假期作业7 基本立体图形及立体图的直观图-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（人教A版）

２．解:(１)在△DOE 中,由余弦定理得: ED２＝OD２＋OE２－２OD􀅰OE􀅰cos∠EOD＝４＋１－２× ２×cosθ＝５－４cosθ, 在△COE 中,由余弦定理得: EC２＝OC２＋OE２－２􀅰OC􀅰OE􀅰cos∠EOC＝ ４＋１－２×２×cos(π－θ)＝５＋４cosθ, 所以EC＋ED＝ ５＋４cosθ＋ ５－４cosθ＝f(θ),θ∈ [０,π], ∴将 管 道 总 长 (即 线 段 EC＋ED)表 示 为 变 量θ 的 函 数为: f(θ)＝ ５＋４cosθ＋ ５－４cosθ,θ∈[０,π], (２)由(１)可得: [f(θ)]２＝( ５＋４cosθ＋ ５－４cosθ)２ ＝ １０ ＋ ２ ５＋４cosθ 􀅰 ５－４cosθ ＝ １０ ＋ ２ ２５－１６cos２θ, 因为,θ∈[０,π],所以０≤cos２θ≤１, [f(θ)]２＝１０＋２ ２５－１６cos２θ≤１０＋２ ２５＝２０(百 米) 当且仅当cos２θ＝０,即θ＝π２ 时取等号, 因为f(θ)＝ ５＋４cosθ＋ ５－４cosθ＞０,∴f(θ)＝ ２０＝２ ５(百米)． ∴管道总长的最大值为２ ５百米． 假期作业６　复数 思维整合室 １．(１)a　b　(２)＝　≠　＝　≠　(３)a＝c且b＝d (４)a＝c且b＝－d　(５)|z|　|a＋bi|　３．(１)(a＋c)＋(b＋ d)i (a－c)＋(b－d)i　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　ac＋bd c２＋d２ ＋ bc－ad c２＋d２ i　(２)z２＋z１　z１＋(z２＋z３) 技能提升台　素养提升 １．C　[|z|＝ (－１)２＋(－１)２＝ ２．] ２．C　[由题意:|２－４i|＝ ２２＋(－４)２＝２ ５．] ３．BD　[∵z＝ ２１－i＝ ２(１＋i) (１－i)(１＋i)＝１＋i , ∴|z|＝ ２,z２＝２i,z的共轭复数为１－i,z的虚部为１． 故 A,C错,B,D正确．] ４．A　[由题知(１＋３i)(３－i)＝３－i＋９i－３i２＝６＋８i,所以 该复数在复平面内对应的点为(６,８),位于第一象限．] ５．D　[由题意(x＋yi)＋２＝(x＋２)＋yi＝(３－４i)＋２yi＝ ３＋(２y－４)i,所以 x＋２＝３ y＝２y－４{ ,解得x＝１,y＝４,所以x＋y＝ ５．] ６．BCD　[若z１＞z２,则z１,z２ 为实数,当z１＝１,z２＝－２ 时,满足z１＞z２,但|z１|＜|z２|,故C项不正确;因为两个 虚数之间只有等与不等,不能比较大小,所以 D 项不正 确;当两个复数不相等时,它们的模有可能相等,比如１－i ≠１＋i,但|１－i|＝|１＋i|,所以 B项不正确;因为当两个 复数相等时,模一定相等,所以 A项正确．] ７．C　[由 题 知z＝(１＋i)(z－１),z＝１＋ii ＝１－i． 故 选 择:C．] ８．A　[因为z＝５＋i,所以􀭵z＝５－i,故i(􀭵z＋z)＝１０i．] ９．C　[zi＝－１－i ,则z＝i(－１－i)＝－i－i２＝１－i．] １０．解析:(５＋i)􀅰(５－２i)＝５＋ ５i－２ ５i＋２＝７－ ５i． 答案:７－ ５i １１．解:设z＝a＋bi(a,b∈R),由|z|＝１＋３i－z, 得 a２＋b２－１－３i＋a＋bi＝０, 则 a ２＋b２＋a－１＝０, b－３＝０,{ 所以 a＝－４, b＝３,{ 所以z＝－４＋３i． 则 (１＋i)２(３＋４i)２ ２z ＝ ２i(３＋４i)２ ２(－４＋３i) ＝２ (－４＋３i)(３＋４i) ２(－４＋３i) ＝３＋４i． １２．解:(１)设z＝a＋bi(a,b∈R), 由已知条件得:a２＋b２＝２,z２＝a２－b２＋２abi,所以２ab＝２． 所以a＝b＝１或a＝b＝－１,即z＝１＋i或z＝－１－i． (２)当z＝１＋i时,z２＝(１＋i)２＝２i,z－z２＝１－i,所以 点A(１,１),B(０,２),C(１,－１), 所以S△ABC＝ １ ２AC×１＝ １ ２×２×１＝１ ; 当z＝－１－i时,z２＝(－１－i)２＝２i,z－z２＝－１－３i． 所以点A(－１,－１),B(０,２),C(－１,－３),所以S△ABC ＝１２|AC|×１＝ １ ２×２×１＝１． 即△ABC的面积为１． 新题快递 １．AC　[z＝r(cosθ＋isinθ),则z２＝r２(cos２θ＋isin２θ),则 |z２|＝|r２(cos２θ＋isin２θ)|＝r２,|z|２＝|r(cosθ＋isinθ)|２ ＝r２,所 以 A 正 确;当 r ＝ １,θ ＝ π３ 时,z３ ＝ cosπ３＋isin π ３( ) ３ ＝cosπ＋isinπ＝－１,所以 B错误; 当r＝１,θ＝π３ 时,z＝cosπ３＋isin π ３＝ １ ２＋ ３ ２i ,则􀭵z＝ １ ２－ ３ ２i ,所以 C正确;当r＝１,θ＝ π４ 时,zn＝cosnπ４＋ isinnπ４ , 当n为偶数时,设n＝２k,k∈Z, 则zn＝coskπ２＋isin kπ ２ ,k∈Z, 所以当k为奇数时,zn 为纯虚数,当k为偶数时,zn 为实 数,所以 D错误．] ２．AC　[对于 A,当b２－４ac＝０时,x１＝x２＝－ b ２a∈R ,故 正 确;对 于 B,当 b２ － ４ac ＜ ０ 时,则 x１ ＝ －b－i －b２＋４ac ２a ,x２＝ －b＋i －b２＋４ac ２a ,则x１∉R, x２∉R,且􀭵x１≠􀭵x２,故错误;对于C,由一元二次方程根与系 数的关系可得x１＋x２＝－ b a ,x１x２＝ c a ,故正确;对于 D, (x１－x２)２＝ b２－４ac a２ ,故错误．] 假期作业７　基本立体图形及 立体图的直观图 思维整合室 １．互相平行　公共顶点　平行于 ２．(２)４５°(或１３５°)　变为原来的一半 技能提升台　素养提升 １．B　２．C ３．BCD　[当任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆, 故A错;B正确;C正确;根据球的半径的定义可知D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４５ ４．A　[由题意,圆柱的侧面展开图是矩形,如图 所示,AC即为葛藤的最短长度,一条直角边长 (即圆木的高)为３×１０＋５＝３５(尺),另一条直 角 边 长 为 ３×４＝１２(尺 ),故 葛 藤 长 为 ３５２＋１２２＝３７(尺)．] ５．ABD　[由直观图的画法规则,可知 A,B,D正 确,C中∠x′O′y′可以是４５°或１３５°,故 C错误．] ６．D　[根据斜二测画法的原则可知OC ＝２,OA＝１, 所以对应直观图的面积为S＝２×１２× OA×OC×sin４５°＝２×１２×１×２× ２ ２ ＝ ２．] ７．C　[由题知∠D′O′A′＝４５°,O′ C′＝C′D′＝１,所以O′D′＝ ２, 故在原图形中,OD＝２ ２,CD＝ C′D′＝１,OC＝ OD２＋CD２ ＝ ８＋１＝３,OA＝O′A′＝３,所以 四边 形 OABC 为 菱 形 (如 图 所 示),则原图形面积S＝OA􀅰OD＝６ ２．] ８．解析:在 直 观 图 中,四 边 形 为 O′A′B′C′菱 形 且 边 长 为 ２cm, ∴由斜二测法的规则得:在xOy坐标系中,四边形ABＧ CO 是矩形, 其中OA＝２cm,OC＝４cm, ∴四边形ABCO 的周长为:２×(２＋４)＝１２(cm), 面积为S＝２×４＝８(cm２)． 答案:１２　８ ９．A　[可以将该半正多面体分为三 层,上层８个面,中层８个面,下层 ８个面,上下底各１个面,所以共有 ８＋８＋８＋１＋１＝２６个面． 设半正多面体的棱长为a,作出该 几何体的截面如图,截面图为正八 边形, 由图可得CD＝１－a２ ,CE＝a, 因为△CDE 为等腰直角三角形,所以CE＝ ２CD,即a＝ ２×１－a２ , 解得a＝ １ ２＋１ ＝ ２－１,所以该半正多面体的棱长为 ２ －１．] １０．解析:圆锥底面半径为１cm,母线长为２cm,则它的侧 面展开图扇形的圆心角所对的弧长为２π×１＝２π(cm); 所以扇形的圆心角为θ＝２π２＝π． 答案:π １１．解:圆台的轴截面题图所示,设圆台 上、下 底 面 半 径 分 别 为 xcm,３x cm,延 长 AA１ 交 OO１ 的 延 长 线 于 S,在 Rt△SOA 中,∠ASO＝４５°,则 ∠SAO＝４５°, 所以SO＝AO＝３x,SO１＝A１O１＝x,所以OO１＝２x． 又S轴截面 ＝１２ (６x＋２x)􀅰２x＝３９２,所以x＝７． 所以圆台 的 高 OO１ ＝１４ (cm),母 线 长l＝ ２OO１ ＝ １４ ２(cm), 两底面半径分别为７cm,２１cm． １２．解:把长方体的部分面展开,如图所示． 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC１ 的长分 别为 ９０、 ７４、 ８０,由此可见乙是最短线路,所以甲 壳虫可以先在长方形ABB１A１ 内由 A 到E,再在长方 形BCC１B１ 内由E 到C１,也可以先在长方形 AA１D１D 内由A 到F,再在长方形 DCC１D１ 内由F 到C１,其最 短路程为 ７４． 新题快递 １．CD　 [如 图 ①,作 BE⊥CD 交CD 于E,易 得 CE＝ CD－AB ２ ＝２ (cm),则BE＝O１O２＝ ４２－２２＝２ ３(cm), 则该圆台的高为２ ３cm,A 错误;圆台的轴截面面积为 １ ２× (４＋８)×２ ３＝１２ ３(cm２),B错误,C正确;将圆 台的一半侧面展开,如图②,设P 为AD 的中点,由圆台 补成圆 锥,圆 台 对 应 的 圆 锥 的 一 半 侧 面 展 开 为 扇 形 COD,可得大圆锥的母线长为８cm,底面半径为４cm, 圆锥侧面展开图的圆心角为θ＝２π×４８ ＝π ,连接CP,可 得∠COP＝π２ ,OC＝８cm,OP＝４＋２＝６(cm),则CP＝ ６２＋８２＝１０(cm),所以沿着该圆台侧面从点C 到AD 的中点的最短路程为１０cm,故 D正确．] ２．解析:不妨设原棱锥为四棱锥, 设棱台的高为h,截得棱台的原棱 锥的高为h１, 如图所示,即 MN＝h,PN＝h１ 因为四边形ABCD 与四边形EFＧ GH 相似, 且上下底面面积分别为４和９,故 EM AN＝ ２ ３ , 由△PEM∽△PAN, 故PM PN＝ EM AN＝ ２ ３ ,MN PN ＝ h h１ ＝１－２３＝ １ ３ , 这个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的比为１ ３． 答案:１ ３ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５５ 假期作业７　基本立体图形及立体图的直观图　　 　　　　　 １．空间几何体的结构特征 (１)多面体的结构特征 多面体 结构特征 棱柱 有两个面　　　　　　,其余各面都 是四边形且每相邻两个四边形的公 共边都互相平行 棱锥 有一个面是多边形,而其余各面都 是有一个　　　　　的三角形 棱台 棱锥被　　　　底面的平面所截, 截面和底面之间的部分叫做棱台 (２)旋转体的形成 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 矩形一边所在的直线或 对边中点连线所在直线 圆锥 直角三角形或 等腰三角形 一直角边所在的直线 或等腰三角形底边上 的高所在直线 圆台 直角梯形或 等腰梯形 直角腰所在的直线或 等腰梯形上下底中点 连线所在直线 球 半圆或圆 直径所在的直线 ２．直观图 (１)画法:常用斜二测画法． (２)规则:①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂 直,直观图中,x′轴,y′轴的夹角为　　　 　　,z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图 中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的 线段在直观图中保持原长度不变,平行于 y轴的线段长度在直观图中　　　　　． ◆[考点一]　空间几何体的结构特征 １．观察如图所示的四个几何体,其中判断 不正确的是 (　　) A．①是棱柱　　　　B．②不是棱锥 C．③不是棱锥 D．④是棱台 ２．下列说法中,正确的是 (　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱 的其他侧面也是矩形 C．正方体的所有棱长都相等 D．棱柱的所有棱长都相等 ３．(多选题)下列命题正确的是 (　　) A．过球面上任意两点只能作一个经过球 心的圆 B．球的任意两个经过球心的圆的交点的 连线是球的直径 C．用不过球心的截面截球,球心和截面 圆心的连线垂直于截面 D．球的半径是球面上任意一点和球心的 连线段 ４．我国古代数学名著«数书九章»中有云:“今 有木长三丈五尺,围之４尺．葛生其下,缠木 三周,上与木齐,问葛长几何?”其意思为圆 木长３丈５尺,圆周为４尺,葛藤从圆木的 底部开始向上生长,绕圆木三周,刚好顶部 与圆木平齐,问葛藤最少长(注:１丈约等于 １０尺) (　　) A．３７尺 B．３９尺 C．４１尺 D．４３尺 ◆[考点二]　空间几何体的直观图 ５．(多选)下列关于直观图的斜二测画法的 说法,正确的是 (　　) A．原图形中平行于x 轴的线段,其对应 线段平行于x′轴,长度不变 B．原图形中平行于y 轴的线段,其对应 线段平行于y′轴,长度变为原来的１２ C．画与直角坐标系xOy 对应的x′O′y′ 时,∠x′O′y′必须是４５° D．在画直观图时,由于选的轴不同,所得 直观图可能不同 ６．用斜二测画法作一个边长为２的正方 形,则其直观图的面积为 (　　) A．２４ B．２ C．４ D．２ ７．如图所示,矩形O′A′B′C′ 是水平放置的一个平面 图形的直观图,其中O′ A′＝３,O′C′＝１,则原图 形是 (　　) A．面积为６ ２的矩形 B．面积为３ ２４ 的矩形 C．面积为６ ２的菱形 D．面积为３ ２４ 的菱形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４１ ８．在直观图(如图)中,四边 形为O′A′B′C′菱形且边 长为２cm,则在xOy坐 标系中,四边形 ABCO 周长为　　　　　cm, 面积为　　　　　cm２． ◆[考点三]　几何体的有关计算 ９．中国有悠久的金石文化,印信是金石文 化的代表之一．印信的形状多为长方体、 正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员 独孤信的印信形状是“半正多面体”(图 ①)．半正多面体是由两种或两种以上的 正多边形围成的多面体．半正多面体体 现了数学的对称美．图②是一个棱数为 ４８的半正多面体,它的所有顶点都在同 一个正方体的表面上,且此正方体的棱 长为１,则该半正多面体共有面的个数及 棱长分别为 (　　) A．２６,２－１ B．２４,２－ ２ C．２６,２－ ２ D．２４,２－１ １０．圆锥底面半径为１cm,母线长为２cm,则 其侧面展开图扇形的圆心角θ＝　　． １１．圆台的一个底面周长是另一个底面周 长的３倍,轴截面的面积等于３９２cm２, 母线与轴的夹角是４５°,求这个圆台的 高、母线长和两底面半径． １２．长方体ABCD－A１B１C１D１ (如图所示)中,AB＝３,BC ＝４,A１A＝５,现有一甲壳 虫从A 出发沿长方体表 面爬 行 到C１ 来 获 取 食 物,试画出它的最短爬行 路线,并求其路程的最小值． １．(多选)某工厂生产出 一种机械零件,如图所 示,零件的几何结构为 圆台 O１O２,在 轴 截 面 ABCD 中,AB＝AD＝BC＝４cm,CD＝ ２AB,则下列说法正确的有 (　　) A．该圆台的高为 ３cm B．该圆台轴截面面积为２４cm２ C．该圆台轴截面面积为１２ ３cm２ D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬 行到AD 的中点,所经过的最短路程 为１０cm ２．棱台的上下底面面积分别为４和９,则这 个棱台的高和截得棱台的原棱锥的高的 比是　　　　　． 某 学 生 本 科 读 的 重 大,硕士读的浙大,博士读 的北 大,毕 业 证 上 校 长 栏 统统盖的林建华的章． 找工 作 的 时 候,面 试 官:“同学,造假也要专业一 点,你就不能多刻几个章?” (林建华先后任重大、浙大、北大的校长) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５１