假期作业3 平面向量的数量积-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（人教A版）

　　　　　假期作业３　平面向量的数量积　　　　　 １．平面向量的数量积 定义:已知两个非零向量a和b,它们的 夹角为θ,则数量　　　　叫做a与b 的 数量积(或内积)．规定:零向量与任一向 量的数量积为　　　　． ２．平面向量数量积的运算律 (１)交换律:a􀅰b＝　　　　; (２)数乘结合律:(λa)􀅰b＝λ(a􀅰b)＝a􀅰(λb); (３)分配律:a􀅰(b＋c)＝　　　　　　． ３．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设非零向量a＝(x１,y１),b＝(x２,y２), ‹a,b›＝θ． 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝　　　　 |a|＝　　　　 数量积 a􀅰b＝　　　 a􀅰b＝　　　　 夹角 cosθ＝　　　 cosθ＝　　　　 a⊥b a􀅰b＝０ 　　　　　　 ４．向量在几何中的应用 (１)证明线段平行或点共线问题,常用共线 向量定理:a∥b⇔a＝λb⇔x１y２－x２y１＝ ０(b≠０)． (２)证明垂直问题,常用数量积的运算性质: a⊥b⇔a􀅰b＝０⇔x１x２＋y１y２＝０． ◆[考点一]　平面向量数量积的运算 １．(２０２５􀅰八省联考)已知向量a＝(０,１),b ＝(１,０),则a􀅰(a－b)＝ (　　) A．２ B．１ C．０ D．－１ ２．(２０２３􀅰全国乙卷(文))正方形ABCD 的 边长是２,E 是AB 的中点,则EC →􀅰ED → ＝ (　　) A．５ B．３ C．２ ５ D．５ ３．已知向量AB → ＝(２,０),AC → ＝(－１,２),且满足 (λAB → ＋AC →)⊥BC →,则λ的值为　　　　　． ◆[考点二]　利用向量数量积求向量的夹 角和模 ４．(２０２４􀅰新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足 |a|＝１,|a＋２b|＝２,且(b－２a)⊥b,则 |b|＝ (　　) A．１２ B． ２ ２ C． ３ ２ D．１ ５．已知向量a,b满足|a|＝２|b|＝２,|a＋b| ＝ ７,则a与b的夹角为 (　　) A．９０° B．６０° C．４５° D．３０° ６．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a－b| ＝３,|a＋b|＝|２a－b|,则|b|＝　　　　． ◆[考点三]　平面向量的垂直及应用 ７．(多选题)已知a,b为非零向量,且a＝ (x１,y１),b＝(x２,y２),则下列命题中与a ⊥b等价的有 (　　) A．a􀅰b＝０ B．x１x２＋y１y２＝０ C．|a＋b|＝|a－b| D．a２＋b２＝(a－b)２ ８．(２０２４􀅰新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(０,１),b＝ (２,x),若b⊥(b－４a),则x＝ (　　) A．－２ B．－１ C．１ D．２ ９．已知向量a,b的夹角为π３ ,(a－b)⊥b,则 |a| |b|＝　　　 ,a＋b a－b ＝　　　． ◆[考点四]　平面向量数量积的综合应用 １０．(多选)若向量a＝(３,３),b＝(n,３), 下列结论正确的有 (　　) A．若a,b同向,则n＝１ B．与a垂直的单位向量一定是 － ３２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ C．若b在a 上的投影向量为３e(e是与 向量a同向的单位向量),则n＝３ D．若a与b 的夹角为钝角,则n的取值 范围是(－３,＋∞) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５ １１．如图所示,ABCD 是 正方形,M 是BC 的 中点,将正方形折起 使点A 与M 重合,设 折痕为EF,若正方形 面积为６４,求△AEM 的面积． １２．在△ABC 中,AB →􀅰AC → ＝０,|AB → |＝１２, |BC → |＝１５,l为线段BC 的垂直平分线, l与BC交于点D,E为l上异于D 的任意 一点． (１)求AD →􀅰CB → 的值; (２)判断 AE →􀅰CB → 的值是否为一个常 数,并说明理由． １．已知向量a,b是非零向量,设甲:向量a, b共线;乙:关于x的方程a２x２＋２a􀅰bx ＋b２＝０有实数根;则 (　　) A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 ２．设向量a与b 的夹角为θ,定义a与b 的 “向量积”:a×b 是一个向量,它的模为 |a×b|＝|a|􀅰|b|􀅰sinθ．若a＝(－１,１), b＝(０,２),则|a×b|＝　　　　． 诺贝尔奖不设数学奖,但国际数学界 有一个代表数学界最高成就的大奖———菲 尔兹奖． 菲尔兹奖于１９３２年在第九届国际数 学家大会上设立,１９３６年首次颁奖．该奖以 加拿大数学家约翰􀅰菲尔兹的名字命名, 授予世界上在数学领域做出重大贡献且年 龄在４０岁以下的数学家．该奖由国际数学 联盟(简称IMU)主持评定,每４年颁发一 次,每次获奖者不超过４人,每人可获得一 枚纯金制作的奖章和一笔奖金．奖章上刻 有希腊数学家阿基米德的头像,还有用拉 丁文镌刻的“超越人类极限,做宇宙主人” 的格言． １９８２年,美籍华人数学家丘成桐荣获 菲尔兹奖,成为获此殊荣的第一位华人． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６ c90M= 7.C[若a⊥b,则x(x+1)+2.x=0, 新题快递 即x2+3.x=0,解得r=0或x=-3, ∴.A错，C对；若a∥b,则2(.x十1)-x2=0,即x-2x-2 1.B[周为成-3成，所以成-是成，C市=-A =0, 解得x=1士3，故B、D错.] 8.解析：由题意可知，2k=5×6,则k=15. 所以B萨=a+C市=a-AE0, 答案：15 9.A[如图，以A为原点，AB所在直线为x轴， 成-是脉-b+A@, AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则 B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，因为 由0+子×@辩瓷=a+是6： ∠DAB-60°，所以设D点的坐标为(m√3m) 成-是+是a] (m≠0. 2.解析：建立如图的平面直角坐 AD=(m3m)=AAB+AC=A(1.0)+x(0,2)=(a. 标系， 别头=，且号 由已知得B(6.0),D(0,4),E(3, 4).EB=(3.-4), 所以是-2】 由E萨=3F店得成= (A) 10.解析：设向量b=(,由a/6,可得受=子 =(学- 又a·b=-√/10，则2x+y=-√/10， 5,y=10 解得x=一20 设F,则-3y-40=(只-3） 51 21 则b= 21010 y-4=-3 y=1 5 5 所以b 210 =2 ( 5 5 又因为AF=AAB+:AD=X(6,0)+(0,4)=(6x,4), 答案：v② 14=1 11.解：(1)若a,b共线，则存在入∈R,使a=沾，则g一2e= 所以 似生解释名=则计公=是 (e+3e).由e,e2不共线得， 3=1, 4 即 13A=-2, 答案：号 区=一景.所以1不存在，故口与6不共线：可以作为- A=1, 假期作业3平面向量的数量积 思维整合室 组基底， 1.(1)alblcos002.(1)b·a(3)a·b+a·c (2)设c=na十b(m,n∈R),得 3.√a·a√x+y lal lblcos0xx+y为 a·b 3e,-e=m(e-2e)+n(e十3e)=(m+n)e,+(-2m+ ab 2+=-之释{所以c- 3me.所以m十=3， x+yiy: √元+y·√+ x1x2十y1y=0 +b. 技能提升台素养提升 (3)由4e-3e=a十b,得 1.B[a=(0,1),b=(1,0) 4e,-3e=A(e-2e)+u(e1+3e)=(a+r)e+(-2x .a-b=(-1,1). +3)e.所x+u=4, →=3， .a·(a-b)=0×(-1)+1×1-1.] {-2λ+34=-3，{u=1. 2.B[以A店，AD)为基底向量，可知AB1=AD1=2, 故所求A4的值分别为3和1， AB·AD=0 12.解：(1)a-2b=(1.2)-2(-4.3)=(1,2)-(-8,6)= (1+8,2-6)=(9,-4). 则武=筋+成=A店+A心，i=+A (2)由已知两点M3,-2)和N(-5,-1),可得M -号+ò， =2(-5-3,-1+2)-(-4} 所以成，市=(2A店+A市)·(A店+A市) 设点P的坐标是(x,y),则MP-(x-3,y+2). 应+市=-1+4=3.] 由已知M=号M,可得x-3y叶2)=(4，） 3.解析：因为BC-AC-A店=(-3,2)，所以(aA店+AC x-3=-4, x=-1, ⊥BC→(aAB+AC)·BC=0→aAB.BC+AC.BC +2=1.解得 2 0,即一6以+7=0，解得X=合 六点P的坐标是(1，一受) 答案：日 50 =022 一数学恐) 4.B[将条件|a十2b1=2平方得1+4a·b+4b=4,由(b 12.解：1)：AB.AC=0,ABLAC. -20)Lb得-2ab=0,所以6=之，-竖] 又AB1=12,BC=15,.AC=9. 5.B[由a+bl=/7,即(a+b)2=7,即a2+2a·b+b= 由已知可得A方=号(A店+AC),C成=A店-A心， 7,则a+2a·bcos(a,b)+|b2=7,又|a=2b AD.C第=(AB+AC·(A苏-AC=号A苏 =2,所以cosa,b)=,又0≤a,b≤180，所以a与 b的夹角为60°.] 花)=44-81)=号 6.解析：由a+b=2a-b,得a2=2a·b: (2)A正.CB的值为一个常数 由a-b=5,得a2-2a·b+b=3,即6=3.|b=5. 理由：：I为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D, 答案：W5 E为l上异于D的任意一点，∴DE·CB=0. 7.ABCD[|a+bl=|a-b台|a+b1=|a-b°=a2+2a ·b+b=a2-2a·b+b=a·b=0,a2+b=(a-b)2曰 故A正.CB=(AD+DE)·CB=AD.CB+DE.CB a2+b=a-2a·b+b=a·b=0.] =心.成-经（常）. 8.D[因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,则4十x2 新题快递 4x=0,解得x=2.] L.C[关于x的方程a'x+2a·br十b=0有实数根，则 9.解析：由向量a,b的夫角为受，且(a一b)⊥b, △=4(a·b)-4a2b2≥0， 故(a·b)2≥a2b,即a·b1≥alb, 得(a-b)·b=ab-8=号ab1-b2=0 又a·b≤allb,所以a·b=la|bl,即向量a,b共 所以a=261,8-2 线，反之也成主，因此两者应为充要条件，] 2.解析：由a=(-1,1),b=(0,2),得a=√2，b=2,a· 因为a+b=√(a+b)=√a+2a·b+b =√4b+2b+b下=71b, -1X0+1X2-3.则m0=8i的成2号 1a-b=√(a-b)F=√a-2a·b+b 又0C[0,.所以0-子，期血0-号又oXb=a· =√b-2b+b下=1b1. 所以0+b=2团 b·n所以1oXB1=巨x2×号-2 'a-b3 答案：2 答案：2 √2I 3 假期作业4正孩定理和余孩定理 10.AC[设a=b(>0),所以=3，解得k=5 思维整合室 3k=3,1n=1 h品Bc b+c-2bccos A c+a-2cacos B 即a=√3b,故A正确 设c=(xy)是与a垂直的单位向量，则有V3.x十3y=0,7 -2abcosC (12Rsin B 2Rsin C(2 sin A 6+2-a2+a2-6a2+b-c 十y=1,所以c= sin B:sin C 2ac 2ub 错误. 3.一解两解一解一解无解 技能提升台素养提升 因为b在a上的投影向量为3，所以：P=3,所以 a 1.D2.D3.C4.B 3n十35=3，解得n=3,故C正确. 5.A[因为4-(h+c =一1，所以a2-(b+c)°=一bc, 2w3 即a2-b-c2-2br=-bc,所以a2=6+c2+bc,由余弦 图为a与b的夹角为纯角，所以a·b<0且a,b不共 线，所以3十33<0解得3·即-3，所以n 定理得cosA=十cd=一 2be ,因为0<A<180°，所 3-3n≠0， n≠1， 以A=120°，故选A.] ∈(-0，-3)，故D错误.1 11.解：如图所示，建立直角坐标系，显然 6.解析：因为c=2h,所以mC=2sinB=子，所以simB= EF是AM的中垂线，设AM与EF 交于点N,则N是AM的中点，又正 音·图为r=26.所以公+c=36-2a,所以a- 方形边长为8，所以M(8,4),N(4, 2). 所以0B=日+公多谷+6-6 3w6 2ac 8 设点E(e,0),则AM=(8,4),AN 2√66 (4,2),AE=(e.0).EV=(4-e,2), 答案：号8 8 由AM1EV得AM·EV=0,即(8,4)·(4-e.2)=0, 7.BD[将a=2 Rsin A,b=2 Rsin B(R为△ABC外接园的 解得e=5,即|AE=5. 半径)代入己知条件，得sin'Atan B=sin'Btan A,则 所以5am=号A1Bi=2×5×4=10, sin'Asin B sin Asin'B cos B cos A 51