新知预览1 空间向量及其线性运算-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（人教A版）

　新知预览１　空间向量及其线性运算　　　　　　　 　　★[学习目标]:１．经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念．２．经 历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程．３．掌握空间向量的线性运算法则． 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．空间向量的有关概念 (１)定义:在空间中,把具有　　　　和　 　　　的量叫做空间向量． (２)长度:向量的　　　　叫做向量的长度 或　　　． (３)表示法 ①字母表示法:空间向量用字 母a,b,c,􀆺表示 ②有向线段表示法:向量a的 起点是A,终点是B,则向量a 也可以记作　　　　,其模记 为　　　　或　　　　． ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï (４)几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为　　的向量 ０ 单位向量 模为　　的向量 |a|＝１或 |AB→|＝１ 相反向量 与a长度　　　而方向　　　 的向量,称为a的相反向量 －a 相等向量 方向 　 　 　 且 模 　 　 　 的 向量 a＝b或 AB→＝CD→ 共线向 量或平 行向量 表示若干空间向量的有向线 段所 在 的 直 线 互 相 平 行 或 重合 a∥b或 AB→∥CD→ ２．空间向量的线性运算 名称 代数形式 几何形式 运算律 加法 OB→＝ 　　　　 ＝a＋b 减法 CA→＝ 　　　　 ＝a－b 交 换 律:a＋b ＝b＋a; 结合律:a＋(b ＋c)＝(a＋b) ＋c 名称 代数形式 几何形式 运算律 数乘 当λ＞０时, λa＝λOA→ ＝PQ→; 当λ＜０时, λa＝λOA→ ＝MN→; 当λ＝０时, λa＝０ 结合律: λ(μa)＝(λμ)a; 分配律:(λ＋μ) a＝λa＋μa,λ(a ＋b)＝λa＋λb ３．空间向量的共线与共面 (１)共线、共面向量 共线(平行)向量 共面向量 定义 如果表示若干空间向 量的有向线段所在的 直线　　　　　　,那 么这些向量叫做　　 　　或平行向量 平行于　　　　　　的 向量,叫做共面向量 充要 条件 对于空间任意两个向 量a,b(b≠０),a∥b的 充要条件是存在实数 λ,使　　　　 若两个向量a,b不共线, 则向量p 与向量a,b共 面的充要条件是存在唯 一的有序实数对(x,y), 使　　　　 (２)直线l的方向向量 如图,O 是直线l上一点, 在直线l上取非零向量a, 则对于直线l上任意一点 P,由数乘向量的 定 义 及 向 量 共 线 的 充要条件可知,存在实数λ,使得OP → ＝ λa．我们把与向量a平行的非零向量 称为直线l的　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １４ 典例探究———探究学习,素养形成 ◆[题型一]　空间向量的概念 　(１)下列关于空间向量的说法中正确 的是 (　　) A．若向量a,b平行,则a,b所在的直线 平行 B．若|a|＝|b|,则a,b的长度相等而方 向相同或相反 C．若向量AB →,CD → 满足|AB → |＞|CD → |,则 AB → ＞CD → D．相等向量其方向必相同 (２)(多选题)下列命题为真命题的是(　　) A．若空间向量a,b满足|a|＝|b|,则a＝b B．在正方体ABCD－A１B１C１D１ 中,必有 AC → ＝A１C１ → C．若空间向量m,n,p满足m＝n,n＝p, 则m＝p D．空间中任意两个单位向量必相等 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　空间向量的概念与平面向 量的概念相类似,平面向量的其他相关 概念,如向量的模、相等向量、平行向 量、相反向量、单位向量等都可以拓展 为空间向量的相关概念． [变式训练] １．如图所示,以长方体ABＧ CD－A１B１C１D１ 的八个顶 点的两点为起点和终点的 向量中, (１)试写出与AB → 相等的所 有向量; (２)试写出AA１ → 的相反向量; (３)若AB＝AD＝２,AA１＝１,求向量AC１ → 的模． ◆[题型二]　空间向量的线性运算 　如图所示,在三棱柱 ABC－A１B１C１ 中,M 是 BB１ 的中点,化简下列各 式,并在图中标出化简得 到的向量: (１)CB → ＋BA１ →; (２)AC → ＋CB → ＋１２AA１ →; (３)AA１ → －AC → －CB → ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　空间向量加法、减法运算 的两个技巧 (１)巧用相反向量:向量的三角形法则 是解决空间向量加、减法的关键, 灵活运用相反向量可使向量首尾 相接． (２)巧用平移:利用三角形法则和平行 四边形法则进行向量加、减法运算 时,务必注意和向量、差向量的方 向,必要时可采用空间向量的自由 平移获得运算结果． [注意]　(１)向量减法是加法的逆运 算,减去一个向量等于加上这个向量 的相反向量． (２)首尾相连的若干向量构成封闭图 形时,它们的和向量为零向量． [变式训练] ２．如图,在长方体ABCD －A１B１C１D１ 中,下 列 各式运算结果不为BD１ → 的是 (　　) A．A１D１ → －A１A → －AB → B．BC → ＋BB１ → －D１C１ → C．DD１ → －AB → ＋AD → D．B１D１ → －A１A → ＋DD１ → 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２４ ◆[题型三]　向量共线问题 　 如 图,四 边 形 ABCD 和ABEF 都 是平行四边形,且不 共面,M,N 分别是 AC,BF 的中点,则 CE → 与MN → 是否共线? 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　判定向量共线就是充分利 用已知条件找到实数λ,使a＝λb成立, 或充分利用空间向量的运算法则,结合具 体图形通过化简,计算得出a＝λb,从而得 到a∥b． [变式训练] ３．如 图 所 示,在 正 方 体 ABCD － A１B１C１D１ 中,点 E 在A１D１ 上, 且A１E → ＝２ED１ →,点 F 在体对角线A１C上,且 A１F → ＝２３FC → ．求证:E、 F、B 三点共线． ◆[题型四]　空间向量共面问题 　已知A,B,C三点不共线,平面ABC外 一点M 满足OM → ＝１３OA → ＋１３OB → ＋１３OC → ． (１)判 断MA →,MB →,MC → 三 个 向 量 是 否 共面; (２)判断 M 是否在平面ABC 内． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　解决向量共面的策略 (１)若已知点P在平面ABC内,则有AP → ＝xAB → ＋yAC → 或OP → ＝xOA → ＋yOB → ＋z OC →(x＋y＋z＝１)．然后利用指定向量表 示出已知向量,用待定系数法求出参数． (２)证明三个向量共面(或四点共面), 需利用共面向量定理,证明过程中要灵 活进行向量的分解与合成,将其中一个 向量用另外两个向量来表示． [变式训练] ４．已知向量e１,e２,不共线,如果AB → ＝e１＋ e２,AC → ＝２e１＋８e２,AD → ＝３e１－３e２,求证: A,B,C,D 四点共面． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 检测评价———诊断落实,素养达标 一、选择题 １．在空间四边形OABC 中,OA → ＋AB → －CB → 等于 (　　) A．OA → B．AB → C．OC → D．AC → ２．如图所示,在四棱柱的上底 面ABCD 中,AB → ＝DC →,则下 列向量相等的是 (　　) A．AD → 与CB → B．OA → 与OC → C．AC → 与DB → D．DO → 与OB → ３．下列命题中为真命题的是 (　　) A．向量AB → 与BA → 的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个 起点,则它们的终点构成一个圆 C．空间非零向量就是空间中的一条有向 线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３４ ４．如图在三棱锥AＧBCD 中, E是棱CD 的中点,且BF → ＝２３BE →,则AF → ＝ (　　) A．１２AB → ＋３４AC → －３４AD → B．AB → ＋３４AC → －３４AD → C．－５AB → ＋３AC → ＋３AD → D．１３AB → ＋１３AC → ＋１３AD → ５．已知O为空间任意一点,A,B,C,P 满足 任意三点不共线,但四点共面,且OP → ＝m OA → ＋２OB → ＋OC →,则m 的值为 (　　) A．－１ B．－２ C．－３ D．１ ６．(多选)给出下列命题,其中正确的命题为 (　　) A．若AB → ＝CD →,则必有A 与C 重合,B 与 D 重合,AB 与CD 为同一线段 B．若AD → ＝１３AC → ＋２３AB →,则可知BC → ＝３BD → C．若Q 为△ABC 的重心,则PQ → ＝１３PA → ＋１３PB → ＋１３PC → D．非零向量a,b,c满足a 与b,b与c,c 与a都是共面向量,则a,b,c必共面 ７．(多选题)在以下命题中,不正确的命题 是 (　　) A．已知A,B,C,D 是空间任意四点,则 AB → ＋BC → ＋CD → ＋DA → ＝０ B．|a|－|b|＝|a＋b|是a,b共线的充要 条件 C．若a与b共线,则表示a与b的有向线 段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A, B,C,若OP → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC →(其中 x,y,z∈R),则P,A,B,C四点共面 二、填空题 ８．设 M 是△ABC 的重心,记CA → ＝b,AB → ＝ c,则AM → ＝　　　　(用b,c表示)． ９．化简:１２ (a＋２b－３c)＋５ ２３a－ １ ２b＋ ２ ３c æ è ç ö ø ÷－ ３(a－２b＋c)＝　　　　． １０．设e１,e２ 是不共线的向量,已知AB → ＝２e１＋ ke２,CB → ＝e１＋３e２,CD → ＝２e１－e２,若A,B,D 三点共线,则实数k为　　　　． 三、解答题 １１．如 图,在 空 间 四 边 形 ABCD 中,已知点G 为 △BCD 的重心,E,F, H 分别为CD,AD,BC 的 中 点,化 简 下 列 各 式,并在图中标出化简结果． (１)AG → ＋１３BE → －１２AC →; (２)１２ (AB → ＋AC → －AD →); (３)１３AB → ＋１３AC → ＋１３AD → ． １２．如图,在平行六面体 ABCD － A１B１C１D１ 中,M 是 AD１ 的 中 点,N 是BD 的中点, 试判断MN → 与D１C → 是否共线． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４４ (２)若甲、乙两人各回答２道题,两人共答对３道题,则 甲只答对一道题、乙２道题全部答对或乙只答对一道 题、甲２道题全部答对． 甲只答对一道题、乙２道题全部答对的概率为２×１２× １－１２( )× ３ ４( ) ２ ＝９３２ , 乙只答对一道题、甲２道题全部答对的概率为２×３４× １ ４× １ ２( ) ２ ＝３３２ , 故两人共答对３道题的概率为９３２＋ ３ ３２＝ ３ ８． 所以甲、乙 两人各回答２道题,两人共答对３道题的概率为３８． 新题快递 １．D　[由题可知甲、乙投掷一次获得的筹数相应的概率如 下表所示． 筹数 ２ ４ ５ ６ １０ ０ P １３ １ ６ １ ９ １ １２ １ ３６ ５ １８ 若甲获胜,则在第三场比赛中,甲比乙至少多得三筹． 分以下四种情况:①甲得“四筹”,乙得“零筹”,此种情况 发生的概率P１＝ １ ６× ５ １８＝ ５ １０８ ; ②甲得“五筹”,乙得“零筹”或“两筹”,此种情况发生的 概率P２＝ １ ９× ５ １８＋ １ ３( )＝ １１ １６２ ; ③甲得“六筹”,乙得“零筹”或“两筹”,此种情况发生的 概率P３＝ １ １２× ５ １８＋ １ ３( )＝ １１ ２１６ ; ④甲得“十筹”,乙得“零筹”或“两筹”或“四筹”或“五筹” 或 “六 筹 ”,此 情 况 发 生 的 概 率 P４ ＝ １ ３６ × １－１３６( )＝ ３５ １２９６． 故甲获胜的概率 P＝P１＋P２＋P３＋P４＝ ５ １０８＋ １１ １６２＋ １１ ２１６＋ ３５ １２９６＝ ８３ ４３２． ] ２．ABD　[对于 AB,由相互独立的积事件的概率乘法公式 可知 AB正确:对于C,三次传输译码为１,则可能是三次 全部译为１,或者有两次译为１,则概率为 C２３β(１－β) ２＋ (１－β) ３,故 C错误;对于 D,可以采用特值法或者作差法 计算．三次传输方案译为０的概率为 C２３α(１－α)２＋(１－ α)３,单次传输译为０的概率为１－α,而 C２３α(１－α)２＋(１ －α)３－(１－α)＝(１－α)α(１－２α)＞０,所以 D正确．] 第二部分 新知预览１ 知识梳理 １．(１)大小　方向　(２)大小　模　(３)AB→　|a|　|AB→| (４)０　１　相等　相反　相同　相等　２．OA→＋AB→　OA→ －OC→ ３．(１)互相平行或重合　共线向量　同一个平面　a＝λb　 p＝xa＋yb　(２)方向向量 典例探究 [例１]　[解析]　(１)A 中,向量a,b平行,则a,b所在的 直线平行或重合;B中,|a|＝|b|只能说明a,b的长度相 等而方向不确定;C中,向量不能比较大小;相等相量是 指方向相同且模相等,故选 D． (２)A 为假命题,根据向量相等的定义知,两向量相等, 不仅模要相等,而且还要方向相同,而 A 中向量a与b 的方向不一定相同;B为真命题,AC→与A１C１→的方向相同, 模也相等,故AC→＝A１C１→;C为真命题,向量的相等满足传 递性;D为假命题,空间中任意两个单位向量的模均为 １,但方向不一定相同,故不一定相等,所以选BC． [答案]　(１)D　(２)BC 变式训练 １．解:(１)与 向 量AB→相 等 的 所 有 向 量(除 它 自 身 之 外)有 A１B１ →,DC→及D１C１→共３个． (２)向量AA１ →的相反向量为A１A→,B１B→,C１C→,D１D→． (３)|AC１ →|＝３． [例２]　[解]　(１)CB→＋BA１→＝CA１→． (２)因为 M 是BB１ 的中点,所以BM → ＝１２BB１ →． 又AA１ →＝BB１→,所 以AC→＋CB→＋ １２ AA１ →＝AB→＋BM→＝AM→． (３)AA１ → －AC→ －CB→ ＝CA１→ －CB→ ＝BA１ →． 向量CA１ →,AM→,BA１→如图所示． 变式训练 ２．解析:D　[A中,A１D１ →－A１A→－AB→＝AD１→－AB→＝BD１→; B中,BC→＋BB１→－D１C１→＝BC１→＋C１D１→＝BD１→;C中,DD１→ －AB→＋AD→＝AD→＋DD１→－AB→＝AD１→－AB→＝BD１→;D中, B１D１ →－A１A→＋DD１→＝BD→＋AA１→＋DD１→＝BD１→＋AA１→ ≠BD１ →．] [例３]　[解]　法一　∵M,N 分别是AC, BF 的 中 点,且 四 边 形 ABCD 和 ABEF 都 是 平 行 四 边形, ∴MN→＝MA→＋AF→＋FN→ ＝１２CA →＋AF→＋１２FB →． ① 又∵MN→＝MC→＋CE→＋EB→＋BN→ ＝－１２CA →＋CE→－AF→－１２FB →, ② ①＋②得２MN→＝CE→, ∴CE→∥MN→,即CE→与MN→共线． 法二　∵M,N 分别是AC,BF 的中点,且四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形, ∴MN→＝AN→－AM→＝１２(AB →＋AF→)－１２AC → ＝１２ (AB→＋AF→)－１２(AB →＋AD→) ＝１２ (AF→－AD→)＝１２(BE →－BC→)＝１２CE →． ∴MN→∥CE→,即MN→与CE→共线． 变式训练 ３．证明:设AB→＝a,AD→＝b,AA１→＝c． 因为A１E →＝２ED１→,A１F→＝２３FC →, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７６ 所以A１E →＝２３A１D１ →,A１F→＝２５A１C →, 所以A１E →＝２３AD →＝２３b, A１F →＝２５(AC →－AA１→)＝２５(AB →＋AD→－AA１→)＝２５a＋ ２ ５ b－２５c , 所 以 EF→ ＝ A１F→ － A１E→ ＝ ２５ a － ４ １５b － ２ ５ c＝ ２ ５ a－ ２ ３b－c( )． 又EB→＝EA１→＋A１A→＋AB→＝－２３b－c＋a＝a－ ２ ３b－c． 所以EF→＝２５EB →, 又因为EF→与EB→有公共点E,所以E,F,B 三点共线． [例４]　[解]　(１)∵OA→＋OB→＋OC→＝３OM→, ∴OA→－OM→＝(OM→－OB→)＋(OM→－OC→), ∴MA→＝BM→＋CM→＝－MB→－MC→, ∴向量MA→,MB→,MC→共面． (２)由(１)知向量MA→,MB→,MC→共面,而它们有共同的起 点 M,且A,B,C 三点不共线,∴M,A,B,C 共面,即 M 在平面ABC 内． 变式训练 ４．证明:易得AC→,AD→不共线．令AB→＝xAC→＋yAD→(x,y∈ R),则AB → ＝e１＋e２＝x(２e１＋８e２)＋y(３e１－３e２)＝(２x＋ ３y)e１＋(８x－３y)e２． ∵e１ 和e２ 不共线,∴ ２x＋３y＝１, ８x－３y＝１,{ 解得 x＝１５ , y＝１５． ì î í ïï ï ∴AB→＝１５AC →＋１５AD →,∴A,B,C,D 四点共面． 检测评价 １．C　[OA→＋AB→－CB→＝OA→＋AB→＋BC→＝OC→．] ２．D　[根据题意可知四边形ABCD 是平行四边形,AD→与CB→, OA→与OC→为相反向量,AC→与DB→方向不同,DO→与OB→是相等 向量．] ３．A　[对于选项B,其终点构成一个球面,对于选项 C,空 间非零向量能用空间中的一条有向线段表示,但不能说 向量就是有向线段;对于选项 D,向量a与向量b 不相 等,有可能它们的模相等,但方向不同．] ４．D　[连接AE,因为E 是棱CD 的中点,BF→＝ ２３BE →,所 以AF→＝AB→＋BF→＝AB→＋２３BE →＝AB→＋２３(AE →－AB→)＝ ２ ３AE →＋１３AB →＝１３(AC →＋AD→)＋１３AB →＝１３AB →＋１３AC → ＋１３AD →．] ５．B　[因为A,B,C,P 满足任意三点不共线,但四点共面, 所以存在x,y∈R,使得AP→＝xAB→＋yAC→, 因为AP→＝OP→－OA→,AB→＝OB→－OA→,AC→＝OC→－OA→,所以 OP→－OA→＝x(OB→－OA→)＋y(OC→－OA→),即OP→＝(１－x－ y)OA→＋xOB→＋yOC→,因为OP→＝mOA→＋２OB→＋OC→, 所以 １－x－y＝m, x＝２, y＝１, { 解得m＝－２．] ６．BC　[在平行四边形ABDC中,满足AB→＝CD→．但不满足 A 与C 重合,B 与D 重合,AB 与CD 为同一线段,A 不 正确．因为AD→＝１３AC →＋２３AB →,所以３AD→＝AC→＋２AB→, 所以２AD→－２AB→＝AC→－AD→,所以２BD→＝DC→,所以３ BD→＝BD→＋DC→,即３BD→＝BC→,B正确．若Q 为△ABC 的 重心,则QA→＋QB→＋QC→＝０．所以３PQ→＋QA→＋QB→＋QC→ ＝３PQ→,所以 ３PQ→＝PA→＋PB→＋PC→,即PQ→＝ １３PA →＋ １ ３PB →＋１３PC →,C正确．在三棱柱 ABC－A１B１C１ 中,令 AB→＝a,AC→＝b,AA１→＝c,满足a与b,b与c,c与a 都是 共面向量,但a,b,c不共面,D不正确．] ７．BCD　[AB→＋BC→＋CD→＋DA→＝AC→＋CD→＋DA→＝AD→＋ DA→＝０,A正确;若a,b同向共线,则|a|－|b|＜|a＋b|, 故B不正确;由向量平行知C不正确;D中只有x＋y＋z ＝１时,才有P,A,B,C四点共面,故 D不正确．] ８．解析:如图,AM→＝２３AD → ＝２３× １ ２ (AB→＋AC→)＝１３(c－b)． 答案:１ ３ (c－b) ９．解析:原式＝ １２＋５× ２ ３－３( )a ＋ １２×２－５× １ ２＋３×２( )b＋ －３× １ ２＋５× ２ ３－３( )c ＝５６a＋ ９ ２b－ ７ ６c． 答案:５ ６a＋ ９ ２b－ ７ ６c １０．解析:因为BD→＝CD→－CB→＝e１－４e２,AB→＝２e１＋ke２,又A, B,D三点共线,由向量共线的充要条件得１２＝ －４ k ,所以k ＝－８． 答案:－８ １１．解:(１)如图,连接EF,∵G 是△BCD 的重心,∴GE→＝１３BE →． 又１ ２CA →＝EF→,由向量加法的三角形法 则可知, AG→＋１３BE →＋１２CA →＝AG→＋GE→＋EF→＝AE→＋EF→＝AF→． 在图中标出AF→,如图所示． (２)连接AH,如图,因为 E,F,H 分别为CD,AD,BC 的中点, 所以１ ２ (AB→＋AC→－AD→)＝１２(２AH →－AD→)＝AH→－１２ AD→＝AH→－AF→＝FH→．在图中标出FH→,如图所示． (３)１３AB →＋１３AC →＋１３AD →＝AB→＋ １３(AC →－AB→)＋ １３ (AD→－AB→)＝AB→＋ １３ (BC →＋BD→)＝AB→＋ ２３BE →＝AB→ ＋BG→＝AG→．在图中标出AG→,如图所示． １２．解:由题意可知 M,N 分别是AD１,BD 的中点,四边形 ABCD 为平行四边形,连接AC,则 N 为AC 的中点, ∴MN→＝AN→－AM→＝１２AC →－１２AD１ →＝１２(AC →－AD１→) ＝１２D１C →,∴MN→与D１C→共线． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８６