期末复习专题2——用反比例函数解决问题 （提升练习）2024-2025学年苏科版数学八年级下册

期末复习专题2——用反比例函数解决问题 （提升练习）2024-2025学年苏科版数学八年级下册 一、选择题（共8题，共24分） 1．如图，反比例函数和正比例函数的图象相交于A(-1，-3)，B(1，3)两点.若则x的取值范围是（　　） A．1<x<0 B．1<x<1 C．x<1或0<x<1 D．1<x<0或x>1 2．研究发现，近视镜的度数(度)与镜片焦距(米)成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.5米，则小明的近视镜度数可以调整为（　　） A．200度 B．250度 C．300度 D．500度 3．如图，一次函数、为常数，与反比例函数的图象交于A（1，m），B（n，2）两点，与坐标轴分别交于，两点．则△AOB的面积为（　　） A．3 B．6 C．8 D．12 4．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(A)与电阻 R(Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流为不能超过6 A，那么用电器的可变电阻R 应控制在 （　　） A．R≥2Ω B．0Ω<R≤2Ω C．R≥1Ω D．0Ω<R≤1Ω 5．为预防春季流感，学校对教室进行喷雾消毒，喷雾阶段教室内每立方米空气中含药量y(mg)与时间x(min)成正比例，喷雾完成后y与x成反比例，其函数关系图象如图所示，已知当每立方米空气中含药量低于 1.6m g时，对人体方能无毒害作用，则下列说法正确的是 （　　） A．每立方米空气中含药量从6mg上升到8mg需要2min B．每立方米空气中含药量下降的过程中，y关于x 的函数表达式为 C．为了确保对人体无毒害作用，喷雾完成25 min 后学生才能进入教室 D．每立方米空气中含药量不低于4m g的持续时间为7.5min 6．某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，其图像如图所示.当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应（　　） A．不小于 B．不大于 C．不小于 D．不大于 7．如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A、B两点，与x轴，y轴分别相交于C、D两点，连接OA、OB．过点A作轴于点，交于点．设点A的横坐标为．若，则的值为（　　） A．1 B． C．2 D．4 8．为了预防流感，某中学用药熏消毒法对教室进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分)成正比例，药物释放完毕后，y与x成反比例，整个过程中y关于x的函数图象如图所示.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，则从药物释放完毕到学生能够进入教室，至少要经过（　　） A．4.2小时 B．B.4小时 C．3.8小时 D．D.3.5小时 二、填空题（共8题，共24分） 9．在平面直角坐标系中，直线 与反比例函数 的图象相交于点A，B，设点 的坐标为 ，那么长为 ，宽为 的矩形面积为　 　，周长为　 　. 10．正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝ （k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1，则x的取值范围是　 　. 11．如图，点A（a，3）、B（b，1）都在双曲线y上，点C、D分别是x，y轴上的动点，则四边形ABCD的周长最小值为　 　． 12．如图，一直线经过原点 ，且与反比例函数 相交于点A，B，过点 作 轴，垂足为 ，连结BC.若 的面积为8，则 　 　. 13．如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象交于A，C两点， 轴， 轴，垂足分别为点B，D，则四边形ABCD的面积等于　 　 14．一次函数 与反比例函数 的图象如图所示，当 时，自变量 的取值范围是　 　. 15．小明要把一篇文章录入电脑，所需时间 与录入文字的速度 （字 ）之间的反比例函数关系如图所示，如果小明要在 内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为　 　字 . 16．如图，矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为(0，5)、(0，2)、(1，2)，将矩形ABCD向右平移t个单位，若平移后的矩形ABCD与函数y=(x>0)的图象有公共点，则t的取值范围是　 　． 三、解答题（共8题，共52分） 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与x轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，求的面积． 18．如图， 木板对地面的压强 是关于木板面积 的反比例函数， 八年级科技小组在一次实验中根据实验数据画出图象， 如图所示： （1）求出这个函数的表达式． （2）如果要求压强不超过 ， 木板的面积至少要多大？ 19．如图，某校科技小组计划利用已有的一面长为的墙，用篱笆围一个面积为的矩形科技园ABCD，设AB的长为的长为． （1）求关于的函数表达式和自变量的取值范围． （2）边AD和DC的长都是整数米，若围成矩形科技园ABCD三边的篱笆总长不超过，求出满足条件的所有围建方案． 20．如图，反比例函数与一次函数的图象相交于A，B两点，AE⊥x轴，直线与x轴、y轴分别相交于C，D两点， （1）求反比例函数与一次函数的表达式. （2）当y2>y1时，求x的取值范围. （3）在反比例函数的图象上(除点B外)还存在到点O的距离等于线段OA长的点吗?若不存在，请说明理由；若存在，直接写出该点的坐标. 21．公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是1000 N和0. 3m . （1）动力 y(N)关于动力臂l(m)的函数表达式为　 　(不要求写自变量的取值范围). （2）动力 y=600 N时，动力臂l为　 　m. 22．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度 y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中 BC段是反比例函数 图象的一部分.请根据图中信息解答下列问题： （1）恒温系统在这天保持大棚内温度为 18℃的时间有多少小时? （2）求k的值. （3）当x=16时，大棚内的温度为多少摄氏度? 23．某医院安排专业消杀公司每天早上对全院诊室和候医室进行药物喷洒消毒，工作人员完成3间诊室和2处候医室的药物喷洒需 19 min，完成 2间诊室和1处候医室的药物喷洒需 11 min. （1）工作人员完成1间诊室和1 处候医室的药物喷洒各需多少时间? （2）消毒药物在一处候医室内空气中的浓度y(mg/m³)与时间 x(min)的函数关系如图所示.进行药物喷洒时，y与x的函数表达式为y=2x，药物喷洒完成后，y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A(m，n).当候医室空气中的药物浓度不高于1m g/m³时，对人体健康无危害.工作人员依次对所有候医室(共11处)进行药物喷洒消毒，当把最后一处候医室药物喷洒完成后，第一处能否让人进入?请通过计算说明. 24．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散学生注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；当20≤x≤45时，图象是反比例函数图象的一部分． （1）求点A对应的指标值 （2）王老师在一节数学课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：由图可知：在点A的左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时x＜-1； 在点b的左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时0＜x＜1； 故答案为：C. 【分析】根据图象的交点坐标以及函数的大小关系，结合图象所给的信息即可判断求解. 2．【答案】A 【解析】【解答】解：设y=(x＞0）， ∵ 400度近视镜片的焦距为0.25米 ， ∴k=400×0.25=100， ∴y=， 当y=0.5时，x=200， ∴ 现在镜片焦距为0.5米，小明的近视镜度数可以调整为200度； 故答案为：A. 【分析】设y=(x＞0），把y=0.25，x=400代入解析式中求出k值，即得函数解析式，再求出y=0.5时x值即可. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：把A（1，m），B（n，2）分别代入y=， 得m=4，n=2， ∴A（1，4），B（2，2）， 将点A（1，4）和B（2，2）代入一次函数y=kx+b， 得，解得． ∴一次函数的表达式y=-2x+6， 令x=0，则y=-2x+6=6， ∴M（0，6）， ∴S△AOB=S△BOM-S△AOM=×6×2-×6×1=3， 故答案为：A． 【分析】先求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出直线解析式，再求出点M的坐标，最后利用割补法求出△AOB的面积即可。 4．【答案】C 【解析】【解答】解：由图可知，函数经过点（2，3）； 设反比例函数为I=，将点（2，3）代入，可得k=6； ∴I= 当I≤6时，≤6，解得R≥1； ∴电阻R≥ 1Ω 故答案为：C. 【分析】根据反比例函数的性质，将已知点的坐标代入解析式，可得反比例函数的解析式；根据已知条件，列不等式，求解即可求得电阻的取值范围. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：设喷雾阶段解析式y=kx， 把（5，8）代入得5k=8，解得k=，即y=x， 当y=6时，6=x，解得x=， ∴ 每立方米空气中含药量从6mg上升到8mg需要时间为5-=min，故A不符合题意； 设喷雾完成后y=，把 （5，8）代入得k1=5×8=40， ∴y=，故B不符合题意； 当y=1.6时，y==1.6，解得x=25， ∴从喷雾消毒开始经过 25 min 后学生才能进入教室 ，故C不符合题意； D、当y=4时，y=x=4，解得：x=2.5；y==4，解得x=10， ∴ 每立方米空气中含药量不低于4m g的持续时间为10-2.5=7.5min ，故D符合题意. 故答案为：D. 【分析】利用待定系数法分别求出喷雾阶段和喷雾完成后的函数解析式，据此分别计算出各项中结果，再判断即可. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：设P=，将（1.5，16000）代入可得k=24000， ∴p=. 令p=40000，可得V=0.6， ∴气球的体积应不小于0.6m3. 故答案为：C. 【分析】设P=，将（1.5，16000）代入求出k的值，得到对应的函数关系式，令p=40000，求出V的值，然后结合图象进行解答. 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵点A的横坐标为m， ∴A（m，）. 令y=-x+b中的x=m，得-m+b=， ∴b=m+， ∴y=-x+m+. 作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N， 设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S， ∴S△ADM=2S△OEF. 由对称性可得AD=BC，OD=OC，∠ODC=∠OCD=45°，△AOM≌△BON，AM=NB=DM=NC， ∴EF=AM=NB， ∴EF为△OBN的中位线， ∴N（2m，0），B（2m，）. 将B（2m，）代入y=-x+m+中可得=-2m+m+， ∴m2=2， ∴m=. 故答案为：B. 【分析】由题意可得A（m，），代入y=-x+b中可得b=m+，则y=-x+m+，作AM⊥OD于点M，BN⊥OC于点N，设S△AOF=S，则S△OEF=2-S，S四边形EFBC=4-S，S△OBC=S△OAD=6-2S，S△ADM=4-2S，推出S△ADM=2S△OEF，由对称性可得AD=BC，OD=OC，AM=NB=DM=NC，进而得到EF为△OBN的中位线，则N（2m，0），B（2m，），然后将点B的坐标代入直线解析式中计算即可. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵药物释放完毕后，y与x成反比例， ∴设， 由图可知，把点（12，9）代入解析式得：， 解得：n=108， ∴（x＞12） 时，， 解得：x＞240， 药物释放后，240-12=228（min），即3.8h. 故答案为：C. 【分析】由题意，设当x＞12时，，把点（12，9）代入解析式可求出n的值，然后根据空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下可得关于x的不等式，解不等式求出时间，减去12分钟即为所求. 9．【答案】4；12 【解析】【解答】解：∵ 直线 与反比例函数 的图象相交于点A，B， ∴x1y1=4， ∴ 长为x1宽为y1矩形的面积为4； ∵x1+y1=6 ∴2（x1+y1）=12， ∴长为x1宽为y1矩形的周长为12. 故答案为：4，12. 【分析】利用两函数解析式及 点A的坐标可得到x1y1的值，由此可得到长为x1宽为y1矩形的面积；同时可求出x1+y1的值，即可求出长为x1宽为y1矩形的周长. 10．【答案】x＜-3或0＜x＜3 【解析】【解答】解：由反比例函数与正比例函数的图象的一个交点是M（-3，2）， ∴另一个交点是（3，-2）， 当y2＜y1时，即正比例函数图象在反比例图象上方， ∴x的取值范围是x＜-3或0＜x＜3， 故答案为：x＜-3或0＜x＜3. 【分析】利用反比例函数关于原点对称，可得到反比例函数与正比例函数的图象的另一个交点坐标，由当y2＜y1时，即正比例函数图象在反比例图象上方，可求出x的取值范围. 11．【答案】 【解析】【解答】 解：分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y 得：a＝1，b＝3， ∴点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1）， 如图，作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q， 则点P坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1）， 连接PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小， 四边形ABCD周长＝DA+DC+CB+AB ＝DP+DC+CQ+AB ＝PQ+AB ＝42 ＝6， 故答案为：6． 【分析】先把A点和B点的坐标代入反比例函数解析式中，求出a与b的值，确定出A与B坐标，再作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，根据对称的性质得到P点坐标为（﹣1，3），Q点坐标为（3，﹣1），PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，根据两点之间线段最短，此时四边形PABQ的周长最小，然后用两点间的距离公式计算即可求解． 12．【答案】8 【解析】【解答】解：∵反比例函数与经过原点O的直线相交于A、B两点， ∴A、B两点关于原点对称， ∴OA＝OB， 又∵S△ABC＝8， ∴S△BOC＝S△AOC＝8÷2＝4， ∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C， ∴S△AOC＝|k|=4， ∴|k|＝8， ∵k＞0， ∴k＝8． 故答案为：8． 【分析】首先根据反比例函数与经过原点O的直线相交于A、B两点，可知A、B两点关于原点对称，则O为线段AB的中点，可得S△BOC＝S△AOC＝8÷2＝4，再由反比例函数y＝的比例系数k的几何意义，可得△AOC的面积等于|k|，即|k|=4，再结合k＞0从而求出k的值． 13．【答案】2 【解析】【解答】解：联立两函数表达式可得 解得 或 ∴ ∵ 轴， 轴， ∴ ， ∴ ∵ ∴ ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴ 故答案为：2. 【分析】将两函数解析式联立方程组，解方程组，可得到点A，C的坐标；从而可得到点B，D的坐标即可求出BD，AB，CD的长；再证明四边形ABCD为平行四边形，然后利用平行四边形的面积公式可求出四边形ABCD的面积. 14．【答案】2＜x＜4 【解析】【解答】解：解：y1>y2，即直线位于双曲线上方部分， 根据图象可知， 2＜x＜4 . 故答案为： 2＜x＜4 . 【分析】y1>y2，即直线位于双曲线上方部分，观察图象读出x的范围即可. 15．【答案】 【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为 ， 将点 代入得： ， 则反比例函数的解析式为 ， 当 时， ， 反比例函数的 在 内， 随 的增大而减小， 如果小明要在 内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为 字 ， 故答案为： . 【分析】设反比例函数的解析式为 ，将（140，10）代入可得k的值，求出y=9对应的x的值，然后根据反比例函数的增减性进行解答. 16．【答案】1≤t≤5 【解析】【解答】解：∵矩形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（0，5）、（0，2）、（1，2）， ∴D（1，5）， ∴平移后，可设点D′、B′的坐标分别为（1+t，5），（t，2）， 当点D′落在函数y=（x＞0）的图象上时，则5（1+t）=10， 解得t=1， 当点B′落在函数y=（x＞0）的图象上时，则2t=10， 解得t=5， ∴平移后的矩形ABCD与函数y=（x＞0）的图象有公共点，则t的取值范围是1≤t≤5， 故答案为：1≤t≤5． 【分析】先求得D点坐标，然后表示出平移后点D′、B′的坐标分别为（1+t，5），（t，2），依据点D′、B′落在函数y=（x＞0）的图象上时t的值，根据图象即可求得t的取值范围是1≤t≤5。 17．【答案】（1）解：反比例函数经过点， ， 反比例函数解析式为， 点在上，则， ， 把、代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； 答：反比例函数解析式为，一次函数的解析式为； （2）解：把代入，得， ， ， ． 答：的面积为8． 【解析】【分析】（1）由题意，将代入反比例函数中可得关于m的方程，解方程可求得的值；再将代入反比例函数解析式求得，然后将点、代入一次函数中可得关于k、b的方程组，解方程组求出k、b的值即可； （2）根据一次函数解析式得出点C，然后根据三角形面积的构成计算即可求解． 18．【答案】（1）解：设反比例函数的表达式为 ∵函数图象经过点 A（1.5，400） ∴k=600 ∴这个函数的表达式为 （S＞0） （2）解：当p=600 Pa时，S =1 ∴压强不超过600 Pa，木板的面积至少要1m2 【解析】【分析】（1）根据图象可得点A（1.5，400）在反比例函数图象上，根据k=xy可得反比例函数解析式； （2）根据P的取值可得S的值，再根据反比例函数k＞0且S＞0时，P随S的增大而减小可得结果. 19．【答案】（1）解：∵矩形的面积为30， ∴xy=30， ∴关于的函数表达式为 ∵ 长为的墙 ，即， 当x=6时，y=5， ∴ 自变量的取值范围是： （2）解：∵，，x、y都是整数， ∴x=5，6，10，15，30， 由题意，得2x+y20， ∴x=5或6， 当x=5时，y=6，当x=6时，y=5， 即 ，或 【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式求函数解析式，根据墙的长度求自变量的取值范围； （2）根据函数解析式，结合 边AD和DC的长都是整数米 求出x的值，再结合 篱笆总长不超过， 确定x的值，再求y的值，据此求解。 20．【答案】（1）解：由题意得：， ∴ 反比例函数图象位于二、四象限， ∴ 故反比例函数的表达式为， ∵AE⊥x轴，， ∴∠ACE=45°， ∴∠OCD=∠ACE=45°， ∴OC=OD， ∴ 故一次函数的表达式为； （2）解：， 得或， ∴A(-2，1)，B(1，-2)， 由图象可得：时，x<2或0<x<1； （3）解：存在， 反比例函数图象上到点O的距离等于线段OA长的点 ，这两点与A、B关于y=-x对称， 故该点的坐标为(1，2)和(2，1). 【解析】【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义，即可求得，由题意，可得，即可求得反比例函数与一次函数的表达式； （2）反比例函数与一次函数联立，求解得出A、B两点的坐标，进而找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分相应的自变量的取值范围即可； （3）根据反比例函数的对称性，即可得解. 21．【答案】（1）​​​​​​​ （2）0.5 【解析】【解答】（1）根据题意， ∴动力关于动力臂的函数表达式是． （2）当动力时，，解得， 即动力臂的长为． 【分析】本题考查反比例函数应用． （1）根据阻力乘以阻力臂等于动力乘以动力臂，据此可得到方程：，通过变形可得出答案； （2）根据（1）中的解析式，将y=600 N代入解析式，可求出l值． 22．【答案】（1）解： 恒温系统在这天保持大棚内温度为18℃的时间为：12-2=10（h）； （2）解：点B的坐标为（12，18），将其代入反比例函数 ， 可得k=12×18=216； （3）解：∵k=216， ∴反比例函数的解析式为， 当x=16时，y==13.5°. 【解析】【分析】（1）求出图象上点A、B的横坐标差即可； （2）根据反比例函数上点的性质，将点B的坐标代入函数，即可求出k的值； （3）将x=16代入反比例函数，即可直接求出. 23．【答案】（1）解：设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要x min和y min，依题意有： ， 解得：， 答：校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min； （2）解：能，说明如下， 一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min， 当x＝5时，y＝2x＝10，∴A（5，10）， 设反比例函数表达式为：y，且过点（5，10）， ∴10=，解得：k＝50， ∴反比例函数表达式为：y， 当x＝55时，y1， ∴一班学生能安全进入教室． 【解析】【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要x min和y min，根据题中的两个等量关系可列方程组求解即可解答；（2）先根据一间教室的药物喷洒时间为5min和点A在y＝2x上求出点A的坐标（5，10），然后用待定系数法可求出反比例函数表达式为y，最后当x＝55时，y1，即可解答． 24．【答案】（1）设当20≤x≤45时，反比例函数的表达式为y= " ，将C(20，45)代入，得45=- ，解得k= 900， ∴反比例函数的表达式为y= 当x=45时，y= = 20， ∴D(45 ，20)，∴A(0，20) ，即点A对应的指标值为20． （2）解：设当0≤x<10时，AB的表达式为y=mx+n，将A(0，20) ，B(10，45)代入，得，解得∴AB的表达式为y= x+20． 当y≥36时，x+20≥36，解得x≥，∴≤x<10． 当10≤x<20时，y显然大于36． 当20≤x≤45时，由(1)得反比例函数的表达式为y= ， 当y≥36时，≥36 ，解得x≤25，∴20≤x≤25． 综上，当≤x≤25时，注意力指标都不低于36， 而25- = >17， ∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36． 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出当20≤x≤45时，反比例函数的表达式，再求出x=45时y值，即得D的坐标，从而求出A对应的指标值； （2）利用待定系数法求出当0≤x<10时，直线AB的表达式， 然后求出当y≥36时x的范围， 由(1)知y= ， 据此求出y≥36时x的范围，综上可知当≤x≤25时，注意力指标都不低于36，而25- = >17，继而得解 学科网（北京）股份有限公司 $$