假期作业4 正弦定理和余弦定理-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（人教A版）

假期作业４　正弦定理和余弦定理　　　　　　　 １．正、余弦定理 在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,R 为△ABC外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 a sinA＝　　　　　＝ 　　　　＝２R a２＝　　　　; b２＝　　　　; c２＝　　　　 常 见 变 形 (１)a＝２RsinA,b＝　　　, c＝　　　　; (２)sinA＝a２R ,sinB＝ 　　　　,sinC＝c２R ; (３)a∶b∶c＝　　　　; (４)asinB＝bsinA,bsinC＝ csinB,asinC＝csinA cosA＝　　　　; cosB＝　　　　; cosC＝　　　　 ２．三角形面积公式 S△ABC＝ １ ２absinC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２acsinB＝ abc ４R＝ １ ２ (a＋b＋c)􀅰r(r是三角形内切圆的 半径),并可由此计算R,r． ３．在△ABC中,已知a,b和A 时,解的情况 如下 A 为锐角 A 为钝角 或直角 图形 关系式 a＝bsinA bsinA＜ a＜b a≥b a＞ba≤b 解的 个数 　　　　 　　　　 　　　 　　 　　 ◆[考点一]　已知两边及一角解三角形 １．如果等腰三角形的周长是底边长的 ５ 倍,那么它的顶角的余弦值为 (　　) A．５１８　　 B． ３ ４　　 C． ３ ２　　 D． ７ ８ ２．在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a＝８ ３,b＝６,A＝６０°,则sinB＝ (　　) A．２３ B． ６ ３ C． ２ ２ D． ３ ８ ３．在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a＝１５,b＝１８,A＝３０°,则此三角形 解的个数为 (　　) A．０ B．１ C．２ D．不能确定 ４．设△ABC的内角A,B,C 的对边分别为 a,b,c．若a＝２,c＝２ ３,cosA＝ ３２ ,且b ＜c,则b＝ (　　) A．３ B．２ C．２ ２ D．３ ◆[考点二]　已知三边或三边的关系解三 角形 ５．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c．若a ２－(b＋c)２ bc ＝－１ ,则A＝ (　　) A．１２０° B．４５° C．６０° D．３０° ６．在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别 是a,b,c,已知c＝２b．若sinC＝３４ ,则 sinB＝　　　　　　;若b２＋bc＝２a２, 则cosB＝　　　　　　． ◆[考点三]　正、余弦定理的综合应用 ７．(多选题)在△ABC 中,已知a２tanB＝ b２tanA,则△ABC的形状可能是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７ ８．(２０２５􀅰八省联考)在△ABC 中,BC＝８, AC＝１０,cos∠BAC＝３５ ,则△ABC 的面 积为 (　　) A．６ B．８ C．２４ D．４８ ９．记△ABC的内角A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 ３,B＝６０°,a２＋c２＝３ac, 则b＝　　　　． １０．在△ABC 中,已知BC＝７,AC＝８,AB ＝９,则AC边上的中线长为　　　　． １１．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)记△ABC 的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c．已知sinC ＝ ２cosB,a２＋b２－c２＝ ２ab． (１)求B; (２)若△ABC的面积为３＋ ３,求c． １２．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)记△ABC 的内角 A、B、C的对边分别为a,b,c,已知sinA ＋ ３cosA＝２． (１)求A; (２)若 a＝２,２bsinC＝csin２B,求 △ABC的周长． １．三角形内角平分线定理:三角形的内角 平分线内分对边,所得的两条线段与这个 角的两边对应成比例．已知△ABC中,AD 为∠BAC的角平分线,与BC交于点D,AB ＝３,AC＝４,BC＝５,则AD＝ (　　) A．２２７ B． １５ ７ C．１５ ２７ D． １２ ２ ７ ２．(多选)(江苏无锡一中２０２５高一期末) 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别 为a,b,c,下列判断正确的是 (　　) A．若a＞b,则sinA＞sinB B．若sinA＞sinB,则A＞B C．若sinA＞cosB,则△ABC 为锐角三 角形 D．若△ABC 为锐角三角形,则sinA＞ cosB 数学魔术家　１９８１年,印度的一位名 叫沙贡塔娜的３７岁妇女,凭借心算与一台 先进的电子计算机展开竞赛．题目是求一 个２０１位数的２３次方根．但令人惊奇的是, 沙贡塔娜只用了５０秒钟就报出了正确的 答案．而计算机得出同样的结果,花费的时 间要多得多．这一奇闻,在国际上引起了轰 动,沙贡塔娜被称为“数学魔术家”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８ ４．B　[将条件|a＋２b|＝２平方得１＋４a􀅰b＋４b２＝４,由(b －２a)⊥b得b２－２a􀅰b＝０,所以b２＝１２ ,|b|＝ ２２． ] ５．B　[由|a＋b|＝ ７,即(a＋b)２＝７,即a２＋２a􀅰b＋b２＝ ７,则|a|２＋２|a|􀅰|b|cos‹a,b›＋|b|２＝７,又|a|＝２|b| ＝２,所以cos‹a,b›＝１２ ,又０°≤‹a,b›≤１８０°,所以a与 b的夹角为６０°．] ６．解析:由|a＋b|＝|２a－b|,得a２＝２a􀅰b; 由|a－b|＝ ３,得a２－２a􀅰b＋b２＝３,即b２＝３,|b|＝ ３． 答案:３ ７．ABCD　[|a＋b|＝|a－b|⇔|a＋b|２＝|a－b|２⇔a２＋２a 􀅰b＋b２＝a２－２a􀅰b＋b２⇔a􀅰b＝０,a２＋b２＝(a－b)２⇔ a２＋b２＝a２－２a􀅰b＋b２⇔a􀅰b＝０．] ８．D　[因为b⊥(b－４a),所以b􀅰(b－４a)＝０,则４＋x２－ ４x＝０,解得x＝２．] ９．解析:由向量a,b的夹角为 π３ ,且(a－b)⊥b, 得(a－b)􀅰b＝a􀅰b－b２＝１２|a||b|－|b| ２＝０, 所以|a|＝２|b|,|a||b|＝２． 因为|a＋b|＝ (a＋b)２＝ a２＋２a􀅰b＋b２ ＝ ４|b|２＋２|b|２＋|b|２＝ ７|b|, |a－b|＝ (a－b)２＝ a２－２a􀅰b＋b２ ＝ ４|b|２－２|b|２＋|b|２＝ ３|b|, 所以|a＋b| |a－b|＝ ２１ ３ ． 答案:２　 ２１３ １０．AC　[设a＝kb(k＞０),所以 kn＝ ３ , ３k＝３,{ 解得 k＝ ３, n＝１{ , 即a＝ ３b,故 A正确． 设c＝(x,y)是与a垂直的单位向量,则有 ３x＋３y＝０,x２ ＋y２＝１,所 以c＝ － ３２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ 或c＝ ３ ２ ,－１２ æ è ç ö ø ÷,故 B 错误． 因为b在a 上 的 投 影 向 量 为 ３e,所 以a 􀅰b |a| ＝３ ,所 以 ３n＋３ ３ ２ ３ ＝３,解得n＝３,故 C正确． 因为a与b 的夹角为钝角,所以a􀅰b＜０且a,b不共 线,所以 ３n＋３ ３＜０, ３－３n≠０,{ 解得 n＜－３, n≠１,{ 即n＜－３,所以n ∈(－∞,－３),故 D错误．] １１．解:如图所示,建立直角坐标系,显然 EF 是AM 的 中 垂 线,设 AM 与EF 交于点N,则 N 是AM 的中点,又正 方形 边 长 为 ８,所 以 M(８,４),N(４, ２)． 设点E(e,０),则AM→＝(８,４),AN→＝ (４,２),AE→＝(e,０),EN→＝(４－e,２), 由AM→⊥EN→得AM→􀅰EN→＝０,即(８,４)􀅰(４－e,２)＝０, 解得e＝５,即|AE→|＝５． 所以S△AEM ＝ １ ２|AE →||BM→|＝１２×５×４＝１０． １２．解:(１)∵AB→􀅰AC→＝０,∴AB→⊥AC→． 又|AB→|＝１２,|BC→|＝１５,∴|AC→|＝９． 由已知可得AD→＝１２(AB →＋AC→),CB→＝AB→－AC→, ∴AD→􀅰CB→＝１２(AB →＋AC→)􀅰(AB→－AC→)＝１２(AB →２－ AC→ ２ )＝１２ (１４４－８１)＝６３２． (２)AE→􀅰CB→ 的值为一个常数． 理由:∵l为线段BC 的垂直平分线,l与BC 交于点D, E 为l上异于D 的任意一点,∴DE→􀅰CB→＝０． 故AE→􀅰CB→＝(AD→＋DE→)􀅰CB→＝AD→􀅰CB→＋DE→􀅰CB→ ＝AD→􀅰CB→＝６３２(常数)． 新题快递 １．C　[关于x的方程a２x２＋２a􀅰bx＋b２＝０有实数根,则 Δ＝４(a􀅰b)２－４a２b２≥０, 故(a􀅰b)２≥a２b２,即|a􀅰b|≥|a||b|, 又|a􀅰b|≤|a||b|,所以|a􀅰b|＝|a||b|,即向量a,b共 线,反之也成立,因此两者应为充要条件．] ２．解析:由a＝(－１,１),b＝(０,２),得|a|＝ ２,|b|＝２,a􀅰 b＝－１×０＋１×２＝２,则cosθ＝ a 􀅰b |a||b|＝ ２ ２×２ ＝ ２２． 又θ∈[０,π],所以θ＝π４ ,则sinθ＝ ２２． 又|a×b|＝|a|􀅰 |b|􀅰sinθ,所以|a×b|＝ ２×２× ２２＝２． 答案:２ 假期作业４　正弦定理和余弦定理 思维整合室 １．bsinB　 c sinC　b ２＋c２－２bccosA　c２＋a２－２cacosB　 a２＋b２－２abcosC　(１)２RsinB　２RsinC　(２)b２R　sinA ∶sinB∶sinC　b ２＋c２－a２ ２bc 　 c２＋a２－b２ ２ac 　 a２＋b２－c２ ２ab 　 ３．一解　两解　一解　一解　无解 技能提升台　素养提升 １．D　２．D　３．C　４．B　 ５．A　[因为a ２－(b＋c)２ bc ＝－１ ,所以a２－(b＋c)２＝－bc, 即a２－b２－c２－２bc＝－bc,所以a２＝b２＋c２＋bc,由余弦 定理得cosA＝b ２＋c２－a２ ２bc ＝－ １ ２． 因为０°＜A＜１８０°,所 以A＝１２０°,故选 A．] ６．解析:因为c＝２b,所以sinC＝２sinB＝３４ ,所以sinB＝ ３ ８． 因为c＝２b,所以b２＋bc＝３b２＝２a２,所以a＝ ６２b． 所以cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ ３ ２b ２＋４b２－b２ ２ ６b２ ＝３ ６８ ． 答案:３ ８　 ３ ６ ８ ７．BD　[将a＝２RsinA,b＝２RsinB(R 为△ABC外接圆的 半径)代 入 已 知 条 件,得 sin２AtanB＝sin２BtanA,则 sin２AsinB cosB ＝ sinAsin２B cosA ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １５ 因为sinAsinB≠０,所以sinAcosB＝ sinB cosA , 所以sin２A＝sin２B,所以２A＝２B 或２A＝π－２B, 所以A＝B或A＋B＝π２ ,故△ABC为等腰三角形或直角三 角形．] ８．C　[设AB＝x,根据余弦定理BC２ ＝AC２ ＋ AB２ －２AC 􀅰 AB 􀅰 cos∠BAC, 已知BC＝８,AC＝１０,cos∠BAC＝ ３ ５ ,代入可得: ８２＝１０２＋x２－２×１０×x×３５ , 即x２－１２x＋３６＝０,解得x＝６, 由于BC２＋AB２＝６４＋３６＝１００＝AC２,则△ABC 为直角三 角形, 则S＝１２×６×８＝２４． ] ９．解析:由S△ABC＝ １ ２acsinB ,得 ３＝１２acsin６０° ,即 ３＝ ３ ４ac ,得ac＝４,所以a２＋c２＝３ac＝１２, 则由余弦定理,得b２＝a２＋c２－２accos６０°＝１２－２×４× １ ２＝８ ,所以b＝２ ２． 答案:２ ２ １０．解析:由已知及余弦定理可得cosA＝AB ２＋AC２－BC２ ２AB􀅰AC ＝９ ２＋８２－７２ ２×９×８ ＝ ２ ３． 设中线长为x,由余弦定理得x２＝ AC ２( ) ２ ＋AB２－２􀅰AC２ 􀅰AB􀅰cosA＝４２＋９２－２×４ ×９×２３＝４９ ,即x＝７．所以AC边上的中线长为７． 答案:７ １１．解:(１)由余弦定理可得:cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ ２ ２ , 因为C∈(０,π),所以C＝π４ ,所以 ２cosB＝sinC＝ ２２ , 即cosB＝１２ , 因为B∈(０,π),所以B＝π３． (２)由(１)可得A＝π－B－C＝５１２π ,设△ABC 外接圆的 半径为R, 由正弦定理可得: a sinA＝ b sinB＝ c sinC＝２R ,所以b＝ ３R,c＝ ２R,sinA＝sin(B＋C) ＝sinBcosC＋cosBsinC＝ ６＋ ２４ , 所以S△ABC＝ １ ２bcsinA＝ １ ２ 􀅰 ３R􀅰 ２R􀅰 ６＋ ２４ ＝ ３＋ ３,解得R＝２, 所以c＝２ ２． １２．解:(１)２ １ ２sinA＋ ３ ２cosA æ è ç ö ø ÷＝２, sin A＋π３( )＝１, ∵A 为三角形ABC 的内角, ∴A＋π３＝ π ２ ,∴A＝π６． (２)∵ ２bsinC＝csin２B, ∵sinBsinC≠０, ∴ ２sinBsinC＝sinCsin２B＝２sinCsinBcosB, ∴ ２＝２cosB,∴cosB＝ ２２ , ∴B＝π４ ,C＝７π１２ , a sinA＝ b sinB＝ c sinC , ２ １ ２ ＝b ２ ２ ＝ c ６＋ ２ ４ ,∴b＝２ ２,c＝ ６＋ ２, ∴△ABC的周长为２＋ ６＋３ ２． 新题快递 １．D　[∵AB＝３,AC＝４,BC＝５,满足３２＋４２＝５２, ∴∠BAC＝９０°,故cos∠ABC＝３５ , ∵AD 是∠BAC的角平分线,∴BDDC＝ AB AC＝ ３ ４ ,∴BD＝ ３ ７×５＝ １５ ７ , 在△ABD 中,由 余 弦 定 理 AD２＝AB２＋BD２－２AB􀅰 BD􀅰cos∠ABD, 得AD２＝３２＋ １５７( ) ２ －２×３×１５７× ３ ５＝ ２８８ ４９ , 解得AD＝１２ ２７ 或者AD＝－１２ ２７ (舍去)．] ２．ABD　[在△ABC中,若a＞b,则根据正弦定理可得sinA ＞sinB,选项 A正确;由sinA＞sinB 及正弦定理得a＞ b,则 A ＞B,选 项 B 正 确;若 sinA＞cosB,即 cos π ２－A( ) ＞cosB,当 cosB＜０,cos π ２－A( ) ＞０ 时, △ABC为钝角三角形,选项 C错误;若△ABC 为锐角三 角形,则A＋B＞π２ , 则有 π ２＞A＞ π ２－B＞０ , 又正弦函数在 ０,π２( ) 上单调递增, 所以sinA＞sin π２－B( ) ,即sinA＞cosB,选项D正确．] 假期作业５　余弦定理、 正弦定理的应用 思维整合室 １．解三角形　３．(２)１２bcsinA　 １ ２casinB 技能提升台　素养提升 １．C　２．B　 ３．A　[如 图 所 示,线 段 AC 表 示 塔 身,线 段 AB 为塔在地面上的投影,CB⊥AB,所以在 Rt△ABC中,cosA＝ABAC＝ １ ２ ,因为０°＜A ＜９０°,所以A＝６０°．] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 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