新知预览2 空间向量的数量积运算-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（人教A版）

三0022. 高一数类恐) 新知预览2 A.O-A,A+AO-A,A+(AB+AD)-c++26. 知识梳理 1.受2.,b B品=AD-AB=b-a. (2)a(a·b)b·a a·b+a·c(3)a·b=0|al lalcos(a,a) 0-0心+元=2店+aò+2d-2a+名b 典例探究 2c, [例1[解])序.B=子励BA=B励·B函 A0.Bi-(+2a+2）b-a)=e…b-ca ·c0s(Bi,Bi)=号X1X1·0s60= +a60+--8-)-b 2 所以E成.Bi=, P-a)=0. (2)E求.Bd=号Bd.BD=号1B成·1Bd1·cos 于是A,O⊥BD,即A,O⊥BD. 同理可证A,0⊥OG,即A,0⊥OG. Bi,Bi》=×1X1·cos0= 又，OG∩BD=(O,(OGC平面GBD,BDC平面GBD, 所以E成.前=号： ∴A,O⊥平面GBD. [例3][解]不妨设正方体的棱长为1，则BC·A心 (3)萨.DC=B成.DC=合B励1.D·os(B成. (BC+CC)·(AB+BC)=(AD+AA)·(AB+AD) D0=号×1X1·c0s120=- AD·AB+AD+AA,·AB+AA,·AD=0+AD+0 +0=AD=1, 所以成，心=- 又：1BC|=2,AC=2. (4B.C正=(BD+BA)·2Ci+Ci) .cos(BCAC)= BC.AC 1 IBC IACI2 =[BD(-BO)+Bi(-BC)+成.Ci+Bi· :(BC,AC)∈[0]， CA] BCAd=音 =[-Bi.B心-B·成+(Ci-C商Ci+Ai. 即BC与AC夹角的大小为答 A蓟 变式训练 -×(++）-8 3.Doi.BC=Oi.(O元-Oi)=Oi.元-O.Oi 变式训练 =OA|OC1cos∠AOC-|OAIIOB|cos∠AOB= 1.解：如图所示，设AB=a,AD=b, 号10i·1d-专1ai11o成-0，所以oi1所以 AA=c, cos(OA.BC)=0.] 则|a=|c=2,b=4, a·b=b·c=c·a=0. [例4][解]设AB=a,AC=b,AA=c 由题意，知a=|b=cl=2, (1)BC.ED.=BC.(EA,+A,D.) 且(a,b)=60°，(a,c)=(b,c)=90, =b:[2e-a)+b]=b==16, 因为E亦-EA+AA,+A, (2)BF·AB,=(BA,+A,F)·(AB+AA) =-名A成+A+号Ad =(e-a+2b）·(a+c) =-2a+2b+e, =cl2-1a2=22-2=0. 所以E萨？=E示 [例2][证明]由底面ABCD为平行四边形，∠DAB= 60°，AB=2AD,知DA⊥BD,则BD·DA=0, =a+8+d+ 由PD⊥底面ABCD,知PD⊥BD, zac）=×2+×2 喇BD.PD=0. 又PA=PD+DA. +2+2×(-)）X2×2os60 所以PA.BD=(PD+DA)·B=Pi.B励+DA.BD =1+1+4-1=5, =0, 所以|EF=5,即EF=√5. 即PA⊥BD. 变式训练 变式训练 4.解：CA⊥AB,BD⊥AB, 2.证明：设A1B=a,AD,=b,A,A=c, CA.BD)=120. a·b=0,b·c=0,a·c=0,la=1bl=e. :CD=CA+AB+BD,且CA·AB=0.BD.AB=0. 69 婆快系假翻 c90M= ∴CD-C市.Ci=(Ci+AB+BD)·(C+AB+ 7.ACD[由AB⊥平面BB,CC,得AB⊥BC,∴.四边形 BD)=ICA+AB*+BD*+2CA.BD+2CA. ABCD,的面积为AB·BC|,故A正确：，△ACD AB+2AB.BD=ICA+AB +BD+ 是等边三角形，，∠ADC=60°， 又：AB∥D,C,∴异面直线AD,与AB所成的角为 21CA1BD1cos(CA,BD)=6+4'+82+2×6×8× 60°，但是向量AD,与A,B的失角为120°，故B错误：由向 （)）=68. 量加法的运算法则可以得到AA十A,D,+AB,=AC, .CD1=2√17，故CD的长为2√7 AC=3A,Bi.(AA,+A,D+A B ):=3A B. 检测评价 C正确：易得A,B-A,D=D,B,,:在正方体ABCD L.A[因为a·a=|a2,所以√a·a=|a,故①正确：m ABCD1中，DB⊥平面AA,CC,.DB⊥A,C, (a)·b=(ma)·b=ma·b=(mA)a·b,故②正确：a AC.DB=0,故D正确.] ·(b十c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a.故③ 8.解析：因为点E,F分别是AB,AD的中点， 正确ab=a'b.ba=ba,故④不一定正确.] 所以EF∥BD,所以EF,CB的夹角为120°， 2.A[:A.BC=号(A店+O(D心-D成)=（成 所以萨.i=乎×dcos120=-d. -Di+D元-Di·(D元-Di)=之(D-2Di+DC) 答案：- .(D元-D=D成.D元-Di-Di.D元+Di 9.解析：ab=(e十e)·(e-2e2)=e-e1·e-2e=1 -1X1x号-2=- ·D成+D心-心.D成. la=√a=√(e+e)r=√e+2e,·e+e 由题意知DB.DC=0.DA.DC=0.DA.DB=0,1DB =+1+I=, =|DC1,AE.BC=0.] |b|=√6=√(e-2e,)F=√e-4e,·e+4e= 3.D[如图，设正方体的棱长为1， √1-2+4=5. 则AB=√2，BD'=√2， D 3 A'B·BD=(A'A+AB)· C .cos(a.b)-a a·b 2 (BC+CD)=(AA+AB)· ∴.(a.b〉=120. (AD-AB)=-1, 答案：120 10.解析：易知A,O在AC上的投影向量为A0,其模为√2 ·.cos〈A'B,BD) 易知DG在平面ABCD内的投影向量为DC,其模为2. AB.B'D 一1 答案√22 AB1·B'D √22 11.证明：因为OB=OC,AB=AC,OA=OA,所以△OAC≌ △OAB,所以∠AOC=∠AOB. 又O.BC-0A.(0-Oi)=0i.0元-O.Oi (A'B,BD)=120°.] OA·OC1cos∠AOC-1OA·IOB1cos∠AOB=0, 4.C[由题意，得ab=bc=ac=a=b=d=l, 所以OA⊥BC,即OA⊥BC 所以|a-b+2e=√(a-b+2c) 12.(1)证明：设CA=a.CB=b.C=c 根据题意得a=|b=c,且a·b=b·c=c·a=0. =√a十b+4c-2a·b+4a·c-4b·c 1+1+4-2x+4x-4x i=叶c.Ai=-+2ba =5.] 5.B[由m⊥n,得m·n=0,所以(2e十3ea)·(ke:-4e) .防=(b+小(+号b) =0.所以2k-12=0.所以k=6.] =-c+2=0 6.BCD[因为PA⊥平面ABCD,且 CDC平面ABCD,所以PA⊥CD.故 :.C正LAi.即CELA'D. PA·CD=0.因为AD⊥AB,PA⊥ (2)AC己=-a+c, AD,且PA∩AB=A,所以AD⊥平 .IAC1-/Zlal,ICE 面PAB.因为PBC平面PAB.所以 AD⊥PB.故DA·PB=0.同理，PD :aC.=(-a+e)·(+2）=c= ·AB=0.因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所 /10 以PA⊥BD.所以PC·BD=(PA+AC)·BD=PA· .oCa 10 BD+AC.BD=AC·BD.因为四边形ABCD为矩形， 所以BD不一定与AC垂直，所以PC与BD的数量积不一 “并面直线CE与AC'所成角的余孩值为 定为0.故选BCD,排除A.] 10 70新知预览２　空间向量的数量积运算　　　　　　 　　★[学习目标]:１．掌握空间向量的数量积．２．了解空间向量投影的概念以及投影向量 的意义．３．能初步运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题． 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a,b,在空间任取一点 O,作OA→＝a,OB→＝b,则∠AOB 叫做向量 a,b的夹角 记法 ‹a,b› 范围 通常 规 定:０≤ ‹a,b›≤π,当 ‹a,b›＝ 　　　　时,a⊥b ２．空间向量的数量积 (１)定义:已知两个非零向量a,b,则|a||b| cos‹a,b›叫做a,b的数量积,记作　　 　　　　．即a􀅰b＝　　　　． (２)运算律 ①结合律:(λa)􀅰b＝　　　　; ②交换律:a􀅰b＝　　　　; ③分配律:a􀅰(b＋c)＝　　　　． (３)性质 向 量 数 量 积 的 性 质 垂直 若a,b是非零向量,则a⊥b⇔　　　　 共线 同向:a􀅰b＝|a|􀅰|b| 反向:a􀅰b＝－|a|􀅰|b| 模 a􀅰a＝　　　　＝|a|２ |a|＝ a􀅰a |a􀅰b|≤|a|􀅰|b| 夹 角 θ为a,b的夹角,则cosθ＝ a􀅰b |a||b| ３．投影向量 (１)向量a在向量b上的投影:先 将向量a与向量b平移到同 一平面α内,如图①,向量c 称为向量a在向量b上的投影向量． (２)向量a在直线l上的投影: 如图②,向量c称为向量a 在直线l上的投影向量． (３)向量a在平面β 上的投 影如图③,分别由向量a 的起点A 和终点B 作平 面β的垂线,垂足分别为 A′,B′,得到向量A′B′ →,则向量A′B′ →(a′) 称为向量a在平面β上的投影向量． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 典例探究———探究学习,素养形成 ◆[题型一]　空间向量的数量积运算 　如图所示,已知空 间四边形 ABCD 的每 条边和对角线长都等 于 １,点 E,F 分 别 是 AB,AD 的中点,计算: (１)EF →􀅰BA →; (２)EF →􀅰BD →; (３)EF →􀅰DC →; (４)BF →􀅰CE → ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５４ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　空间向量运算的两种方法 (１)利用定义:利用a􀅰b＝|a||b|cos ‹a,b›并结合运算律进行计算． (２)利用图形:计算两个向量的数量积, 可先将各向量移到同一顶点,利用 图形寻找夹角,再代入数量积公式 进行运算． [变式训练] １．已知长方体 ABCD－A１B１C１D１ 中,AB ＝AA１＝２,AD＝４,E 为侧面AA１B１B 的 中心,F 为A１D１ 的中点．求下列向量的 数量积． (１)BC →􀅰ED１ →;(２)BF →􀅰AB１ → ． ◆[题型二]　利用数量积证明垂直问题 　如图所示,在四棱锥 P－ABCD 中,底面 ABＧ CD 为 平 行 四 边 形, ∠DAB＝６０°,AB＝２AD,PD ⊥ 底 面 ABCD．求证:PA⊥BD． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　利用空间向量解决垂直 问题的方法 (１)证明线线垂直的关键是确定直线 的方向向量,看方向向量的数量积 是否为０来判断两直线是否垂直． (２)证明与空间向量a,b,c有关的向 量m,n垂直应先用向量a,b,c表 示向量m,n,再求解向量 m,n 的 数量积并判断是否为０． [变式训练] ２．如 图 所 示,在 正 方 体 ABCD－A１B１C１D１ 中, O为AC与BD的交点, G为CC１ 的中点,求证: A１O⊥平面GBD． ◆[题型三]　利用数量积解决空间角问题 　 如 图,在 正 方 体 ABCD － A１B１C１D１ 中,求BC１ → 与AC → 夹角的 大小． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　利用数量积求异面直线 所成角的方法步骤:①根据题设条件 在两异面直线上取两个向量;②将求 异面直线所成角转化为求向量的夹角 问题;③利用数量积求角的大小． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６４ [变式训练] ３．已知空间四边形 OABC 中,OB＝OC, ∠AOB＝∠AOC＝π３ ,则cos‹OA →,BC →›的 值为 (　　) A．１２　　B． ２ ２　　C．－ １ ２　　D．０ ◆[题型四]　利用数量积求线段长度 　如图,正三棱柱(底面是 正三角形的直三棱柱)ABC －A１B１C１ 的各棱长都为２, E,F 分别是AB,A１C１ 的中 点,求EF的长． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　求解距离问题时,先选择 以两点为端点的向量,将此向量表示为 几个向量和的形式,求出这几个已知向 量的两两之间的夹角以及它们的模,利用 公式|a|＝ a􀅰a求解即可． [变式训练] ４．如图,已知一个６０° 的二面角的棱上有 两 点 A,B,AC,BD 分别是在这两个面 内且垂直于AB 的线段．又知AB＝４,AC ＝６,BD＝８,求CD 的长． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 检测评价———诊断落实,素养达标 一、选择题 １．下列各命题中,假命题的个数为 (　　) ① a􀅰a＝|a|; ②m(λa)􀅰b＝(mλ)a􀅰b(m,λ∈R); ③a􀅰(b＋c)＝(b＋c)􀅰a; ④a２b＝b２a(a,b不共线)． A．１　　　B．２　　　C．３　　　D．４ ２．如图,在三棱锥 AＧBCD 中,DA,DB,DC 两两垂 直,且DB＝DC,E 为BC 的中点,则AE →􀅰BC → 等于 (　　) A．０ B．１ C．２ D．３ ３．在正方体 ABCD－A′B′C′D′中,‹A′B →, B′D′ →›＝ (　　) A．３０° B．６０° C．９０° D．１２０° ４．已知空间向量a,b,c两两夹角均为６０°, 其模均为１,则|a－b＋２c|等于 (　　) A．５ B．６ C．５ D．６ ５．已知a,b是异面直线,且a⊥b,e１,e２ 分别为 取自直线a,b上的单位向量,且m＝２e１＋ ３e２,n＝ke１－４e２,m⊥n,则实数k的值为 (　　) A．－６ B．６ C．３ D．－３ ６．(多选)已知四边形ABCD 为矩形,PA⊥ 平面ABCD,连接AC,BD,PB,PC,PD, 则下列各组向量中,数量积为零的是 (　　) A．PC → 与BD → B．DA → 与PB → C．PD → 与AB → D．PA → 与CD → 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７４ ７．(多选)在正方体ABCD－A１B１C１D１ 中, 下列结论正确的是 (　　) A．四边形ABC１D１ 的面积为|AB → ||BC１ → | B．AD１ → 与A１B → 的夹角为６０° C．AA１ → ＋A１D１ → ＋A１B１ → ( )２＝３A１B１ →２ D．A１C →􀅰(A１B１ → －A１D１ →)＝０ 二、填空题 ８．如图所示,空间四边形 ABCD 中每条边和对角 线长都为a,点E,F 分 别是AB,AD 的中点, 则EF →􀅰CB → ＝　　　　． ９．已知e１,e２ 是夹角为６０°的两个单位向 量,则a＝e１＋e２ 与b＝e１－２e２ 的夹角是 　　　　． １０．如图所示,在棱长 为２的正方体ABＧ CD － A１B１C１D１ 中,O 为AC 与BD 的交 点,G 为CC１ 的中 点,则A１O → 在 AC 上的投影向量的模为　　　　;DG → 在平面ABCD 内 的 投 影 向 量 的 模 为 　　　　． 三、解答题 １１．如图,在空间四边形 O－ABC 中,OB ＝ OC,AB＝AC,求证: OA⊥BC． １２．如图,在直三棱柱ABC －A′B′C′中,AC＝BC ＝AA′,∠ACB＝９０°, D,E 分别为AB,BB′ 的中点． (１)求证:CE⊥A′D; (２)求异面直线CE 与AC′所成角的余 弦值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８４