第13讲 函数的应用（一）（六大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高一数学初升高暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第13讲 函数的应用（一） 【人教A版2019】 模块一 一次函数、二次函数模型的应用 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 【题型1 一次函数模型的应用】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（24-25高一上·湖北武汉·期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（2025高一·全国·专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 【变式1.3】（24-25高一·全国·课后作业）一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（    ） A． B． C． D． 【题型2 二次函数模型的应用】 【例2】（24-25高一上·河南新乡·期末）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（    ） A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元 【变式2.1】（24-25高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 【变式2.3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 模块二 幂函数模型的应用 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【题型3 幂函数模型的应用】 【例3】（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2025·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【变式3.2】（24-25高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【变式3.3】（2025·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 模块三 分段函数模型的应用 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【题型4 分段函数模型的应用】 【例4】（2025·安徽淮南·一模）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（    ） A．120 B．200 C．240 D．400 【变式4.1】（24-25高一上·全国·课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 【变式4.2】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 【题型5 分式型函数模型的应用】 【例5】（24-25高一上·山东潍坊·期中）奋进新征程，建功新时代．某单位为提升服务质量，花费万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ） A． B． C． D． 【变式5.1】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 【变式5.2】（24-25高一上·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【变式5.3】（24-25高一上·山东聊城·期中）某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 24 31 39 49 44 30 20 12 根据表中提供的数据，可用函数来近似刻画与之间的变化规律. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 模块四 “对勾”函数模型的应用 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 【题型6 “对勾”函数模型的应用】 【例6】（24-25高一上·上海·期中）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150％”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润． 【变式6.1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），面积为64平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元， (1)求的函数解析式，并求报价的最小值. (2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【变式6.2】（24-25高一上·山东济宁·期中）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 【变式6.3】（24-25高一上·湖南·期中）某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍. (1)将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）面积为的长方形的某边长度为，则该长方形的周长与的函数关系为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）                   A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）根据统计，一名工人组装第件产品所用的时间（单位：分钟）为（为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时5分钟，那么和的值分别是（   ） A．75，25 B．75，16 C．60，144 D．60，16 5．（24-25高一·全国·课后作业）某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为(　　) A．   B．   C．   D．   6．（24-25高一上·全国·课后作业）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 7．（24-25高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 8．（2025高二上·贵州·学业考试）某公司生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产一台需增加投入20万元，若年销售收入（单位：万元）关于年产量（单位：台）满足函数：则当该公司所获年利润最大时，年产量为（   ） A．50 B．80 C．100 D．120 二、多选题 9．（24-25高一上·陕西西安·期中）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的第个月的需求量（万件  ）近似地满足，按此预测，在本年度内，需求量最大的月份是（    ） A．8月 B．9月 C．10月 D．11月 10．（24-25高一上·河北·阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 11．（24-25高三上·河南·阶段练习）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 三、填空题 12．（2025高三·全国·专题练习）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为 ． 13．（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）某超市开展优惠促销活动，下表是购买苹果的促销方案： 购买苹果的质量 苹果单价 不超过4千克的部分 8元/千克 超过4千克但不超过8千克的部分 7元千克 超过8千克的部分 6元千克 已知甲､乙顾客分别从这家超市购买了3千克､6千克苹果，若甲､乙两人合在一起购买9千克苹果，则可以节省 元． 14．（24-25高一上·全国·课后作业）在一个培养皿中的某种浮游植物的数量（个）与时间（单位：h）的关系可用模型来描述，已知这种浮游植物在第32h时的数量比在第5h时的数量多24个，则要使该培养皿中的浮游植物的数量不少于64个，则至少要经过 h． 四、解答题 15．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 16．（24-25高一上·上海·阶段练习）某公司欲将一批货物从A地运往B地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择，设两地距离为S，汽车速度50km/h，途中每千米费用为8元，装卸货物需2h，火车速度100km/h，途中每千米费用为4元，装卸货物需4h．若这批货物在运输过程中（含装卸时间）的损耗为300元/h． (1)请写出汽车运输的最终费用？ (2)请问采用哪种运输工具比较合适（即运输过程中的费用与损耗之和最小）？ 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）现需要建造仓库A和厂房B，已知建造仓库A的所有费用（万元）和与仓库A、厂房B的距离（千米）的关系为：（），若距离为1千米时，仓库建造费用为80万元，为了方便，仓库A与厂房B之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为3万元，设为建造仓库与修路费用之和． (1)求的表达式； (2)当仓库A与厂房B距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值． 18．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）清明是二十四节气之一，也是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗．清明节前市场上肉松蛋黄青团比芝麻青团的进价每盒便宜10元，某商家用800元购进的芝麻青团和用600元购进的肉松蛋黄青团盒数相同．在销售中，该商家发现芝麻青团每盒售价50元时，每天可售出100盒，当每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． (1)求芝麻青团和肉松蛋黄青团的进价； (2)设芝麻青团每盒售价x元表示该商家每天销售芝麻青团的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 19．（24-25高一上·云南曲靖·期末）在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题： (1)当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）. (2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 函数的应用（一） 【人教A版2019】 模块一 一次函数、二次函数模型的应用 1．实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果 要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 2．一次函数模型的应用 一次函数模型：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0). 一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过. 3．二次函数模型的应用 二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0). 二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值(或最小值)，故最优、最省等最值 问题常用到二次函数模型. 【题型1 一次函数模型的应用】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）果蔬批发市场批发某种水果，不少于千克时，批发价为每千克元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为千克，小王付款后剩余现金为元，则与之间的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，直接列式，根据题意求x的最小值和最大值，得到x的取值范围. 【解答过程】由题意可知函数关系式是， 由题意可知最少买千克，最多买千克，所以函数的定义域是. 故； 故选:C. 【变式1.1】（24-25高一上·湖北武汉·期中）从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，倒完第次后，前次共倒出纯酒精升，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出第次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，然后可得第次倒出的纯酒精的质量，然后可得倒次共倒出的纯酒精． 【解答过程】第次时共倒出了纯酒精升， 第次倒出后容器中含纯酒精为升 第次倒出的纯酒精是升 所以倒出第次时，共倒出了纯酒精 故选：C. 【变式1.2】（2025高一·全国·专题练习）南通至通州的某条公共汽车线路收支差额y与乘客量x的函数关系如图所示（收支差额＝车票收入一支出费用）．由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（Ⅰ）不改变车票价格，减少支出费用；建议（Ⅱ）不改变支出费用，提高车票价格．下面给出的四个图形中，实线虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（    ） A．①反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） B．②反映了建议（Ⅰ），④反映了建议（Ⅱ） C．①反映了建议（Ⅰ），③反映了建议（Ⅱ） D．④反映了建议（Ⅰ），②反映了建议（Ⅱ） 【解题思路】根据题意，利用一次函数的性质判断不同方案下参数的变化对图象的影响，即可确定正确选项. 【解答过程】设目前车票价格为，支出费用为，则， 对于建议（I），设建议后的支出费用为（＜），则， 显然建议后，直线斜率不变，在y轴上的截距变大，故图象①反映了建议（I）； 对于建议（II），设建议后的车票价格为（＞），则， 显然建议后，直线斜率变大，在y轴上的截距不变，故图象③反映了建议（II）． 故选：C． 【变式1.3】（24-25高一·全国·课后作业）一等腰三角形的周长是20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由等腰三角形的周长为20，得到，结合三角形的性质，求得，即可得到函数的解析式. 【解答过程】由等腰三角形的周长为20，且底边长y是关于腰长x， 可得，所以， 又由，即，即， 因为，即，可得，所以， 所以解析式为. 故选：D. 【题型2 二次函数模型的应用】 【例2】（24-25高一上·河南新乡·期末）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且）．则灯具商店每月的最大利润为（    ） A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元 【解题思路】先建立二次函数模型，再由二次函数的性质求解 【解答过程】设灯具商店每月的利润为z元， 则， ， 故选：B. 【变式2.1】（24-25高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】本题可根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【解答过程】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C. 【变式2.2】（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习）某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元. (1)写出y与x之间的函数关系式； (2)从第几年开始，使用该设备开始盈利? 【解题思路】（1）根据题意，即可得出函数； （2）由，得出不等式，求解即可得出答案. 【解答过程】（1）由已知可得， . （2）当时，开始盈利， 即，整理可得， 解得. 又，所以，即从第三年开始盈利. 【变式2.3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）某公司投资5万元，成功研制出一种市场需求量大的高科技替代产品，并投入资金15万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为4元，在销售过程中发现：当销售单价定为10元时，年销售量为2万件；销售单价每增加1元，年销售量将减少万件．设销售单价为x元．第一年获利y万元．（年获利=年销售额-生产成本-投资） (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年获利不低于万元．请问第二年的销售单价应定在什么范围内？ 【解题思路】（1）求出年销量，再列式表示出所求函数关系. （2）求出第一年获利最大值，再列出第二年获利的函数关系，列出不等式并求解即得. 【解答过程】（1）依题意，年销量为（万件）， 所以. （2）由（1）知，，当时，， 即当销售单价定为17元时，年获利最大，并且第一年年底公司还差万元就可收回全部投资， 因此第二年的销售单价应定元，年获利万元， ，而， 即，整理得，解得， 所以第二年的销售单价的范围是. 模块二 幂函数模型的应用 1．幂函数模型的应用 幂函数模型应用的求解策略: (1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式. (2)根据题意，直接列出相应的函数关系式. 【题型3 幂函数模型的应用】 【例3】（24-25高一上·湖北荆州·期中）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设某地的耕地面积每年减少,依题列出方程，再进行整体代入，即得2029年的耕地面积. 【解答过程】设某地的耕地面积每年减少，因在最近50年内减少了，则有， 故， 由题意，2029年的耕地面积为，即. 故选：D. 【变式3.1】（2025·四川泸州·模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动．该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元．若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：）（    ） A．10% B．20% C．22% D．32% 【解题思路】设年平均增长率为，依题意列方程求即可. 【解答过程】由题意，设年平均增长率为，则， 所以，故年平均增长率为20%. 故选：B. 【变式3.2】（24-25高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【解题思路】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理， 求出的值，解方程即可求解. 【解答过程】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 【变式3.3】（2025·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】初始状态设为，变化后为，根据，的关系代入后可求解． 【解答过程】设初始状态为，则，， 又，，即 ， ，，，，． 故选：D． 模块三 分段函数模型的应用 1．分段函数模型的应用 由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛的应用. 【题型4 分段函数模型的应用】 【例4】（2025·安徽淮南·一模）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（    ） A．120 B．200 C．240 D．400 【解题思路】先根据题意求出每吨的平均处理成本与处理量之间的函数关系，然后分和分析讨论求出其最小值即可 【解答过程】由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本为， 当时，， 当时，取得最小值240， 当 时，， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值200， 综上，当每月的理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低为200元， 故选：D. 【变式4.1】（24-25高一上·全国·课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（    ） A．60 B．100 C．200 D．600 【解题思路】首先求得分段函数的解析式，然后分类讨论求解不等式即可确定车流密度的取值． 【解答过程】解：当时，设，则，解得 于是 设车流量为q，则 当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有； 当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数， 因此恒有，等号成立当且仅当； 综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆． 故选：B． 【变式4.2】（24-25高三上·安徽安庆·阶段练习）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【解题思路】（1）分和两种情况，进行求解利润； （2）时，可利用二次函数的特点求最大利润值，时，利用基本不等式求最值，最后要对两个最值比较，得出最大利润． 【解答过程】（1）当时，； 当时，， ． （2）若，当时，万元； 若， ， 当且仅当时，即时，万元， 由于，故该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大， 最大利润是1680万元． 【变式4.3】（24-25高一上·全国·课后作业）某科技公司生产某种产品的固定成本为2万元，每月生产件，需要另外投入成本万元，其中，每件产品的售价为8万元，若该公司所生产的产品本年度都可以销售完毕，求： (1)将利润（单位：万元）表示为月产量的函数； (2)为了让公司所获得利润不低于10万元，求月产量的取值范围． 【解题思路】（1）利用销售收入减去投入成本再减去固定成本2万元即可求解. （2）根据条件列不等式，解不等式时要注意. 【解答过程】（1）由题可知利润表示总收入减去固定成本和投入成本所得， 故. 所以利润表示为月产量的函数为. （2）当时，，令，解得； 当时，，令，解得，所以， 所以月产量的取值范围是． 【题型5 分式型函数模型的应用】 【例5】（24-25高一上·山东潍坊·期中）奋进新征程，建功新时代．某单位为提升服务质量，花费万元购进了一套先进设备，该设备每年管理费用为万元，已知使用年的维修总费用为万元，则该设备年平均费用最少时的年限为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设该设备年平均费用为万元，求出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得出结论. 【解答过程】设该设备年平均费用为万元，则， 当且仅当时，即当时，该设备年平均费用最少. 故选：C. 【变式5.1】（24-25高一上·江苏扬州·阶段练习）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时间内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2023年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是（    ）万元. A．45.5 B．37.5 C．36 D．35 【解题思路】根据题意，得到，进而得到月利润的表示式，结合基本不等式即可求解. 【解答过程】依题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足， 即有，由，得， 因此月利润 ，当且仅当时，即时取等号， 所以当万件时，该公司最大月利润为万元. 故选：B. 【变式5.2】（24-25高一上·浙江宁波·期中）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动.根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件.已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元.（注：利润销售收入投入成本促销费用） (1)求出的值，并将表示为的函数； (2)促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？ 【解题思路】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【解答过程】（1）由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以； （2） 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元. 【变式5.3】（24-25高一上·山东聊城·期中）某商场经营一批进价为19元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价（单位：元）与日销售量（单位：件）之间有如下表所示的关系. 24 31 39 49 44 30 20 12 根据表中提供的数据，可用函数来近似刻画与之间的变化规律. (1)求与之间的函数解析式； (2)设经营此商品的日销售利润为（单位：元），写出关于的函数解析式，并求销售单价为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 【解题思路】（1）取数据对代入求出即可求出解析式. （2）求出日销售利润函数，再利用基本不等式求解. 【解答过程】（1）取数据对，则，解得， 由实际意义知，，解得， 所以与之间的函数解析式，. （2）由（1）得，日销售利润，， ，当且仅当，即时取等号， 所以当销售单价为39元时，获得最大日销售利润400元. 模块四 “对勾”函数模型的应用 1．“对勾”函数模型的应用 对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性：y=ax+(a>0,b>0)，当x>0时，在(0,]上递减，在(,+)上递增.另外，还要注意换元法的运用. 【题型6 “对勾”函数模型的应用】 【例6】（24-25高一上·上海·期中）网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150％”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润． 【解题思路】根据题意得到投入实体店安装费用，结合每件产品售价及进货价格写出月利润的表达式，再由结合基本不等式，即可求解函数的最大值. 【解答过程】由题意知，且. 每件产品售价定为， 设该公司的月利润为y万元， 则 ， 当且仅当时，即时取等号， 答：该公司最大月利润为37.5万元． 【变式6.1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略措施，某汽车工业园区正在不断建设，计划在园区建造一个高为3米，宽度为（单位：米），面积为64平方米的长方体形状的储物室，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：储物室的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元， (1)求的函数解析式，并求报价的最小值. (2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据题意抽象出的函数，再利用基本不等式即可得解； （2）根据题意得到恒成立，利用参变分离法，结合对勾函数的性质即可得解. 【解答过程】（1）依题意，储物室的长为米， 则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，报价的最小值为元. （2）依题意，得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即，所以，即， 令，则， 则， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， 所以，又，即， 所以的取值范围是. 【变式6.2】（24-25高一上·山东济宁·期中）某服装厂生产一批羽绒服，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，其次品率p与日产量x（万件）之间满足关系：（其中m为小于24的正整数）．已知每生产1万件合格的羽绒服可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）． (1)试将生产这批羽绒服每天的盈利额y（万元）表示为日产量x（万件）的函数； (2)当日产量为多少时，可获得最大利润？ 【解题思路】（1）求出，分和两种情况，得到解析式； （2）当时，，每天利润为0元，当时，换元得到，，分和两情况，结合基本不等式和函数单调性，得到最大值，进而得到结论. 【解答过程】（1）， 因为， 故当时，， 当时，， 所以； （2）m为小于24的正整数， 当时，，每天利润为0元， 当时，， 令，则， 则， 当，即时，， 当且仅当，即，时，等号成立， 当，即时，在上单调递减， 故当，即时，取得最大值， 综上，当时，日产量为万件，可获得最大利润， 当时，日产量为万件，可获得最大利润. 【变式6.3】（24-25高一上·湖南·期中）某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍. (1)将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； (2)该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 【解题思路】（1）根据，求出，从而可求出，再根据利润公式求函数关系式即可； （2）利用基本不等式求最值即可. 【解答过程】（1）由题意知，当时，， 则，解得， 所以. 因为每件产品的销售价格为元， 所以2025年该产品的利润 , 即. （2）因为当时，. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，最大为万元. 一、单选题 1．（24-25高一上·贵州遵义·阶段练习）面积为的长方形的某边长度为，则该长方形的周长与的函数关系为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据条件长方形的一边长度为，则另一边长为，且，从而得到周长与的函数关系. 【解答过程】由条件长方形的一边长度为，且面积为. 则另一边长为，且. 所以该长方形的周长. 故选：C. 2．（24-25高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（    ） A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒 【解题思路】利用配方法，求二次函数最大值及相应值即可. 【解答过程】由题意，， 则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒. 故选：A. 3．（24-25高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ）                   A．①② B．③④ C．①④ D．②③ 【解题思路】根据题意写出函数解析式，利用解析式即可得出图象. 【解答过程】设行进的速度为 m/min，行走的路程为S m， 则，且， 由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②. 故选：A. 4．（24-25高一上·吉林长春·期末）根据统计，一名工人组装第件产品所用的时间（单位：分钟）为（为常数）.已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第件产品用时5分钟，那么和的值分别是（   ） A．75，25 B．75，16 C．60，144 D．60，16 【解题思路】代入求解方程组即可得解. 【解答过程】由题意可得：， 故，则， 故选：C. 5．（24-25高一·全国·课后作业）某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为(　　) A．   B．   C．   D．   【解题思路】根据出租车的计价方法可知函数图象为分段函数,观察图象逐一判定是否符合规则即可判定. 【解答过程】出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是). 对应的值都是5， 以后每价为元， 不足按计价， 时， 时，， 故选B. 6．（24-25高一上·全国·课后作业）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：℃）和泡茶时间（单位：）满足关系式若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（    ） A．1.5min B．2min C．3min D．4min 【解题思路】分别令和，求出后检验是否符合范围. 【解答过程】令，解得；令，解得，不符合题意， 所以需要等待的时间为4min． 故选：D. 7．（24-25高三上·北京西城·期末）“空气质量指数（）”是定量描述空气质量状况的无量纲指数．当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述,则该天适宜开展户外活动的时长至多为（    ） A．5小时 B．6小时 C．7小时 D．8小时 【解题思路】当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动,即时适合开展户外活动,根据分段函数的解析式,分情况讨论求出不等式解集,再求出区间长度即可. 【解答过程】解:由题知,当大于200时,表示空气重度污染,不宜开展户外活动, 即当小于等于200时,适宜开展户外活动, 即, 因为, 所以当时, 只需, 解得:, 当时, 只需, 解得:, 综上: 适宜开展户外活动的时间段为,共计7个小时. 故选:C. 8．（2025高二上·贵州·学业考试）某公司生产某种产品的年固定成本为2000万元，每生产一台需增加投入20万元，若年销售收入（单位：万元）关于年产量（单位：台）满足函数：则当该公司所获年利润最大时，年产量为（   ） A．50 B．80 C．100 D．120 【解题思路】根据利润为总收入减去总成本，得到关于利润的解析式，借助函数的性质即可求解. 【解答过程】由题意，设该公司所获年利润为（单位：万元）， 当时，， 所以当时，取到最大值； 当时，， 单调递减， 所以. 综上所述，当时，该公司所获年利润最大. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一上·陕西西安·期中）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的第个月的需求量（万件  ）近似地满足，按此预测，在本年度内，需求量最大的月份是（    ） A．8月 B．9月 C．10月 D．11月 【解题思路】根据二次函数性质即可求. 【解答过程】因为，且， 所以当或时，需求量取最大. 故选：CD. 10．（24-25高一上·河北·阶段练习）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【解题思路】根据题意求得函数解析式，再逐项判断即可. 【解答过程】依题意可设，为常数． 当气体在半径为5的管道中时，流量为，所以，解得， 则．当时，，故A正确，B错误． 由，解得，故C正确，D错误． 故选：AC. 11．（24-25高三上·河南·阶段练习）国庆节期间，甲、乙两商场举行优惠促销活动，甲商场采用购买所有商品一律“打八四折”的促销策略，乙商场采用“购物每满200元送40元”的促销策略．某顾客计划消费元，并且要利用商场的优惠活动，使消费更低一些，则（   ） A．当时，应进甲商场购物 B．当时，应进乙商场购物 C．当时，应进乙商场购物 D．当时，应进甲商场购物 【解题思路】分别计算不同选项两个商场的优惠判断即可. 【解答过程】当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为，，故应进甲商场， 所以选项A正确； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为， ，因为，所以，，进入乙商场，当故应进甲商场，所以选项B错误； 当时，甲商场的费用为，乙商场的费用为 ，因为，所以 故，所以应进乙商场，所以选项C正确； 假设消费了600，则在甲商场的费用为，在乙商场的费用为， 所以乙商场费用低，故在乙商场购物，故选项D错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（2025高三·全国·专题练习）某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段），则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为 5 ． 【解题思路】根据题意，由图象可得二次函数解析式，从而可得年平均利润与营运年数的关系式，再由基本不等式代入计算，即可得到结果. 【解答过程】根据图象，设．代入点，解得． ∴． 因此，年平均利润． ∵，∴，当且仅当，即时，等号成立． 故要使平均利润最大，则客车营运年数为5． 故答案为：5. 13．（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）某超市开展优惠促销活动，下表是购买苹果的促销方案： 购买苹果的质量 苹果单价 不超过4千克的部分 8元/千克 超过4千克但不超过8千克的部分 7元千克 超过8千克的部分 6元千克 已知甲､乙顾客分别从这家超市购买了3千克､6千克苹果，若甲､乙两人合在一起购买9千克苹果，则可以节省 4 元． 【解题思路】根据题意列出分段函数，分别求出甲､乙两人分别消费的金额，甲､乙两人合在一起购买的消费金额，比较即可求解. 【解答过程】设购买千克苹果，消费金额为元， 则 甲购买了3千克苹果消费金额为（元）， 乙购买了6千克苹果消费金额为（元）， 甲､乙两人合在一起购买9千克苹果消费金额为（元）， 则可以节省（元）． 故答案为：4. 14．（24-25高一上·全国·课后作业）在一个培养皿中的某种浮游植物的数量（个）与时间（单位：h）的关系可用模型来描述，已知这种浮游植物在第32h时的数量比在第5h时的数量多24个，则要使该培养皿中的浮游植物的数量不少于64个，则至少要经过 60 h． 【解题思路】根据函数模型及已知数据列方程求得，再由求结果. 【解答过程】由已知，该浮游植物在第32h时数量为，在第5h时数量是， 则，解得，所以， 令，解得，则至少要经过60h． 故答案为：60. 四、解答题 15．（24-25高一上·重庆·期中）某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少2000本. (1)试确定杂志的定价区间使提价后的销售总收入不低于20万元？ (2)假定杂志的成本是每本1元（不计其它成本），试确定杂志提价后的价格，使杂志销售的利润最大？ 【解题思路】（1）设杂志提价后的价格，根据题意列出销售总收入后建立不等式，即可解得结果； （2）设杂志提价后的价格为，列出杂志销售的利润表达式，由二次函数的性质求得函数在何处取最大值. 【解答过程】（1）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则， 即， 解得， 所以杂志定价位于内，能使提价后的销售总收入不低于20万元. （2）设杂志提价后的价格是每本（）元， 则  =（）， 所以当时，取得最大值. 所以杂志提价后价格为每本元时，杂志销售的利润最大. 16．（24-25高一上·上海·阶段练习）某公司欲将一批货物从A地运往B地，现有汽车、火车两种运输工具可供选择，设两地距离为S，汽车速度50km/h，途中每千米费用为8元，装卸货物需2h，火车速度100km/h，途中每千米费用为4元，装卸货物需4h．若这批货物在运输过程中（含装卸时间）的损耗为300元/h． (1)请写出汽车运输的最终费用？ (2)请问采用哪种运输工具比较合适（即运输过程中的费用与损耗之和最小）？ 【解题思路】（1）设汽车运输的最终费用为，根据题意列出关于S的函数表达式即可. （2）设火车运输的最终费用为并求出，再比较，的大小关系即可． 【解答过程】（1）设汽车运输的最终费用为， 则（元）. （2）设火车运输的最终费用为， 则（元）， 当时，，解得， 因此当时，，此时汽车运输较合适， 当时，，此时两种运输工具最终费用相同， 当时，，此时火车运输较合适， 所以当时，选择汽车较合适；当时，两种运输工具一样；当时，选择火车较合适． 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）现需要建造仓库A和厂房B，已知建造仓库A的所有费用（万元）和与仓库A、厂房B的距离（千米）的关系为：（），若距离为1千米时，仓库建造费用为80万元，为了方便，仓库A与厂房B之间还需修建一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每千米成本为3万元，设为建造仓库与修路费用之和． (1)求的表达式； (2)当仓库A与厂房B距离多远时，可使得总费用最小？并求出最小值． 【解题思路】（1）由时，，求得，即可求解； （2）由（1）得到，再结合基本不等式即可求解； 【解答过程】（1）由已知得当时，，代入可得，解得， 所以， 所以总费用； （2）由（1）得， 所以（万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当隔离病房与药物仓库距离为6千米时，可使得总费用最小为万元. 18．（24-25高一上·四川自贡·开学考试）清明是二十四节气之一，也是我国的传统节日，清明节吃青团是很多地方的习俗．清明节前市场上肉松蛋黄青团比芝麻青团的进价每盒便宜10元，某商家用800元购进的芝麻青团和用600元购进的肉松蛋黄青团盒数相同．在销售中，该商家发现芝麻青团每盒售价50元时，每天可售出100盒，当每盒售价提高1元时，每天少售出2盒． (1)求芝麻青团和肉松蛋黄青团的进价； (2)设芝麻青团每盒售价x元表示该商家每天销售芝麻青团的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润． 【解题思路】（1）设肉松蛋黄青团的进价为元，根据题意列式求解即得. （2）根据给定信息列出函数关系，再借助二次函数求出最大值. 【解答过程】（1）设肉松蛋黄青团的进价为元，则芝麻青团的进价为元， 依题意，，解得， 所以芝麻青团的进价为每盒40元，肉松蛋黄青团的进价为每盒30元. （2）由（1）知，芝麻青团的进价为每盒40元， 该商家每天售出芝麻青团盒， 因此， 而，则当时，， 所以y关于x的函数解析式，最大利润为1750元. 19．（24-25高一上·云南曲靖·期末）在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题： (1)当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）. (2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 【解题思路】（1）将，代入求解； （2）根据利润为，分和，分别求得最大值，再取最大的求解. 【解答过程】（1）设利润为万元， 当工厂生产4万件时，， 则工厂利润为：万元； （2）当时， ， 当时， ； 当时， ， ， 当且仅当 ，即时，等号成立，， 综上：要使工厂利润最大，应生产9万件，最大利润72万元. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$