安徽省皖江名校2024-2025学年高一下学期5月月考数学试卷（A）

姓名 座位号 (在此卷上答题无效) 高一数学A (试卷满分：150分考试用时：120分钟) 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0,5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知复数z满足(1-i)z=(1+i)2,其中i为虚数单位，则z的虚部为 A.0 B.i C.-1 D.-i 2.设a,b为非零向量，若引Aa+b|=a+Ab|,则“Ial=Ib1”的充分不必要条件是 A.入=1或0 B.入=-1或0 C.入≠±1 D.A=2或0 3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,6c,a=2,b=万，B=牙，则△ABC的解有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 4.正四棱台的上、下底面棱长分别是1和5，且棱台的侧棱长为5，则该圆台的体积是 学 B号 而 5.在空间几何中下列说法正确的是 A.过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B.过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 C.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行 D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 6.在△ABC中，AB=3,AC=2,点0是△ABC外心，点M是BC的中点，则AM·A0为 A.4 B c 7.在正三棱柱ABC-A,B,C,中，AA,=√5，AB=1,M是BB,中点，N是CC,的中点，则异面直线A,N与AM 所成角的余弦值为 A号 B.I 3 高一数学试题A 第1页（共4页） 8已知将函数y=s血x+e心ox向右平移”个长度单位，再将振幅箱小到原来的倍，得函数代x,又知 2 函数f代x)与g(x)=-0s(ox+)的图象连续相邻的三个交点为A,B,C,若B.B元=0，则0的值是 6 5 A. 2 2 m D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知复数x1,2,其共轭复数分别是z1,z2,下列说法正确的有 A.1z1221=lz11la2 B.若al=6,则=+(a>0)是实数 21 C.12=1312,则2=1 D.子=22的充分不必要条件是，是实数 10.已知某校数学兴趣小组想测量河对岸山的高度AB,先在河岸边定好一条基 线CD=s,在点C测得山顶A的仰角为a,在点D测得山顶A的仰角为B测 得∠BCD=Y,∠BDC=8.在D点后移至E点，测得仰角为0，DE=a,则山高AB 的高度为 A B 1 2cos(y+8) 1 2sin(y+6)】 tan'a tan'B tanatanB tan'a tan'B tanatanB C.atandtanB D asinesinB tanB-tan0 sin(B-0) 11.在如图所示的圆柱中，AD和BC是上下底的直径，侧棱AB=BC,E是BC的中 点，M是AC的中点，BH⊥AE于H,下列说法正确的有 D A.三棱锥A-BCE的各面都是直角三角形 M B.二面角B-AC-E的平面角为∠BMH C.直线BC与面ABE的夹角为∠CBH H D.点B到面ACE的距离等于BH的长 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知向量a=(1,2),b=(-1,1),则a在b上的投影向量为 13.复数名，=-1+i,2=2-i,1z-z1-221=4,则1z的取值范围为 14已知三棱锥0-ABC中0A=0B=0C=3,AB=2,∠ACB的平分线交AB于M点，若 =2,则△ABC面 MB 积最大时，三棱锥外接球的表面积为 高一数学试题A 第2页（共4页）】 四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分) 已知0A=(-2,-m+1),02=(2m-1,1),0元=(1，-1). (1)若A店⊥AC,求m: (2)若A,B,C三点共线，求m. 16.（15分) 已知i为虚数单位，1,2是x2+mx+n=0(m,n∈R,△=m2-4n<0)的两个根。 (1)设1，西满足方程+(1-i)2=9+61,求n元； (2)设z,=1+2i,复数z1,2所对的向量分别是a与b,若向量ta-b与a+2b的夹角为钝角，求实数t 的取值范围。 17.(15分)】 在△ABC中，A正=c,AC=b,点M、N分别是AB、AC上的点，且满足AM=Ac,A=ub,CM与BN的交 点为P ()若A=写=子求耐， (②)若△ABC为正三角形，且A=号 3,求亦.C 高一数学试题A第3页（共4页） 18.(17分) 如图，已知四棱锥A-BCDE中，底面BCDE是直角梯形，侧面ABC是正三角 形，BE∥CD,BE⊥面ABC,CD=2EB,F是AC的中点. (1)求证：BF∥面ADE; B (2若△MBC的边长为1，店求二面角B-DB-A的余弦值 19.(17分) 请从：①2a-e62+a2-c2 ec2ta2-6i②e-bcs4= 32bsin4;③2si4.c +1 sinC BA.BC 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答 (如未作出选择，则按照选择①评分) 在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，若 (1)求角B的大小： (2)若角B的平分线BD长为1，且ac=4,求△ABC外接圆的面积； (3)若D是AC边上的一点，且AD:DC=1:2,BD=√3，当a+3c取最大值时，求△ABC的面积 高一数学试题A第4页（共4页） 高一数学A参考答案 命题人： 题号 3 5 6 8 10 11 答案■ C D C B B B A ABD ACD ABD 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.【解析】由题意，1-z=1+y,可得z=+=2 1- 1- .=i1+i)=-1+i→云=-1-i所以的元虚部为-1. 2.【解析】当入a+=a+A时，Aa+2Ad6+=+2a6+A→(a2-1)(-剂=0，所以 “=的充分不必要条件是D. 3.【解析】因，为a=2,b=5,B=年所以asinB=2×号=反<3<2，所以有两解 4.【解析】正四棱台的上，下底面棱长分别是1和5，且棱台的母线长为5，则上底面积S上=1，下底面积S下=25，棱 台的高h=-(受2-号=T所以V=吉S+vSS+9)=卧m 5.【解析】A选项：根据空间两条直线的垂直关系有相交垂直和异面垂直两种情况，故当已知点在已知直线上时， 可作无数条直线与已知直线垂直故A选项错误.B选项：无论已知点在已知直线上还是已知直线外，假设过 一点能作出两个平面与已知直线垂直，则这两个平面平行，显然与两平面经过一个点相互矛盾，故过一点有且 只有一个平面与已知直线垂直，故B正确.C选项：已知点在已知直线外时，可作出无数个平面与已知直线平 行，故C选项错误，D选项：当已知点在已知直线上时，不能作出与已知直线平行的直线；当已知点在已知直线外 时，可以作一条与已知直线平行的直线，故D选项错误 6.【解析】因为点M是BC的中点所以Ad=)(A店+AC),则Ai·Ad=号AB·AO+ 号4C.40=}(a证+4=3 4 7.【解析】因为ABC-ABC是正三棱柱，且AA1=√3，AB=1.取AA中点为E,联B,C, 则EC/A,N,EB∥AM,则异面直线AN与AM所成角，即∠BEC.则EB,= V受+1P==BC,BC=V3+P=2.曲余弦定理知：c0∠BBC 2 吸+5CBC_青十子一-兰。一上因线线夹角是锐角所以取号 2EB·DC 2 7 8.【解析】由已知条件知y=sin o+COS=2sin(ox+T)向左 平移无得y=V2inaz,再将振缩小号，得f)=sino江 2 又因为g)=-cos(wx+石)=cod(m-wr-石） 6 -sin()()=c06() 6 =sn受-5g+w）)=sin(or-于》 所以函数fx)和g(x)的周期T=2π，在同一直角坐标系中函数y=fx,y=g(x)的图像如图所示.因为A、 B、C为连续三交点，（不妨设B在x轴下方），D为AC的中点，由对称性知，△ABC是以AC为底边的等腰三 角形，所以2AD=AC=T=2石，由sin=sin(ur-号)展开整理得：si血wx=-3cos0x,又inox+ cos@E=1,所以sin o=±，设点A、B的纵坐标分别为A,则A=-g=,即BD=2l=及 2 2 数学参考答案第1页（共5页） 由BA·BG=0,则∠BAC+∠BCA>号=号，又∠BAC=∠BCA,所以当且仅当年<∠BAC<号=年， 此时tan∠BAC==50>1=1,解得a=w>5 AD 3 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选 对的得6分，部分选对的得部分分) 9,【解析】对于A项，由于z=,=,所以A正确对于B项，设=x+y(x,y∈R,则2=x+i+ a 十二x十平+y-小又因=√a,则工+=a则a=2红，所以B正确对于C项，因为 =云=2，若名=0，不成立，故C错对于D项，设1=x+y(x,y∈R),则云1=x-i.因为号=牙所以 x2+2xyi-y=x2-2xy-,即xn=0,所以xy=0.所以y=0时，2号=故D正确. 10【解折】设AB=么因为ma=合得cB=a:因为mB=品得DB=B在△BCD中由余 tan a 弦定理知：co行一y-6)三-cosy+Eama+ag- h= 2h2 1 2c0sy+8】 tan a tan B tan'a tan?B tan Btan B 又因为an0=花证得BB=a。 h h tan 0 BE-DB-a-tan 0 tanβ' 解得h= a asin 0sin B 1 tan tanB sin(B-8) 11.【解析】因为是圆柱，BC直径，故A正确.因为AB=BC,M是AC的中点，所以BML AC.又因为AH⊥AE 于H,而BC是直径，则BE⊥CE,又因为AB⊥面BEC,所以AB⊥EC,所以CE⊥面ABE,则CE⊥BH, 所以BH⊥面AEC.则BH⊥AC,所以AC⊥面BHM,则二面角B-AC-E的平面角为∠BMH.则B、D 正确，C错. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 2【答案】（号）【解析】因为a在6上的授影尚量为ao0会-位心=(》 13.【答案】[3,5]【解析】设之=x+yi(x,y∈).由z--2l=4知：x-1+=4,则有(x-1)+y=16, 则设x-1=4cos0,y=4sin0.z=(1+4cos0)}+16sin20=1+8cos0+16=17+8cos0, 所以3≤z≤5. 14.【答案】器：【解析】：（仿法-）因为∠ACB的平分线交AB于M点器=2所以瓷=能=2 设BC=m,则AC=2m.由三角形的三边关系可知2m二m<2解得三<m<2.由余弦定理可知， 3 ox/ACB=-4C8CA=n4=身-品所以mAcB=-(得- 2AC·BC 4m2 4m2 =V-四-)=V-驷-)<3√ 2 2 31 当且仅当-1=9-实即m=2时等号皮立因为2∈（号2头，所以当m=2时.△4BC的 3 面积取得最大值，此时m∠ACB=1-(侵-)=√1-（任-易了=号设△ABC的外接圆半径为，则 由正弦定理可知，， 2月CB=2=呈，解得r=号设外接球的半径为R三棱锥的高为H,△ABC的外接圆 AB 数学参考答案第2页（共5页） 的圆心为O,三棱锥的外接球的球心为O.由OA=OB=OC=3,AB=2可知，三棱锥O一ABC的外接球心 在三棱锥的内部，则H=O0,+R因为H=3-7=√9-（号=号，00，=π-下=√R-(?所 以导压-√r-(停+解得=器所以S=4mR=4m×器-器=。 22456 (方法二)设以AB所直线为x轴，其中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(-1,0),B(1,0)设C(x,).因为 ∠AC8的平分线交AB手M点，=2所以能=二=2= BC ,即得点C的轨迹方程为 √(x-1+7 (红-号+)2=（号.AABC面积最大，即C点到x轴距离最远，故此时点C为（停，号），所以AC= Vg++侍=，c=√停-+（传=2 3 L.由余弦定理可知，cos∠ACB= 4C+BC-AB-(9'+(29-4 2AC.BC 2.45.25 所以sin/ACB=V-(告=多，下同法一 5 3 四、解答题（本大题共5小题，共77分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.【解析】(1)）4店=O元-OA=(2m+1,m:4C=O0-O=(3,m-2…2分 若AB⊥AC.则ABA=0=3(m+1)+(m+2)m,所以m=-3,m2=-1.…7分 若A、B、C共线则=公AC(ue,则2=严2即m-3m-1=010分 3 所以.m=多±B 2 4…13分 2 16.【解析】(1)由名、是x2+mx+n=0(m,n∈R,△=m2-4n<0)的两个根 不妨设乙1=a十bi(a,b∈)，则z=a一bi,… …2分 因为名1、满足方程1+(1-i)为=9+6i,则a+bi+(1-i)(a-bi)=9+6i 可得2a一b一ai=9十6i,… …5分 所以0”保得{侣-有所以=-6-2=-6+2如 所以21十2=-m=-12,之2=n=(-6)+212=477.则n量=477.7分 (2)设名=1十2i,则为=1一2i,44…8分 因为复数1、名2所对的向量分别是d与6，所以立=(1,2)，6=(1，一2)，…10分 可得ta-6=t1,2)-(1,-2)=(t-1,2t+2),a+26=(1,2)+2(1,-2)=(3,-2),…11分 若向量td-6与d+26的夹角为饨角.则 a--a+20<0.且a-a+20 ≠-1， a-a+2 a-a+2 即3t-3-t-4<0.且3t-3-=t-4≠-1， √13√5+6t+5 √13√5tP+6t+5 解得t>-7,t≠-号实数t的取值范围是(-7.一号)U(仁号+四).… …15分 1.【解析】()由B、P、N三点共线和A=子=}：知：护=m店+0-m)示=m+l”方 4 由C、P、M三点共线知：AP=nAC+(1-n)A=n6+1,在…4分 3 m=l-n 由平面向量基本定理知： nn=A-是6+…7分 (2)由B、P、N三点共线和，A=号A=子知：=mA丽+1-m=m+号严6 3 数学参考答案第3页（共5页）】 由C、P、M三点共线知：A正=n4C+1-n)A=n6+21-: 3 44…9分 m=20- 由平面向量基本定理知： 3n=→Ap=号6+1分 3 则币=A-AC=c-96 …12分 又因为△ABC是正三角形，所以AP.C示=0. …15分 18.【解析】(1)取AD的中点G,联接GE,FG.… …1分 因为FG是中点，所以FG∥CD,且FG=号CD. …2分 2 又因为BE∥CD,CD=2EB, 所以平行公理四知FG∥BE,且FG=BE.所以FGEB是平行四边形.…4分 所以BF∥GE,所以BF∥面ADE.…5分 (2)因为BE∥CD,BE⊥面ABC,所以面ABC⊥面BCDE.取CB的中点H,连结AH. 又因为正△ADC的边长为1.且V-ae=9,CD=2BB设EB=a 所以V-=8=}号(BB+CD-BCAH=号a+2)受所以a=1.…7分 4-32 2 D (方法一)因为AH⊥面BCDE,所以AH⊥DE,又因为HK⊥DE于K, 所以∠AKH为二面角B-DE-A的平面角为自.……I0分 又因为SHE 号K,DE=是所以K=2 41 则AK=受+2于=0=张= AK …17分 5 (方法二)因为取CB的中点为H,取二面角B-AE-D的平面角为B. 因为面ABC⊥面BCDE,△ABC为正三角形. 所以A点在面BCDE上投影为H.过H作HK⊥DE于K,联AK. 因为CD⊥AC,EB⊥AB,所以AD=√CD+AC=√5， AE=√AB+BE2=√2，DE=V12+1Ψ=V2.… …10分 由余弦定理知：co∠ABD=2+号5=-}：则∠ABD=√-（←=亚 4 Sm=}区im∠ABD=Sae=SE-Se-Sm=是 4 所以cosB=SADE= …17分 SAADE 5 数学参考答案第4页（共5页) 19.【解析】（①）若选①，因为2a-c=+a2-c2 2abcosCbcosC c2+a2-b2 2accosB ccosB' 所以2 acosB-ccosB=bcosC 由正弦定理得2 sinAcosB=--sinCcosB+sinBcosC=in(B+C)=sinA,则cosB= 因为B∈(0，π)，所以B=T 3 4…4s分 若选②， c-bcosA=bsinA.sinC=sin BcosA sin BsinA=sin(B+A)=sin BcosA+cosBsinA. 3 3 则5 -sin BsinA=cosBsinA.所以tanB=√3.因为B∈(O,m),所以B=石 .…4分 3 3 CA.CB=abcosC= 若选③，由 BCBA=accosB=a+g-足' 2 得2sin4= CA·C丽 +1→2a=+a2-c +1=2a2 sinC BA·BG a2+c2-b2 a2+c2-b2 则ac=a2+c2-识，所以cosB=,解得B= .4分 3 (2)因为角B的平分线为BD,由等面积法 号×a×BD×sin30r+号×c×1BDi×sin30r=号×axc×sin6c 2 即子a+}c=gac即a+e=viac=45. 4 …6分 b2=a2+c2-2accosB=(a+c)-3ac=36,.............. …8分 所以6=6所以2R=品=是=4W5,即R=25, 故△ABC外接圆的面积S=T化=12T,… …10分 设AD=x,由ADDC=1:2,可知AC=3x. 根据余弦定理：cosB=+Y=cos号=号ac=a2+仁-9r0 2ac 又因为BD=√3.所以cos∠BDA+cos∠BDC=r+3-C+4r+3-a=0. 2V3x 4√3x 化得6江2十9=a2十2C2②.…14分 联立①2，消去x整理得(a+cP+3c2=27.即a+cy+ 令 [腊=cos0 则 fa=cos 0-3sin 0(). 号=sin0 Ic=3sin 0 所以a+3c=35cos0+6sin0=3w7(Tcas0+2y7sn0）=w7sin(0+. 其中血0=2y,cos=写，当0+=号时，a+3e取最大值 …16分 7 7 此时由(0知a=c=T则此时△ABC的面积为号·(in号=2 …17分 7 3 281 数学参考答案第5页（共5页）