2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）第二册期末全真基础模拟A（一）

2025届高一下学期期末全真基础模拟A（一） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 4．设样本数据的均值和方差分别为2和4，若（为非零常数，），则的均值和方差分别为（   ） A．，4 B．， C．2，4 D．2， 5．正方体 中，直线与直线夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 6．某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为（    ） A． B． C． D． 7．中，角所对应的边分别是，，则的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 8．如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的共轭复数为 B．若为纯虚数，则 C．若，则 D． 10．一个不透明袋中装有2个红球､2个白球（每个球标有不同的编号，除颜色和编号外均相同），从中不放回依次抽取2个球，记事件为“第一次取的球为红球”，事件为“第二次取的球为白球”，则（    ） A． B．为对立事件 C．为相互独立事件 D．抽取的2个球中至多1个白球的概率为 11．如图，正方体的棱长为1，E为的中点，下列判断正确的是（    ）    A．平面 B．直线与直线是异面直线 C．在直线上存在点F，使平面 D．直线与平面所成角是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则的值为 . 13．人间四月天，正是春游好时节.某学校组织高二学生去远足，该远足路线会经过一处瀑布.有一个学生为了测量该瀑布的实际高度，记录了如下测量数据：先沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿着山道继续走，测得瀑布顶端仰角正切值为，已知该同学沿山道行进方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为.根据该同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 . 14．如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入 个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，满足与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 16．某项考试科目､科目依次进行，只有当科目成绩及格时，才可继续参加科目的考试.已知每个科目只有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目每次考试合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (1)求该应试者不需要补考就可获得证书的概率； (2)设科目考试､补考费用均为100元/次，科目考试､补考费用均为200元/次，求该应试者花费大于300元且不超过500元获得证书的概率. 17．树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 18．在锐角中，分别为内角的对边，已知， (1)求的大小； (2)求的取值范围. 19．如图，三棱柱中，在底面内的射影为的外心，且，，三棱柱的侧面积为. (1)求证：； (2)求三棱柱的体积； (3)分别求二面角和二面角的大小. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高一下学期期末全真基础模拟A（一） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】为，所以， 则． 故选：A 2．已知，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由复数乘法以及复数的几何意义即可求解. 【详解】，它对应的点位于第四象限. 故选：D. 3．如图所示，在中，为BC边上的三等分点，若，，为AD中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】 故选：A 4．设样本数据的均值和方差分别为2和4，若（为非零常数，），则的均值和方差分别为（   ） A．，4 B．， C．2，4 D．2， 【答案】A 【分析】结合期望，方差的线性公式，即可求解. 【详解】样本数据的均值和方差分别为2和4， （为非零常数，）， 则的均值为，方差为； 故选：A 5．正方体 中，直线与直线夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的线面关系，将平移至，找到异面直线所成角，求解即可． 【详解】如图，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 则，所以为异面直线与直线的夹角， 又因为，所以， 所以直线与直线夹角的余弦值是. 故选：A 6．某航空公司销售一款盲盒机票，包含哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市，甲乙两人计划“五一”小长假前分别购买上述盲盒机票一张，则两人恰好到达城市相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式计算即可求解. 【详解】记哈尔滨､西安､兰州､济南､延吉5个城市分别为， 则甲乙分别购买盲盒机票一张共有种可能， 其中两人恰好到达城市相同的情况有，共5种可能， 所以满足题意的概率为. 故选：A 7．中，角所对应的边分别是，，则的形状是 （    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】首先利用正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式化简，判断三角形的形状. 【详解】由正弦定理边化角可知，， 又， 所以，即， 所以或，则或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：D 8．如图，圆O内接边长为1的正方形是弧（包括端点）上一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，应用向量的坐标运算即可求解；法二：连接，设，则，，即可求解. 【详解】方法一：如图1，以A为坐标原点，所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则）． 设，则．因为，所以． 由题意知，圆O的半径．因为点P在弧（包括端点）上， 所以，所以的取值范围是． 方法二：如图2，连接．易知， 设，则． 由已知可得，所以， 所以 ． 因为，所以，所以， 所以，即的取值范围是. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的共轭复数为 B．若为纯虚数，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据共轭复数的概念即可判断A；根据纯虚数的概念即可判断B；举反例即可判断C；根据复数的乘法运算和复数模的概念即可判断D. 【详解】对A，根据共轭复数的概念知的共轭复数为，故A正确； 对B，若为纯虚数，则，解得，故B正确； 对C，举例，满足，但，故C错误； 对D，设，，其中， 则， 则， ，所以. 故选：ABD. 10．一个不透明袋中装有2个红球､2个白球（每个球标有不同的编号，除颜色和编号外均相同），从中不放回依次抽取2个球，记事件为“第一次取的球为红球”，事件为“第二次取的球为白球”，则（    ） A． B．为对立事件 C．为相互独立事件 D．抽取的2个球中至多1个白球的概率为 【答案】AD 【分析】记个红球编号为,个白球编号为，写出样本空间及事件的样本点，对于A，用古典概率公式计算事件概率即可；对于B，事件包含共同的样本点，故不对立；对于C，根据独立事件的概念判断即可；对于D，记事件为“抽取的2个球中至多一个白球”，用古典概率公式计算即可. 【详解】记个红球编号为,个白球编号为， 所以样本空间为 ， 事件包含的样本点为， 事件包含的样本点为， 对于A，因为，故A正确； 对于B，因为事件包含共同的样本点，故事件不对立，故B错误； 对于C，因为，所以不独立，故C错误； 对于D，记事件为“抽取的2个球中至多一个白球”， 则事件包含的样本点为 ， 所以，故D正确. 故选：AD. 11．如图，正方体的棱长为1，E为的中点，下列判断正确的是（    ）    A．平面 B．直线与直线是异面直线 C．在直线上存在点F，使平面 D．直线与平面所成角是 【答案】AC 【分析】A选项由线线平行证明线面平行；B选项找到两个直线所在的平面否定异面关系；C选项由线面垂直的判定定理证明；D选项由线面角的定义求角的大小. 【详解】对A，正方体中，平面，平面，平面， A选项正确；    对B，由图可知直线与直线都在平面中，故B选项错误； 对C，连接，，取的中点，连接， 又为的中点，则， 正方体中，，且，平面， 得平面，则平面，故C选项正确； 对D，连接交于点，连接， 由平面，有平面， 则即为直线与平面所成的角， ，，则，故D选项错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则的值为 . 【答案】 【分析】根据平行得到方程，求出的值. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 13．人间四月天，正是春游好时节.某学校组织高二学生去远足，该远足路线会经过一处瀑布.有一个学生为了测量该瀑布的实际高度，记录了如下测量数据：先沿一段水平山道步行至与瀑布底端在同一水平面时，在此位置测得瀑布顶端的仰角正切值为，沿着山道继续走，测得瀑布顶端仰角正切值为，已知该同学沿山道行进方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成的角为.根据该同学的测量数据，可知该瀑布的高度为 . 【答案】 【分析】根据题意画出图象，结合题中条件求得，在中，由余弦定理建立方程，解出即可. 【详解】    如图，设瀑布顶端为，底端为，高为， 该同学第一次测量的位置为，第二次测量的位置为， 则， 由题得， 在中，由余弦定理可知： ， 解得. 故答案为：50m. 14．如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入 个. 【答案】6 【分析】求出满足条件的小球的半径，再由俯视图可求出两个小球球心与底面圆圆心投影连线的夹角，即可得解. 【详解】如图， 则，解得， 由题意，小球与圆柱、圆锥侧面、圆锥底面相切，作轴截面如图所示， 因为，所以，即， 则，设圆的半径为，则， 解得，即小球的半径为1, 作俯视图， 因为为等边三角形，所以， 由可知，这样的小球最多能放入6个. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知向量，满足与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出，再利用向量数量积的运算律即可； （2）根据向量垂直得，展开代入数据即可得到答案. 【详解】（1）由题意可得，， 因此. （2）， 利用向量数量积的分配律得， 代入已知条件，得，即. 16．某项考试科目､科目依次进行，只有当科目成绩及格时，才可继续参加科目的考试.已知每个科目只有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书，现某人参加这项考试，科目每次考试合格的概率均为，科目每次考试成绩合格的概率均为.假设各次考试成绩合格与否均互不影响. (1)求该应试者不需要补考就可获得证书的概率； (2)设科目考试､补考费用均为100元/次，科目考试､补考费用均为200元/次，求该应试者花费大于300元且不超过500元获得证书的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，即可求解； （2）根据题意，由应试者花费大于300元且不超过500元获得证书，得到应试者恰好不可一次，结合独立事件乘法公式和互斥事件的概率加法，即可求解. 【详解】（1）解：设“科目第一考试合格”为事件，“科目第一次考试合格”为事件， 该应试者不需要补考就可获得证书的事件为,且与相互独立， 所以该应试者不需要补考就可获得证书的概率. （2）解： 设“科目第考试合格”为事件，“科目第次考试合格”为事件， 由科目考试､补考费用均为100元/次，科目考试､补考费用均为200元/次， 若应试者花费大于300元且不超过500元获得证书，可得应试者恰好补考一次， 其概率为. 17．树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量（简称“美食”）的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于0.85、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值和第70百分位数（结果保留两位小数）； (2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于80分的学生中，按照调查评分的分组，分为3层，通过分层随机抽样抽取30人进行座谈，求应选取评分在的学生人数； (3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由． 【答案】(1)0.01，88.33； (2)10人； (3)“美食”工作需要进一步整改，理由见解析. 【分析】（1）根据频率分布图，求得，然后推得第70百分位数位于区间内，即可根据第百分位数的求法，得出答案. （2）根据分层抽样，即可求得评分在的学生人数. （3）根据频率分布直方图，即可求得平均数，进而得出答案. 【详解】（1）由图可知：，所以； 评分在内的频率为，内的频率为， 则第70百分位数位，， 所以第70百分位数为88.33. （2）低于80分的学生中三组学生的人数比例为， 则应选取评分在的学生人数为：（人）. （3）由图可知，认可程度平均分为： ， 显然认可系数低于，所以 “美食”工作需要进一步整改. 18．在锐角中，分别为内角的对边，已知， (1)求的大小； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理化角为边，再利用余弦定理即可得解； （2）利用正弦定理化边为角，再根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为， 由余弦定理得， 整理得， 所以， 又，所以； （2）由正弦定理得 ， 因为，所以， 所以，所以， 而， 所以，则， 所以. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 19．如图，三棱柱中，在底面内的射影为的外心，且，，三棱柱的侧面积为. (1)求证：； (2)求三棱柱的体积； (3)分别求二面角和二面角的大小. 【答案】(1)证明见详解. (2) (3). 【分析】（1）连接并延长交于，由在底面内的射影为的外心得平面，，再通过证明平面即可； （2）由（1）可知，证明，，根据侧面积为得，再由余弦定理计算底面外接圆半径即可； （3）取中点，连接,证明为等边三角形，即二面角即为,同理可得二面角为. 【详解】（1）连接并延长交于.如图①所示， 因为在底面内的射影为的外心， 且，即为等腰三角形， 所以平面，,为的中点， 因为平面， 所以， 因为平面，且， 所以平面, 因为， 所以. （2）由题意可知，，， 在三棱柱中，,，， 所以四边形与四边形全等， 所以，， 设， 因为三棱柱的侧面积为，     所以，解得. 即， 在中，由余弦定理得， 所以, 由正弦定理得，即， 所以三棱柱的高， 所以三棱柱的体积为. （3）取中点，连接,如图②所示， 由（2）可知，，， 所以均为等边三角形， 所以，, 即， 所以为等边三角形， 所以二面角即为, 延长至点，过作，延长至，使得，连接,即四边形为矩形，， 因为, 所以,即， 故为等边三角形, 所以二面角为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了线面垂直、棱柱的体积及二面角，解题的关键在于通过侧面积求侧棱的长度，由正弦定理求三角形外接圆半径以及作二面角. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$