假期作业1平面向量的概念与线性运算-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（人教A版）

　　　　　　假期作业１　平面向量的概念与线性运算　　 １．向量的有关概念 (１)向量:既有大小又有　　　　的量叫向 量;向量的大小叫做向量的　　　　． (２)零向量:长度等于　　的向量,其方向 是任意的． (３)单位向量:长度等于　　　　的向量． (４)平行向量:方向相同或　　　　的非零 向量,又叫共线向量,规定:０与任一向 量共线． (５)相等向量:长度相等且　　　　相同的 向量． (６)相反向量:长度相等且　　　　相反的 向量． ２．向量的线性运算 (１)向量的加法和减法 ①加法法则:服从三角形法则,平行四 边形法则．运算性质:a＋b＝b＋a;(a＋ b)＋c＝a＋(b＋c)． ②减法与加法互为逆运算;服从三角形 法则． (２)实数与向量的积 ①实数λ与向量a 的积是一个向量,记 作λa,规定: a．长度:|λa|＝|λ||a|; b．方向:当λ＞０时,λa 与a 的方向相 同;当λ＜０时,λa与a的方向相反;当λ ＝０时,λa＝０． ②运算律:设λ、μ∈R,则:λ(μa)＝(λμ) a;(λ＋μ)a＝λa＋μa;λ(a＋b)＝λa＋λb． ３．共线向量定理 向量a(a≠０)与b共线的充要条件是存 在唯一一个实数λ,使得b＝λa． ◆[考点一]　平面向量的基本概念 １．下列各命题中假命题的个数为 (　　) ①向量AB → 的长度与向量BA → 的长度相等． ②向量a与向量b平行,则a与b的方向 相同或相反． ③两个有共同起点而且相等的向量,其 终点必相同． ④两个有共同终点的向量,一定是共线向量． ⑤向量AB → 与向量CD → 是共线向量,则点 A,B,C,D 必在同一条直线上． ⑥有 向 线 段 就 是 向 量,向 量 就 是 有 向 线段． A．２ B．３　　C．４　　D．５ ２．(２０２５􀅰云南师范大学附属中 学高一月考)如图,在☉O中, 向量BO →,OC →,OA → 是 (　　) A．有相同起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 ３．若a等于“向东走８km”,b等于“向北走 ８km”,则|a＋b|＝　　　　km,a＋b的 方向是　　　　． ４．中国象棋中规定:马 走“日”字,象走“田” 字．如图,在中国象棋 的半个棋盘(４×８的 矩形中每个小方格都是单位正方形)中,若 马在A处,可跳到A１ 处,也可跳到A２ 处, 用向量AA１ →,AA２ → 表示马走了“一步”．若马 在B处或C处,则表示马走了“一步”的向 量共有　　　　个． ◆[考点二]　平面向量的线性运算 ５．如图,在正六边形 ABCＧ DEF中,BA → ＋CD → ＋EF → ＝ (　　) A．０ B．BE → C．AD → D．CF → ６．(多选题)已知m,n是实数,a,b是向量, 则下列说法中正确的是 (　　) A．m(a－b)＝ma－mb B．(m－n)a＝ma－na C．若ma＝mb,则a＝b D．若ma＝na,则m＝n 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １ ７．如图,在△ABC 中,AD＝ DB,AE＝EC,CD 与BE 交 于 点 F．设 AB → ＝a, AC → ＝b,AF → ＝xa＋yb,则 (x,y)为 (　　) A．１２ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ B．２３ ,２ ３ æ è ç ö ø ÷ C．１３ ,１ ３ æ è ç ö ø ÷ D．２３ ,１ ２ æ è ç ö ø ÷ ８．(２０２３􀅰天津卷)在△ABC中,∠A＝６０°, |BC → |＝１,点D 为线段AB 的中点,点E 为线段CD 的中点,若设AB → ＝a,AC → ＝b, 则AE → 可用a,b表示为　　　　． ◆[考点三]　向量的共线及其综合应用 ９．已知向量a,b不共线,c＝ka＋b(k∈R), d＝a－b,如果c∥d,那么 (　　) A．k＝１且c与d 同向 B．k＝１且d与c反向 C．k＝－１且c与d 同向 D．k＝－１且d与c反向 １０．已知AB → ＝a＋２b,BC → ＝－５a＋６b,CD → ＝ ７a－２b,则下列一定共线的三点是 (　　) A．A,B,C B．A,B,D C．B,C,D D．A,C,D １１．已知AB → ＝１４BC →,且BA → ＝mAC →,求实数 m 的值． １２．(２０２５􀅰河南信阳高一 月考)一辆消防车从 A 地去B 地执行任务．先 从A 地向北偏东３０°方 向行驶２千米到 D 地, 然后从D 地沿北偏东６０°方向行驶６千 米到达C 地,又从C 地向南偏西３０°方 向行驶２千米才到达B 地． (１)在如图所示的坐标系中画出AD →, DC →,CB →,AB →; (２)求B 地相对于A 地的位置向量． １．(多选)以下选项中,能使a∥b成立的条 件有 (　　) A．|a|＝|b| B．|a|＝０或|b|＝０ C．a＝－２b D．a 与b 都是单位 向量 ２．(２０２５􀅰江西模拟)若OA → ＝a,OB → ＝b,a与b 不共线,则∠AOB平分线上的向量OM → 为 (　　) A．a|a|＋ b |b| B．a＋b|a＋b| C．|b|a－|a|b|a|＋|b| D．λ a|a|＋ b |b| æ è ç ö ø ÷,λ由OM → 确定 一 男 子 和 老 婆在火锅店,边吃 边 聊,正 高 兴 时, 有个少妇走过来, 直视着他说:“我 怀孕了!”那个男人的老婆先是一愣,紧接 着甩手 给 了 他 一 耳 光,又 拉 又 扯,连 哭 带 闹．全火锅楼的目光都聚焦在他俩身上,那 哥们欲哭无泪! 这时,少妇又幽幽的来了一句:“麻烦 你把烟掐了,谢谢!” 哥们捂住脸哭都哭不出来􀆺􀆺 吃饭有风险,抽烟需谨慎! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ 参 考 答 案 第一部分 假期作业１　平面向量的概 念与线性运算 思维整合室 １．(１)方向　模　(２)０　(３)１个单位　(４)相反　(５)方向　(６)方向 技能提升台　素养提升 １．C　 ２．B　[对于 A,根据题中图形,可得向量BO→,OC→,OA→不是 有相同起点的向量,∴A错误;对于 B,∵O 是圆心,那么 向量BO→,OC→,OA→的模是一样的,∴B正确;对于 C,共线 向量是方向相同或者相反的向量,∴C错误;对于 D,相 等的向量指的是大小相等,方向相同的向量,∴D错误．] ３．解析:如图所示,设AB→＝a,BC→＝b,则AC→＝a＋ b,且△ABC为等腰直角三角形,则|AC→|＝ ８ ２,∠BAC＝４５°． 答案:８ ２　北偏东４５° ４．解析:此题中,马在A处有两条路 可走,在B处有三条路可走,在C 处有八条路可走．如图,以B为起 点作有向线段表示马走了“一步” 的向量,符合题意的共３个;以C 为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量,符合题意的 共８个．所以共有１１个． 答案:１１ ５．D　 ６．AB　[A 和 B属于数乘对向量与实数的分配律,正确; C中,若m＝０,则不能推出a＝b,错误;D中,若a＝０,则 m,n没有关系,错误．] ７．C　[∵AD＝DB,AE＝EC,∴F 是△ABC的重心,则DF→ ＝１３DC →,∴AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋１３DC →＝AD→＋１３(AC → －AD→)＝２３AD →＋ １３AC →＝ １３AB →＋ １３AC →＝ １３a＋ １ ３b , ∴x＝１３ ,y＝１３． ] ８．解析:在△ABC 中,∠A＝６０°,|BC→|＝１,点 D 为AB 的 中点,点 E 为CD 的 中 点,AB→＝a,AC→＝b,则AE→＝ １ ２ (AD→＋AC→)＝１４AB →＋１２AC →＝１４a＋ １ ２b． 答案:１ ４a＋ １ ２b ９．D　[由c∥d,得c＝λd,∴ka＋b＝λ(a－b) 即 k＝λ, １＝－λ,{ ∴ k＝－１, λ＝－１,{ 即c＝－a＋b且c＝－d．] １０．B　[因 为AD→＝AB→＋BC→＋CD→＝３a＋６b＝３(a＋２b) ＝３AB→,又AB→,AD→有公共点A,所以A,B,D 三点共线．] １１．解:∵BA→＝－AB→＝－１４BC →＝－１４(BA →＋AC→), ∴BA→＝－１５AC →＝mAC→, ∴m＝－１５． １２．解:(１)画出向量如图所示． (２)∵D 地在A 地北偏东３０°方 向上,B 地在C 地南偏西３０°方 向上,∴AD∥BC． 又AD＝BC＝２千米,∴四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB＝DC＝６千米． ∵C地在D 地北偏东６０°方向上, ∴B 地在A 地北偏东６０°方向６千米处． ∴AB→的方向为北偏东６０°,大小为６千米． 新题快递 １．BC　[对于 A、D:不妨取a,b分别为x、y轴上的单位向 量,满足“|a|＝|b|”,满足“a与b都是单位向量”,但是a ∥b不成立．故 A、D错误;对于 B:由零向量与任何向量 平行,可知|a|＝０或|b|＝０时,a∥b．故B正确;对于 C: 因为a＝－２b,所以a∥b．故 C正确．] ２．D　[因为菱形对角线平分对角,所以 a|a|＋ b |b| 与∠AOB 平分线所在向量共线, 所以OM→＝λ a|a|＋ b |b|( ) ,λ由OM →确定．] 假期作业２　平面向量的基本 定理及坐标表示 思维整合室 １．不共线　λ１e１＋λ２e２　基底　２．(１)０°≤θ≤１８０° (２)同向　１８０°　(３)９０°　a⊥b　３．(１)x１＋x２,y１＋y２ (２)x１－x２,y１－y２　(３)λx,λy　４．(１)a＝λb (２)x１y２－x２y１＝０ 技能提升台　素养提升 １．B　２．D　 ３．B　[以D 为坐标原点,建立如图所 示的平面直角坐 标 系．不 妨 设 AD ＝２, 则 A(－１,３),B(５,５ ３),D(０, ０),E(９,３),C(０,４ ３),故AB→＝ (６,４ ３), CE→＝(９,－３ ３),DE→＝(９,３)． 设AB→＝xCE→＋yDE→, 则 ６＝９x＋９y ４ ３＝－３ ３x＋ ３y{ , 解得 x＝－５６ , y＝３２ , ì î í ïï ï 所以AB→＝－５６CE →＋３２DE →．] ４．解析:由条件可知 λ＋μ＝２ λ－μ＝３{ ,解得 λ＝５２ μ＝－ １ ２ ì î í ïï ï ． 答案:５ ２　－ １ ２ ５．D　[２a＋b＝２(２,４)＋(－１,１)＝(３,９)．] ６．A　[设c＝xa＋yb,则 ０,５２( )＝(２x－y,x＋２y), 所以 ２x－y＝０, x＋２y＝５２ ,{ 解得 x＝ １ ２ , y＝１,{ 则c＝ １ ２a＋b． ] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９４