第3章 高考难点突破一 自主培优6 隐零点问题-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习教师用书Word（人教A版2019）

自主培优6　隐零点问题 ➢对应学生用书P68 　　导函数的零点在很多时候是无法直接解出来的，我们称之为“隐零点”，即能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达.这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题. 类型一　不含参函数的隐零点问题 [典例1]　已知函数f＝ln x＋a.若对任意x∈，都有ex－a≥f（e为自然对数的底数），求证：a≤1. 证明　设g＝ex－a－ln x－a，则g'＝ex－a－， 设g'＝－＝0，则a＝x0＋ln x0. 因为g'在上单调递增， 所以当x∈时，g'＜0；当x∈时，g'＞0， 所以g在上单调递减，在上单调递增， 所以g（x）min＝g＝－ln x0－a＝－x0－2ln x0≥0， 令h＝－x－2ln x，则h'＝－－1－＝＝－＜0， 所以h＝－x－2ln x在（0，＋∞）上单调递减. 因为h＝0，所以x0≤1，所以a＝x0＋ln x0≤1. 已知不含参函数f（x），导函数方程f'（x）＝0的根存在，却无法求出，设方程f'（x）＝0的根为x0，则有： ①关系式f'（x0）＝0成立；②注意确定x0的合适范围. 类型二　含参函数的隐零点问题 [典例2]　（2023·安徽滁州·二模）已知函数f（x）＝ex. （1）讨论函数的单调性； （2）若x∈（0，＋∞），f（x）≥－a恒成立，求整数a的最大值. 解　（1）f'＝（x2＋2x＋2－a）ex， ①当a≤1时，f'（x）≥0恒成立，故f（x）在R上恒增； ②当a＞1时，当x∈（－∞，－1－）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增； x∈（－1－，－1＋）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； x∈（－1＋，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 综上所述，当a≤1时，f（x）在R上恒增； 当a＞1时，f（x）在（－∞，－1－）和（－1＋，＋∞）上单调递增， 在（－1－，－1＋）上单调递减. （2）由题可得ex（x2＋2）≥a（ex－1），由于x∈（0，＋∞），则a≤. 令g（x）＝，g'（x）＝， 令h（x）＝2xex－x2－2x－2， h'（x）＝（ex－1）（2x＋2），由于x∈（0，＋∞），则h'（x）＝（ex－1）（2x＋2）＞0， 故h（x）＝2xex－x2－2x－2单调递增， h＝－－－2＜－4＝＜0，h（1）＝2e－5＞0， 所以存在x0∈使得h（x0）＝0，即2x0＝＋2x0＋2. 当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，g（x）单调递减；当x∈（x0，＋∞）时，h（x）＞0，g（x）单调递增， 则a≤g＝＝＋2x0＋2，x0∈，故4＜g＜g（x0）＜g（1）＝5， 由于a为整数，则a的最大值为4. 已知含参函数f（x，a），其中a为参数，导函数方程f'（x，a）＝0的根存在，却无法求出，设方程f'（x）＝0的根为x0，则有 ①有关系式f'（x0）＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；②注意确定x0的合适范围，往往和a的范围有关. 学科网（北京）股份有限公司 $$