假期作业10 空间直线、平面的平行-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（人教A版）

新题快递 １．ABD　[如 图,在 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中, 若α是平面ABCD,A１B１ 为m,AB 为n,此时m 与n平行,故 A正确; 若α是平面ABCD,A１D１ 为m,AB 为n,此时m⊥n,且m 与n异面,故 B,D正确;若m∥α,则m 与平面α 无交点,又n⊂α,则m 与n无交点,即m 不可能与n相交, 故C错误．] ２．D　[连接AD１,则AD１∥EF,连 接FD１,则平面AEF 截正方体所 得截面多边形为梯形AD１FE, ∵正 方 体 棱 长 为 ２,故 AD１ ＝ ２ ２,EF＝ ２, 又AE＝D１F＝ ２２＋１２＝ ５, ∴等腰梯形AD１FE 的高为 (５)２－ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３ ２ , ∴梯形AD１F１E 的面积为＝ ２＋２ ２ ２ × ３ ２ ＝９２． ] 假期作业１０　空间直线、 平面的平行 思维整合室 １．(１)平行　(２)相等或互补 ２．这个平面内　交线　３．相交直线　相交　交线 技能提升台　素养提升 １．A　 ２．A　[五棱台中,AB∥A１B１,∴四边形AA１B１B 是梯形, ∵AFFA１ ＝BGGB１ ,∴FG∥AB．而FG⊄平面ABCDE,AB⊂ 平面ABCDE．∴FG∥平面ABCDE．] ３．A　[对于①,若m∥n,则n∥α或n∥β,正确;对于②,若 m⊥n,当n⊂α或n⊂β时,结论不一定成立,错误;对于 ③,若n∥α且n∥β,根据线面平行的性质知,m∥n,正 确,对于④,若n与α,β所成的角相等,m 与n 不一定垂 直,错误．] ４．解析:如图,连接 AC 交BD 于 点O,连 接CN 交BM 于 点G, 连接OG． 由AN∥平面BDM,平面ANC ∩平面BDM＝OG,AN⊂平面 ANC,可 得 AN∥OG,∵OA＝ OC,∴CG＝NG,∴G 为CN 的 中点． 作 HN∥BM 交PC 于点H,∴CM＝HM． 又∵PM∶MC＝４∶１,∴PH∶HM＝３∶１, ∴PN∶NB＝PH∶HM＝３∶１． 答案:３∶１ ５．C ６．BD　[A:若α∩γ＝a,β∩γ＝b,且a∥b,则α,β可能相交、 平行,错误;B:若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a ∥β,b∥β,由面面平行的判定可得α∥β,正确;C:若a∥ α,b∥β,且a∥b,则α,β可能相交、平行,错误;D:若a⊂ α,a∥β,α∩β＝b,由线面平行的性质定理得a∥b,正确．] 图① ７．B　[对于 A 选项,若平面 ABC∥ 平面DEF,BC⊂平面 ABC,则 BC ∥平面DEF,由题图可知BC 与平 面DEF 相交,故平面ABC 与平面 DEF 不平行,A不满足题意; 对于B选项,如图①所示,连接NG, 因为A,C 分别为PN,PG 的中点, 所以AC∥NG, 在正方体EHDGＧMFNP 中,FN∥EG 且FN＝EG,故 四边形EFNG 为平行四边形,所以NG∥EF,所以AC∥ EF,因为AC⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,所以AC∥平 面DEF, 图② 同理 可 证 BC∥ 平 面 DEF,因 为 AC,BC⊂平面ABC,AC∩BC＝C, 所以 平 面 ABC∥ 平 面 DEF,B 满 足题意; 对于 C选项,如图②所示, 在正方体PHDGＧMNFE 中,若平 面ABC∥平面 DEF,且平面 DEF ∥平面 MNHP, 则平面 ABC∥平面 MNHP,但这 与平面ABC与平面MNHP 相交矛盾, 因此平面ABC与平面DEF 不平行,C不满足题意; 图③ 对于 D 选 项,在 正 方 体 PDHGＧ FNEM 中,连 接 PH,PM,MH,如 图③所示, 因为DH∥FM 且DH＝FM,所以 四边 形 DHMF 为 平 行 四 边 形,所 以DF∥MH, 因为DF⊄平面PHM,MH⊂平面 PHM,所以DF∥平面PHM, 同理可证EF∥平面PHM,因为 DF∩EF＝F,DF,EF ⊂平面DEF,所以平面DEF∥平面PHM, 若平面ABC∥平面DEF,则平面ABC∥平面PHM, 这与平面ABC 与平面PHM 相交矛盾,故平面ABC 与 平面DEF 不平行,D不满足题意．] ８．解析:由正方体是侧棱长等于底面正方形边长的正四棱 柱知:平面AA１D１D∥平面BB１C１C,平面ABCD∥平面 A１B１C１D１;∵正方体的侧棱相互平行,∴AA１∥BB１∥ CC１,∴CC１∥平面BDD１B１,AA１∥平面BDD１B１． 答案:平面BB１C１C;平面ABCD;AA１,CC１ ９．D　[如图,任取线段A１B 上一点 M,过 M 作 MH∥AA１,交 AB 于 H,过 H 作 HG∥AC交BC于G,过G作CC１ 的平行 线,与CB１ 一定有交点N,连接MN, 可证平面 MNGH∥平面ACC１A１ 所以 MN∥ 平 面 ACC１A１,则 这 样 的 MN 有无数条．] １０．解析:连接 HN,FH,FN,则FH∥DD１,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B１BDD１,只需 M∈FH,则 MN ⊂平面FHN,∴MN∥平面B１BDD１． 答案:点 M 在线段FH 上(或点 M 与点H 重合) １１．证明:(１)因 为 M,N 分 别 是CD,CB 的中点, 所以 MN∥BD．又 因 为 BB１􀱀DD１, 所以四边形BB１D１D 是平行四边形, 所以BD∥B１D１, 从而 MN∥B１D１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８５ (２)连接A１C１,交B１D１ 于点O,连接OE． 因为四边形A１B１C１D１ 为平行四边形,则O 点是A１C１ 的中点．因为E 是AA１ 的中点,所以EO 是△AA１C１ 的 中位线,所以EO∥AC１． 又AC１⊄平面EB１D１,EO⊂平面EB１D１, 所以AC１∥平面EB１D１． (３)连接GH,因为EA􀱀B１H,则四边形EAHB１ 是平 行四边形,所以 EB１∥AH．因为 AD􀱀HG,则四边形 ADGH 是平行四边形,所以DG∥AH,所以EB１∥DG． 又因为BB１􀱀DD１,所以四边形BB１D１D 是平行四边形, 所以BD∥B１D１．因为BD∩DG＝D, 所以平面EB１D１∥平面BDG． １２．证明:(１)取 B１D１ 的 中 点 O１,连 接 CO１,A１O１, ∵ABCDＧA１B１C１D１ 是四棱柱, ∴A１O１􀱀OC, ∴四边形A１OCO１ 为平行四边形, ∴A１O∥O１C． 又O１C⊂平面B１CD１,A１O⊄平面B１CD１,∴A１O∥平 面B１CD１． (２)∵BB１􀱀AA１􀱀DD１,∴四边形BB１D１D 是平行四 边形,∴BD∥B１D１． 又BD⊄平面B１CD１,B１D１⊂平面B１CD１,∴BD∥平 面B１CD１, 由(１)得A１O∥平面B１CD１ 且BD∩A１O＝O,BD,A１O ⊂平面A１BD, ∴平面A１BD∥平面B１CD１． (３)由(２)得平面A１BD∥平面B１CD１, 又平面A１BD∩平面ABCD＝BD,平面B１CD１∩平面 ABCD＝l,∴BD∥l． 新题快递 １．解析:(１)由平面与平面平行的判定可知,若平面α内有 两条相交直线分别平行于平面β,则α∥β,故(１)错误; (２)由平面与平面平行的定义可知,若平面α内任意一条 直线与平面β平行,则α∥β,故(２)正确; (３)当平面外的一条直线与平面相交时,过已知平面外一条 直线,不能作出一个平面与已知平面平行,故(３)错误; (４)不重合的平面α,β,γ,若α∥γ,β∥γ,由平面与平面平 行的传递性可得α∥β,故(４)正确． 答案:(２)(４) ２．(１)证明:如图,连接 NT,MT,AD１, 因为侧 面 ADD１A１ 为 正 方 形,M 为 A１D 的 中 点,所 以 M 为 AD１ 的 中 点．因为 N,T 分别是 线 段CD１,CD 的中点,所以 MN∥AC,NT∥DD１． 因为AC⊂平面A１ACC１,MN⊄平面 A１ACC１,所以 MN∥平面A１ACC１． 因为DD１∥AA１,所以 NT∥AA１． 因 为 NT ∥AA１,AA１ ⊂ 平 面 A１ACC１,NT ⊄ 平 面 A１ACC１,所以 NT∥平面A１ACC１． 因为 NT∩MN＝N,NT,MN⊂ 平 面 MNT,所 以 平 面 MNT∥平面A１ACC１． (２)解:如图,过点 M 作AD 的垂线, 垂足为 P,过点 N 作DC 的垂线,垂 足为Q,连接PQ,由正方体的性质可 知 MP∥AA１,NQ∥DD１,AA１ ∥ DD１,则 MP∥NQ,则 MP,NQ 可确 定平面MNQP． 因为 MP ∥AA１,AA１ ⊂ 平 面 A１ACC１,MP ⊄ 平 面 A１ACC１,所以 MP∥平面A１ACC１． 又 MN∥平面A１ACC１,MP∩MN＝M,MP,MN⊂平面 MNQP,所以平面 MNQP∥平面A１ACC１, 因为平面MNQP∩平面ABCD＝PQ,平面A１ACC１∩平 面ABCD＝AC,所以PQ∥AC． 设PD＝x,０＜x＜２,则QD＝x,MP＝x,又正方体的棱 长为２,则 NQ＝QC＝２－x． 在四边形 MNQP 中,MP∥NQ,MP⊥PQ,PQ＝ ２x,则 MN２＝(NQ－MP)２＋PQ２＝６x２－８x＋４＝６ x－２３( ) ２ ＋４３ , 则当x＝２３ 时,线段 MN 长度的最小值为２ ３３ ． 假期作业１１　空间直线、 平面的垂直 思维整合室 １．两条相交直线　平行　２．垂线　交线　３．(１)锐角　∠PAO 技能提升台　素养提升 １．D　 ２．C　[对于①,垂直于同一直线的两条直线平行、相交或 异面,故①错误;对于②,垂直于同一平面的两条直线平 行,故②正确;对 于③,垂 直 于 同 一 直 线 的 两 个 平 面 平 行,故③正确;对于④,垂直于同一平面的两个平面平行 或相交,故④错误．] ３．C　[对于 A,B,若m∥α,n∥α,则m 与n 可能平行、相交 或异面,故 A,B错误;对于 C,D,若 m∥α,n⊥α,则 m⊥ n,且m 与n 可能相交,也可能异面,故 C正确,D错误．] ４．D ５．A　[过点A 作AH⊥BD 于点H(图略),由平面ABD⊥ 平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC．又DA⊥平 面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面 ABD,所以BC ⊥AB,即△ABC为直角三角形．] ６．A　[∵PA⊥ 平 面 ABCD,BC⊂ 平 面 ABCD,∴PA⊥ BC．又正 方 形 ABCD 中,BC⊥AB,PA∩AB＝A,PA, AB⊂ 平 面 PAB,∴BC⊥ 平 面 PAB,BC⊂ 平 面 PBC, ∴平面PAB⊥平面PBC,②正确; 同理AD⊥平面PAB,AD⊂平面PAD,∴平面PAD⊥ 平面PAB,①正确; 设平面 PAB∩ 平 面 PCD＝l,∵AB∥CD,AB⊂ 平 面 PAB,CD⊄平面PAB,∴CD∥平面PAB,∴CD∥l．∵ CD⊥平面PAD,∴l⊥平面PAD,P 为垂足,∴∠APD 为二面角AＧlＧD 的平面角,若平面PAB⊥平面PCD,则 AP⊥PD,在Rt△PAD中 不 可 能 存 在 AP⊥PD,③ 错 误．;∵AB⊥PA,AC⊥PA,∴∠BAC 为二面角B－PA －C的平面角,若平面PAB⊥平面PAC,则AB⊥AC,在 Rt△ABC中不可能存在AB⊥AC,④错误．] ７．BD　[对于 A,显然混淆了平面与半平面的概念,故 A错 误;对于B,因为a,b分别垂直于二面角的两个面,所以也垂 直于二面角的棱,但由于异面直线所成的角为锐角或直角, 所以与这个二面角相等或互补,故B正确;对于C,因为所作 射线不一定垂直于棱,故C错误;由定义知D正确．] ８．B　[设棱台高为h,且三条侧棱延长后交于一点O,则由 已知得AB＝３A１B１, 则O 到上底的距离为 １２h ,O 到 下 底 的 距 离 为 ３２h ,又 SABC＝９ ３,SA１B１C１＝ ３, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９５ 　假期作业１０　空间直线、平面的平行　　　　　　 １．(１)基本事实４:平行于同一条直线的两 条直线互相　　　　． (２)等角定理:空间中如果两个角的两边分别 对应平行,那么这两个角　　　　　． ２．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 平面外一条直线 与　　　　　的 一条直线平行,则 该直线与此平面 平行(线线平行⇒ 线面平行) 因为l∥ a,a⊂α,l ⊄α,所以 l∥α 性 质 定 理 一条直线与一个 平面平行,则过这 条直线的任一平 面 与 此 平 面 的 　　　　 与 该 直 线 平 行 (简 记 为 “线面平行⇒线线 平行”) 因为l∥ α,l⊂β,α ∩β＝b, 所以l∥b ３．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面内的两 条　　　　　　 与另一个平面平 行,则这两个平面 平行(简记为“线 面平行⇒面面平 行”) 因为a∥β,b ∥β, a∩b＝P, a⊂α,b⊂α, 所以α∥β 性 质 定 理 如果两个平行平 面同时和第三个 平面　　　　,那 么它们的　　　 平行 因为α∥β,α ∩γ＝a, β∩γ＝b, 所以a∥b ◆[考点一]　直线与平面平行的判定与 性质 １．设AB,BC,CD 是不在同一平面内的三 条线段,则经过它们的中点的平面和直 线AC的位置关系是 (　　) A．平行　　　　　　B．相交 C．平行或相交 D．AC在此平面内 ２．在五棱台ABCDEＧA１B１C１D１E１ 中,F,G 分别是AA１ 和 BB１ 上的点,且 AF FA１ ＝ BG GB１ ,则 FG 与平面ABCDE 的位置关 系是 (　　) A．平行 B．相交 C．FG⊂平面ABCDE D．无法判断 ３．(２０２４􀅰全国甲卷(理))设α,β为两个平 面,m,n为两条直线,且α∩β＝m．下述四 个命题: ①若m∥n,则n∥α或n∥β;②若m⊥n, 则n⊥α或n⊥β;③若n∥α且n∥β,则m ∥n;④若n与α,β所成的角相等,则m⊥ n．其中所有真命题的编号是 (　　) A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ ４．如图,四棱锥PＧABＧ CD 的 底 面 ABCD 是平行四边形,M,N 分别为线段PC,PB 上一点,若PM∶MC ＝４∶１,且 AN∥平面 BDM,则 PN∶ NB＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０２ ◆[考点二]　平面与平面平行的判定与 性质 ５．平面α内有不共线的三点到平面β的距 离相等且不为零,则α与β的位置关系为 (　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．可能重合 ６．(多选)已知a,b表示两条直线,α,β,γ表 示三个不重合的平面,给出下列命题,正 确的是 (　　) A．若α∩γ＝a,β∩γ＝b,且a∥b,则α∥β B．若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥ α,a∥β,b∥β,则α∥β C．若a∥α,b∥β,且a∥b,则α∥β D．若a⊂α,a∥β,α∩β＝b,则a∥b ７．(２０２５􀅰浙江温州高一月考)下列四个正 方体中,A,B,C分别为其所在棱的中点, D,E,F为正方体的三个顶点,则能得出 平面ABC∥平面DEF的是 (　　) ８．如图,在正方体ABCD ＧA１B１C１D１ 中,与平面 AA１D１D 平 行 的 平 面 是　　　　　;与平面 A１B１C１D１ 平行的平面 是　　　　　,与平面BDD１B１ 平行的 棱有　　　　　． ◆[考点三]　平行的综合问题 ９．如图,在棱长均为１的正 三 棱 柱 ABCＧA１B１C１ 中,M,N 分 别 为 线 段 A１B,B１C 上的动点,且 MN∥平面 ACC１A１,则 这样的 MN 有 (　　) A．１条 B．２条 C．３条 D．无数条 １０．(答案不唯一型)如图所 示,在正四棱柱ABCDＧ A１B１C１D１ 中,E,F,G,H 分 别 是 棱 CC１,C１D１, D１D,DC 的中点,N 是 BC 的中点,点M 在四边 形EFGH 及其内部运动,则 M 只需满 足条件　　　　　时,就有 MN∥平面 B１BDD１．(注:请填上你认为正确的一个 条件即可,不必考虑全部可能情况) １１．如 图,在 平 行 六 面 体 ABCDＧA１B１C１D１ 中, E,M,N,G,H 分别是 AA１,CD,CB,CC１, BB１ 的中点,求证: (１)MN∥B１D１; (２)AC１∥平面EB１D１; (３)平面EB１D１∥平面BDG． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １２ １２．由 四 棱 柱 ABCDＧ A１B１C１D１ 截 去 三 棱 锥 C１ＧB１CD１ 后 得到的几何体如图 所示,四边形ABCD 为平行四边形,O为AC 与BD 的交点． (１)求证:A１O∥平面B１CD１; (２)求证:平面A１BD∥平面B１CD１; (３)设平面B１CD１ 与底面ABCD 的交 线为l,求证:BD∥l． １．给出下列命题: (１)若平面α内有两条直线分别平行于平 面β,则α∥β; (２)若平面α内任意一条直线与平面β平 行,则α∥β; (３)过已知平面外一条直线,必能作出一 个平面与已知平面平行; (４)不重合的平面α,β,γ,若α∥γ,β∥γ, 则有α∥β． 其中正确的命题是　　　　．(填写序号) ２．在 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中,面对角 线A１D,CD１ 上各有一 个动点 M,N(不包含 端点),使得直线 MN ∥平面A１ACC１． (１)当 M,N 为对角线A１D,CD１ 的中 点,T 为CD 的中点时,证明:平面MNT ∥平面A１ACC１; (２)当正方体的棱长为２时,求线段 MN 长度的最小值． １．不要向这个世界 认输,因为你还有牛逼 的梦想! ２．即使梦想不能实 现,我 们 也 不 会 放 弃 努力! ３．所有的伤害只会让我变强,用更强 大的自己守护我的梦想! ４．我若不努力,那谁来替我完成梦想! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２２