假期作业6 复数-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（人教A版）

　　　　　　假期作业６　复数　　　　　　　 １．复数的有关概念 (１)复数的定义 形如a＋bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中实 部是　　　,虚部是　　　　． (２)复数的分类 复数z＝a＋bi(a,b∈R) 实数(b　　０), 虚数(b　　０) 纯虚数(a　　０,b　　０), 非纯虚数(a≠０,b≠０)．{ ì î í ï ï ï ï (３)复数相等 a＋bi＝c＋di⇔　　　　　(a,b,c,d∈R)． (４)共轭复数 a＋bi与c＋di共轭⇔　　　　　(a,b, c,d∈R)． (５)复数的模 向量OZ → 的模叫做复数z＝a＋bi的模,记 作　　或　　　　,即|z|＝|a＋bi|＝r ＝ a２＋b２(r≥０,a、b∈R)． ２．复数的几何意义 (１)复数z＝a＋bi 一一对应 　 →复 平 面 内 的 点Z(a,b)(a,b∈R)． (２)复数z＝a＋bi(a,b∈R) 一一对应 　 →平面 向量OZ → ． ３．复数的运算 (１)复数的加、减、乘、除运算法则 设z１＝a＋bi,z２＝c＋di(a,b,c,d∈ R),则 ①加法:z１＋z２＝(a＋bi)＋(c＋di) ＝　　　　　　; ②减法:z１－z２＝(a＋bi)－(c＋di) ＝　　　　　　; ③乘法:z１ 􀅰z２＝(a＋bi)􀅰(c＋di) ＝　　　　　　; ④ 除 法: z１ z２ ＝a＋bic＋di＝ (a＋bi)(c－di) (c＋di)(c－di) ＝　　　　　　　　　(c＋di≠０)． (２)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z１,z２,z３∈C,有z１＋z２＝　　　, (z１＋z２)＋z３＝　　　　． ◆[考点一]　复数的概念及其几何意义 １．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷,１)已知z＝－１－i, 则|z|＝ (　　) A．０ B．１ C．２ D．２ ２．(２０２５􀅰八省联考)|２－４i|＝ (　　) A．２ B．４ C．２ ５ D．６ ３．(多选题)下面是关于复数z＝ ２１－i 的四 个命题,其中真命题为 (　　) A．|z|＝２ B．z２＝２i C．z的共轭复数为－１＋i D．z的虚部为１ ４．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)在复平面内,(１＋ ３i)(３－i)对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ５．已知i为虚数单位,x,y为实数,若(x＋ yi)＋２＝(３－４i)＋２yi,则x＋y＝(　　) A．２ B．３ C．４ D．５ ６．(多选)已知z１,z２ 为复数,则下列说法不 正确的是 (　　) A．若z１＝z２,则|z１|＝|z２| B．若z１≠z２,则|z１|≠|z２| C．若z１＞z２,则|z１|＞|z２| D．若|z１|＞|z２|,则z１＞z２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２１ ◆[考点二]　复数的代数运算 ７．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)若 zz－１＝１＋i ,则 z＝ (　　) A．－１－i B．－１＋i C．１－i D．１＋i ８．(２０２４􀅰全国甲卷(理))若z＝５＋i,则i(􀭵z＋ z)＝ (　　) A．１０i B．２i C．１０ D．２ ９．(２０２４􀅰北京卷)若复数z满足zi＝－１－ i,则z＝ (　　) A．－１－i B．－１＋i C．１－i D．１＋i １０．(２０２４􀅰天津卷)已知i是虚数单位,复 数(５＋i)􀅰(５－２i)＝　　　　． １１．已 知 复 数 满 足|z|＝１＋３i－z,求 (１＋i)２(３＋４i)２ ２z 的值． １２．已知复数z 满足|z|＝ ２,z２ 的虚部 为２． (１)求复数z; (２)设z,z２,z－z２ 在复平面内对应的点 分别为A,B,C,求△ABC的面积． １．(多选)任何一个复数z＝a＋bi(其中a,b ∈R,i为虚数单位)都可以表示成z＝r (cosθ＋isinθ)的形式,通常称之为复数z 的三角形式．法国数学家棣莫弗发现:对 于z＝r(cosθ＋isinθ),zn＝[r(cosθ＋ isinθ)]n＝rn(cosnθ＋isinnθ)(n∈N∗ ), 我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以 上信息,下列说法正确的是 (　　) A．|z２|＝|z|２ B．当r＝１,θ＝π３ 时,z３＝１ C．当r＝１,θ＝π３ 时,􀭵z＝１２－ ３ ２i D．当r＝１,θ＝π４ 时,若n为偶数,则复数 zn 为纯虚数 ２．(多选)对于实系数一元二次方程ax２＋ bx＋c＝０(a,b,c∈R),在复数范围内的 解是x１,x２,下列结论中正确的是 (　　) A．若b２－４ac＝０,则x１,x２ ∈R 且 x１ ＝x２ B．若b２－４ac＜０,则x１∉R,x２∉R,且􀭵x１ ＝􀭵x２ C．一定有x１＋x２＝－ b a ,x１x２＝ c a D．一定有(x１－x２)２＝ |b２－４ac| a２ 　　世上没有坐享其成的好事,要幸福就 要奋斗! 幸福 是 奋 斗 出 来 的,不 是 等 出 来 的! 向着目标,我们一起努力吧! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３１ c900= 2.解：(1)在△DOE中，由余弦定理得： 10.解析：(W5+i)·(5一2i)=5+√5i-2√5i+2=7-√5i. ED=OD+OE-2OD·OE·cos∠EOD=4+1-2× 答案：7- 2X cos 0=5-4cos 0. 11.解：设=a十bi(a,b∈R),由z=1十3i-z 在△COE中，由余孩定理得： EC=OC+OE-2·OC·OE·cos∠EOC= 得√a+6-1-3i+a十i=0, 4+1-2×2×cos(π-0)=5+4cos0, 期V云+B+a-1=0所以(a-4 所以EC+ED=√5+4cos0+√5-4cos0=f(0),0∈ 16-3=0, 1b=3, [0,x], 所以之=一4十3i, ∴.将管道总长（即线段EC十ED)表示为变量日的函 数为： 1++D-装 f(0)=/5+4cos0+/5-4cos0.0∈[0，r]. 2-4+3i03+42=3+4i. 2(-4+3i) (2)由(1)可得： 12.解：(1)设z=a十bi(a,b∈R), [/f(0)]=(√5+4cos0+√5-4cos0) 由已知条件得：a2+b=2,2=ad2-一6+2abi,所以2ab=2. =10+2√5+4cos0·√5-4c0s0=10+ 所以a=b=1或a=b=-1,即x=1十i或x=-1-i, 2√/25-16cos0, (2)当之=1十i时，g2=(1+i)2=2i,之-2=1-i.所以 图为.0∈[0，π].所以0≤cos2≤1， 点A(1,1),B(0,2),C(1,-1), [f(0)]2=10+2√25-16cos0≤10+2√/25=20（百 所以Sac=2ACX1=号×2X1=1: 米) 当g=-1-i时，z2=(-1-i)2=2i.x-2=-1-3i. 当且仅当c0s0=0,即0=受时取等号， 所以点A(-1,-1).B(0,2),C(-1,-3).所以S6 因为f(0)=√5+4cos0+√5-4cos0>0,∴.f(0) =专ACX1=号×2X1=1.即△ABC的面积为1. √20=25（百米）. 新题快递 ∴管道总长的最大值为25百米 1.AC [=r(cos 0+isin 0).(cos 20+isin 20), 假期作业6复数 I=r(cos 20+isin 20)1=,=Ir(cos 0+isin )2 思维整合室 =广，所以A正喷：当r=1,0=哥时，。 1.(1)ab(2)=≠=≠(3)a=c且b=d (4)a=c且b=-d(5)lza+il3.(1)(a+c)+(b+ (cos号+isin号）=cosx+iinx=-1,所以B错误： d)i (a-c)+(b-d)i (ac-bd)+(ad+be)i actbd 当1.0时=m+i如-+ c+d 2+十+) 名一受.所以C运确：当r=10=吾时-m要+ 4 技能提升台素养提升 sin。 1.C[1:=√(-1)+(-1)=W2.] 当n为偶数时，设n=2k,k∈Z, 2.C[由题意：2-4i1=√2+(-4)=2V5.] 则=cos经+in经，keZ D=名=a91+ 2(1+i) 所以当k为奇数时，”为纯虚数，当k为偶数时，？”为实 数，所以D错误.] ∴.z=2,2=2i,之的共轭复数为1一i,之的虚部为1. 故A,C错，B,D正确.] 2.AC[时于A,查-4ac=0时==一会∈R,故 4.A[由题知(1十3i)(3一i)=3-i十9i一3产=6+8i.所以 正确；对于B,当6一4ac<0时，则西1= 该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限] 5.D[由题意(.x+yi)+2=(x+2)+yi=(3-4i)+2yi= 二b-i+ac,6=二bi+@,则西EK, 2a 2a 十2y40i所以2解得y4,所以+y= 任R,且x≠，故错误：对于C,由一元二次方程根与系 5.] 数的关系可得西十店=一合西=后，故正确对于D. a 6.BCD[若1>2，则，4为实数，当1=1，=一2 时，满足1>，但<，故C项不正确：因为两个 （G一5》_公-4ac,故错误.] a 虚数之间只有等与不等，不能比较大小，所以D项不正 假期作业7基本立体图形及 确：当两个复数不相等时，它们的模有可能相等，比如1一 立体图的直观图 ≠1十i,但1一i=1十il,所以B项不正确：因为当两个 复数相等时，模一定相等，所以A项正确.] 思维整合室 7.C[由题知之=(1+iD(:-1),=1+i-1-1故选 1.互相平行公共顶点平行于 i 2.(2)45(或135)变为原来的一半 择：C.] 技能提升台素养提升 8.A[因为x=5+i,所以z=5-i,故i(+z)=10i.] 1.B2.C 9.C[号=-1-i.则=i(-1-D=-i-=1-i.] 3.BCD[当任意两点与球心在一条直线上时，可作无数个圆， 故A错：B正确：C正确：根据球的半径的定义可知D正确.] 54