1.1菱形的性质与判定第1课时（教学设计）数学北师大版九年级上册

1.1 菱形的性质与判定（第1课时） 教学设计 1.教学内容 本节课是北师大版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第一章“特殊平行四边形”1.1 菱形的性质与判定（1），内容包括：菱形的定义、性质及其证明。 2.内容解析 本节课是在学生学习了平行四边形的性质和判定之后，对特殊平行四边形的进一步研究。菱形作为一种特殊的平行四边形，它的性质和判定方法是平行四边形知识的深化和拓展，有助于学生更全面地了解平行四边形的家族体系，完善知识结构。同时，本节课也为后续学习矩形、正方形等特殊平行四边形以及解决更复杂的几何问题提供了方法和思路，具有承上启下的作用。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并证明菱形的性质定理。 （1）通过观察、操作菱形模型与图形，能准确概括菱形的定义与性质，发展直观想象与数学抽象素养。 （2）通过参与菱形性质的探究证明过程，能运用几何推理方法进行逻辑论证，发展逻辑推理与数学运算素养。 （3）通过解决菱形相关的实际问题，能将数学知识应用于具体情境，发展数学建模与数据分析素养。 （4）通过小组合作探究与交流，能分享解题思路与发现，发展数学表达与合作交流素养。 2.目标解析 1.通过观察、操作菱形模型与图形，能准确概括菱形的定义与性质，发展直观想象与数学抽象素养：此目标旨在让学生借助直观感知，建立对菱形的感性认识。课堂上，通过展示菱形实物、几何模型或动态图形，引导学生观察菱形与平行四边形的异同，通过折纸、裁剪等动手操作，自主发现 “一组邻边相等” 这一关键特征，进而抽象概括出菱形的定义。在探索性质时，学生通过观察图形对称性、测量边与角等活动，将直观感受转化为数学语言，提炼出菱形边、角、对角线的性质，这一过程培养了学生从具体到抽象的思维能力，提升直观想象和数学抽象核心素养。​ 2.通过参与菱形性质的探究证明过程，能运用几何推理方法进行逻辑论证，发展逻辑推理与数学运算素养：该目标聚焦于学生的逻辑思维培养。在探究菱形性质的证明环节，学生需要基于平行四边形的性质、全等三角形等已有知识，通过分析条件与结论的逻辑关系，设计合理的证明思路。例如，证明菱形对角线互相垂直时，需构造全等三角形，利用等腰三角形三线合一的性质进行推导。在证明过程中，学生要规范书写证明步骤，严谨表述推理过程，这不仅锻炼了逻辑推理能力，还涉及线段长度计算、角度推导等数学运算，有助于提升数学运算素养，让学生掌握严密的数学论证方法。​ 3.通过解决菱形相关的实际问题，能将数学知识应用于具体情境，发展数学建模与数据分析素养：此目标强调数学知识的实际应用。教学中会引入如菱形图案设计、菱形结构受力分析等实际问题，学生需从实际情境中提取数学信息，将其抽象为菱形模型，运用菱形的性质建立数学关系，通过数据分析和计算解决问题。比如，在计算菱形花坛的周长和面积时，学生要根据测量数据，结合菱形边长相等、面积计算公式等知识建立数学模型求解，从而培养从实际问题中抽象数学模型的能力，以及处理数据、分析问题的素养。 4.通过小组合作探究与交流，能分享解题思路与发现，发展数学表达与合作交流素养：该目标注重学生的合作与表达能力培养。在小组合作探究菱形性质或解决复杂问题时，学生需相互交流想法，倾听他人观点，共同探索解决方案。例如，在讨论菱形性质的多种证明方法时，学生通过分享各自思路，相互启发，完善证明过程。在这个过程中，学生要清晰、准确地用数学语言表达自己的思考过程和结论，同时学会理解和接纳他人意见，有效进行团队协作，从而提升数学表达能力和合作交流素养。 学生在之前的学习中，已经系统掌握了平行四边形的定义、性质和判定方法，也具备全等三角形、等腰三角形等相关知识，这些都为菱形的学习奠定了良好的基础；学生具备一定的观察能力和动手操作能力，能够通过观察图形特征，发现图形之间的异同；在之前的几何学习中，也积累了一定的逻辑推理和几何证明经验，能够进行简单的几何推理和证明书写，但对于复杂的几何证明，尤其是需要综合运用多个知识点的证明，能力还有待提高。​ 1.对 “一组邻边相等的平行四边形是菱形” 这一定义的本质理解不深刻，容易忽视 “平行四边形” 这一前提条件，将一般四边形中邻边相等的图形误认为菱形。可以通过展示多种四边形图形（包括平行四边形、菱形及其他一般四边形），引导学生对比观察，找出菱形与其他图形的差异，突出菱形作为特殊平行四边形的 “特殊性”；同时，通过举例反例，如展示邻边相等但不是平行四边形的图形，加深学生对菱形定义的理解。 2.在探究菱形的性质时，虽然学生能够通过观察、测量等方式进行猜想，但在逻辑证明环节，可能会出现思路混乱的情况。因此，在探究菱形性质的证明时，将复杂的证明过程分解为多个小步骤，逐步引导学生分析。例如，在证明菱形对角线互相垂直时，先引导学生观察菱形对角线所分的三角形的特征，再启发学生联想等腰三角形三线合一的性质，帮助学生找到证明思路；在证明过程中，规范板书，详细讲解每一步的推理依据和书写格式，让学生模仿学习，逐步提高逻辑推理和证明书写能力。 3.当遇到实际问题或综合性题目时，学生可能难以快速提取菱形的相关性质并准确应用，无法将实际问题转化为数学模型，在结合勾股定理等知识进行综合计算时，容易出现计算错误或思路错误。设计阶梯式练习题，从简单的性质直接应用题目入手，逐步过渡到综合性较强的实际问题，如菱形花坛的设计、菱形装饰品尺寸计算等。在解题过程中，引导学生分析题目条件，找出与菱形性质相关的信息，建立数学模型；同时，加强计算训练，提高学生的运算准确性和解题能力。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.。 1.复习回顾 本节课将进入“特殊平行四边形”的学习，先回顾以下问题： (1)什么是平行四边形？ 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 (2)平行四边形有哪些性质？ 对称性：中心对称图形. 边：对边平行且相等. 角：对角相等,邻角互补. 对角线：相交并相互平分. 通过以上问题，猜测一下：菱形是不是平行四边形？菱形和平行四边形有什么关系呢？让我们赶紧进入本节课的学习吧！ （设计意图：由学生回忆并回答，为学习本节的知识做铺垫） （教学建议：教师提问，指定学生代表回答．回顾平行四边形的定义和性质，有利于学生类比平行四边形展开菱形的学习） 2.情景引入 教师：展示一些包含菱形元素的图片，如建筑中的菱形框架、公园中的菱形窗户、伸缩晾衣架的菱形结构，以及中国结造型等。 问题1：在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？ 问题2：它们与平行四边形有怎样的联系呢？ 教师：同学们观察的很仔细，这些平行四边形的邻边相等，像这样的平行四边形叫做菱形. 同学们你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流. （设计意图：通过生活中的实例引入课题，激发学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系，同时引导学生回顾平行四边形的相关知识，为后续探究菱形的性质做好铺垫。） （教学建议：在展示图片时，可以让学生自己举例说明生活中见到的菱形，增强学生的参与感。） 探究点1　菱形的定义 思考：在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考，在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？ 如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？ 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形． 【注意】菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等. （设计意图：通过对比平行四边形和菱形，让学生理解菱形的定义，培养学生的观察能力和归纳能力） （教学建议：可以让学生动手操作，将平行四边形的一组邻边缩短或延长，观察图形的变化，加深对菱形定义的理解。） 练一练 1.如图，下列条件中，能使平行四边形ABCD成为菱形的是（ C   ） A． B． C． D． 探究点2　菱形的性质 1.想一想 （1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗？ 菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分. （2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流. 猜想归纳：①菱形的四条边都相等. ②菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角. 2.做一做 用菱形纸片折一折，回答下列问题： （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ （2）菱形中有哪些相等的线段？ 折纸归纳： ①菱形是轴对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直. ②菱形的四条边相等. 3.验证菱形性质 已知：如图在菱形ABCD中，AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O. 求证：（1）AB＝BC＝CD＝AD； （2）AC⊥BD. 证明：（1）∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB ＝CD，AD＝ BC（菱形的对边相等）. 又∵ AB＝AD， ∴ AB＝BC＝CD＝AD. （2） ∵ AB＝AD， ∴ △ABD是等腰三角形. 又∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ OB＝OD（菱形的对角线互相平分）， 在等腰三角形ABD中， ∵ OB＝OD， ∴ AO⊥BD， 即AC⊥BD. 定理 菱形的四条边相等 定理 菱形的对角线互相垂直 （设计意图：通过动手操作和小组讨论，让学生自主探究菱形的性质，培养学生的动手能力和合作交流能力，同时发展学生的合情推理能力。） （教学建议：在学生动手操作时，教师要巡视指导，及时解决学生遇到的问题；在小组讨论时，要引导学生有序发言，鼓励学生大胆表达自己的想法。） 典例分析 例1　如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD＝60°，BD＝6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 分析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°.这样就可以得到等边三角形ABD,又BD＝6，所以菱形的边长也是6.②由菱形的对角线互相垂直，可以得到直角三角形AOB.由菱形的对角线互相平分，可以得到OB＝3，根据勾股定理就可以求出OA的长，从而可求出AC. 解:∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AB＝AD(菱形的四条边都相等)， AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直)， OB＝OD＝BD＝×6＝3(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABD中，∵ ∠BAD＝ 60°， ∴ △ABD 是等边三角形，∴ AB＝BD＝6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2＝AB2 ， ∴ OA＝， ∴ AC＝2OA＝6(菱形的对角线互相平分). 归纳：若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形. （设计意图：通过例题的讲解，让学生学会运用菱形的性质进行解题，提高学生的应用能力。） （教学建议：在讲解例题时，要引导学生分析题目中的条件和问题，找出解题的关键，让学生掌握解题的方法和技巧。） 1.菱形不具备的性质是（　　） A.四条边都相等 B.对角线一定相等 C.是轴对称图形 D.是中心对称图形 2.已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是(　　) A.AB＝BC　 　B.AB＝CD C.AD＝BC D.AC＝BD 3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　） A.20 B.24 C.40 D.48 4.如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（　　） A.25° B.30° C.20° D.15° （3题） （4题） （5题） 5.如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（2，0），（0，1），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（ ） A. B. C. D. 20 6.如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF＝BE.（提示：连接AC） 参考答案 1.B 2.A 3.A 4.D 5.C 6.证明：连接AC（图略）， ∵ 四边形ABCD是菱形， ∴ AC平分∠DAE，CD＝BC. ∵ CE⊥AB，CF⊥AD，∴ CE＝FC，∠CEB＝∠CFD＝90°. 在Rt△CDF与Rt△CBE中， ∴ Rt△CDF≌Rt△CBE（HL）， ∴ DF＝BE. 【点睛】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，同时考查了全等三角形的判定与性质. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.） （教学建议：在布置练习时，要根据学生的实际情况，选择难度适中的题目，让学生能够体验到成功的喜悦。） (设计意图：通过课堂小结，让学生梳理所学的知识，形成知识体系，加深对知识的理解和记忆。) 1.必做题：习题1.1第1-3题。 2.探究性作业：习题1.1第4题。 1.1菱形的性质与判定第1课时 1. 菱形的定义 2. 菱形的性质：（1）对称性；（2）性质定理 3. 核心思想：特殊与一般、类比 4. 例题区：（学生板演区域） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$