精品解析：江苏省连云港市灌云县县级部分学校2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题

2025年5月高二年级阶段检测 数学试题 【2025-5-26】 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，，，且，，则（ ） A. 5 B. 1 C. D. 2. 设随机变量，若，则（ ） A. 60 B. 56 C. 12 D. 8 3. 已知随机变量，则（ ） A 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. 20 C. -20 D. -60 5. 下列四个不等式①②③④中正确个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 2025年5月17日进行全国高中数学联赛（江苏赛区）预赛，某校拥有11个参加预赛的名额，现将这11个名额分配给高二的四个班级，有班级可以不分配名额，则名额分配的不同种数为（ ） A. 455 B. 364 C. 210 D. 120 7. 已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 184 由上表可得经验回归方程，则（ ） A. 0.206 B. C. 0.596 D. 8. 在棱长为4正方体中，为的中点，若过三点作正方体的截面，,为截面上一点，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知是随机变量，则 B. 在评估模型拟合效果时，决定系数越接近0，表示模型对数据的拟合效果越好 C. 若把英文“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有20种 D. 某人在10次射击中，击中目标次数为，，则击中8次的可能性最大 10. 如图，某电子实验猫线路图上有、两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，、两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在、两处遇到红灯的次数之和为，则（ ） A. B. C. 一次实验中，、两处至少遇到一次红灯的概率为 D. 当时， 11. 在棱长为2的正方体中，为的中点，若（），下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 C. 当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 D. 当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 若能被7整除，则的最小正整数取值为_____. 13. 2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，移动了3次，该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，该质点竖直方向移动两次的概率_____. 14. 在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的正切值为.则该正三棱台的体积为_____.若该棱台内有一个正方体，且该正方体在棱台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为_____ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，平面，，，平面平面. （1）求证：平面； （2）如图，且，求点到平面的距离； 16. 已知函数，函数的导函数为． （1）当时，求曲线的斜率为的切线方程； （2）若函数的极小值大于0，求a的取值范围． 17. 在哈尔滨2025年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，现随机抽取了120名候选人. （1）已知120名候选人中，男、女生各60人，男生想去冰上赛区的有35人，女生想去冰上赛区的有20人，请补全下面列联表.请问是否有99.9%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关? 志愿者 性别 合计 男生 女生 想去冰上赛区 35 20 不想去冰上赛区 合计 60 60 附： 0.050 0.010 0.001 3.941 6.635 10.828 （2）滑冰项目的场地服务需要4名志愿者，有4名男生和2名女生通过选拔入围，现随机从6名同学中抽取4人服务该场地，记男生被抽中的人数为，求的分布列及期望. 18. 如图，在四棱柱中，已知底面，，，，，点是线段上的动点（不包含端点）. （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值的最大值； （3）若二面角的正弦值为.求线段的长. 19. 某制药公司研制了一款针对某种病毒新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立 （1）若，求数学期望； （2）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示. （i）试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）； （ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是的最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年5月高二年级阶段检测 数学试题 【2025-5-26】 考试时间：120分钟；满分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设，向量，，，且，，则（ ） A. 5 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由有存在，即可解得，又得解得，进而求解. 【详解】由有存在，所以， 由有，所以，所以， 故选：D. 2. 设随机变量，若，则（ ） A. 60 B. 56 C. 12 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的性质和方差的运算公式求解即可. 【详解】由二项分布的性质得， ， 故选：A. 3. 已知随机变量，则（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性得到，进而建立方程，求解出，再利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为正态分布曲线关于对称，所以， 因为，， 所以，即，解得或（舍去）， 由正态分布的性质得，故B正确. 故选：B. 4. 的展开式中的系数为（ ） A. 60 B. 20 C. -20 D. -60 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可求的系数. 【详解】，展开式的通项公式为， 令，故， 的展开式的通项公式为， 令，则， 故的系数为， 故选：D. 5. 下列四个不等式①②③④中正确个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案. 【详解】对于①，令，求导得，令，解得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 令，求导得，令，解得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，故①正确； 对于②，令，求导可得，令，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，故②正确； 对于③，令，求导得，令，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，故③错误； 对于④，令，求导可得，由，则， 所以函数在上单调递增，由，，则， 所以当时，，故④正确. 故选：C. 6. 2025年5月17日进行全国高中数学联赛（江苏赛区）预赛，某校拥有11个参加预赛的名额，现将这11个名额分配给高二的四个班级，有班级可以不分配名额，则名额分配的不同种数为（ ） A. 455 B. 364 C. 210 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及隔板法列式计算得解. 【详解】11个名额分配给1个班，有种；分配给2个班，有种； 分配给3个班，有种；分配给4个班，有种， 所以名额分配的不同种数为. 故选：B 7. 已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（ ） A. 0.206 B. C. 0.596 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点，可求，再推导出，可求值. 【详解】由表格中数据得， ， 代入方程得，，解得，因此. 由两边取对数，得. 又，所以，，即. 故选：D 8. 在棱长为4的正方体中，为的中点，若过三点作正方体的截面，,为截面上一点，则线段长度的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先作出截面，取中点为，连接，则截面为平面，转化为点与平面内点的距离，结合等体积法即可求解. 【详解】取中点为，连接， 由为的中点，所以， 则为平行四边形，从而四点共面， 所以过点三点作正方体的截面为平面， 在四棱锥中，，， ，， 又为平面上一点，显然当点与重合时长度最长为， 当平面时，最短， 设棱锥的高为， 因为，所以四边形为菱形，则, 又，， 则， 则， 又， 由，得，解得，则最短为， 所以线段长度的取值范围为， 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知是随机变量，则 B. 在评估模型拟合效果时，决定系数越接近0，表示模型对数据的拟合效果越好 C. 若把英文“error”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有20种 D. 某人在10次射击中，击中目标次数为，，则击中8次的可能性最大 【答案】AD 【解析】 【分析】由方差的性质可得A正确；由决定系数的意义可得B错误；由重复排列可判断C；由二项分布中最大值计算可判断D. 【详解】对于A，由方差的性质，即，故A正确； 对于B，在评估模型拟合效果时，决定系数越接近0，表示模型对数据的拟合效果越差，故B错误； 对于C，英文“error”的5个字母中有3个重复的，所以排列数为， 只有一种排列正确，所以错误的排列为19种，故C错误； 对于D，由二项分布的性质， 设最大，则， 即， 即， 化简可得，解得， 所以当时，最大，故D正确. 故选：AD. 10. 如图，某电子实验猫线路图上有、两个即时红绿指示灯，当遇到红灯时，实验猫停止前行，恢复绿灯后，继续前行，、两个指示灯工作相互独立，且出现红灯的概率分别为，.同学甲从第一次实验到第五次实验中，实验猫在处遇到红灯的次数为，在、两处遇到红灯的次数之和为，则（ ） A. B. C. 一次实验中，、两处至少遇到一次红灯的概率为 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意知道，再根据二项分布的概率公式，方差公式，期望公式逐个计算判定即可. 【详解】由题意可知，所以，，故A错误，B正确； 一次实验中，，两处至少遇到一次红灯的概率为，故C正确； 当时，一次实验中没有遇到红灯的概率为， 遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为， 故一次实验中遇到红灯次数的数学期望为，所以，故D正确. 故选：BCD. 11. 在棱长为2的正方体中，为的中点，若（），下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 若四面体的四个顶点均在球的表面上，则球的表面积为 C. 当点在线段上运动时，异面直线与所成角的取值范围是 D. 当直线与直线所成的角是时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用线面垂直的性得到，，由线面垂直的判定得面，再由面面垂直的判定，即可求解；对于B，建立空间直角坐标系，设四面体的外接球球心，半径为，根据条件直接求出，即可求解；对于C，设，求出与，再利用线线角的向量法，即可求解；对于D，，根据条件，利用线线角的向量法，得到，即可求解. 【详解】由，可知：是侧面内的动点，包括边界， 对于选项A，因为，又面，面， 所以，又，面，所以， 连接，同理可证，又，面，所以面， 又面，所以平面平面，故选项A正确， 对于选项B，如图建立空间直角坐标系，因为正方体棱长为， 则, 设四面体的外接球球心，半径为， 由，得到， 解得，则，则球的表面积为，所以选项B错误， 对于选项C，因为点在线段上，设， 因为，，，又， 设异面直线与所成的角为，则， 又，则，所以， 又，所以，故选项C正确， 对于选项D，易知，设，则，又， 则， 整理得到，其轨迹为平面上，以为圆心，为半径的圆， 又是侧面内的动点， 所以点的轨迹长度为，所以选项D正确， 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 若能被7整除，则的最小正整数取值为_____. 【答案】5 【解析】 【分析】先将进行变形，使其与建立联系，再根据整除的性质求出的最小正整数取值. 【详解】因为，而，所以. 根据二项式定理，将展开可得 除了最后一项外，其余各项都含有因数，都能被整除. 所以（其中为整数）. 因为能被整除， 14k能被整除，所以只要能被整除即可. 当时，，此时取最小正整数. 故答案为：5. 13. 2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众.现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位，移动了3次，该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点位置的条件下，该质点竖直方向移动两次的概率_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据相互独立时间的概率乘法公式，结合分类讨论以及条件概率的计算公式即可求解. 【详解】设事件“有且仅有一次经过”，事件“竖直方向移动2次”， 按到位置需要1步，3步分类讨论． 记向下，向上，向右，向左， ①若1步到位为事件，则满足要求的是LU（L或U或R），LL（L或U或D），LD（L或R或D）， LR（U或D或R），所以； ②若3步到位为事件，则满足要求的是ULD，DLU，RLL，UDL，DUL 所以；所以， 满足AB的情况有：LU（L或R），LD（L或R），LL（U或D），LR（U或D）． 所以，所以． 故答案为:． 14. 在正三棱台中，，，侧棱与底面所成角的正切值为.则该正三棱台的体积为_____.若该棱台内有一个正方体，且该正方体在棱台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为_____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空由正棱台的性质求出棱台的高，再由棱台的体积公式计算可得；第二空先求出正棱台的斜高，进而求出表面积，再由正棱台的内切球半径求出半径，然后可得. 【详解】如图， 取BC和的中点分别为P，Q， 上、下底面中心分别为，， 设棱台的高为， 因为，解得， 则正三棱台的体积为. 因为该棱台内有一个正方体，且该正方体在棱台内能任意转动，所以正方体的外接球应为棱台的内切球， 设内切球半径为，考虑正三棱台的轴截面，设斜高， 由勾股定理可得， 所以， 由棱台内切球性质可得， 设正方体的棱长为，则，解得. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在四棱锥中，底面为正方形，是的中点，平面，，，平面平面. （1）求证：平面； （2）如图，且，求点到平面的距离； 【答案】（1）证明见解 （2） 【解析】 【分析】（1）先根据结合线面平行判定定理得出平面，再应用线面垂直判定定理得出平面，进而得出线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再应用点到平面距离公式计算距离即可. 【小问1详解】 已知可得且平面，平面，所以平面； 平面，平面平面，， 因为底面为正方形，所以，平面， 平面，所以平面， 所以平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 又因为,，则、 设平面的一个法向量为， 由， 令，则，，可得平面的一个法向量为， 又因为， 所以点到平面的距离为． 16. 已知函数，函数的导函数为． （1）当时，求曲线的斜率为的切线方程； （2）若函数的极小值大于0，求a的取值范围． 【答案】（1）或 （2）． 【解析】 【分析】由，可得或，然后由点斜式可得答案； （2）由题可得，令，可得时，有极小值，据此可得答案. 【小问1详解】 当时，，令， 化简得，解得或． 当切点为时，所求切线方程为， 即； 当切点为时，所求切线方程为， 即； 【小问2详解】 ，， ， 因为，所以，当时，，单调递减； 当时，，单调递增．因此，当时，有极小值. 由题意，，则． 17. 在哈尔滨2025年第九届亚洲冬季运动会的志愿者选拔工作中，现随机抽取了120名候选人. （1）已知120名候选人中，男、女生各60人，男生想去冰上赛区的有35人，女生想去冰上赛区的有20人，请补全下面列联表.请问是否有99.9%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关? 志愿者 性别 合计 男生 女生 想去冰上赛区 35 20 不想去冰上赛区 合计 60 60 附： 0.050 0.010 0.001 3.941 6.635 10.828 （2）滑冰项目的场地服务需要4名志愿者，有4名男生和2名女生通过选拔入围，现随机从6名同学中抽取4人服务该场地，记男生被抽中的人数为，求的分布列及期望. 【答案】（1）答案见解析 （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）补全列联表，求出，从而有的把握认为候选人想去冰上赛区与性别无关； （2）男生被抽中的人数X可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此求出的分布列及期望． 【小问1详解】 志愿者 性别 合计 男生 女生 想去冰上赛区 35 20 55 不想去冰上赛区 25 40 65 合计 60 60 120 所以没有99.9%的把握认为候选人想去冰上赛区与性别有关； 【小问2详解】 男生被抽中的人数可能取值为2，3，4. . X的分布列为： 2 3 4 . 18. 如图，在四棱柱中，已知底面，，，，，点是线段上的动点（不包含端点）. （1）求证：平面； （2）求直线与所成角的余弦值的最大值； （3）若二面角的正弦值为.求线段的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据四棱柱的几何性质，结合线面判定定理，可得答案. （2）根据直线与其斜交平面内的直线的交角的取值范围，求得平面与直线的夹角，结合法向量与线面距，可得答案. （3）求得组成二面角的两平面的法向量，结合夹角的向量公式，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 在四棱柱中，，而平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 取中点，连接，在梯形中，，得，， 四边形是，，由，得，而平面， 则直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，在中，， 则， ， 设平面法向量为，可得，取，得， 设点到平面的距离， 设直线与平面的夹角为，则，即， 而，且平面，所以当直线与所成角为时，其余弦值取得最大值. 【小问3详解】 由（2）得，， 由，令，，则， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 设二面角的大小为，则， 由二面角的正弦值为，则， 则，整理得，而，解得， ，，所以线段的长为. 19. 某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，现有只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为，被感染的白鼠数用随机变量X表示，假设每只白鼠是否被感染之间相互独立 （1）若，求数学期望； （2）接种疫苗后白鼠被病鼠感染的概率为，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率与参数的取值有关.团队A提出函数模型为，团队B提出函数模型为.现将100只接种疫苗后的白鼠分成10组，每组10只，进行实验，随机变量表示第组被感染的白鼠数，将随机变量的实验结果绘制成频数分布图，如图所示. （i）试写出事件“”发生的概率表达式（用表示，组合数不必计算）； （ⅱ）在统计学中，若参数时使得概率最大，称是最大似然估计.根据这一原理和团队A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出的最大似然估计，并求出最大似然估计.参考数据：. 【答案】（1）50 （2）（i）；（ⅱ）团队B可以求出的最大似然估计， 【解析】 【分析】（1）由题意可得，再根据求解即可； （2）（i）设，依题意得，化简即可； （ⅱ）记，求导分析单调性可得最大值，分别在团体A，B中提出函数模型即可得答案． 【小问1详解】 由题知，随机变量服从二项分布，， 由， 即， 得，所以； 【小问2详解】 （i）“”， ， 所以； （ii）记， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，取得最大值，即取得最大值， 在团队提出的函数模型，中， 记函数，，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 当时，取得最大值，则不可以估计， 在团体提出的函数模型中， 记函数，单调递增， 令，解得， 则团队B可以求出的最大似然估计，且是的最大似然估计. 【点睛】求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤： （1）根据题中条件确定随机变量的可能取值； （2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列； （3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望 （在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等， 可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$