假期作业5 余弦定理、正弦定理的应用-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（人教A版）

假期作业５　余弦定理、正弦定理的应用　　　　　　　 １．解三角形应用题的基本思想 解三角形应用题时,通常都要根据题意,从 实际问题中抽象出一个或几个三角形,然后 通过解三角形,得到实际问题的解,求解的 关键是将实际问题转化为　　　　 　 问题． ２．运用正弦定理、余弦定理解决实际问题 的基本步骤 (１)分析:理解题意,弄清已知与未知,画出 示意图(一个或几个三角形); (２)建模:根据已知条件与求解目标,把已 知量与待求量尽可能地集中在有关三 角 形 中,建 立 一 个 解 三 角 形 的 数 学 模型; (３)求解:利用正弦定理、余弦定理解三角 形,求得数学模型的解; (４)检验:检验所求的解是否符合实际问 题,从而得出实际问题的解． ３．三角形面积公式 (１)三 角 形 的 高 的 公 式:hA ＝bsinC＝ csinB,hB ＝csin A ＝asinC,hC ＝ asinB＝bsinA． (２)三 角 形 的 面 积 公 式:S＝１２absinC , S＝　　　　,S＝　　　　． ◆[考点一]　利用正、余弦定理测量角度 问题 １．若水平面上点B 在点A 南偏东３０°方向 上,则在点A 处测得点B 的方位角是 (　　) A．６０° 　B．１２０°　 C．１５０° 　D．２１０° ２．如图,两座相距６０m 的建 筑物 AB,CD 的高度分别 为２０m,５０m,BD 为 水 平 面,则从建筑物 AB 的顶端A 看建筑物 CD 的张角∠CAD 等于 (　　) A．３０° B．４５° C．６０° D．７５° ３．如图,前卫斜塔位于辽宁省 葫芦岛市绥中县,始建于辽 代,又名瑞州古塔,其倾斜 度(塔与地面所成的角)远超 著名的意大利比萨斜塔．现有一个斜塔的塔 身长１０m,一旅游者在正午时分(太阳光线 与地面垂直)测得塔在地面上的投影长为 ５m,则该塔的倾斜度(塔与地面所成的角) 为 (　　) A．６０° B．４５° C．３０° D．１５° ４．如图所示,位于A 处的 信息中心获悉:在其正 东方向相距４０海里的B 处有一艘渔船遇险,在 原地等待营救,信息中心立即把消息告知 在其南偏西３０°、相距２０海里的C处的乙 船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B处救援,则cosθ的值为　　　　． ◆[考点二]　利用正、余弦定理测量距离 与高度问题 ５．如图,巡航艇在海上 以６０km/h的速度沿 南偏东４０°的方向航 行．为了确定巡航艇 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９ 的位置,巡航艇在B 处观测灯塔A,其方 向是南偏东７０°,航行１２h 到达C 处,观 测灯塔A 的方向是北偏东６５°,则巡航艇 到达C处时,与灯塔A 的距离是 (　　) A．１０km　　　　　　B．１０ ２km C．１５km D．１５ ２km ６．圭表是我国古代一种 通过测量正午日影长 度来推定节气的天文 仪器,它包括一根呈南北方向的水平长尺 (称为“圭”)和一根直立于圭面的标杆(称为 “表”),如图．成语有云:“立竿见影”,«周髀 算经»里记载的二十四节气就是通过圭表测 量日影长度来确定的．利用圭表测得某市在 每年夏至日的早上８:００和中午１３:００的太 阳 高 度 角 分 别 为 ２３°(∠ABC)和 ８３° (∠ADC)．设表高AC为１米,则影差BD≈ (　　) (参考数据:sin１６°≈０．２７６,３≈１．７３２) A．１．９８６米 B．２．１２６米 C．２．２３２米 D．２．３４６米 ７．为运输方便,某工程队 将从 A 到D 修建一条 湖底隧道,如图,工程队从A 出发向正东 行１０ ３km到达B,然后从B 向南偏西 ４５°方向行了一段距离到达C,再从C 向 北偏西７５°方向行了４ ２km到达 D,已 知C在A 南偏东１５°方向上,则A 到D 的距离为 (　　) A．１５ ６km B．２ ３８km C．１０ ２km D．１５ ３km ８．如图,一位同学从P１ 处观 测塔顶B 及旗杆顶A,得 仰角分别为α和９０°－α． 后退lm 至点 P２ 处再观 测塔顶B,仰角变为原来的一半,设塔CB 和旗杆BA 都垂直于地面,且C,P１,P２ 三 点在同一条水平线上,则塔 BC 的高为 　　　　m;旗杆BA 的高为　　　　m． (用含有l和α的式子表示) ◆[考点三]　正、余弦定理在平面几何中 的应用 ９．在面积为S的△ABC中,内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,若b２＋c２＝３＋ ４StanA ,则a＝ (　　) A．１　　B．３　　C．２　　D．３ １０．(多选)如图,△ABC 的 内角A,B,C 所对的边 分别为a,b,c,３(acosC ＋ccosA)＝２bsinB,且 ∠CAB＝π３． 若 D 是 △ABC 外 一 点, DC＝１,AD＝３,则下列说法中正确的 是 (　　) A．△ABC的内角B＝π３ B．∠ACB＝π３ C．四边形ABCD 面积的最大值为５ ３２ ＋３ D．四边形ABCD 的面积无最大值 １１．如图,在△ABC 中,已知点 D 在BC 边上,AD⊥AC, sin∠BAC＝２ ２３ ,AB＝３ ２,AD＝３,则 BD＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０１ １２．如图,已知扇形的圆心角 ∠AOB＝２π３ ,半径为４ ２, 若点C是AB ︵ 上的一动点(不与点A,B 重合)． (１)若弦BC＝４(３－１),求BC ︵ 的长; (２)求四边形OACB 面积的最大值． １．(２０２５􀅰山东济南历城二中开学考试)某 艺术爱好者对«蒙娜丽莎»的同比例影像 作品进行了测绘．将画中女子的嘴唇近 似看作一个圆弧,在嘴角A,C 处作圆弧 的切线,两条切线交于B 点,测得如下数 据:AB＝６．９cm,BC＝７．１cm,AC＝１２． ６cm．根据测量得到的结果推算女子嘴 唇视作的圆弧对应的圆心角的范围为 (　　) A．π６ ,π ４ æ è ç ö ø ÷ B．π４ ,π ３ æ è ç ö ø ÷ C．π３ ,５π １２ æ è ç ö ø ÷ D．５π１２ ,π ２ æ è ç ö ø ÷ ２．如 图,现 有 一 直 径 AB＝２百米的半圆 形广场,AB 所在直线上存在两点C,D, 满足OC＝OD＝２百米(O 为AB 的中 点),市政规划要求,从广场的半圆弧AB 上选取一点E,各修建一条地下管道EC 和ED 通往C、D 两点． (１)设∠EOB＝θ,试将管道总长(即线段 EC＋ED)表示为变量θ的函数; (２)求管道总长的最大值． 中国女排打了８场,赢了５场,输了３ 场,冠军! 塞尔维亚打了８场,赢了６场,输了２ 场,亚军! 美国女排打了８场,赢了７场,输了１ 场,季军! [总结]　人生呀,关键不在于你赢过 多少次,而在于你在什么时候,什么场次赢 了什么对手! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １１ 因为sinAsinB≠０,所以sinAcosB＝ sinB cosA , 所以sin２A＝sin２B,所以２A＝２B 或２A＝π－２B, 所以A＝B或A＋B＝π２ ,故△ABC为等腰三角形或直角三 角形．] ８．C　[设AB＝x,根据余弦定理BC２ ＝AC２ ＋ AB２ －２AC 􀅰 AB 􀅰 cos∠BAC, 已知BC＝８,AC＝１０,cos∠BAC＝ ３ ５ ,代入可得: ８２＝１０２＋x２－２×１０×x×３５ , 即x２－１２x＋３６＝０,解得x＝６, 由于BC２＋AB２＝６４＋３６＝１００＝AC２,则△ABC 为直角三 角形, 则S＝１２×６×８＝２４． ] ９．解析:由S△ABC＝ １ ２acsinB ,得 ３＝１２acsin６０° ,即 ３＝ ３ ４ac ,得ac＝４,所以a２＋c２＝３ac＝１２, 则由余弦定理,得b２＝a２＋c２－２accos６０°＝１２－２×４× １ ２＝８ ,所以b＝２ ２． 答案:２ ２ １０．解析:由已知及余弦定理可得cosA＝AB ２＋AC２－BC２ ２AB􀅰AC ＝９ ２＋８２－７２ ２×９×８ ＝ ２ ３． 设中线长为x,由余弦定理得x２＝ AC ２( ) ２ ＋AB２－２􀅰AC２ 􀅰AB􀅰cosA＝４２＋９２－２×４ ×９×２３＝４９ ,即x＝７．所以AC边上的中线长为７． 答案:７ １１．解:(１)由余弦定理可得:cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ２ ２ , 因为C∈(０,π),所以C＝π４ ,所以 ２cosB＝sinC＝ ２２ , 即cosB＝１２ , 因为B∈(０,π),所以B＝π３． (２)由(１)可得A＝π－B－C＝５１２π ,设△ABC 外接圆的 半径为R, 由正弦定理可得: a sinA＝ b sinB＝ c sinC＝２R ,所以b＝ ３R,c＝ ２R,sinA＝sin(B＋C) ＝sinBcosC＋cosBsinC＝ ６＋ ２４ , 所以S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２ 􀅰 ３R􀅰 ２R􀅰 ６＋ ２４ ＝ ３＋ ３,解得R＝２, 所以c＝２ ２． １２．解:(１)２ １ ２sinA＋ ３ ２cosA æ è ç ö ø ÷＝２, sin A＋π３( )＝１, ∵A 为三角形ABC 的内角, ∴A＋π３＝ π ２ ,∴A＝π６． (２)∵ ２bsinC＝csin２B, ∵sinBsinC≠０, ∴ ２sinBsinC＝sinCsin２B＝２sinCsinBcosB, ∴ ２＝２cosB,∴cosB＝ ２２ , ∴B＝π４ ,C＝７π１２ , a sinA＝ b sinB＝ c sinC , ２ １ ２ ＝b ２ ２ ＝ c ６＋ ２ ４ ,∴b＝２ ２,c＝ ６＋ ２, ∴△ABC的周长为２＋ ６＋３ ２． 新题快递 １．D　[∵AB＝３,AC＝４,BC＝５,满足３２＋４２＝５２, ∴∠BAC＝９０°,故cos∠ABC＝３５ , ∵AD 是∠BAC的角平分线,∴BDDC＝ AB AC＝ ３ ４ ,∴BD＝ ３ ７×５＝ １５ ７ , 在△ABD 中,由 余 弦 定 理 AD２＝AB２＋BD２－２AB􀅰 BD􀅰cos∠ABD, 得AD２＝３２＋ １５７( ) ２ －２×３×１５７× ３ ５＝ ２８８ ４９ , 解得AD＝１２ ２７ 或者AD＝－１２ ２７ (舍去)．] ２．ABD　[在△ABC中,若a＞b,则根据正弦定理可得sinA ＞sinB,选项 A正确;由sinA＞sinB 及正弦定理得a＞ b,则 A ＞B,选 项 B 正 确;若 sinA＞cosB,即 cos π ２－A( ) ＞cosB,当 cosB＜０,cos π ２－A( ) ＞０ 时, △ABC为钝角三角形,选项 C错误;若△ABC 为锐角三 角形,则A＋B＞π２ , 则有 π ２＞A＞ π ２－B＞０ , 又正弦函数在 ０,π２( ) 上单调递增, 所以sinA＞sin π２－B( ) ,即sinA＞cosB,选项D正确．] 假期作业５　余弦定理、 正弦定理的应用 思维整合室 １．解三角形　３．(２)１２bcsinA　 １ ２casinB 技能提升台　素养提升 １．C　２．B　 ３．A　[如 图 所 示,线 段 AC 表 示 塔 身,线 段 AB 为塔在地面上的投影,CB⊥AB,所以在 Rt△ABC中,cosA＝ABAC＝ １ ２ ,因为０°＜A ＜９０°,所以A＝６０°．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２５ ４．解析:在△ABC中,AB＝４０,AC＝２０,∠BAC＝１２０°, 由余弦定理得BC２＝AB２＋AC２－２AB􀅰AC􀅰cos１２０°＝ ２８００⇒BC＝２０ ７． 由正弦定理,得 AB sin∠ACB＝ BC sin∠BAC ⇒sin∠ACB＝ABBC 􀅰sin∠BAC＝ ２１７ ． 由∠BAC＝１２０°,知∠ACB为锐角,则cos∠ACB＝２ ７７ ． 由θ＝∠ACB＋３０°,得cosθ＝cos(∠ACB＋３０°) ＝cos∠ACBcos３０°－sin∠ACBsin３０°＝ ２１１４ ． 答案: ２１ １４ ５．D　[在△ABC中,BC＝６０× １２＝３０ (km),∠ABC＝７０° －４０°＝３０°,∠ACB＝４０°＋６５°＝１０５°,则 ∠A＝１８０°－ (３０°＋１０５°)＝４５°,由正弦定理,可得AC＝１５ ２(km)．] ６．C　[在 Rt△ACD 中,AD＝ ACsin８３°＝ １ cos７° , 在△ABD 中,由正弦定理,得 BDsin∠BAD＝ AD sin∠ABD ,即 BD sin(８３°－２３°)＝ AD sin２３° , 则BD＝ ３２sin２３°cos７°． 因为sin３０°＝sin(２３°＋７°)＝sin２３°􀅰cos７°＋cos２３° sin７°, 且sin１６°＝sin(２３°－７°)＝sin２３°cos７°－cos２３°sin７°, 所以２sin２３°cos７°＝sin３０°＋sin１６°≈０．７７６, 所以|BD|≈１．７３２０．７７６≈２．２３２． ] ７．B　[连接AC,由题意,∠ABC＝ ４５°,∠ACD ＝７５°－１５°＝６０°, ∠BCD＝７５°＋４５°＝１２０°, ∠ACB＝６０°,AB＝１０ ３,CD＝ ４ ２, 在△ABC 中,由正弦定理得, ABsin∠ACB＝ AC sin∠ABC ,即 １０ ３ ３ ２ ＝AC ２ ２ ,则AC＝１０ ２, 在△ACD 中,由余弦定理得,AD２＝AC２＋CD２－２AC􀅰 CDcos∠ACD＝１５２, 则AD＝２ ３８km．] ８．解析:在 Rt△BCP１ 中,∠BP１C＝α,在 Rt△P２BC 中, ∠P２＝ α ２．∵ ∠BP１C＝ ∠P１BP２ ＋ ∠P２ ,∴ ∠P１BP２ ＝α２ , 即△BP１P２ 为等腰三角形,BP１＝P１P２＝l, ∴BC＝lsinα． 在 Rt△ACP１ 中, AC CP１ ＝ AClcosα＝tan (９０°－α), ∴AC＝lcos ２α sinα ,则 BA＝AC－BC＝lcos ２α sinα －lsinα＝ l(cos２α－sin２α) sinα ＝ lcos２α sinα ． 答案:lsinα　lcos２αsinα ９．B　[由三角形的面积公式得b２＋c２＝３＋２bcsinAtanA ,即b２ ＋c２＝３＋２bccosA．由余弦定理得a２＝b２＋c２－２bccosA ＝３,所以a＝ ３．] １０．ABC　[∵ ３(acosC＋ccosA)＝２bsinB,∴由正弦定 理可得 ３(sinAcosC＋sinCcosA)＝２sin２B, ∴ ３sin(A＋C)＝２sin２B,∴ ３sinB＝２sin２B． 又∵sinB≠０,∴sinB＝ ３２． ∵∠CAB＝π３ ,∴B∈ ０,２π３( ) ,∴B＝ π ３ ,∴∠ACB＝π －∠CAB－∠B＝π３ ,因此 A,B正确．四边形ABCD 面 积等 于 S△ABC ＋S△ACD ＝ ３ ４ AC ２ ＋ １２ AD 􀅰DC􀅰 sin∠ADC＝ ３４ (AD２＋DC２－２AD􀅰DC􀅰cos∠ADC) ＋１２AD 􀅰DC􀅰sin∠ADC＝ ３４× (９＋１－６cos∠ADC) ＋ １２ × ３ × １ 􀅰 sin∠ADC ＝ ５ ３２ ＋ ３sin ∠ADC－π３( ) ≤ ５ ３ ２ ＋３ ,当且仅当∠ADC－π３＝ π ２ , 即∠ADC＝５π６ 时,等号成立,因此 C正确,D错误．] １１．解析:∵sin∠BAC＝sin π２＋∠BAD( )＝cos∠BAD, ∴cos∠BAD＝２ ２３ ． 在△ABD 中,由余弦定理得BD２ ＝AB２＋AD２－２AB􀅰ADcos∠BAD＝(３ ２)２＋３２－２ ×３ ２×３×２ ２３ ＝３ ,∴BD＝ ３． 答案:３ １２．解:(１)在△OBC 中,BC＝４(３－１),OB＝OC＝４ ２, 所 以 由 余 弦 定 理 得 cos∠BOC＝OB ２＋OC２－BC２ ２OB􀅰OC ＝ ３ ２ ,所以∠BOC＝π６ , 于是BC︵ 的长为 π６􀅰４ ２＝ ２ ２ ３ π． (２)设∠AOC＝θ,θ∈ ０,２π３( ) ,则∠BOC＝ ２π ３－θ , S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC＝ １ ２×４ ２×４ ２sinθ＋ １ ２× ４ ２×４ ２􀅰sin ２π３－θ( )＝２４sinθ＋８ ３cosθ ＝１６ ３sinθ＋π６( ) ,由于θ∈ ０, ２π ３( ) , 所以θ＋π６∈ π ６ ,５π ６( )．所以１６ ３sinθ＋ π ６( ) ∈ (８ ３,１６ ３],所以四边形OACB面积的最大值为１６ ３． 新题快递 １．B　[根据余弦定理,得cos∠ABC＝AB ２＋BC２－AC２ ２AB􀅰BC ＝ ６．９２＋７．１２－１２．６２ ２×６．９×７．１ ＝ －３０．３７ ４８．９９ ＜０ ,所 以 π ２ ＜∠ABC＜ π．设AC ︵ 对应的圆心角为α,则有α＋∠ABC＝π,则cosα ＝cos(π－∠ABC)＝－cos∠ABC＝３０．３７４８．９９ 且０＜α＜ π２． 因为１ ２＜ ３０．３７ ４８．９９＜ ２ ２ ,所以α∈ π４ ,π ３( )．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３５ ２．解:(１)在△DOE 中,由余弦定理得: ED２＝OD２＋OE２－２OD􀅰OE􀅰cos∠EOD＝４＋１－２× ２×cosθ＝５－４cosθ, 在△COE 中,由余弦定理得: EC２＝OC２＋OE２－２􀅰OC􀅰OE􀅰cos∠EOC＝ ４＋１－２×２×cos(π－θ)＝５＋４cosθ, 所以EC＋ED＝ ５＋４cosθ＋ ５－４cosθ＝f(θ),θ∈ [０,π], ∴将 管 道 总 长 (即 线 段 EC＋ED)表 示 为 变 量θ 的 函 数为: f(θ)＝ ５＋４cosθ＋ ５－４cosθ,θ∈[０,π], (２)由(１)可得: [f(θ)]２＝( ５＋４cosθ＋ ５－４cosθ)２ ＝ １０ ＋ ２ ５＋４cosθ 􀅰 ５－４cosθ ＝ １０ ＋ ２ ２５－１６cos２θ, 因为,θ∈[０,π],所以０≤cos２θ≤１, [f(θ)]２＝１０＋２ ２５－１６cos２θ≤１０＋２ ２５＝２０(百 米) 当且仅当cos２θ＝０,即θ＝π２ 时取等号, 因为f(θ)＝ ５＋４cosθ＋ ５－４cosθ＞０,∴f(θ)＝ ２０＝２ ５(百米)． ∴管道总长的最大值为２ ５百米． 假期作业６　复数 思维整合室 １．(１)a　b　(２)＝　≠　＝　≠　(３)a＝c且b＝d (４)a＝c且b＝－d　(５)|z|　|a＋bi|　３．(１)(a＋c)＋(b＋ d)i (a－c)＋(b－d)i　(ac－bd)＋(ad＋bc)i　ac＋bd c２＋d２ ＋ bc－ad c２＋d２ i　(２)z２＋z１　z１＋(z２＋z３) 技能提升台　素养提升 １．C　[|z|＝ (－１)２＋(－１)２＝ ２．] ２．C　[由题意:|２－４i|＝ ２２＋(－４)２＝２ ５．] ３．BD　[∵z＝ ２１－i＝ ２(１＋i) (１－i)(１＋i)＝１＋i , ∴|z|＝ ２,z２＝２i,z的共轭复数为１－i,z的虚部为１． 故 A,C错,B,D正确．] ４．A　[由题知(１＋３i)(３－i)＝３－i＋９i－３i２＝６＋８i,所以 该复数在复平面内对应的点为(６,８),位于第一象限．] ５．D　[由题意(x＋yi)＋２＝(x＋２)＋yi＝(３－４i)＋２yi＝ ３＋(２y－４)i,所以 x＋２＝３ y＝２y－４{ ,解得x＝１,y＝４,所以x＋y＝ ５．] ６．BCD　[若z１＞z２,则z１,z２ 为实数,当z１＝１,z２＝－２ 时,满足z１＞z２,但|z１|＜|z２|,故C项不正确;因为两个 虚数之间只有等与不等,不能比较大小,所以 D 项不正 确;当两个复数不相等时,它们的模有可能相等,比如１－i ≠１＋i,但|１－i|＝|１＋i|,所以 B项不正确;因为当两个 复数相等时,模一定相等,所以 A项正确．] ７．C　[由 题 知z＝(１＋i)(z－１),z＝１＋ii ＝１－i． 故 选 择:C．] ８．A　[因为z＝５＋i,所以􀭵z＝５－i,故i(􀭵z＋z)＝１０i．] ９．C　[zi＝－１－i ,则z＝i(－１－i)＝－i－i２＝１－i．] １０．解析:(５＋i)􀅰(５－２i)＝５＋ ５i－２ ５i＋２＝７－ ５i． 答案:７－ ５i １１．解:设z＝a＋bi(a,b∈R),由|z|＝１＋３i－z, 得 a２＋b２－１－３i＋a＋bi＝０, 则 a ２＋b２＋a－１＝０, b－３＝０,{ 所以 a＝－４, b＝３,{ 所以z＝－４＋３i． 则 (１＋i)２(３＋４i)２ ２z ＝ ２i(３＋４i)２ ２(－４＋３i) ＝２ (－４＋３i)(３＋４i) ２(－４＋３i) ＝３＋４i． １２．解:(１)设z＝a＋bi(a,b∈R), 由已知条件得:a２＋b２＝２,z２＝a２－b２＋２abi,所以２ab＝２． 所以a＝b＝１或a＝b＝－１,即z＝１＋i或z＝－１－i． (２)当z＝１＋i时,z２＝(１＋i)２＝２i,z－z２＝１－i,所以 点A(１,１),B(０,２),C(１,－１), 所以S△ABC＝ １ ２AC×１＝ １ ２×２×１＝１ ; 当z＝－１－i时,z２＝(－１－i)２＝２i,z－z２＝－１－３i． 所以点A(－１,－１),B(０,２),C(－１,－３),所以S△ABC ＝１２|AC|×１＝ １ ２×２×１＝１． 即△ABC的面积为１． 新题快递 １．AC　[z＝r(cosθ＋isinθ),则z２＝r２(cos２θ＋isin２θ),则 |z２|＝|r２(cos２θ＋isin２θ)|＝r２,|z|２＝|r(cosθ＋isinθ)|２ ＝r２,所 以 A 正 确;当 r ＝ １,θ ＝ π３ 时,z３ ＝ cosπ３＋isin π ３( ) ３ ＝cosπ＋isinπ＝－１,所以 B错误; 当r＝１,θ＝π３ 时,z＝cosπ３＋isin π ３＝ １ ２＋ ３ ２i ,则􀭵z＝ １ ２－ ３ ２i ,所以 C正确;当r＝１,θ＝ π４ 时,zn＝cosnπ４＋ isinnπ４ , 当n为偶数时,设n＝２k,k∈Z, 则zn＝coskπ２＋isin kπ ２ ,k∈Z, 所以当k为奇数时,zn 为纯虚数,当k为偶数时,zn 为实 数,所以 D错误．] ２．AC　[对于 A,当b２－４ac＝０时,x１＝x２＝－ b ２a∈R ,故 正 确;对 于 B,当 b２ － ４ac ＜ ０ 时,则 x１ ＝ －b－i －b２＋４ac ２a ,x２＝ －b＋i －b２＋４ac ２a ,则x１∉R, x２∉R,且􀭵x１≠􀭵x２,故错误;对于C,由一元二次方程根与系 数的关系可得x１＋x２＝－ b a ,x１x２＝ c a ,故正确;对于 D, (x１－x２)２＝ b２－４ac a２ ,故错误．] 假期作业７　基本立体图形及 立体图的直观图 思维整合室 １．互相平行　公共顶点　平行于 ２．(２)４５°(或１３５°)　变为原来的一半 技能提升台　素养提升 １．B　２．C ３．BCD　[当任意两点与球心在一条直线上时,可作无数个圆, 故A错;B正确;C正确;根据球的半径的定义可知D正确．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４５