； B中可取互为相反数的两个无理数，易知B错误； C，D显然错误． 故选：A. 3．（24-25高一上·全国·课后作业）命题“全等三角形的面积相等”改写成“若p，则q”的形式为（    ） A．若两个三角形全等，则它们的面积相等 B．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等 C．若两个三角形的面积相等，则这两个三角形不全等 D．若两个三角形不全等，则它们的面积不相等 【解题思路】确定命题的条件和结论，然后改写成“若p，则q”的形式即可 【解答过程】因为命题“全等三角形的面积相等”的条件是两个三角形全等，结论为这两三角形的面积相等， 所以改写成“若p，则q”的形式为：若两个三角形全等，则它们的面积相等. 故选：A. 4．（25-26高一上·全国·课后作业）命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是（    ） A．两个平面 B．一条直线 C．垂直 D．两个平面垂直于同一条直线 【解题思路】把命题改为“若，则”的形式可得答案. 【解答过程】把命题改为“若，则”的形式为 “若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行”， 故命题的条件为“两个平面垂直于同一条直线”． 故选：D. 5．（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）下列语句是命题的个数为（   ） ①空集是任何集合的真子集；②x2－3x－4＝0； ③3x－2>0；④把门关上；⑤垂直于同一条直线的两直线必平行吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解题思路】根据命题的定义逐一判断即可. 【解答过程】因为能够判断真假的陈述句为命题， 所以只有①符合定义， 故选：A. 6．（25-26高一上·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（   ） A．正方形既是矩形又是菱形 B．若或，则 C．一个奇数是两个整数的平方差 D．当时， 【解题思路】根据题意，逐项判断即可. 【解答过程】A是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形； B是真命题，或能得到； C是真命题，因为当时，任意奇数，所以一个奇数是两个整数的平方差； D是假命题，不满足． 故选：D. 7．（24-25高一上·四川成都·开学考试）老师们常常给我们说，“努力学习不一定有好结果，但是不努力学习一定没有好结果”，对于这句话，正确的理解是（    ） A．任何时候不管努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果 B．不努力学习也可能有好结果 C．努力学习一定有好结果 D．如果没有取得好结果，那么一定没有努力 【解题思路】根据给定的语句的正确性，逐一分析各个选项即可. 【解答过程】对于A，由给定的语句知，努力学习，或者不努力学习，都不一定有好结果，A正确. 对于B，由给定的语句知，不努力学习一定没有好结果，B错误； 对于C，由给定的语句知，努力学习不一定有好结果，C错误； 对于D，命题“如果没有取得好结果，那么一定没有努力”，等价于：如果努力，就能取得好结果，D错误. 故选：A. 8．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对任意集合A和集合B，下列两个命题（   ） ① ② A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题 【解题思路】根据集合交并运算，判断集合间包含关系，进而判断命题的真假. 【解答过程】①因为，，所以，真命题， ②当时，，此时，假命题. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·湖南湘西·阶段练习）下列句子中是命题的是（    ） A．三边对应相等的两个三角形全等 B．如果，则 C．对于任意数，不能被3整除 D．八月的桂花真香啊 E． 【解题思路】根据命题的定义判断可得答案. 【解答过程】下列句子中是命题的是（    ） 对于A，三边对应相等的两个三角形全等，是命题； 对于B，如果，则，是命题； 对于C，对于任意数，不能被3整除，能判断真假，是命题； 对于D，八月的桂花真香啊，不能判断真假，所以不是命题； 对于E，，不能判断真假，所以不是命题， 故选：ABC. 10．（24-25高一·江苏·假期作业）（多选）给出命题“方程有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是（　　） A．4 B．2 C．0 D． 【解题思路】根据根的判别式求出的范围，在选项中选出符合条件的值即可. 【解答过程】因为方程有实数根，所以，解得或， 故当，，时符合条件. 故选：ABD. 11．（24-25高一上·重庆·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．所有平行四边形的对角线互相平分 B．若是无理数，则一定是有理数 C．若，则关于的方程有两个负根 D．两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比 【解题思路】根据真命题的定义对各个选项逐一判断即可. 【解答过程】对于A，所有平行四边形的对角线互相平分，所以A正确； 对于B，当时，是无理数，所以B错误； 对于C，由关于的方程有两个负根，得解得，所以C错误． 对于D，两个相似三角形的周长之比等于它们对应的边长之比，所以D正确． 故选：AD. 三、填空题 12．（24-25高一上·上海·期中）命题“如果，那么”是 真 命题（填写“真”或“假”） 【解题思路】根据数集之间的关系判断真假即可. 【解答过程】由所有有理数都是实数，知“如果，那么”为真命题. 故答案为：真. 13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，且“若p，则q”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【解题思路】设分别表示的集合为，求出集合，则由题意可得，从而可求出实数的取值范围. 【解答过程】设分别表示的集合为， 由，得，则， 因为，且“若p，则q”为真命题， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·随堂练习）分析下列语句： ①空集是任何集合的子集． ②任何集合都有真子集吗？ ③一个数不是正数就是负数． ④德国数学家康托是集合论的创始人． ⑤公共场所请戴好口罩！ 其中为假命题的序号是 ③ ，真命题的序号为 ①④ ． 【解题思路】首先根据命题是可以判断真假的陈述句，来判断出是否为命题，如果判断为真，即为真命题，如果判断为假，即为假命题． 【解答过程】①空集是任何集合的子集，是真命题； ②任何集合都有真子集吗？不是陈述句，不是命题； ③一个数不是正数就是负数，还可以是0，是假命题； ④德国数学家康托是集合论的创始人，是真命题； ⑤公共场所请戴好口罩！不是陈述句，不是命题； 故答案为：③；①④． 四、解答题 15．（24-25高一上·全国·课堂例题）下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？ （1）；               （2）是整数； （3）对所有的； （4）对任意一个是整数． 【解题思路】根据命题是可以判断真假的陈述句，进行判断，再寻找关系. 【解答过程】（1）不能判断真假，故（1）不是命题， （2）是整数不能判断真假，故（2）不是命题， （3）是在（1）的基础上，用短语“所有”对变量x进行限定，从而变为可以判断真假的命题，故（3）是命题； （4）是在（2）的基础上，用短语“任意一个”对变量x进行限定，从而变为可判断真假的命题，故（4）是命题． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）证明命题“个位数字是0的自然数能被5整除”是真命题． 【解题思路】设这个数为，根据即可判断是真命题． 【解答过程】证明：设这个数为， 因为能被5整除， 所以个位数字是0的自然数能被5整除 所以命题“个位数字是0的自然数能被5整除”是真命题． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由． (1)一个钝角与一个锐角的差是锐角； (2)若是奇数，则是奇数． 【解题思路】（1）举例判断即可； （2）令，均为整数，然后化简变形进行判断. 【解答过程】（1）假命题．例如一个钝角是160°，一个锐角是20°，它们的差为140°，是钝角，而不是一个锐角． （2）真命题．证明：记均为整数． 令 则均为奇数． 所以． 因为为偶数， 所以为奇数， 即为奇数， 即若为奇数，则是奇数． 18．（24-25高一上·江苏·课前预习）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)偶数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【解题思路】根据命题的概念和命题的形式，对（1）（2）（3）逐一进行求解即可. 【解答过程】（1）若一个数是偶数，则它不能被2整除， 根据偶数的定义可知，偶数能被2整除，为假命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 19．（24-25高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是否为命题？若是，请判断其真假，并说明理由． (1)求证是无理数； (2)若，则； (3)你是高一的学生吗？ (4)并非所有的人都喜欢吃苹果； (5)若xy是有理数，则x，y都是有理数； (6)． 【解题思路】（1）（2）（3）（4）（5）（6）利用命题的定义判断各个语句，再判断 命题的真假. 【解答过程】（1）是祈使句，不是命题． （2）因为，，所以可以判断其真假，是命题，而且是真命题． （3）是疑问句，不是命题． （4）是命题，而且是真命题，有的人喜欢吃苹果，有的人不喜欢吃苹果. （5）是命题，而且是假命题，如是有理数，但和都是无理数． （6）不是命题，这种含有未知数的语句，无法确定未知数的取值能否使不等式成立． 第 1 页 共 23 页 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