暑假作业16 多边形的内角和与外角和（9大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业16 多边形的内角和与外角和 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：多边形的内角和 】 1．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）为了增强对称美感，许多喷水池或花坛的台基设计为正八边形轮廓，则八边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了边形内角和公式，代入数值到，进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴八边形的内角和为， 故选：C 2．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，边形的内角和为(且为整数)．根据多边形的内角和计算公式列方程求解作答． 【详解】解：不能被整除，一个多边形的内角和不可能是． 故选：D． 3．（2025·湖南永州·二模）一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和计算出内角和，减去前四个内角即可得到第五个内角的度数． 【详解】解：因为五边形的内角和是，四个内角和为， 所以第5个内角的度数是． 故选：A． 4．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了边形的内角和公式，依题意，列式进行计算，即可作答． 【详解】解：∵一个边形的内角和是， ∴， 解得， 故选：C． 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【答案】(1)150度 (2)不是正多边形 【分析】本题考查了多边形的内角与外角; （1）根据多边形的内角和是的整数倍求出多边形的边数，再由多边形的内角和求出少加的这个内角的度数； （2）先假设这个多边形是正多边形，根据正多边形的性质，求出正多边形的外角度数，再确定正多边形的边数，得到的边数和（1）中的边数不一致，进而可得出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n，则， 解得． ∵为正整数， ∴， ∴少加的内角的度数为． （2）解：若这个多边形是正多边形，则每个外角的度数为， ∴它的边数应等于． 由（1）可知，这个多边形的边数为14，， ∴这个多边形不是正多边形． 【题型二：由多边形的内角和求边数 】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）一个凸多边形的每个内角均为，则这个多边形对角线的条数是（   ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】本题考查多边形的外角和，外角和，以及对角线的知识点，找出它们之间的关系是本题解题关键．先求出多边形的边数，再求从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数即可． 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于， ∴每个外角是， ∴这个多边形的边数是， ∴这个四边形所有对角线的条数是：2条． 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（    ） A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形的外角和，解题的关键是熟练掌握多边形外角和为．由题意可知，该多边形的每个外角相等，结合多边形外角和求解即可． 【详解】解：∵该多边形的每一个外角都等于， ∴该多边形的边数为， 故选：C． 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ． 【答案】4，6 【分析】设这两个多边形的边数分别为．根据两个多边形的内角总和是列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这两个多边形的边数分别为． 根据多边形内角和公式，得， 解得． 所以，， 即这两个多边形的边数分别是4，6． 故答案为：4，6． 4．（23-24七年级下·吉林长春·期末）在正边形中，每个内角与每个外角的度数之比为 (1)求的值； (2)正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为________，正五边形对角线的总条数为________． 【答案】(1)5 (2)2，5 【分析】本题考查正多边形的内角和外角，多边形的对角线： （1）设每个内角的度数为，每个外角的度数为，列出方程进行求解即可； （2）根据从一个多边形的顶点出发可以引出条对角线，总共有条对角线，进行求解即可． 【详解】（1）解：设每个内角的度数为，每个外角的度数为， 则：， ∴， ∴， ∴； （2）正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为：，正五边形对角线的总条数为：； 故答案为：2，5 5．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如果正多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多． (1)它是几边形？ (2)这个正多边形的内角和是多少度？ 【答案】(1)这个正多边形是十二边形 (2)这个正多边形的内角和为 【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和： （1）设这个正多边形的一个外角为，利用内角与外角的关系求得外角的度数，再利用多边形的外角和即可求解； （2）利用多边形的内角和公式即可求解； 熟练掌握多边形的内角和公式与外角和为是解题的关键． 【详解】（1）解：设这个正多边形的一个外角为， 依题意得：， 解得：， ， ∴这个正多边形是十二边形． （2）这个正多边形的内角和为：． 【题型三： 求多边形的外角 】 1．（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的外角内容，根据正多边形的每个外角都相等进行列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意正八边形外角和为， ∴每一个外角为． 故选：B． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得的和是解题的关键．由外角和内角的关系可求得的和，由多边形的内角和公式求得五边形的内角和，即可求得． 【详解】解：∵的外角和等于， ， ， ∵五边形内角和， ， ， 故选：A． 3．（2024春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．39° B．40° C．41° D．42° 【答案】D 【分析】利用外角和360°减去等边三角形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，然后减去∠3即可求得 【详解】等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°， 正五边形的内角的度数是：（5-2）×180°=108°， 则∠1+∠2=360°-60°-90°-108°-∠3=42°． 故选D． 【点睛】本题考查了多边形的外角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键. 4．（23-24八年级上·河南许昌·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查多边形的外角和是，由多边形的外角和是进行列式计算，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 5．（2024春·福建泉州·八年级泉州五中校考期中）如图，五边形中，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】根据补角的性质，得；再根据多边形外角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】如图，延长， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的知识；解题的关键是熟练掌握补角、多边形外角和的性质，从而完成求解． 【题型四：多边形内角和与外角和的实际应用问题 】 1．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，机器人从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形外角的定义和性质，理解题意，掌握多边形外角的定义和性质的计算是关键． 多边形的外角和为，每次旋转，由此得到多边形是正十二边形，由此即可求解． 【详解】解：从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，要走12次才能回到出发点； ∴， ∴这个多边形是正十二边形，即走了12次， ∴， 故选：D ． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是关键．直接利用多边形的外角和为即可得出答案． 【详解】解：多边形的外角和为， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的外角定理，根据多边形的外角和为即可求解，掌握多边形的外角和为是解题的关键． 【详解】解：六边形的外角和为， 故选：． 4．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形外角和，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．根据多边形的外角和等于度，即可求解． 【详解】解：由多边形的外角和等于度，可得． 故选：B． 5．（24-25八年级上·广东湛江·期末）有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A点处行走的路程是 米． 【答案】30 【分析】本题考查了多边形的内角与外角，判断出走过的路线是正多边形是解题的关键． 先判断出机器人所走过的路线是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再根据周长公式列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，机器人所走过的路线是正多边形，每一次都是向右转， 多边形的边数，周长（米）． 故答案为：30． 【题型一： 多边形的截角问题 】 1．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】先根据多边形的内角和公式求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后边数增加，不变，减少讨论得解． 【详解】解：设多边形截去一个角的边数为， 则， 解得， 多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少， 原来多边形的边数是或或． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是多边形的内角和公式，解题关键是多边形截去一个角后边数有增加，不变，减少三种情况． 2．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边． 【答案】或或9 【分析】本题考查了多边形的内角和度数，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：以五边形为例，如图所示：    剪去一个内角后，多边形的边数可能加，可能不变，也可能减 设新多边形的边数为， 则， 解得： ∴原多边形可能有或或9条边． 故答案为：或或9． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 【答案】、、 【分析】本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 设内角和为的多边形的边数是，根据多边形内角和定理可以求出所得多边形的边数； 由于一个多边形截去一个角后它的边数可能增加、可能减少或不变，由此确定原多边形的边数； 【详解】设内角和为的多边形的边数是， 于是有， 解得， ∵截去一个角后边数可能增加1，不变或减少1， 即原多边形的边数为或或； 故答案为：、、 4．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 ． 【答案】或或 【分析】由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形，由边形的内角和为，分别计算求解即可． 【详解】解：由题意知，把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，可得七边形、六边形、五边形， ∵边形的内角和为， ∴，，， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了多边形截去一个角的内角和．解题的关键在于确定六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形的种类． 5．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 【答案】(1)边数是12，对角线的条数是54 (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，根据多边形的内角和定理可以知道，边数增加1，相应内角和就增加180度，由此即可求出答案． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； 对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是12，它的对角线的条数是54； （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，分以下三种情况： 当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， 内角和； 当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为12， 内角和； 当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 内角和； 综上所述：当新多边形有13条边时内角和为，12条边时内角和为，11条边时内角和为． 故答案为：或或． 【题型二： 求几何图形中的多个角的和 】 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，如界，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外角性质，多边形的内角与外角，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，由外角性质可得，由四边形的内角和定理可得，则，又，从而求解． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图， ． 【答案】 【分析】本题考查求角度，涉及三角形外角性质、四边形内角和为等知识，先由是的一个外角，是的一个外角，得到，在四边形中，由，将代入即可得到答案．熟记三角形外角性质、四边形内角和为等知识，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， 在四边形中，， ， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知， ． 【答案】/240度 【分析】由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结果． 【详解】连接，， ∴ 又， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等以及三角形内角和定理；熟练掌握三角形的外角性质以及三角形内角和定理是解决问题的关键． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 （1） （2） 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 5．（24-25八年级上·全国·期末）（1）如图1， ； （2）若将图1中星形的一个角截去，如图2，则 ； （3）若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想 ； 【答案】（1）180；（2）360；（3）1080 【分析】本题主要考查了多边形的内角和，三角形的外角． （1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得的度数； （2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数； （3）根据图中可找出规律，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案． 【详解】解：（1）如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：180； （2）如图， ∵，， ∴， 故答案为：360； （3）图1中，每截去一个角则会增加180度， 所以当截去5个角时增加了度， 则， 故答案为：1080． 【题型三：多边形内角和与外角和的综合应用问题 】 1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的4倍．求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理和多边形外角和定理，熟知多边形内角和计算公式是解题的关键． （1）n边形的内角和为，据此列式求解即可； （2）n边形的内角和为，n边形的外角和为360度，据此根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴这个多边形的内角和为； （2）解：由题意得，， 解得． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知某个正多边形的一个外角等于与它相邻的内角的． (1)求这个外角的度数． (2)嘉嘉猜想这个正多边形的内角和超过，请判断嘉嘉的猜想是否正确并说明理由． 【答案】(1) (2)嘉嘉的猜想正确，理由见解析 【分析】本题主要考查多边形的内角和定理，外角和的性质，掌握内角和的计算，外角和的性质是解题的关键． （1）设与这个外角相邻的内角为，由此列式求解即可； （2）由（1）可得，这个正多边形的每个外角都相等，且都等于，则有这个正多边形的边数为，再根据多边形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：设与这个外角相邻的内角为，则这个外角为， 根据题意，得， 解得，， ， 这个外角的度数为． （2）解：正确，理由如下， 这个正多边形的每个外角都相等，且都等于， 正多边形的外角和为， 这个正多边形的边数为， 正多边形的内角和为， 嘉嘉的猜想正确． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若一个正多边形的内角和比外角和多． (1)求这个多边形的边数； (2)求这个多边形每个角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多边形的内角和与外角和、 （1）任意多边形的外角和均为360度，然后依据多边形的内角和公式列方程求解即可； （2）根据多边形内角和除以边数求解即可得． 【详解】（1）解：设这个多边形的边数为n． 根据题意得：，解得：． 答：这个多边形的边数为8． （2）解：这个多边形每个角的度数为：， 答：这个多边形每个角的度数为． 4．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知一个正多边形的边数为n． (1)若，求这个正多边形的内角和． (2)若这个正多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多，求n 的值． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查了求多边形内角与外角，掌握多边形内角和的公式是解题的关键． （1）根据多边形内角和定理解答，即可求解； （2）设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为，根据邻补角的性质列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：该正多边形的内角和． 答：这个正多边形的内角和为． （2）解：设这个正多边形的每个外角为，则每个内角为， 依题意，得∶ ， 解得， ∴． 答：这个正多边形的边数n为9． 5．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）已知：正n边形的每条边的边长是4． (1)若正n边形的内角和为，求这个正n边形的周长． (2)若正n边形的每个外角比每个内角小，求n的值． 【答案】(1)36 (2)10 【分析】本题主要考查正多边形内角和外角和的相关知识． （1）根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数． （2）设正n边形的每个外角为x，则每个内角为，然后根据题意列方程，求出正n边形的每个外角为，进而求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，解得， ∴正n边形的周长为； （2）解：设正n边形的每个外角为x，则每个内角为， 根据题意得，， 解得， ∴正n边形的每个外角为， ∴． 【题型一：多边形内角和（外角和）与平行线的综合运用 】 1．（2025·安徽合肥·三模）如图，正五边形的顶点B、D分别在一把直尺的两边上（直尺为长方形），若，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，正多边形的内角，三角形的内角和定理，根据平行线的性质求出的度数，根据正多边形的内角和公式以及每一个内角都相等，求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵直尺的对边平行， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴； 故选B． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，正六边形中，直线，分别经过边，上一点；且．则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、多边形外角和、三角形外角的性质，延长交直线于点，根据多边形的外角和是，正多边形的每个外角度数都相等，可以求出，根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质可得． 【详解】解：如图所示，延长交直线于点， ， ， 六边形是正六边形， ， 在中，， ， ． 故选：B． 3．（2024春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，将四边形纸片的右下角向内折出，恰好使，，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质得到，，根据四边形内角和得到，再根据折叠的性质得到，从而得到，最终求出． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线的性质和四边形内角和，解题的关键是熟知四边形的内角和等于360度． 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，EG∥AB． (1)∠1与∠2有怎样的数量关系? 为什么? (2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数． 【答案】(1)∠1与∠2互余 (2)4° 【分析】（1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出∠1+∠2=90°； （2）根据∠A与∠C互补可得∠C的度数，根据∠1与∠2互余可得∠2的度数，根据平行线的性质可得∠ABE的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可． 【详解】（1）∠1与∠2互余． ∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A与∠C互补， ∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°， ∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC， ∴∠1＝∠ADC，∠ABE＝∠ABC， ∵EG∥AB， ∴∠2=∠ABE， ∴∠1+∠2=∠ADC+∠ABC＝90°， 即∠1与∠2互余． （2）∵∠A=100°，∠1=42°， ∴∠C=80°，∠2=48°， ∴∠ABE=∠CBE=48°， ∴∠BEC=180°-48°-80°=52°， ∴∠CEG=52°-48°=4°． 【点睛】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义；弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键． 5．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，过正五边形的顶点，作交的延长线于点，交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了正多边形内角和公式、平行线的性质以及等腰三角形的判定，利用正多边形性质和平行线性质求出三角形两角相等是解题的关键．先根据正五边形内角和公式求出的度数．再结合正五边形的性质，计算出和的度数．利用平行线的性质，得出和的度数．最后通过比较和的度数，依据等腰三角形的判定（等角对等边）来证明是等腰三角形． 【详解】证明：是正五边形， ． ，． ， ，． ． 是等腰三角形． 【题型二：多边形内角和（外角和）与角平分线的综合运用 】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，分别平分，，探究与，的数量关系并证明． 【答案】，详见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据四边形的内角和为360度，三角形的内角和为180度，结合角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：．证明如下： ，分别平分，， ，． ， ． ． ， ． 2．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）四边形中，，． (1)如图1，若，试求出的度数； (2)如图2，若的角平分线交于点E，且，试求出的度数； (3)如图3，若和的角平分线交于点E，试求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查了多边形的内角和公式的求解原理，平行线的性质以及三角形的内角和定理，角平分线的定义，仔细分析图形是解题的关键． （1）根据四边形的内角和等于360°列式即可求解； （2）先根据平行线的性质求出与的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可； （3）先根据四边形的内角和等于求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，然后利用三角形的内角和定理列式即可求出的度数． 【详解】（1）∵，，， ∴， 解得； （2）∵，，， ∴， ， ∵是的角平分线， ∴， 在中，； （3）∵，， ∴， ∵、分别是和的角平分线， ∴， 在中，． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）(1)如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系； (2)如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； (3)用你发现的结论解决下列问题： 如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 【答案】(1)；(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和；(3) 【分析】（1）根据四边形的内角和等于用表示出，再根据平角的定义用表示出，即可得解； （2）根据（1）的结论，即可求解； （3）根据（1）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：、、、是四边形的四个内角， ， ， ，， ， ； （2）答：四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和； （3）解：， ， 、分别是、的平分线， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，整体思想的利用是解题的关键． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）（1）如图1，若，平分，平分，则________°； （2）如图1，若，，，则_________（用含的式子表示）； （3）如图1，若，，，则________（用含，的式子表示）； （4）如图2，若，，，，则________（用含，，的式子表示）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，，由三角形的内角和定理可得，然后将代入即可求出的度数； （2）由三角形外角的性质可得，，由三角形的内角和定理可得，然后将代入即可求出； （3）由三角形外角的性质可得，，由三角形的内角和定理可得，然后将代入即可求出； （4）由角的和差关系可得，，由三角形的内角和定理可得，由四边形的内角和可得，然后将，代入即可求出． 【详解】解：（1）平分，平分， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， ； 故答案为：； （3）， ， ； 故答案为：； （4），， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，多边形内角和问题，角平分线的有关计算，列代数式等知识点，熟练掌握三角形的内角和外角及多边形的内角和问题是解题的关键． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】 （1）如图1，和的平分线交于点F，则 ； （2）如图2，，且和的平分线交于点，则 ；（用表示） （3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论． 【答案】[探究]（1）35度；（2）；（3），见解析；[挑战]，见解析 【分析】[探究]（1）根据四边形的内角和定理可得，由角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角和的性质可得，由此即可求解； （2）证明方法同（1）； （3）根据，则，根据角平分线的定义可得，由，结合平行线的性质即可求解； [挑战] 根据角平分线的定义可得，由多边形内角和定理可得，结合三角形内角和定理，三角形外角和的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图1， ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ． （2）如图2， 由（1）得：，， ∴ ． （3）若，则， 证明：如图3， 若，则， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， [挑战]如图4， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，外角和的性质，多边形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识的综合，掌握多边形内角和定理，三角形外角和性质，平行线的性质是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 完成时间： 月 日 天气： 作业16 多边形的内角和与外角和 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：多边形的内角和 】 1．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）为了增强对称美感，许多喷水池或花坛的台基设计为正八边形轮廓，则八边形的内角和为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）一个多边形的内角和不可能是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·湖南永州·二模）一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）如果一个边形的内角和为，那么的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·期中）小云求一个多边形的内角和时，少加了一个内角，得到． (1)求少加的内角的度数． (2)请通过计算，判断这个多边形能否是正多边形． 【题型二：由多边形的内角和求边数 】 1．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）一个凸多边形的每个内角均为，则这个多边形对角线的条数是（   ）． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如果一个多边形的每一个外角都等于，那么这个多边形的边数为（    ） A．七 B．八 C．九 D．十 3．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知两个多边形的内角总和为，且边数之比为，则这两个多边形的边数分别是 ． 4．（23-24七年级下·吉林长春·期末）在正边形中，每个内角与每个外角的度数之比为 (1)求的值； (2)正五边形每个顶点可引出的对角线的条数为________，正五边形对角线的总条数为________． 5．（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如果正多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多． (1)它是几边形？ (2)这个正多边形的内角和是多少度？ 【题型三： 求多边形的外角 】 1．（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）花窗不仅是建筑的眼睛，更是中式美学的灵魂．如图所示是中国古建筑中的一个正八边形的窗户，则它的一个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，七边形中，的延长线交于点O，若的外角和等于，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024春·黑龙江齐齐哈尔·八年级校考期中）如图，在由等边三角形、正方形和正五边形组合而成的图形中，∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（　　） A．39° B．40° C．41° D．42° 4．（23-24八年级上·河南许昌·期中）“花影遮墙，峰峦叠窗”，空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素．如图是窗棂中的部分图案．若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（2024春·福建泉州·八年级泉州五中校考期中）如图，五边形中，，则的度数是 ． 【题型四：多边形内角和与外角和的实际应用问题 】 1．（24-25八年级下·广西来宾·期中）如图，机器人从点出发朝正东方向走了，到达点，记为第1次行走；接着，在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达，记为第2次行走；再在点处沿逆时针方向旋转后向前走到达点，记为第3次行走，……，以此类推，该机器人从出发到第一次回到出发点时所走过的路程为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．展示了数学与艺术的完美结合，它不仅是数学领域中的一个重要发现，还在建筑设计、艺术创作等领域中具有重要的美学价值．如图，五边形是人类发现的第15种完美五边形的示意图，其中，则等于（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·山西朔州·期末）石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构如图所示，六边形的外角和为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北承德·期末）如图，图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东湛江·期末）有一程序，如果机器人在平地上按如图所示的步骤行走，那么机器人回到A点处行走的路程是 米． 【题型一： 多边形的截角问题 】 1．（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或或 2．（23-24八年级上·辽宁营口·期中）如果把一个多边形剪去一个内角，剩余部分的内角和为，那么原多边形有 条边． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为，那么多边形的边数为 4．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）把一个六边形纸片沿一条直线截下一个角后，得到的多边形纸片的内角和为 ． 5．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于， (1)求这个多边形的边数及对角线的条数； (2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______． 【题型二： 求几何图形中的多个角的和 】 1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，如界，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图， ． 3．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，已知， ． 4．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 5．（24-25八年级上·全国·期末）（1）如图1， ； （2）若将图1中星形的一个角截去，如图2，则 ； （3）若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想 ； 【题型三：多边形内角和与外角和的综合应用问题 】 1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知一个多边形的边数为． (1)若，求这个多边形的内角和； (2)若这个多边形的内角和是它的外角和的4倍．求的值． 2．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）已知某个正多边形的一个外角等于与它相邻的内角的． (1)求这个外角的度数． (2)嘉嘉猜想这个正多边形的内角和超过，请判断嘉嘉的猜想是否正确并说明理由． 3．（24-25八年级上·福建厦门·期中）若一个正多边形的内角和比外角和多． (1)求这个多边形的边数； (2)求这个多边形每个角的度数． 4．（24-25八年级上·河北保定·期中）已知一个正多边形的边数为n． (1)若，求这个正多边形的内角和． (2)若这个正多边形的每个内角都比与它相邻外角的3倍还多，求n 的值． 5．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）已知：正n边形的每条边的边长是4． (1)若正n边形的内角和为，求这个正n边形的周长． (2)若正n边形的每个外角比每个内角小，求n的值． 【题型一：多边形内角和（外角和）与平行线的综合运用 】 1．（2025·安徽合肥·三模）如图，正五边形的顶点B、D分别在一把直尺的两边上（直尺为长方形），若，则图中的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东济宁·一模）如图，正六边形中，直线，分别经过边，上一点；且．则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2024春·江苏徐州·八年级统考期中）如图，将四边形纸片的右下角向内折出，恰好使，，若，则 ． 4．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∠ABC、∠ADC的平分线分别交CD、AB于点E、F，EG∥AB． (1)∠1与∠2有怎样的数量关系? 为什么? (2)若∠A＝100°，∠1＝42°，求∠CEG的度数． 5．（2025·吉林松原·模拟预测）如图，过正五边形的顶点，作交的延长线于点，交的延长线于点．求证：是等腰三角形． 【题型二：多边形内角和（外角和）与角平分线的综合运用 】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在四边形中，分别平分，，探究与，的数量关系并证明． 2．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）四边形中，，． (1)如图1，若，试求出的度数； (2)如图2，若的角平分线交于点E，且，试求出的度数； (3)如图3，若和的角平分线交于点E，试求出的度数． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）(1)如图①②，试研究其中、与、之间的数量关系； (2)如果我们把、称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； (3)用你发现的结论解决下列问题： 如图③，、分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 4．（24-25八年级上·山东青岛·期末）（1）如图1，若，平分，平分，则________°； （2）如图1，若，，，则_________（用含的式子表示）； （3）如图1，若，，，则________（用含，的式子表示）； （4）如图2，若，，，，则________（用含，，的式子表示）． 5．（2024八年级上·全国·专题练习）【探究】 （1）如图1，和的平分线交于点F，则 ； （2）如图2，，且和的平分线交于点，则 ；（用表示） （3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$