假期作业11 空间直线、平面的垂直-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（人教A版）

所以１ ３ 􀅰９ ３􀅰３２h－ １ ３ 􀅰 ３􀅰１２h＝ ５２ ３⇒h＝ ４ ３ ,上底 中心到顶点 A１ 的距离为 ２ ３ ,所以所求正切值为 １ ２h ２ ３ ＝ ３ ４h＝１． ] ９．C　[取 AB 的 中 点E,连 接 CE, DE,因为△ABC 是等腰直角三角 形,且AB 为斜边,则有CE⊥AB, 又△ABD 是等边三角形,则DE⊥ AB,从而∠CED 为二面角C－AB －D 的平面角,即∠CED＝１５０°, 显然CE∩DE＝E,CE,DE⊂平面 CDE,于是AB⊥平面CDE,又AB⊂平面ABC, 因此平面CDE⊥平面ABC,显然平面CDE∩平面ABC ＝CE, 直线CD⊂平面CDE,则直线CD 在平面ABC 内的射影 为直线CE, 从而∠DCE 为直线CD 与平面ABC 所成的角,令AB＝ ２,则CE＝１,DE＝ ３,在△CDE 中,由余弦定理得: CD＝ CE２＋DE２－２CE􀅰DEcos∠CED ＝ １＋３－２×１× ３× － ３２ æ è ç ö ø ÷ ＝ ７, 由正弦定理 DE sin∠DCE＝ CD sin∠CED , 得sin∠DCE＝ ３sin１５０° ７ ＝ ３ ２ ７ , 显 然 ∠DCE 是 锐 角,cos∠DCE＝ １－sin２∠DCE＝ １－ ３ ２ ７ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ５ ２ ７ , 所以直线CD 与平面ABC 所成的角的正切值为 ３５． ] １０．D　[四棱锥的底面是边长为４ 的正方形,且 PA＝PB＝４,PC ＝PD＝２ ２,如 图,设 AB,CD 的中 点 分 别 为 E,F,则 PE⊥ AB,PF⊥CD,连 接 EF,∵EF⊥CD,PF⊥CD,EF∩ PF＝F,EF⊂平面PEF,PF⊂平面PEF,∴CD⊥平面 PEF,又CD⊂平面ABCD,∴平面PEF⊥平面ABCD, 且平面PEF∩平面ABCD＝EF．过点P 作PO⊥EF 于 点 O,则 PO⊂ 平 面 PEF,则 PO⊥ 平 面 ABCD．在 △PEF 中,由题可求得 PE＝２ ３,PF＝２,EF＝４,∴ PE２＋PF２＝EF２,∴∠EPF＝９０°,根据面积相等可得 PO􀅰EF＝PE􀅰PF,即４PO＝２ ３×２,得PO＝ ３．] １１．解:(１)因为AB＝BC＝２,所以BE⊥AC,又因为是直三 棱锥ABC－A１B１C１,不妨设AC＝２a, 因为BF⊥A１B１,所以BF⊥AB,连接AF, E,F 分别为AC 和CC１ 的中点,则 AF２＝BF２＋AB２, ⇒４a２＋１＝５＋４⇒a２＝２⇒a＝ ２, 所以BE＝ BC２－EC２＝ ２, 所以VF－EBC ＝ １ ３S△BEC 􀅰FC＝ １３ × １ ２ × ２× ２×１ ＝１３． (２)连接A１E,取BC 中点为 H,连接 EH,B１H, 因为E,H 分别为AC,BC 的中点,所 以EH∥AB, 又因为A１B１∥AB,所以A１B１∥EH, 所以A１EHB１ 共面, 易知DE⊂平面A１EHB１, 易知△FCB≌△HBB１,所以BF⊥HB１, 又因 为 BF⊥A１B１,且 A１B１ ∩HB１ ＝B１,A１B１,HB１ ⊂A１EHB１, 所以BF⊥平面A１EHB１,所以BF⊥DE． １２．解:(１)证明:因为AB∥CD,AB⊄平面CDEF,CD⊂平 面CDEF,所以AB∥平面CDEF． 又因为AB⊂平面ABFE 且平面ABFE∩平面CDEF ＝EF, 所以AB∥EF．又EF⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD, 所以EF∥平面ABCD． (２)证明:因为AB＝AD＝２,∠BAD＝ π３ ,所以△ABD 为正三角形,所以∠ABD＝∠ADB＝π３． 又AB∥CD,所以∠BDC＝π３． 又BC＝２ ３,所以在△BCD 中,由余弦定理,得BC２＝ BD２＋CD２－２BD􀅰CD􀅰cos∠BDC,即(２ ３)２＝２２＋ CD２－２CD,解得CD＝４或CD＝－２(舍去)． 因为BD２＋BC２＝２２＋(２ ３)２＝CD２＝４２,所以BD⊥ BC．又BD⊥BF,且BC∩BF＝B,BC,BF⊂平面BCF, 所以BD⊥平面BCF． 又FG⊂平面BCF,所以BD⊥FG． 因为AD＝AE＝２,∠DAE＝ π３ ,所 以△ADE 为 正 三 角形, 所以EO⊥AD． 由梯形的中位线可得OG＝AB＋CD２ ＝３＝EF ,且OG∥ AB∥CD,所以OG∥EF,所以四边形OEFG 为平行四 边形, 所以FG∥EO,所以BD⊥EO． 又BD∩AD＝D,BD,AD⊂平面ABCD,所以EO⊥平 面ABCD． 又EO⊂平面EOGF,所以平面EOGF⊥平面ABCD． (３)如图,过点G 作直线MN∥ AD,交 AB 的 延 长 线 于 点 M, 交CD 于点N,连接FM,FN． 由(２)知AB∥OG,所以四边形 AOGM 为平行四边形, 所以AM＝OG,同理可得 DN＝OG,所以 AM＝OG＝ DN＝EF＝３． 又AB∥CD,所以AM∥DN, 所以AM∥DN∥EF, 所以 多 面 体 MNFＧADE 为 三 棱 柱,过 点 M 作 MH ⊥ AD 于点H,由(２)知EO⊥平面ABCD． 因为EO⊂平面ADE,所以平面ADE⊥平面ABCD． 因为平 面 ADE∩平 面 ABCD＝AD,MH⊂平 面 ABＧ CD,所以 MH⊥平面ADE, 所以 线 段 MH 的 长 即 三 棱 柱 MNFＧADE 的 高,在 △AMH 中,MH＝AM􀅰sin６０°＝３ ３２ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０６ 所以三棱柱 MNFＧADE 的体积为 ３４×２ ２×３ ３２ ＝ ９ ２． 因为G 为MN 的中点,所以 MG＝NG,又AM∥CD,所 以∠BMG＝∠CNG,又∠BGM＝∠CGN,所以△BMG ≌△CNG,所以三棱锥FＧBMG 与FＧCNG 的体积相等, 所以该五面体的体积为９ ２． 新题快递 １．CD　[如图所示,α为墙面,l为 道路,n为秋千绳,m为秋千板, 由题意,在荡秋千的过程中,秋 千绳与墙面始终平行,但与道 路所成的角在变化,则秋千绳 与道 路 的 位 置 关 系 在 发 生 变 化,而秋千板始终与墙面垂直,故也与道路始终垂直．] ２．解析:以三棱锥A１ＧABC 为例(如图(１)),则此三棱锥的 ４个面均为直角三角形,故①错误; ∵FG∥D１D,∴过点F、D１、G 的截面为矩形FGD１D, ∵FG⊥DE,DE⊥AF,FG∩AF＝F,FG,AF⊂ 平 面 AFG,∴DE⊥平面AFG,当P 在直线FG 上运动时,AP ⊂平面AFG, ∴DE⊥AP,故②正确; 当Q 在直线BC１ 上运动时,△AD１Q 的面积为定值(如 图(２)),C到平面AD１Q 的距离为定值,∴AＧD１QC 的体 积是定值,故③正确; 连接D１C,则DC１⊥平面 A１BCD１,∴M 的轨迹是线段 A１D１,故④正确． 答案:②③④ 假期作业１２　随机抽样 思维整合室 １．全面调查　２．一部分个体　３．(１)放回的　概率　不放 回的 概率　(２)抽签法　随机数法　(３)总体平均值　样本平 均值 ４．(１)子总体　属于且仅属于　层　比例 技能提升台　素养提升 １．B　[在抽样过程中,个体A 每一次被抽中的概率是相等 的,因为总容量为２１,故个体A“第一次被抽到”的可能 性与“第二次被抽到”的可能性均为１ ２１． ] ２．BC ３．C　[从随机数表第２行第９列的数开始,每次从左向右 选取两个数字,去掉超过４５和重复的号码,选取的前３ 个号码依次为３２,３７,２７,故选取的第三个号码为２７．] ４．解析:平均每条鲢鱼的质量为 ２０×１．６＋１０×２．２＋１０×１．８ ２０＋１０＋１０ ＝１．８ (kg)．因为鲢鱼的成 活率约为８０％, 所以成活的鲢鱼的总数约为２５００×８０％＝２０００(条), 所以鱼塘中鲢鱼的总质量约为２０００×１．８＝３６００(kg)． 答案:３６００ ５．C 　 [依 题 意,被 抽 检 的 小 卷 纱 线 有 ２０ ０００× ２４０ ２０００＋８０００＋２００００＝１６０ (卷)．] ６．A　[利用分层抽样,每个学生被抽到的概率是相同的, 故所求的概率为 ９００ ２０００＋３０００＋４０００＝ １ １０． ] ７．解析:从甲班抽取的５名学生的总时间为６＋６．５＋７＋ ７．５＋８＝３５(h),从乙班抽取的７名学生的总时间为６＋ ７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＝６３(h),从丙班抽取的８名学生 的总时间为３＋４．５＋６＋７．５＋９＋１０．５＋１２＋１３．５＝６６ (h),则３５＋６３＋６６５＋７＋８ ＝ １６４ ２０＝８．２ ,即这个学校高一年级学 生一周的平均锻炼时间约为８．２h． 答案:８．２ ８．解析:根据题意可知,样本中参与跑步的人数为２００×３５ ＝１２０,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人 数为１２０× ３２＋３＋５＝３６． 答案:１２０　３６ ９．ACD　[A项明显正确．计算样本中５名男生成绩的平 均数􀭺x男 ＝１５× (８６＋９４＋８８＋９２＋９０)＝９０;５名女生成 绩的平均数􀭺x女 ＝１５× (８８＋９３＋９３＋８８＋９３)＝９１．可 见样本中５名男生成绩的平均数小于５名女生成绩的平 均数,据此估计该班男生成绩的平均数小于该班女生成 绩的平均数,C正确,B错误．可以计算１０个样本的平均 数,据此估计总体的平均数,故 D正确．] １０．C　[高 一、高 二、高 三 年 级 参 赛 选 手 的 人 数 分 别 为 １ ２００,９００,９００, 现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本, 则样本中高 一、高 二、高 三 年 级 参 赛 选 手 的 人 数 比 为 ４∶３∶３, ∵高一、高二年级参赛选手成绩的样本平均数分别为 ８５,９０,全校参赛选手成绩的样本平均数为８８, 设高三年级参赛选手成绩的样本平均数为a, 则４k×８５＋３k×９０＋３k×a ４k＋３k＋３k ＝８８ , 解得a＝９０． ∴高三年级参赛选手成绩的样本平均数为９０．] １１．解:(１)因为身体状况会因年龄而有差异,所以要抽取 ４０人调查身体状况,应采用按年龄用比例分配的分层 随机抽样方法．从老年人中抽取４０× ２００２０００＝４ (人),从 中年人中抽取４０× ６００２０００＝１２ (人),从青年人中抽取４０ ×１２００２０００＝２４ (人)． (２)要开一个２５人的座谈会来讨论单位发展与薪资调 整方面的规划,应采用按部门用比例分配的分层随机 抽样方法． 从管理部抽取２５× １６０２０００＝２ (人),从技术开发部抽取 ２５× ３２０２０００＝４ (人),从营销部抽取２５× ４８０２０００＝６ (人), 从生产部抽取２５×１０４０２０００＝１３ (人)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １６ 假期作业１１　空间直线、平面的垂直　　　　　　　 １．直线与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一条直线与一 个 平 面 内 的 　　　　　 都 垂直,则该直线 与此平面垂直 a,b⊂α a∩b＝O l⊥a l⊥b ü þ ý ïï ï ⇒l⊥α 性 质 定 理 垂直于同一个 平面的两条直 线　　　　 a⊥α b⊥α}⇒a∥b ２．平面与平面垂直的判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面过另一 个平面的　　　, 则这两个平面互 相垂直 l⊂β l⊥α}⇒α⊥β 性 质 定 理 两个平面互相垂 直,则一个平面内 垂 直 于 　　　　 的直线垂直于另 一个平面 α⊥β l⊂β α∩β＝a l⊥a ü þ ý ïï ï ⇒l⊥α ３．直线与平面所成的角 (１)定义:平面的一条斜线和 它在平面上的射影所成的 　　　　,叫做这条直线 和这个平面所成的角,如图,　　　　就 是斜线AP 与平面α所成的角． (２)线面角θ的范围:θ∈ ０,π２ é ë êê ù û úú． ◆[考点一]　直线与平面垂直的判定与性质 １．直线n⊥平面α,n∥l,直线m⊂α,则l、m 的位置关系是 (　　) A．相交　　　　　　B．异面 C．平行 D．垂直 ２．给出下列４个命题,其中正确的命题是 (　　) ①垂直于同一直线的两条直线平行;② 垂直于同一平面的两条直线平行;③垂 直于同一直线的两平面平行;④垂直于 同一平面的两个平面平行． A．①② B．③④ C．②③ D．①④ ３．(２０２４􀅰天津卷)若m,n为两条直线,α为一 个平面,则下列结论中正确的是 (　　) A．若m∥α,n∥α,则m⊥n B．若m∥α,n∥α,则m∥n C．若m∥α,n⊥α,则m⊥n D．若m∥α,n⊥α,则m 与n 相交 ◆[考点二]　平面与平面垂直的判定与性质 ４．若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 (　　) A．α∥γ B．α⊥γ C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能 ５．在空间四边形ABCD 中,平面ABD⊥平 面BCD,且DA⊥平面ABC,则△ABC是 (　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 ６．PA 垂直于正方形ABCD 所在平面,连接 PB,PC, PD,AC,BD,则下列垂直 关系正确的是 (　　) ①平面PAB⊥平面PAD; ②平面PAB⊥平面PBC; ③平面PAB⊥平面PCD; ④平面PAB⊥平面PAC． A．①② B．①③ C．②③ D．②④ ◆[考点三]　空间的角 ７．(多选)下列说法中正确的是 (　　) A．两个相交平面组成的图形叫做二面角 B．异面直线a,b分别和一个二面角的两 个面垂直,则a,b所成的角与这个二 面角相等或互补 C．二面角的平面角是从棱上一点出发,分 别在两个面内作射线所成角的最小角 D．二面角的大小与其平面角的顶点在棱 上的位置没有关系 ８．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABCＧ A１B１C１ 的体积为 ５２ ３ ,AB＝６,A１B１＝２,则 AA１ 与平面ABC所成角的正切值为(　　) A．１２ B．１ C．２ D．３ ９．(２０２３􀅰全国乙卷(理))已知△ABC为等腰 直角三角形,AB为斜边,△ABD 为等边三 角形,若二面角C－AB－D 为１５０°,则直线 CD与平面ABC所成角的正切值为(　　) A．１５ B． ２ ５ C． ３ ５ D． ２ ５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３２ ◆[考点四]　垂直的综合问题 １０．(２０２４􀅰北京卷) 如 图,在 四 棱 锥 PＧABCD 中,底面 ABCD 是 边 长 为 ４的正方形,PA＝PB＝４,PC＝PD＝ ２ ２,该棱锥的高为 (　　) A．１ B．２ C．２ D．３ １１．已 知 直 三 棱 柱 ABC－ A１B１C１ 中,侧面AA１B１B 为正方形,AB＝BC＝２, E,F分别为AC和CC１ 的 中点,BF⊥A１B１． (１)求三棱锥 F－EBC 的体积; (２)已知D 为棱A１B１ 上的点,证明:BF ⊥DE． １２．如图,在五面体 ABCDEF 中, AB ∥CD,BD ⊥ BF, 平 面 ABFE∩平面CDEF＝EF,AB＝AD＝ AE＝２,BC＝２ ３,EF＝３,∠BAD＝ ∠DAE＝π３． (１)证明:EF∥平面ABCD; (２)若点O,G 分别为AD,BC 的中点, 证明:平面EOGF⊥平面ABCD; (３)求该五面体的体积． １．(多选)(２０２５􀅰广西河池 八校高一月考)苏轼是北 宋著名的文学家、书法家、 画家,在诗、词、文、书、画 等方面都有很深的造诣． «蝶恋花􀅰春景»是苏轼一 首描写春景的清新婉丽之作,表达了对 春光流逝的叹息,词的下阕写道:“墙里 秋千墙外道．墙外行人,墙里佳人笑．笑 渐不闻声渐悄,多情却被无情恼．”假如 将墙看作一个平面,秋千绳、秋千板、墙 外的道路看作直线,那么道路和墙面平 行,当秋千静止时,秋千板与墙面垂直, 秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过 程中,下列说法正确的是 (　　) A．秋千绳与墙面始终垂直 B．秋千绳与道路始终垂直 C．秋千板与墙面始终垂直 D．秋千板与道路始终垂直 ２．已知正方体ABCDＧA１B１C１D１ 的棱长为 １,E,F,G分别是AB,BC,B１C１ 的中点． 下列命题正确的是　　　　　(写出所 有正确命题的编号)． ①以正方形的顶点为顶点的三棱锥的四 个面最多只有三个面是直角三角形; ②P 在直线FG 上运动时,AP⊥DE; ③Q 在直线BC１ 上运动时,三棱锥 AＧ D１QC的体积不变; ④M 是正方体的平面A１B１C１D１ 内到点 D 和C１ 距离相等的点,则M 点的轨迹是 一条线段． 青春 里,我 们 都 在 摸 索着成长,会被绊倒,会流 泪,会 茫 然,会 想 要 放 弃, 但是 我 们 都 能 坚 持 到 最 后．尽管我们一路走来跌跌撞撞,但是我们 写下了属于我们的青春励志文章,鼓励着 正在走向未来的自己,也鼓励那些在黑暗 中挣扎的青少年不要轻言放弃,辜负青春． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４２