期末复习专题7——矩形 、菱形、正方形 提升练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册

期末复习专题7——矩形 、菱形、正方形 提升练习 2024-2025学年苏科版数学八年级下册 一、选择题（共8题，共24分） 1．如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，若．则（　　） A．10 B．8 C． D．5 2．如图，矩形中，对角线交于点，若，则长为（　　） A． B． C．6 D． 3．如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是（　　） A．6 B．3 C．2 D．4.5 4．如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，点E，F分别是AB，CD的中点，点M，N在对角线AC上，，则下列说法正确的是（　　） A．若，则四边形ENFM是矩形 B．若，则四边形ENFM是矩形 C．若，则四边形ENFM是矩形 D．若，则四边形ENFM是矩形 6．如图，在等腰三角形中，，，点在上，，点是斜边上一动点，连接，于，于，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D． 7．如图，四边形的对角线，相交于点O，，且，则添加下列一个条件能判定四边形是菱形的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是BC，CD上的点，AE与BF相交于点G，连接AC交BF于点H.若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，则△CFH的面积为（　　） A．3 ﹣4 B．3﹣2 C． D． 二、填空题（共8题，共24分） 9．如图，在正方形的外侧，作等边，则　 　． 10．如图，在菱形中，，则的长为　 　． 11．如图，菱形的对角线，相交于点O，已知，菱形的面积为24，则的长为　 　． 12．如图，已知四边形为矩形，，，点在上，，将沿翻折到，连接，则的面积为　 　. 13．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线，若点是线段BD上的动点，于，于.则　 　. 14．如图，的对角线相交于点O，请你添加一个条件使成为矩形，这个条件可以是　 　． 15．如图，在矩形中，，O为对角线的中点，点P在边上，且，点Q在边上，连接与，则的最大值为　 　，的最小值为　 　． 16．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点 E与F，AB＝3，BC＝5，则图中阴影部分的面积为　 　． 三、解答题（共8题，共52分） 17．如图，▱中，点、分别是边，的中点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，则平行四边形的面积为　 　． 18．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分． （1）求证：四边形是菱形； （2）若四边形的面积为，，求的长． 19．如图，矩形中，点在边上，将沿折叠，点落在边上的点处，过点作交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 20．如图，在四边形中，已知，点为边的中点，点为边的中点，延长交于点． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，求四边形的面积． 21．如图，菱形中，，点在对角线上，交于点，交于点． （1）求的度数； （2）连结，当时，判断与的数量关系并证明． 22．如图，在四边形中，，过点D作的角平分线交于点E，连接交于点O，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，的周长为36，求菱形的面积． 23．如图，在四边形中，，，为边上一点，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求的长． 24．如图，对角线，相交于点，过点作且，连接，，． （1）求证：是菱形； （2）若，，求的长． 答案解析部分 1．【答案】A 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ∴， 故答案为：A． 【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵矩形， ∴， ∵ ∴为等边三角形． ∴． 故选：B． 【分析】根据矩形性质可得，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案. 3．【答案】C 【解析】【解答】如图，作点E关于AC的对称点E'，过点E'作E'M⊥AB于点M，交AC于点P 则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点 则有PE+PM=PE'+PM=E'M ∵四边形ABCD是菱形 ∴点E'在CD上 ∵AC=6，BD=6 ∴AB= 由S菱形ABCD=AC•BD=AB•E'M得×6×6=3•E'M 解得：E'M=2 即PE+PM的最小值是2 故选：C． 【分析】 如图，作点E关于AC的对称点E'，过点E'作E'M⊥AB于点M，交AC于点P，由于E'是E关于AC的对称点，所以PE=E'P。根据菱形的性质，可以计算出AB的长度。然后，利用菱形的面积公式和已知的AC、BD的长度，可以计算出菱形ABCD的面积。再根据菱形的面积也可以表示为AB和E'M的乘积，即可解出EM的长度，即可得答案． 4．【答案】A 【解析】【解答】将绕点逆时针旋转至， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【分析】 利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解． 5．【答案】D 【解析】【解答】解：A、， ， ， 四边形ENFM不是矩形，A错误； B、如图，连接BD， 四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， ， 点E，F分别是AB，CD的中点， ， 同理可得， ， 四边形ENFM是平行四边形，B错误； C、， ， 四边形ENFM不是矩形，C错误； D、如图，连接EF， 四边形ABCD是平行四边形， ， ， 点E，F分别是AB，CD的中点， ， ，， 四边形AEFD是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形ENFM是平行四边形， ， ， 四边形ENFM是矩形，D正确. 故答案为：D. 【分析】由邻补角的定义可得，故四边形ENFM不是矩形，A错误；利用平行四边形的性质可得，再通过三角形的中位线定理证得，同理可得，故可得四边形ENFM是平行四边形，B错误；通过等腰三角形的性质可得，故四边形ENFM不是矩形，C错误；利用平行四边形的性质证得四边形AEFD是平行四边形，再通过SAS判定，进而证得四边形ENFM是平行四边形，再通过MN=EF证得四边形ENFM是矩形，D正确. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：连接CE， ∵，，， ∴四边形EFCG为矩形， ∴． 将△ABC沿边AB对折，点D对折到D'的位置，连接D'E，CD'CD'交AB于点M， ∴，AD=AD'， ∴， 当点C、E、三点共线且M与E重合时有最小值． 如下图，连接，交AB于点M， ∴． ∵， ∴， 即的最小值为． 故答案为：D． 【分析】由有三个内角为直角的四边形是矩形得四边形EFCG为矩形，由矩形的对角线相等得FG=CE；将△ABC 沿边AB对折，点D对折到D'的位置，由折叠性质得DE=D'E，AD=AD'，则DE+FG=D'E+CE，当C、E、D'三点共线时，且点M与点E重合时，DE+FG最小为CD'，在Rt△ACD'中利用勾股定理算出CD'即可. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形；故选项A不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故选项B符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形；故选项C不符合题意； 当时，不能判定四边形为菱形；故选项D不符合题意． 故选：B． 【分析】 首先，因为AB∥CD，根据平行四边形的性质，可以推断出∠BAO=∠DCO。加上OA=OC，我们有△AOB≅△COD（ASA或AAS准则），从而可以推断出AB=CD，这意味着四边形ABCD至少是一个平行四边形。然后，根据菱形的判定方法分别对各个选项进行判定，即可得出结论． 8．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点 . 四边形 是正方形， ， ， ， . ， ， . 又 ， . . 在 和 中， . . 又 ， . . 又 ， . . 在 和 中， . . . . . . . . . ， ， . 在 中， . . . . 故答案为：A. 【分析】过点F作FM⊥CH于点M，利用正方形的性质，可得四个角是直角，同时可求出BC的长，∠BAC=∠ACD=45°，利用勾股定理求出AC的长，再证明BE=CF，利用SAS可证得△ABE≌△BCF，利用全等三角形的性质可证得∠1=∠2，从而可证得BG=GH，同时可求出CH的长，利用SSS证明△ABG≌△AHG，利用全等三角形的性质可得到∠1=∠HAG，由此可求出∠1的度数； .再求出∠BFC=∠CHF=67.5°，求出CF的长；然后证明FM=MC，利用勾股定理可求出MF的长，利用三角形的面积公式求出△CFH的面积. 9．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【分析】判断是顶角为的等腰三角形，求出的度数即可求解． 10．【答案】10 【解析】【解答】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：10． 【分析】根据菱形的性质得到是等边三角形解题即可． 11．【答案】6 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形； ∴AC=2OA=8，， ∴， ∴BD=6. 故答案为：6. 【分析】根据菱形的性质可得AC=2OA=8，然后根据菱形的面积等于其对角线乘积的一半就可求出BD的长. 12．【答案】16 【解析】【解答】解：过点F作FG⊥BC交BC于点G， ∵CE=AE， ∴∠ECA=∠EAC， 根据翻折可得：∠ECA=∠FCA，∠BAC=∠CAF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴DA//CB， ∴∠ECA=∠CAD ∴∠EAC=∠CAD ∴∠DAF=∠BAE， ∵∠BAD=90° ∴∠EAF=90°， 设CE=AE=x，则BE=4-x， 在△BAE中，根据勾股定理可得：BA2+BE2=AE2， 即：， 解得：x=6， ∴CE=6， 在Rt△EAF中，. 根据折叠的性质可得，BC=CF=8， 设CG=y，则GE=6-y， ∵FC=8，， ∴FG2=FC2-CG2=FE2-EG2， 即：64-y2=68-(6-y)2， 解得： ∴， ∴ 故答案为：. 【分析】过点F作FG⊥BC于点G，根据翻折变换的特点和勾股定理结合方程思想解答即可求解. 13．【答案】9.6 【解析】【解答】解：如图，连接AC交BD于点G，连接AO， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB=AD=10， ， 在Rt△ABG中，根据勾股定理得， ∵S△ABD=S△AOB+S△AOD， ∴， ∴， ∴OE+OF=9.6， 故答案为：9.6. 【分析】连接AC交BD于点G，连接AO，根据四边形ABCD是菱形，即可得到AC⊥BD，AB=AD，，在Rt△ABG中，利用勾股定理即可求出AG的长度，由于S△ABD=S△AOB+S△AOD，即可求得OE+OF的值. 14．【答案】（答案不唯一） 【解析】【解答】解∶∵四边形是平行四边形， ∴当时，是为矩形， 故答案为∶（答案不唯一）． 【分析】 根据矩形的判定定理，平行四边形具备对角线相等或有一个角为直角时，可判定为矩形；解答即可. 15．【答案】； 【解析】【解答】解：第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴CB∥DA，∠A=∠B=90°， ∴∠PAO=∠OCQ， ∴AO=CO， ∵∠POA=∠COQ， ∴△APO=△CQO(ASA)， ∴PA=QC=2，OP=OQ， 过点P作PH⊥BC于点P， ∴四边形BHPA是矩形， ∴BH=PA=CQ=2，BA=HP=2， ∴QH=2， 由勾股定理得， ∴PO=； 第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，如图所示： ∵DA⊥GO'，O为AC中点， ∴GA=3， ∴AP=2，OG=1， ∴GO'=3，GP=1， 由勾股定理得， 综上所述，的最大值为，的最小值为， 故答案为：；； 【分析】第一空：连接PO并延长交BC于点Q，PQ-OQ的最大值为PO的长度，先根据矩形的性质即可得到CB∥DA，∠A=∠B=90°，进而根据等腰三角形的性质结合题意即可得到AO=CO，再运用对顶角的性质结合三角形全等的判定与性质证明△APO=△CQO(ASA)即可得到PA=QC=2，OP=OQ，过点P作PH⊥BC于点P，进而根据矩形的性质即可得到BH=PA=CQ=2，BA=HP=2，再根据勾股定理即可求解；第二空：过点O作关于CB的对称点O'，连接PO'∠BC于点Q，延长OO'交DA于点G，此时，的最小值为PO'的长度，根据题意结合已知条件即可得到GA=3，进而得到AP=2，OG=1，从而得到GO'=3，GP=1，最后运用勾股定理即可求解。 16．【答案】 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∠AEO=∠CFO； 又∵∠AOE=∠COF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△AOE≌△COF，得S△AOE=S△COF， ∴S阴影=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△BCD； ∵S△BCD=BC•CD=，故S阴影=． 故答案为：． 【分析】先根据矩形的性质，可证明△AOE≌△COF，从而可得△AOE、△COF的面积相等，再将阴影部分的面积转化为△BCD的面积即可． 17．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别是边、的中点， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （2） 【解析】【解答】解：（2）如图，过点A作交于点H， 由（1）知， ， ，， 是等边三角形， ，由勾股定理得：，， ， 则平行四边形的面积：， 故答案为：． 【分析】（1）由题意先证明四边形是平行四边形，由，可证平行四边形是菱形； （2）过点A作交于点H，由（1）知，由，得是等边三角形，求出，进而得到，根据平行四边形的面积公式即可求解． 18．【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵， ∴． 由（1）知四边形是菱形， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，则，再根据菱形判定定理即可求出答案. （2）根据菱形的性质，结合四边形的面积为，，计算即可． （1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵， ∴． 由（1）知四边形是菱形， ∴， ∴． 19．【答案】（1）证明：∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处 ∴∠BEC=∠BEF，FE=CE ∵FG∥CE ∴∠FGE=∠CEB ∴∠FGE=∠FEG ∴FG=FE ∵FE=CE ∴FG=EC ∵FG∥CE ∴四边形CEFG是平行四边形 ∵FE=CE ∴四边形CEFG是菱形； （2）解：∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处 ∴BC=BF ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD=BC=BF=10，∠CDA=∠BAF=90° ∵AB=6 ∴在Rt△ABF中， ∴DF=AB-AF=2 ∴设EF=x，则CE=x， ∴DE=DC-CE=6-x ∵∠CDA=90° ∴在Rt△FDE中， 即：， 解得： ， 即， ∴平行四边形CEFG的面积是：． 【解析】【分析】 本题主要考查菱形的判定，矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，平行四边形的判定，熟知折叠的性质是解题关键.（1）根据折叠的性质：折叠前后两个图形对应边相等，对应角相等可知：∠BEC=∠BEF，FE=CE，BC=BF，再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：∠FGE=∠CEB，等量代换得：∠FGE=∠FEG，再根据等腰三角形的性质：等角对等边可知：FG=FE，等量代换得：FG=CE；结合FG∥CE和平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证得：四边形CEFG是平行四边形，再结合EF=CE和菱形的判定定理：一组领边相等的平行四边形是菱形可得：四边形CEFG是菱形，由此可证得结论； （2）根据矩形的性质：对边相等，四个角是直角可知：AD=BC=BF=10，∠CDA=∠BAF=90°，再根据勾股定理可求得AF的长，即：在Rt△ABF中，，根据线段的和差运算可得：DF=AB-AF=2，设EF=x，则CE=x，即DE=DC-CE=6-x，再根据勾股定理：在Rt△FDE中，，代入数据列出关于x的方程，求出x的值，即可得CE的长，即，最后根据平行四边形的面积公式：，可得：，代入数据即可求出平行四边形CEFG的面积，即可得出答案. 20．【答案】（1）证明∵， ∴四边形为平行四边形，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形． （2）解∵四边形为矩形， ∴，，， ∴； ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． ​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形为平行四边形，，再根据角之间的关系可得，再根据矩形判定定理即可求出答案. （2）根据矩形性质可得，，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据线段中点可得，根据角之间的关系可得，则，再根据勾股定理可得AD，再根据矩形面积即可求出答案. 21．【答案】（1）解：根据题意可知：，， ∴四边形EBFP是平行四边形， ∴∠EPF=∠ABC， ∵∠ABC=100°， ∴∠EPF=100°. （2）解：， 证明：连接PB，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ABC+∠BCD=180°，∠ACD=∠ACB=，点D与点B关于AC对称， ∴PB=PD，∠BPC=∠DPC=60°， ∵∠ABC=100°， ∴∠BCD=180°-∠ABC=80°，∠ACB==40°， ∴∠PBC=180°-∠BPC-∠ACB=80°， ∵PE∥BC， ∴∠APE=∠ACB=40°， ∴∠CPF=180°-∠APE-∠EPF=40°， ∴∠PFB=∠ACB+∠CPF=80°， ∴∠PFB=∠PBC， ∴PB=PF， ∴PD=PF. 【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定和判定即可解决问题； （2）连接，根据菱形的对称性，证得，，∠PBC=80°，然后三角形内角和和外角和定理证明，得，即可解决问题． （1）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）解：，理由如下： 连接， 四边形是菱形， ∴点B与点D关于对称， ∴，， 菱形中，，， ， ， ， ∴ ， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ， ， ． 22．【答案】（1）证明：∵ ， ， ∴四边形 为平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴四边形 是菱形． （2）解：如图，∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ， ， ∵ 的周长为36， ∴ ， 即 ． 在 中， ，由勾股定理得， ∴ ，即 ， ∴ ． ∴ ． ∴ ． 【解析】【分析】（1）先证四边形 为平行四边形，根据平行线的性质及角平分线的定义可得 ，利用等腰三角形的性质可得AD=AE，根据菱形的判定即证结论； （2）由菱形的性质可得AC⊥DE，OD=OE，OA=OC，AD=CD=10， 利用△ACD的周长为36，可求出AC=16，即得OA=OC=8， 在 中，由勾股定理得DO=6，即得DE=12，由菱形AECD的面积=AC·DE进行计算即可. 23．【答案】（1）证明：即，， 四边形是平行四边形， 又， 是矩形． （2）解：如图所示： 平分， ， ， ， ， ， ， ， 矩形中，， 在中，． 【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合证出是矩形即可； （2）先利用角平分线的定义及平行线的性质可得， 再利用等角对等边的性质可得，再利用线段的和差求出BE的长，最后利用勾股定理求出AE的长即可. （1）证明：即，， 四边形是平行四边形， 又， 是矩形． （2）解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 矩形中，， 在中，． 24．【答案】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 平行四边形是矩形， ， ， 是菱形 （2）解：四边形是菱形， ，，， ， 是等边三角形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知，四边形是矩形， ，， ， 即的长为． 【解析】【分析】 （1）根据题目已知条件，可证四边形是平行四边形，结合 ，进而可证平行四边形是矩形，得到，则，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）由菱形的性质可得，，，由∠ABC=60°可得是等边三角形，得，再由勾股定理得，然后由矩形的在得，，最后在Rt△ACE中，根据勾股定理即可解决问题 学科网（北京）股份有限公司 $$