假期作业9 空间点、直线、平面之间的位置关系-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（人教A版）

假期作业９　空间点、直线、平面之间的位置关系　　　　　　　　　 １．三个基本事实 [基本事实１]　如果一条直线上的　　 　　在一个平面内,那么这条直线在此 平面内． [基本事实２]　过　　　　　　　的三 点,有且只有一个平面． [基本事实３]　如果两个不重合的平面有 一个公共点,那么它们　　　　　　　过该 点的公共直线． 基本事实３的三个推论 [推论１]　经过一条直线和这条直线外 一点有且只有一个平面; [推论２]　经过两条相交直线有且只有 一个平面; [推论３]　经过两条平行直线有且只有 一个平面． ２．空间直线的位置关系 共面直线 　　　　　 　　　　{ 异面直线:不同在　　　　一个平面内 ì î í ï ï ïï ３．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直 线 与 平 面 相交 a∩α＝A 　　个 平行 a∥α 　　个 在平 面内 a⊂α 　　个 平 面 与 平 面 平行 α∥β 　　个 相交 α∩β＝l 　　个 ◆[考点一]　平面的基本性质 １．下列两个相交平面的画法中正确的是 (　　) ２．下列条件不能确定一个平面的有 (　　) A．一条直线和直线外一点 B．对边相等的四边形 C．两条相交直线 D．两条平行直线 ３．下列四个命题中的真命题是 (　　) A．如果一条直线与另两条直线都相交, 那么这三条直线必共面 B．如果三条直线两两都相交,那么它们 能确定一个平面 C．如果三条直线相互平行,那么这三条 直线在同一个平面上 D．如果一条直线与两条平行直线都相 交,那么这三条直线确定一个平面 ４．若空间４个点不共面,则到这４个点距离 都相等的平面的个数为　　　　． ◆[考点二]　空间两直线的位置关系 ５．若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b 与c (　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线 ６．(多选题)如图所示,在正方 体 ABCD􀆼A１B１C１D１ 中, M,N 分别是棱C１D１,C１C 的中点,给出以下结论,其 中正确的结论为 (　　) A．直线AM 与直线C１C相交 B．直线AM 与直线BN 平行 C．直线AM 与直线DD１ 异面 D．直线BN 与直线MB１ 异面 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８１ ７．(多选)如图是一个正方体 的展开图,如果将它还原为 正方体之后,下列结论正确 的有 (　　) A．HG∥CD B．CD 与EF 异面 C．EF与AB 异面 D．GH∥AB ８．如图,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶 点或所在棱的中点,则表示直线 GH, MN 是异面直线的图形有　　　　． ◆[考点三]　异面直线所成的角 ９．在正四面体 PＧABC 中,D 为PC 的中点,则直线 PB 与AD 所成角的余弦值为 (　　) A．３３ B． ３ ２ C．３６ D． ２ ３ ３ １０．如图,M 是正方体ABＧ CD － A１B１C１D１ 的 棱 CD 的中点,则异面直线 AM 与BC１ 所成的角的 余弦值是 (　　) A．１０５ B． ２ ５ ５ C． ５ ５ D． １０ １０ １１．若正四棱锥PＧABCD 的所有棱长均相等,E 为PC 的中点,则异面 直线 BE 与AC 所成 角的余弦值为 (　　) A．２６ B． ２ ４ C． ６ ３ D． ６ ６ １２．如图,在三棱锥 P－ ABC 中,PA＝４,BC ＝６． (１)该棱锥的６条棱 中,共有多少对异面 直线? 请一一列出． (２)若PB 中点为M,AC中点为N,MN ＝４,求异面直线PA 与BC 所成角的余 弦值． １．(多选)已知m,n是两条不同的直线,α是 平面,若m∥α,n⊂α则m,n的关系可能 为 (　　) A．平行 B．垂直 C．相交 D．异面 ２．正方体ABCDＧA１B１C１D１ 的棱长为２,E, F分别是BC,CC１ 的中点,则平面AEF 截该正方体所得的截面面积为 (　　) A．９８ B． ３ ２ C． ９ ４ D． ９ ２ 踏上幽径,追逐星光 人有两条路要走,一条是必须走的,一 条是想走的,你必须把必须走的路走漂亮 才可以走想走的路,有些路,你不走下去, 就不会知道那边的风景有多美,所以内心难 过也不要把自己丢在黑暗中．按时睡觉,好好 吃饭,洗个热乎的澡,喝甜甜的奶茶．看看长河 落日,花朵树木,驱逐丧气再努力奔跑,生活到 处是发光的星星． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９１ ２．解析:因 为 ∠AOC＝ ∠BOD＝ π ３ ,所 以 ∠DOC＝π－２× π３ ＝ π ３． 设 圆 O 的 半 径 为 R,又 S扇形COD ＝ １ ２× π ３R ２＝６π,解得R ＝６(负值舍去)． 如图,过点C作CE⊥AB 交AB 于点E, 过点 D 作DF⊥AB 交AB 于 点F,则 CE＝OCsinπ３＝３ ３ ,OE＝OCcosπ３＝ ３,所以AE＝R－OE＝３,同理可得 DF ＝３ ３,OF＝BF＝３． 将扇形DOC绕直线AB 旋转一周形成的几何体为一个 半径R＝６的球中上下截去两个相同的球冠所剩余部分 再挖去两个相同的圆锥,其中球冠的高h＝３,圆锥的高 h１＝３,底面半径r＝３ ３,则其中一个球冠的表面积S１ ＝２πRh＝２π×６×３＝３６π,球的表面积S２＝４πR２＝４π× ６２＝１４４π,圆锥的侧面积S３＝３ ３×６π＝１８ ３π,所以所 求几何体的表面积S＝S２－２S１＋２S３＝１４４π－２×３６π ＋２×１８ ３π＝７２π＋３６ ３π． 答案:７２π＋３６ ３π 假期作业９　空间点、直线、平面 之间的位置关系 思维整合室 １．两点　不在一条直线上　有且只有一条 ２．平行　相交　任何　３．１　０　无数　０　无数 技能提升台　素养提升 １．D　 ２．B　[对选项 A:经过直线与直线外一点有且只有一个平 面,故 A不满足题意．对选项 B:对边相等的四边形,对 边有可能异面,不能确定一个平面,比如对边相等的空 间四边形,故 B满足题意．对选项 C:经过两条相交直线 有且只有一个平面,故 C不满足题意．对选项 D:经过两 条平行直线有且只有一个平面,故 D不满足题意．] ３．D　[对于 A、B,一条直线与另两条直线都相交或三条直 线两两都相交,比如棱柱中共点的三条棱,所在直线就 不共面,也不能确定一个平面,故 A、B错;对于 C,若三 条直线相互平行,其中两条可以确定一个平面,另一条 可以与已知平面平行,故 C错误;对于 D,一条直线与两 条平行直线都相交,这三条直线能确定一个平面．] ４．解析:当一个点在平面一侧,另三个点在平面另一侧时, 这种平面有４个;当平面两侧各有两个点时,这种平面有 ３个．故共有７个． 答案:７ ５．C　[由于a∥b,a,c异面,此时,b和c可能相交,也即共 面,如图所示b与c相交;b和c也可能异面,如图所示b′ 与c异面．综上所述,b与c不可能是平行直线．] ６．CD　[AM 与C１C 异 面,故 A 错;AM 与BN 异 面,故 B错．易知 C、D正确．] ７．AC　[根据正方体的展开图画出还原 的正方体如图所示． 可以得到 HG∥CD,CD 与EF 相交, EF 与AB 异面,GH 与AB 相交．] ８．解析:①中 HG∥MN;③中GM∥HN 且GM≠HN,所以直线 HG 与MN 必 相交． 答案:②④ ９．C　[取 BC 的 中 点 为E,连 接 DE,AE(图 略),则 DE ∥PB, 所以∠ADE 为AD 与PB 所成的角(或其补角)． 设正四面体的棱长为２a, 则DE＝a,AD＝ ３a,AE＝ ３a, 所 以 在 △ADE 中,cos∠ADE＝ (３a)２＋a２－(３a)２ ２× ３a􀅰a ＝ ３６． ] １０．A　 [连 接 AD１,D１M (图 略 )．∵AB ＝C１D１,AB ∥C１D１, ∴四边 形 ABC１D１ 为 平 行 四 边 形,则 AD１ ∥BC１,则 ∠D１AM(或其补 角)为 异 面 直 线 AM 与BC１ 所 成 的 角．设正方 体 的 棱 长 为 ２,则 AD１ ＝２ ２,AM＝D１M ＝ ５, ∴cos∠D１AM＝ (２ ２)２＋(５)２－(５)２ ２×２ ２× ５ ＝ １０５ ,即异 面直线AM 与BC１ 所成角的余弦值是 １０ ５ ． ] １１．D　[如 图,取 棱 AP 的 中 点 为 F,连 接 EF,BF．因 为 E 为PC 的中 点,所 以 EF∥AC,EF＝ １ ２AC , 所以异面直线BE 与AC 所成角 为∠BEF(或其补角)． 不妨设正四棱锥PＧABCD 的所有棱长均为２, 则BE＝BF＝ ３,EF＝１２AC＝ ２ , 所以cos∠BEF＝ １ ２EF BE ＝ ２ ２ ３ ＝ ６６． ] １２．解:(１)６条棱中,PC,AB 成异面 直线,PB,AC成异面直线,PA,BC 成异面直线,共３对．(２)如图,取 AB的中点Z,连接 MZ,NZ,因为 M 是PB中点,Z是AB中点, 所以 MZ∥PA,MZ＝１２PA＝２． 同理,NZ∥BC,NZ＝１２BC＝３． 所以 异 面 直 线 PA 与BC 所 成 角 为 ∠MZN(或 其 补 角), 在 △MZN 中,由 余 弦 定 理 可 得 cos∠MZN ＝ ２２＋３２－４２ ２×２×３ ＝－ １ ４ ,故异面直线PA 与BC 所成角的余 弦值为１ ４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７５ 新题快递 １．ABD　[如 图,在 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中, 若α是平面ABCD,A１B１ 为m,AB 为n,此时m 与n平行,故 A正确; 若α是平面ABCD,A１D１ 为m,AB 为n,此时m⊥n,且m 与n异面,故 B,D正确;若m∥α,则m 与平面α 无交点,又n⊂α,则m 与n无交点,即m 不可能与n相交, 故C错误．] ２．D　[连接AD１,则AD１∥EF,连 接FD１,则平面AEF 截正方体所 得截面多边形为梯形AD１FE, ∵正 方 体 棱 长 为 ２,故 AD１ ＝ ２ ２,EF＝ ２, 又AE＝D１F＝ ２２＋１２＝ ５, ∴等腰梯形AD１FE 的高为 (５)２－ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３ ２ , ∴梯形AD１F１E 的面积为＝ ２＋２ ２ ２ × ３ ２ ＝９２． ] 假期作业１０　空间直线、 平面的平行 思维整合室 １．(１)平行　(２)相等或互补 ２．这个平面内　交线　３．相交直线　相交　交线 技能提升台　素养提升 １．A　 ２．A　[五棱台中,AB∥A１B１,∴四边形AA１B１B 是梯形, ∵AFFA１ ＝BGGB１ ,∴FG∥AB．而FG⊄平面ABCDE,AB⊂ 平面ABCDE．∴FG∥平面ABCDE．] ３．A　[对于①,若m∥n,则n∥α或n∥β,正确;对于②,若 m⊥n,当n⊂α或n⊂β时,结论不一定成立,错误;对于 ③,若n∥α且n∥β,根据线面平行的性质知,m∥n,正 确,对于④,若n与α,β所成的角相等,m 与n 不一定垂 直,错误．] ４．解析:如图,连接 AC 交BD 于 点O,连 接CN 交BM 于 点G, 连接OG． 由AN∥平面BDM,平面ANC ∩平面BDM＝OG,AN⊂平面 ANC,可 得 AN∥OG,∵OA＝ OC,∴CG＝NG,∴G 为CN 的 中点． 作 HN∥BM 交PC 于点H,∴CM＝HM． 又∵PM∶MC＝４∶１,∴PH∶HM＝３∶１, ∴PN∶NB＝PH∶HM＝３∶１． 答案:３∶１ ５．C ６．BD　[A:若α∩γ＝a,β∩γ＝b,且a∥b,则α,β可能相交、 平行,错误;B:若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a ∥β,b∥β,由面面平行的判定可得α∥β,正确;C:若a∥ α,b∥β,且a∥b,则α,β可能相交、平行,错误;D:若a⊂ α,a∥β,α∩β＝b,由线面平行的性质定理得a∥b,正确．] 图① ７．B　[对于 A 选项,若平面 ABC∥ 平面DEF,BC⊂平面 ABC,则 BC ∥平面DEF,由题图可知BC 与平 面DEF 相交,故平面ABC 与平面 DEF 不平行,A不满足题意; 对于B选项,如图①所示,连接NG, 因为A,C 分别为PN,PG 的中点, 所以AC∥NG, 在正方体EHDGＧMFNP 中,FN∥EG 且FN＝EG,故 四边形EFNG 为平行四边形,所以NG∥EF,所以AC∥ EF,因为AC⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,所以AC∥平 面DEF, 图② 同理 可 证 BC∥ 平 面 DEF,因 为 AC,BC⊂平面ABC,AC∩BC＝C, 所以 平 面 ABC∥ 平 面 DEF,B 满 足题意; 对于 C选项,如图②所示, 在正方体PHDGＧMNFE 中,若平 面ABC∥平面 DEF,且平面 DEF ∥平面 MNHP, 则平面 ABC∥平面 MNHP,但这 与平面ABC与平面MNHP 相交矛盾, 因此平面ABC与平面DEF 不平行,C不满足题意; 图③ 对于 D 选 项,在 正 方 体 PDHGＧ FNEM 中,连 接 PH,PM,MH,如 图③所示, 因为DH∥FM 且DH＝FM,所以 四边 形 DHMF 为 平 行 四 边 形,所 以DF∥MH, 因为DF⊄平面PHM,MH⊂平面 PHM,所以DF∥平面PHM, 同理可证EF∥平面PHM,因为 DF∩EF＝F,DF,EF ⊂平面DEF,所以平面DEF∥平面PHM, 若平面ABC∥平面DEF,则平面ABC∥平面PHM, 这与平面ABC 与平面PHM 相交矛盾,故平面ABC 与 平面DEF 不平行,D不满足题意．] ８．解析:由正方体是侧棱长等于底面正方形边长的正四棱 柱知:平面AA１D１D∥平面BB１C１C,平面ABCD∥平面 A１B１C１D１;∵正方体的侧棱相互平行,∴AA１∥BB１∥ CC１,∴CC１∥平面BDD１B１,AA１∥平面BDD１B１． 答案:平面BB１C１C;平面ABCD;AA１,CC１ ９．D　[如图,任取线段A１B 上一点 M,过 M 作 MH∥AA１,交 AB 于 H,过 H 作 HG∥AC交BC于G,过G作CC１ 的平行 线,与CB１ 一定有交点N,连接MN, 可证平面 MNGH∥平面ACC１A１ 所以 MN∥ 平 面 ACC１A１,则 这 样 的 MN 有无数条．] １０．解析:连接 HN,FH,FN,则FH∥DD１,HN∥BD, 易知平面FHN∥平面B１BDD１,只需 M∈FH,则 MN ⊂平面FHN,∴MN∥平面B１BDD１． 答案:点 M 在线段FH 上(或点 M 与点H 重合) １１．证明:(１)因 为 M,N 分 别 是CD,CB 的中点, 所以 MN∥BD．又 因 为 BB１􀱀DD１, 所以四边形BB１D１D 是平行四边形, 所以BD∥B１D１, 从而 MN∥B１D１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８５