假期作业2 平面向量的基本定理及坐标表示-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（人教A版）

假期作业２　平面向量的基本定理及坐标表示　　　　　　　 １．平面向量基本定理 如果e１,e２ 是同一平面内的两个　　　　 向量,那么对于这一平面内的任意向量 a,有 且 只 有 一 对 实 数 λ１,λ２,使 a＝ 　　　　．不共线的向量e１,e２ 叫做表示 这一平面内所有向量的一组　　　　． ２．两向量的夹角与垂直 已知两个非零向量a和b, 作 OA → ＝a,OB → ＝b,则 ∠AOB＝θ叫做向量a 与 b的夹角(如图所示)． (１)范围:向量a与b 的夹角的范围是　　 　　　　． (２)当θ＝０°时,a与b　　　　;当θ＝ 　 时,a与b反向． (３)垂直:如果a与b的夹角是　　　　,则 称a与b垂直,记作　　　　． ３．平面向量的坐标运算 (１)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a＋b＝ (　　　　　　　　)． (２)若a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),则a－b＝ (　　　　　　　　)． (３)若a＝(x,y),λ∈R,则λa＝(　　　　)． ４．共线向量的坐标表示 (１)设a＝(x１,y１),b＝(x２,y２),其中b≠０,a、b 共线,当且仅当存在实数λ,使　　　　． (２)如果用坐标表示可写为(x１,y１)＝λ(x２, y２),当且仅当　　　　　　　　时,向量 a、b(b≠０)共线． ◆[考点一]　平面向量基本定理 １．设e１,e２ 是平面内所有向量的一组基底, 则下列四组向量中,不能作为基底的是 (　　) A．e１＋e２ 和e１－e２ B．３e１－４e２ 和６e１－８e２ C．e１＋２e２ 和２e１＋e２ D．e１ 和e１＋e２ ２．如 图,AB 是 ☉O 的 直 径,点C,D 是半圆弧AB︵ 的两个三等分点,AB → ＝ a,AC → ＝b,则AD → ＝ (　　) A．a－１２b　　　　　 B． １ ２a－b C．a＋１２b D． １ ２a＋b ３．(２０２５􀅰 广 东 高 一 预 测)古希腊数学家帕波 斯在其著作«数学汇编» 的第五卷序言中,提到 了蜂巢,称蜜蜂将它们 的蜂巢结构设计为相同并且拼接在一起的 正六棱柱结构,从而储存更多的蜂蜜,提升 了空间利用率,体现了动物的智慧,得到世 人的认可．已知蜂巢结构的平面图形如图 所示,则AB → ＝ (　　) A．－３２CE → ＋５６DE → B．－５６CE → ＋３２DE → C．－２３CE → ＋５６DE → D．－５６CE → ＋２３DE → ４．向量a在基底{e１,e２}下可以表示为a＝ ２e１＋３e２,若a在基底{e１＋e２,e１－e２}下 可以表示为a＝λ(e１＋e２)＋μ(e１－e２),则 λ＝　　　　　,μ＝　　　　　． ◆[考点二]　平面向量的坐标运算 ５．已知向量a＝(２,４),b＝(－１,１),则２a＋ b等于 (　　) A．(５,７) B．(５,９) C．(３,７) D．(３,９) ６．若 向 量a＝ (２,１),b＝ (－１,２),c＝ ０,５２ æ è ç ö ø ÷,则c可用向量a,b表示为(　　) A．１２a＋b B．－ １ ２a－b C．３２a＋ １ ２b D． ３ ２a－ １ ２b 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３ ７．(２０２４􀅰全国甲卷(理))设向量a＝(x＋ １,x),b＝(x,２),则 (　　) A．x＝－３是a⊥b的必要条件 B．x＝－３是a∥b的必要条件 C．x＝０是a⊥b的充分条件 D．x＝－１＋ ３是a∥b的充分条件 ８．(２０２４􀅰上海卷)已知a＝(２,５),b＝(６, k),a∥b,则k的值为　　　　． ◆[考点三]　平面向量基本定理的综合应用 ９．已知在Rt△ABC中,∠BAC＝９０°,AB＝ １,AC＝２,D 是△ABC内一点,且∠DAB ＝６０°,设AD → ＝λAB → ＋μAC →(λ,μ∈R), 则λ μ ＝ (　　) A．２ ３３ 　　B． ３ ３　　C．３　　D．２ ３ １０．(２０２５􀅰山东高一调研)平面向量a,b满 足a＝(２,１),a∥b,a􀅰b＝－ １０,则|b| ＝　　　　． １１．设e１,e２ 是不共线的非零向量,且a＝e１ －２e２,b＝e１＋３e２． (１)证明:a,b可以作为一组基底; (２)以a,b为基底,求向量c＝３e１－e２ 的 分解式; (３)若４e１－３e２＝λa＋μb,求λ,μ的值． １２．解答下列各题: (１)设向量a＝(１,２),b＝(－４,３), 求a－２b; (２)已知两点M(３,－２)和N(－５,－１),点 P 满足MP → ＝１２MN →,求点P 的坐标． １．(２０２５􀅰河南漯河高中 高一月考)“赵爽弦图” 是由四个全等的直角三 角形与一个小正方形拼 成的一个大正方形．如 图,在“赵爽弦图”中,若BC → ＝a,BA → ＝b, BE → ＝３EF →,则BF → ＝ (　　) A．１２２５a＋ ９ ２５b B． １６ ２５a＋ １２ ２５b C．４５a＋ ３ ５b D． ３ ５a＋ ４ ５b ２．在矩形ABCD 中,AB＝６,AD＝４,E 为 CD 的中点,若EF → ＝３FB →,AF → ＝λAB → ＋μ AD →,则λ＋μ＝　　　　． 大妈早上去广场散步,看到有个老头 拿 着 海 绵 笔 在 地 上 写 大 字,忍 不 住 凑 上 去看． 老头看了大妈一眼,提笔写了个“滚” 字．大妈心想:看一下至于吗? 􀆺􀆺老头又 看大妈一眼,又写个“滚”．大妈再也忍不住 了,上去一脚将老头踢倒在地􀆺􀆺 警察 来 了 问 咋 回 事,老 头 委 屈 地 说: “我就想写句‘滚滚长江东逝水’,刚写头两 个字,就被这个神经病踹倒了”． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４ 参 考 答 案 第一部分 假期作业１　平面向量的概 念与线性运算 思维整合室 １．(１)方向　模　(２)０　(３)１个单位　(４)相反　(５)方向　(６)方向 技能提升台　素养提升 １．C　 ２．B　[对于 A,根据题中图形,可得向量BO→,OC→,OA→不是 有相同起点的向量,∴A错误;对于 B,∵O 是圆心,那么 向量BO→,OC→,OA→的模是一样的,∴B正确;对于 C,共线 向量是方向相同或者相反的向量,∴C错误;对于 D,相 等的向量指的是大小相等,方向相同的向量,∴D错误．] ３．解析:如图所示,设AB→＝a,BC→＝b,则AC→＝a＋ b,且△ABC为等腰直角三角形,则|AC→|＝ ８ ２,∠BAC＝４５°． 答案:８ ２　北偏东４５° ４．解析:此题中,马在A处有两条路 可走,在B处有三条路可走,在C 处有八条路可走．如图,以B为起 点作有向线段表示马走了“一步” 的向量,符合题意的共３个;以C 为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量,符合题意的 共８个．所以共有１１个． 答案:１１ ５．D　 ６．AB　[A 和 B属于数乘对向量与实数的分配律,正确; C中,若m＝０,则不能推出a＝b,错误;D中,若a＝０,则 m,n没有关系,错误．] ７．C　[∵AD＝DB,AE＝EC,∴F 是△ABC的重心,则DF→ ＝１３DC →,∴AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋１３DC →＝AD→＋１３(AC → －AD→)＝２３AD →＋ １３AC →＝ １３AB →＋ １３AC →＝ １３a＋ １ ３b , ∴x＝１３ ,y＝１３． ] ８．解析:在△ABC 中,∠A＝６０°,|BC→|＝１,点 D 为AB 的 中点,点 E 为CD 的 中 点,AB→＝a,AC→＝b,则AE→＝ １ ２ (AD→＋AC→)＝１４AB →＋１２AC →＝１４a＋ １ ２b． 答案:１ ４a＋ １ ２b ９．D　[由c∥d,得c＝λd,∴ka＋b＝λ(a－b) 即 k＝λ, １＝－λ,{ ∴ k＝－１, λ＝－１,{ 即c＝－a＋b且c＝－d．] １０．B　[因 为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝３a＋６b＝３(a＋２b) ＝３AB→,又AB→,AD→有公共点A,所以A,B,D 三点共线．] １１．解:∵BA→＝－AB→＝－１４BC →＝－１４(BA →＋AC→), ∴BA→＝－１５AC →＝mAC→, ∴m＝－１５． １２．解:(１)画出向量如图所示． (２)∵D 地在A 地北偏东３０°方 向上,B 地在C 地南偏西３０°方 向上,∴AD∥BC． 又AD＝BC＝２千米,∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB＝DC＝６千米． ∵C地在D 地北偏东６０°方向上, ∴B 地在A 地北偏东６０°方向６千米处． ∴AB→的方向为北偏东６０°,大小为６千米． 新题快递 １．BC　[对于 A、D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向 量,满足“|a|＝|b|”,满足“a与b都是单位向量”,但是a ∥b不成立．故 A、D错误;对于 B:由零向量与任何向量 平行,可知|a|＝０或|b|＝０时,a∥b．故B正确;对于 C: 因为a＝－２b,所以a∥b．故 C正确．] ２．D　[因为菱形对角线平分对角,所以 a|a|＋ b |b| 与∠AOB 平分线所在向量共线, 所以OM→＝λ a|a|＋ b |b|( ) ,λ由OM →确定．] 假期作业２　平面向量的基本 定理及坐标表示 思维整合室 １．不共线　λ１e１＋λ２e２　基底　２．(１)０°≤θ≤１８０° (２)同向　１８０°　(３)９０°　a⊥b　３．(１)x１＋x２,y１＋y２ (２)x１－x２,y１－y２　(３)λx,λy　４．(１)a＝λb (２)x１y２－x２y１＝０ 技能提升台　素养提升 １．B　２．D　 ３．B　[以D 为坐标原点,建立如图所 示的平面直角坐 标 系．不 妨 设 AD ＝２, 则 A(－１,３),B(５,５ ３),D(０, ０),E(９,３),C(０,４ ３),故AB→＝ (６,４ ３), CE→＝(９,－３ ３),DE→＝(９,３)． 设AB→＝xCE→＋yDE→, 则 ６＝９x＋９y ４ ３＝－３ ３x＋ ３y{ , 解得 x＝－５６ , y＝３２ , ì î í ïï ï 所以AB→＝－５６CE →＋３２DE →．] ４．解析:由条件可知 λ＋μ＝２ λ－μ＝３{ ,解得 λ＝５２ μ＝－ １ ２ ì î í ïï ï ． 答案:５ ２　－ １ ２ ５．D　[２a＋b＝２(２,４)＋(－１,１)＝(３,９)．] ６．A　[设c＝xa＋yb,则 ０,５２( )＝(２x－y,x＋２y), 所以 ２x－y＝０, x＋２y＝５２ ,{ 解得 x＝ １ ２ , y＝１,{ 则c＝ １ ２a＋b． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９４ ７．C　[若a⊥b,则x(x＋１)＋２x＝０, 即x２＋３x＝０,解得x＝０或x＝－３, ∴A错,C对;若a∥b,则２(x＋１)－x２＝０,即x２－２x－２ ＝０, 解得x＝１± ３,故B、D错．] ８．解析:由题意可知,２k＝５×６,则k＝１５． 答案:１５ ９．A　[如图,以A为原点,AB所在直线为x轴, AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则 B点的坐标为(１,０),C点的坐标为(０,２),因为 ∠DAB＝６０°,所以设D 点的坐标为(m,３m) (m≠０)． AD→＝(m,３m)＝λAB→＋μAC→＝λ(１,０)＋μ(０,２)＝(λ, ２μ),则λ＝m,且μ＝ ３ ２m , 所以λ μ ＝２ ３３ ． ] １０．解析:设向量b＝(x,y),由a∥b,可得x２＝ y １ , 又a􀅰b＝－ １０,则２x＋y＝－ １０, 解得x＝－２ １０５ ,y＝－ １０５ , 则b＝ －２ １０５ ,－ １０５ æ è ç ö ø ÷, 所以|b|＝ －２ １０５ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ － １０５ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ２． 答案:２ １１．解:(１)若a,b共线,则存在λ∈R,使a＝λb,则e１－２e２＝ λ(e１ ＋ ３e２ )．由 e１,e２ 不 共 线 得, λ＝１, ３λ＝－２,{ 即 λ＝１, λ＝－２３．{ 所以λ不存在,故a与b不共线,可以作为一 组基底． (２)设c＝ma＋nb(m,n∈R),得 ３e１－e２＝m(e１－２e２)＋n(e１＋３e２)＝(m＋n)e１＋(－２m＋ ３n)e２．所以 m＋n＝３, －２m＋３n＝－１{ ,解之得 m＝２, n＝１．{ 所以c＝２a ＋b． (３)由４e１－３e２＝λa＋μb,得 ４e１－３e２＝λ(e１－２e２)＋μ(e１＋３e２)＝(λ＋μ)e１＋(－２λ ＋３μ)e２．所以 λ＋μ＝４, －２λ＋３μ＝－３,{ ⇒ λ＝３, μ＝１．{ 故所求λ,μ的值分别为３和１． １２．解:(１)a－２b＝(１,２)－２(－４,３)＝(１,２)－(－８,６)＝ (１＋８,２－６)＝(９,－４)． (２)由已知两点 M(３,－２)和 N(－５,－１),可得 １２MN → ＝１２ (－５－３,－１＋２)＝ －４,１２( ) , 设点P 的坐标是(x,y),则MP→＝(x－３,y＋２)． 由已知MP→＝１２MN →,可得(x－３,y＋２)＝ －４,１２( ) , ∴ x－３＝－４, y＋２＝１２ ,{ 解得 x＝－１, y＝－３２ ,{ ∴点P 的坐标是 －１,－３２( )． 新题快递 １．B　 [因 为BE→＝３EF→,所 以BE→＝ ３４BF →,CF→＝ －AH→ ＝－３４AE →, 所以BF→＝a＋CF→＝a－３４AE →①, BE→＝３４BF →＝b＋AE→②, 由①＋３４×② 得２５ １６BF →＝a＋３４b, 即BF→＝１６２５a＋ １２ ２５b． ] ２．解 析:建 立 如 图 的 平 面 直 角 坐 标系, 由已知得B(６,０),D(０,４),E(３, ４),EB→＝(３,－４), 由EF→ ＝３ FB→ 得EF→ ＝ ３４ EB → ＝ ９４ ,－３( ) , 设F(x,y),则(x－３,y－４)＝ ９４ ,－３( ) , 可得 x－３＝９４ y－４＝－３{ ,解 得 x＝２１４ y＝１{ ,所 以 F ２１ ４ ,１( ) ,AF→ ＝ ２１４ ,１( ) , 又因为AF→＝λAB→＋μAD→＝λ(６,０)＋μ(０,４)＝(６λ,４μ), 所以 ４μ＝１ ６λ＝２１４{ ,解得λ＝ ７ ８ ,μ＝ １ ４ ,则λ＋μ＝ ９ ８． 答案:９ ８ 假期作业３　平面向量的数量积 思维整合室 １．(１)|a||b|cosθ　０　２．(１)b􀅰a　(３)a􀅰b＋a􀅰c ３． a􀅰a　 x２１＋y２１　|a||b|cosθ　x１x２＋y１y２　 a􀅰b |a||b| 　 x１x２＋y１y２ x２１＋y２１􀅰 x２２＋y２２ 　x１x２＋y１y２＝０ 技能提升台　素养提升 １．B　[a＝(０,１),b＝(１,０), ∴a－b＝(－１,１), ∴a􀅰(a－b)＝０×(－１)＋１×１＝１．] ２．B　[以{AB→,AD→}为基底向量,可知|AB→|＝|AD→|＝２, AB→􀅰AD→＝０ 则EC→ ＝EB→ ＋BC→ ＝ １２AB → ＋AD→,ED→ ＝EA→ ＋AD→ ＝ －１２AB →＋AD→, 所以EC→􀅰ED→＝ １２AB →＋AD→( ) 􀅰 －１２AB →＋AD→( )＝ －１４AB →２＋AD→ ２ ＝－１＋４＝３．] ３．解析:因为BC→＝AC→－AB→＝(－３,２),所以(λAB→＋AC→) ⊥BC→⇒(λAB→＋AC→)􀅰BC→＝０⇒λAB→􀅰BC→＋AC→􀅰BC→＝ ０,即－６λ＋７＝０,解得λ＝７６． 答案:７ ６ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０５