精品解析：福建省莆田市城厢区南门学校2024-2025学年九年级下学期限时训练（三）

南门学校2024-2025学年九年级下学期限时训练（三） 数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一．选择题（本题是共10小题，每小题4分，共40分） 1. 年1月某日零点，北京、上海、深圳、长春的气温分别是℃、℃、℃、℃，当时这四个城市中（ ）气温最低． A. 北京 B. 上海 C. 深圳 D. 长春 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数比较大小的实际应用．熟练掌握有理数比较大小的方法是解题的关键． 比较四个城市的气温大小，找出最低气温即可． 【详解】解：， 最小，即长春的气温最低， 故选D． 2. 我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示．根据题意利用科学记数法定义即可得到本题答案． 【详解】解：∵， 故选：B． 3. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】C 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确； D．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； 故选C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 4. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判定几何体的形状，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据主视图、左视图、俯视图的概念即可求解． 【详解】解：根据某几何体的三视图可知这个几何体是： 故选：． 5. 下列计算，结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方运算，合并同类项，同底数幂乘法，同底数幂除法，熟练掌握公式和运算法则是解题的关键．分别根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算以及合并同类项法则判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 6. 某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数． 年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（个） 2 8 3 在下列统计量，不受影响的是（ ） A. 中位数，方差 B. 众数，方差 C. 平均数，中位数 D. 中位数，众数 【答案】D 【解析】 【分析】根据频数表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为7，即可知出现次数最多的数据及第10、11个数据的平均数，可得答案． 【详解】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为， 故该组数据的众数为15岁， 总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15， 则中位数为：岁， 故统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：D． 【点睛】本题考查频数分布表及统计量的选择，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键． 7. 如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则（　　） A. 24° B. 28° C. 31° D. 32° 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，同弧所对的圆周角相等可得，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，与相交于点，当时，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等角对等边，勾股定理；设，由，可推得，由旋转的性质得：，于是得到，，，由勾股定理可求解． 【详解】解：设， ， ， 由旋转的性质得：，， ， ， ， ， ， 故选：C． 9. 如图，将扇形纸片沿方向平移一定距离得到扇形纸片，点的对应点恰好在的中点处，与交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查扇形面积公式、三角函数及勾股定理，熟练掌握扇形面积公式、三角函数及勾股定理是解题的关键；连接，由题意易得，则有，然后根据割补法可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵点是的中点，， ∴， 由平移可知：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 10. 已知二次函数（是常数，）的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．先求得，再根据各选项求解即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点，， ∴ ， A、若，，则，，说法正确，本选项符合题意； B、若，，则，正负无法确定，则不一定成立，本选项不符合题意； C、若，，则，则，原说法错误，本选项不符合题意； D、若，，则，正负无法确定，则不一定成立，本选项不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本题是共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 12. 写出一个比5小的无理数：_____． 【答案】． 【解析】 【分析】由于2＜25，两边开方得到＜=5. 【详解】解：∵2＜25， ∴ ＜=5． 故答案为. 【点睛】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算. 13. 如图为反比例函数的图象，则k的值可以为______．（写出符合图象特征的一个值即可） 【答案】9（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据当时，k值越大，图象越远离坐标轴求解即可． 【详解】解：根据图象，， 故k的值可以为9， 故答案为：9（答案不唯一）． 14. 如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质， 先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比，利用树状图求概率即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，能让灯发光的有2种情况， ∴能让灯泡发光的概率为：． 故答案为：． 16. 如图，在正方形中，，点、分别为边、上的动点（均不与端点重合），以为边向右作等边，点为的中点，连接，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据正方形的性质求线段长、含30度角的直角三角形、90度的圆周角所对的弦是直径、等边三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，理解当时，取得最小值，然后在中进行求解． 【详解】解：连接、， 如图，由点为等边的边的中点，可得到，即， 由正方形的性质可得，作的外接圆，则为该外接圆的直径，易得点也在该圆上， 因此，可得点在射线上运动，过点作于点， 当时，取得最小值， 此时点在点的位置，在中，， 则，即的最小值为2， 故答案为：2． 三．解答题（本题是共9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算， 根据，再计算即可． 【详解】解：原式． 18. 如图，，，与D交于点O．求证：． 【答案】 证明：∵在和中，， 和都是直角三角形， 在和中 ， ，， 在中 ， ， . 【解析】 【分析】先利用定理证出，再根据全等三角形的性质和等腰三角形的两底角相等即可得证. 【详解】略 【点晴】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定与性质是解题的关键， 19. 先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简，然后根据分式有意义的条件取舍的值，代入化简结果进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ， ， 只能取， 当时，原式． 20. 某校九年级学生某科目学期总评成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期总评成绩80分以上（含80分），则评定为“优秀”，下表是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 60 75 _______ 若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：2：7的权重来确定学期总评成绩． （1）请计算小张的学期总评成绩为多少分？ （2）小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？ 【答案】（1）小张的期末评价成绩为81分．（2）最少考85分才能达到优秀 【解析】 【分析】（1）直接利用加权平均数的定义求解可得； （2）设小王期末考试成绩为x分，根据加权平均数的定义列出不等式求出最小整数解即可． 【详解】解：（1）小张的期末评价成绩为＝81（分）； 答：小张的期末评价成绩为81分． （2）设小王期末考试成绩为x分， 根据题意，得：， 解得x≥84， ∴小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考85分才能达到优秀． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 21. 年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． （1）单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】（1）单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． （2）超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意列出分式方程后求解即可，注意检验； （2）由题意得，解出的取值范围，再由题意得出关于的关系式，分析该式，结合的取值范围即可得解． 【小问1详解】 解：设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元， 据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． 【小问2详解】 解：据题意得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 又，为整数，且两种手办都有， 时，（元）， 此时， 超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【点睛】本题考查的知识点是分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用、一次函数的实际应用，解题关键是正确理解题意． 22. 如图，已知，A，B为射线ON上两点，且． （1）求作菱形，使得点C在射线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，，当时，求的值． 【答案】（1）     如图，菱形为所求作的图形． （2） 【解析】 【分析】（1）以B点为圆心，长为半径画圆，交于点C，再分别以C，A为圆心长为半径画，相交于D点，即可得出答案； （2）根据相似三角形的性质得到，根据菱形的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，菱形的判定和性质，三角函数的定义，正确地作出图形是解题的关键． 23. 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”． 例如：∵，∴247是13的“和倍数”． 又如：∵，∴214不是“和倍数”． （1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由； （2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A． 【答案】（1）∵， ∴357不是15“和倍数”； ∵， ∴441是9的“和倍数”． （2）数A可能为732或372或516或156 【解析】 【分析】（1）根据题目中给出的“和倍数”定义进行判断即可； （2）先根据三位数A是12的“和倍数”得出，根据，是最大的两位数，是最小的两位数，得出，（k为整数），结合得出，根据已知条件得出，从而得出或，然后进行分类讨论即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵三位数A是12的“和倍数”， ∴， ∵， ∴在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数，最小的两位数， ∴， ∵为整数， 设（k为整数）， 则， 整理得：， 根据得：， ∵， ∴，解得， ∵“和倍数”是各数位上的数字均不为0的三位自然数， ∴， ∴， ∴， 把代入得： ， 整理得：， ∵，k为整数， ∴或， 当时，， ∵， ∴，， ，，，或，，， 要使三位数A是12的“和倍数”，数A必须是一个偶数， 当，，时，组成的三位数为或， ∵， ∴是12的“和倍数”， ∵， ∴是12的“和倍数”； 当，，时，组成的三位数为或， ∵， ∴不是12的“和倍数”， ∵， ∴不是12的“和倍数”； 当时，， ∵， ∴， ，，，组成的三位数为516或156， ∵， ∴是12的“和倍数”， ∵， ∴是12的“和倍数”； 综上分析可知，数A可能为732或372或516或156． 【点睛】本题主要考查了新定义类问题，数的整除性，列代数式，利用数位上的数字特征和数据的整除性，是解题的关键，分类讨论是解答本题的重要方法，本题有一定的难度． 24. （项目学习）学科实践 Ⅰ．驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的高楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳，汾阳市某中学为了减缓学生视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了几个赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．春节将至，数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． Ⅱ．研究步骤： （1）如图2，兴趣小组测得大门的宽米，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米； （2）兴趣小组了解了工人师傅的设计要求，在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面距离相等，同时做好固定装饰物的工作． Ⅲ．问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要将旗杆用铁丝固定，如图3所示，线段可看成是固定时所用的铁丝（不考虑接口处所需铁丝长度）．则固定旗杆需要的铁丝长度为 米（结果保留根号），若连接，则 ． （2）请在图3中以线段所在的直线为x轴，线段所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （3）如图3，假设点F，点E为悬挂灯笼的位置，考虑到安全因素，工人师傅要用铁丝对灯笼的悬挂位置进行再次固定，且保证所绑铁丝与绑定旗杆所用的铁丝垂直，即于点P，于点Q（为所绑铁丝），固定的过程中，每个接口处所需铁丝长度为．请你通过计算，确定绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度．（不考虑其他因素，结果保留根号）． 【答案】（1），；（2）（或），（3）． 【解析】 【分析】（1）连接，过点作于点，交于点，由题意可知，，，，，，求出，即可求解； （2）先求出点，即可求出二次函数表达式； （3）先求出，则要求最大值，可先求最大值，求出直线解析式为，设，则，则， 则最大值为，即可求解． 【详解】解：连接，过点作于点，交于点，如图： 由题意可知，，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， ∴， 即固定旗杆需要的铁丝长度为， 故答案为：，； （2）如图所示： ∵为大门两旁立柱，且高均为2米， ∴， ∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称， 又∵， ∴顶点C的横坐标为， 又∵C距地面的距离为米， ∴， 设抛物线表达式为， 由题意知， 将，代入中， 解得： ， ∴抛物线表达式为或； （3）如图，连接，过点作轴平行线，交于点H，交于点I， 由题意知：， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设，则， ∴， ∴要求最大值，可先求最大值， 设直线解析式为， 将)， ，代入，得： ， 解得：， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴最大值为， ∴， ∴， 四个接口处所需铁丝长度为， ∴绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求一次函数解析式等知识，掌握相关知识是解题的关键． 25. 如图，是直径，弦于，点在弧上，连接分别交，于点，，延长与交于点，连接， （1）若，求的度数； （2）若点为弧的中点， ①求证：； ②设，求的值（用含的式子表示）． 【答案】（1） （2） ①证明：∵， ∴， ∵点为弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理，等腰三角形性质，圆周角定理，得即可求解； （2）①由弧弦关系得，由圆内接四边形性质、等腰三角形性质与圆周角定理得，即得度数；②连接，证明，得，可得，得，可得，根据，即得． 【小问1详解】 解：∵是直径，弦于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①略 ②连接， ∵垂平分直， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵， ∴． 【点睛】本题考查了圆与三角形综合．熟练掌握垂径定理，线段垂直平分线性质，等腰三角形判定和性质，圆周角定理推论，弧弦关系，圆内接四边形性质，相似三角形的判定和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南门学校2024-2025学年九年级下学期限时训练（三） 数学 （满分：150分，考试时间：120分钟） 一．选择题（本题是共10小题，每小题4分，共40分） 1. 年1月某日零点，北京、上海、深圳、长春的气温分别是℃、℃、℃、℃，当时这四个城市中（ ）气温最低． A. 北京 B. 上海 C. 深圳 D. 长春 2. 我国的北斗卫星导航系统星座部署完成，其中一颗中高轨道卫星高度大约是12500000米．数据12500000可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 4. 某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（    ） A. B. C. D. 5. 下列计算，结果为的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数． 年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁 人数（个） 2 8 3 在下列统计量，不受影响的是（ ） A. 中位数，方差 B. 众数，方差 C. 平均数，中位数 D. 中位数，众数 7. 如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则（　　） A. 24° B. 28° C. 31° D. 32° 8. 如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，与相交于点，当时，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 9. 如图，将扇形纸片沿方向平移一定距离得到扇形纸片，点的对应点恰好在的中点处，与交于点．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（是常数，）的图象经过点，，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 二、填空题（本题是共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 12. 写出一个比5小的无理数：_____． 13. 如图为反比例函数的图象，则k的值可以为______．（写出符合图象特征的一个值即可） 14. 如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为______． 15. 在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让红灯发光的概率是____________． 16. 如图，在正方形中，，点、分别为边、上的动点（均不与端点重合），以为边向右作等边，点为的中点，连接，则的最小值为_______． 三．解答题（本题是共9小题，共86分） 17. 计算： 18. 如图，，，与D交于点O．求证：． 19. 先化简代数式，再从，，，四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 20. 某校九年级学生某科目学期总评成绩是由完成作业、单元检测、期末考试三项成绩构成的，如果学期总评成绩80分以上（含80分），则评定为“优秀”，下表是小张和小王两位同学的成绩记录： 完成作业 单元测试 期末考试 小张 70 90 80 小王 60 75 _______ 若按完成作业、单元检测、期末考试三项成绩按1：2：7的权重来确定学期总评成绩． （1）请计算小张的学期总评成绩为多少分？ （2）小王在期末（期末成绩为整数）应该最少考多少分才能达到优秀？ 21. 年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． （1）单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ （2）该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 22. 如图，已知，A，B为射线ON上两点，且． （1）求作菱形，使得点C在射线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，连接，，当时，求的值． 23. 对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”． 例如：∵，∴247是13的“和倍数”． 又如：∵，∴214不是“和倍数”． （1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由； （2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为，最小的两位数记为，若为整数，求出满足条件的所有数A． 24. （项目学习）学科实践 Ⅰ．驱动任务：在日益繁华的城市，“冲上云霄”的高楼随处可见，往往让人产生视觉疲劳，汾阳市某中学为了减缓学生视觉疲劳和学习压力，特在校园中修建了几个赏心悦目的花园，并将花园大门的顶部设计成了抛物线型（如图1所示）．春节将至，数学兴趣小组协助工人师傅进行装饰大门的工作． Ⅱ．研究步骤： （1）如图2，兴趣小组测得大门的宽米，为大门两旁的立柱，其高度为2米，抛物线型拱顶最高处点C距地面的距离为米； （2）兴趣小组了解了工人师傅的设计要求，在C点处插一面红旗，在抛物线拱顶上挂一对红灯笼．两个悬挂点到地面距离相等，同时做好固定装饰物的工作． Ⅲ．问题解决：请根据研究步骤与相关数据，完成下列任务： （1）为了安全起见，工人师傅要将旗杆用铁丝固定，如图3所示，线段可看成是固定时所用的铁丝（不考虑接口处所需铁丝长度）．则固定旗杆需要的铁丝长度为 米（结果保留根号），若连接，则 ． （2）请在图3中以线段所在的直线为x轴，线段所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （3）如图3，假设点F，点E为悬挂灯笼的位置，考虑到安全因素，工人师傅要用铁丝对灯笼的悬挂位置进行再次固定，且保证所绑铁丝与绑定旗杆所用的铁丝垂直，即于点P，于点Q（为所绑铁丝），固定的过程中，每个接口处所需铁丝长度为．请你通过计算，确定绑定一对红灯笼所需铁丝的最大长度．（不考虑其他因素，结果保留根号）． 25. 如图，是直径，弦于，点在弧上，连接分别交，于点，，延长与交于点，连接， （1）若，求的度数； （2）若点为弧的中点， ①求证：； ②设，求的值（用含的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $