5.3.2正方形的性质 课件 2024-2025学年浙教版数学八年级下册

浙教版数学 八年级下 5.3.2正方形的性质 【复习】 正方形的定义和判定 三个角是直角 有一个角是90° (或对角线相等) 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 四条边相等 正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，也是特殊的平行四边形. 有一个角是90° (或对角线相等) 菱形 矩形 有一组邻边相等 (或对角线互相垂直) 一组邻边相等且一个内角为直角 (或对角线互相垂直且相等) 两组对边平行 或对角线互相平分 y 平行四边形 正方形 四边形 类型 边 角 对角线 对称性 平行四边形 对边平行 且相等 对角相等 邻角互补 对角线互相平分 中心对称图形 矩形 四个角都 是直角 对角线相等 轴对称图形 中心对称图形 菱形 四条边都 相等 (1)对角线互相垂直 (2)每条对角线平分 一组对角 轴对称图形 中心对称图形 正方形 四条边 都相等 四个角都 是直角 对角线相等，并且 互相垂直平分，每 条对角线平分一组 对角。 轴对称图形 中心对称图形 正方形的性质=菱形的性质+矩形的性质. 【几何语言】 ∵四边形ABCD 是正方形. ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA ,AC=BD,AC⊥BD,∠ABD=∠CBD.. 【思 考】正方形中存在几个等腰直角三角形? 【正方形的性质】 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 解：在正方形ABCD中， ∴AE=√BE²-AB²=6 ∴DE=8-6=2 ∴CE=√ CD²+DE² =2√ 17 解：在正方形ABCD中， ∠A=∠D=90° AB=AD=CD=8 例1 如图，在正方形ABCD中，延长BC 至E, 使 CE=CA. 求∠CAE的度数. 如图，正方形ABCD的边长为8,E为边AD上一点，若BE=10, 求CE的长. C 也可以由正方 形的轴对称性 直接得到 5° 证明：连结CG. 在 △AGD 和 △CGD 中 ， ∠ADG=∠CDG,AD=CD,DG=DG, ∴△AGD≌△CGD, ∴AG=CG. 又∵ GE⊥CD,GF⊥BC, ∴∠GFC=∠GEC=90°=∠BCD, ∴四边形FCEG是矩形， ∴EF=GC, ∴AG=EF. 方法二： 在正方形ABCD中 ， 由正方形的轴对称性 可得AG=CG, 方法三： 延长FG交AD于点H, 然后 DE=GE=GH=DH=FC, 再由AD-DH=DC-DE , 得 到AH=CE, 接着证明 △AGH≌△EFC 即可. 你还有其他 方法吗? 【例2】已知：如图，在正方形ABCD中 ，G是对角线BD上的一点， GE⊥CD,GF⊥BC,E,F 分别为垂足，连结AG,EF. 求证：AG=EF. A A B 【练习】 如图，正方形ABCD的边长是4, BE=CE,DF=3CF. 求∠AEF 的度数. 【练习】已知：如图，点E是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB的延长线上一点，且DE=BF. 求证：(1)EA=AF; (2)EA⊥AF. 【拓展】如图，在正方形ABCD 中 ，E 为 CD 上 一 点，F 为 BC 延长线 上一点，且 CE=CF.BE 与 DF 之间有怎样的关系?请说明理由. 证明：在正方形ABCD中. AB=BC,∠ABC=∠C=90° ∵AE⊥BF, ∴∠1+∠2=90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3 ∴△ABE≌△BCF, ∴AE=BF. 【拓展】如图，在正方形ABCD中 ，E 、F 分别是BC 、CD上的点，AE⊥BF. 求证：AE=BF 证明：过G作GH⊥BC, 垂足为H 在正方形ABCD中. GH=AB=BC,∠GHC=∠ABC=∠C=90° ∵AE⊥BF, ∴∠1+∠2=90° ∴∠3+∠2=90° ∴∠1=∠3 ∴△GHE≌△BCF, ∴ GE=BF. 【变式】在正方形ABCD中 ，E 、F 、G 分别是BC 、CD 、DA上的点， GE⊥BF 。求证：GE=BF H 你还有其他方 法吗? 【变式】在正方形ABCD中 ，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CD 、DA 、AB上 的点，G E⊥HF 。 求证：GE=BF 正方形中的“十字架”模型 位置关系：垂直 数量关系：相等 正方形中的“十字架”模型 位置关系：垂直 数量关系：相等 法 一 ：分别将PQ、MN 平移至AF、DE 位 置 ( 作 平 行 线 ) 证 明AF=DE 即 可 . AB 于 点F, 易 证 △PEQ≌△NFM. A P F M BL E Q 比 M B C 法二：过点P 作PE⊥BC, 过 点N 作 NF⊥AB 交 有MN=PQ. A P F Q 一 般 地 ， 在 正 方 形ABCD 中 ， 若MN⊥PQ, 则 必 A E M BL D N C D N C D N P 证明：在正方形ABCD中. AB=BC,∠ABC=∠C=90° ∵AE=BF, ∴△ABE≌△BCF, (HL) ∴∠1=∠3 ∵∠3+∠2=90° ∴∠1+∠2=90° ∴AE⊥BF. 【变式】如图，在正方形ABCD 中 ，E、F 分别是BC、CD 上的点， AE=BF 。求证：AE⊥BF. $$