第02讲 二次根式的加减-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第02讲 二次根式的加减思维导图 知识点1 二次根式的加法 一、同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。 判断方法： 1.化成最简二次根式。 2.看被开方数是否相同，根指数是否相同（都等于2）。 注意：几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。 二、二次根式的加法 实质：合并同类二次根式。 步骤： 1.将每个二次根式化为最简二次根式。 2.找出其中的同类二次根式。 3.合并同类二次根式，即把系数相加减，根指数和被开方数不变。 注意：对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中。在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。 知识点2 二次根式的除法 一、二次根式的减法运算 二次根式的减法实质上就是合并同类二次根式，即把它们的系数相减，根指数和被开方数都不变。进行二次根式的减法运算时，一般步骤为： 1、将每一个二次根式化成最简二次根式； 2、找出其中的同类二次根式； 3、合并同类二次根式，即把它们的系数相减。 需要注意的是，不是同类二次根式的不能合并。另外，过去在学习整式的加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用。二次根式的加减运算结果应写成最简结果或几个非同类二次根式的和。 二、二次根式的混合运算 在进行二次根式的混合运算时，运算顺序与实数运算类似，即先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。同时，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。 教材习题01 计算： 解： 教材习题02 化简：． 解：原式== 教材习题03 计算： (1)； (2)． （1）解： ； （2）解： ． 考点一、同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定． 【详解】解：，与不是同类二次根式，故A选项不合题意； ，与不是同类二次根式，故B选项不合题意； 与不是同类二次根式，故C选项不合题意； 与是同类二次根式，故D选项符合题意； 故选：D． 2．若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查同类二次根式．根据被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式进行求解即可． 【详解】解：， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴， 故答案为：9 3．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 【答案】6 【分析】本题考查同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式可以合并， ∴最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 考点二、比较二次根式的大小 1．比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式大小比较，先求出与的平方，然后比较大小即可． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 即前者大， 故选：A． 2．比较大小： ．（填>，<或=） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较：对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较．先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 3．一般地，当、时，如果，那么．例如：，等．试用这个结论比较下列两数的大小： (1)与： (2)与． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的性质，二次根式的乘法运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先把化成，再比较出和的大小，即可得出答案； （2）先把化成，化成，再比较和的大小，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， ， 即； （2）解：，， ， ， 即， ． 考点三、二次根式的加减运算 1．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简、分母有理化、加减运算，求一个数的立方根，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键． 先分别计算二次根式的化简、分母有理化、立方根，再加减即可求解． 【详解】解： ． 2．计算：． 【答案】 【分析】根据二次根式的加减法法则计算即可． 【详解】解：， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式加减法法则是解题的关键． 3．计算：． 【答案】0 【分析】先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 考点四、二次根式乘法公式运算 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用二次根式的性质化简和二次根式的混合运算． （1）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先利用乘法公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)11 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式，即可求解； （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化为最简二次根式，再算加减； （2）先根据乘法公式计算，再算加减． 【详解】（1） ； （2） ． 考点五、二次根式化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值．先通分，再进行同分母的减法运算，接着约分得到最简分式，然后把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 2．已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据平方差公式和二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）先根据分式加减运算法则进行化简，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ， ． 3．已知：，求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简，二次根式的混合运算； （1）先计算的值，然后根据整式的乘法化简，代入代数式，即可求解； （2）将分式化简，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴ （2）解：∵ ∴，， ∴ 考点六、二次根式的应用 1．如图，王师傅家的院子里有一块矩形空地，他准备在空地中间修建一个矩形水池，其余地方种植蔬菜．已知矩形空地的长为，宽为，矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植蔬菜的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意，正确列式是解答的关键． （1）根据矩形的周长公式，结合二次根式的性质化简求解即可； （2）先由矩形空地的面积减去矩形水池的面积得到种植蔬菜的面积即可求解． 【详解】（1）解∶ ， 答：矩形空地的周长为； （2）解∶ ， 答：种植蔬菜的面积为． 2．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果保留根号） (2)从高空抛出的物体，经过落地，求所抛物体下落的高度是多少？ (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位：），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)会，见解析 【分析】本题考查二次根式的应用，弄清题意，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）直接把代入公式即可得时间； （2）将代入公式即可得高度h； （3）先根据公式求出，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断． 【详解】（1）解：根据题意得：； 故答案为： （2）解：把代入公式得：， 解得：； 所抛物体下落的高度是． （3）解：能伤害到楼下无防护的行人，理由如下： 当时，． 解得． 把代入公式得，． 质量为的玩具经过落地所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 3．现有两块同样大小的长方形纸片，小黑采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片，． (1)求原长方形纸片的周长．（结果化为最简二次根式）； (2)小红想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能裁出，见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长，算出正方形纸片B的边长，再得出原长方形纸片的长，宽，即可作答； （2）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为； 则截出的正方形纸片B的边长为， 则原长方形纸片的长为，宽为， ∴， 故答案为： （2）解：不能截出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 考点七、二次根式分母有理化 1．、（）、（）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：：________，：________； (2)化简：； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据有理化因式的定义，进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为； ∵； ∴的有理化因式为； （2）原式 ． 2．阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 【答案】（1）（答案不唯一），（答案不唯一）；（2）；（3） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）根据分母有理化计算即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可． 【详解】解：（1）的有理化因式是（答案不唯一）， 的有理化因式是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一），（答案不唯一）； （2） ； （3）， ， ， ， ． 3．阅读材料，并完成下列任务： 我们知道，对于式子，可以通过分母有理化进行化简．分母有理化就是利用平方差公式，将其分子分母同时乘以，得到： 同理，对于，分子分母同时乘以，则有： 问题： (1)按照上述方法，化简； (2)计算的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和分母有理化，熟练掌握分母有理化是关键． （1）按照分母有理化的方法计算即可； （2）按照分母有理化的方法计算后，再进行二次根式的加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点八、秦九韶——海伦公式 1．文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．    (1)如图，若的三边长依次为，，． 利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S； 除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积？请写出求解过程； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 【答案】(1)；见解析； (2)． 【分析】（）先求出的值，再根据海伦公式求三角形的面积即可或直接根据秦九韶公式即可； 过点作于点，利用勾股定理即可求解； （）连接，由勾股定理得，最后由即可求解； 本题考查了二次根式的化简，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）方法一：海伦公式． ∵，，， ∴， ∴ ； 方法二：秦九韶公式． ∵，，， ∴ ； 如解图，过点作于点，    设则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）连接，如图，    ∵，，， ∴， 在 中，， ∴， ∴该四边形的面积为． 2．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，，，． (1)直接写出p的值，p=________． (2)求的面积； (3)过点A作，垂足为D，求线段的长． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的应用，三角形的面积： （1）利用阅读材料，计算出p的值； （2）根据海伦——秦九韶公式计算的面积； （3）利用面积法求的长，再根据勾股定理可求的长． 【详解】（1）∵， ∴． 故答案为：10； （2）的面积 （3）如图， ∵的面积， ∴， 解得． 在中，，， ∴ 3．设一个三角形的三边长分别为，，，则有下列面积公式： （秦九韶公式）； （海伦公式），其中． 如图1，在中，，，．    (1)求的面积． (2)以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． ①证明：； ②已知“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．设的三条角平分线交于一点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①详见解析；② 【分析】（1）根据秦九韶公式或海伦公式计算即可； （2）①过作轴，轴的垂线，垂足分别为，．由等面积法求解，可得，证明，可得，．延长到点，使得．则为线段的垂直平分线．证明为等边三角形．再进一步求解即可； ②由（2）知，，则．如图，连接，，．设到各边的距离为．由等面积法求解，设直线的函数表达式为，，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：依题意，在中，,,． 根据秦九韶公式，的面积． ． ． 依题意，在中，，，， 则． 根据海伦公式，的面积． ． （2）解：①过作轴，轴的垂线，垂足分别为，． 则的面积．    由（1）知，． ， ． 在Rt中，， ． ∵， ． 又，． ． ，． 延长到点，使得． 则为线段的垂直平分线． ． 又， 为等边三角形． ． ． ②由（2）知，，则． 如图，连接，，．   在的平分线上， 到的距离与到的距离相等． 同理，到的距离与到的距离相等． 即到各边的距离相等． 设到各边的距离为． 则，，的距离分别为，，．则． 又， ． ． 在轴上方，故可设． 设直线的函数表达式为，． 则， ． 直线的函数表达式为． 是的平分线， 点在上， ． 解得． ． 【点睛】本题考查的是三角形的面积的计算，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，坐标与图形，角平分线的性质，正比例函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 知识导图记忆 1．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减，先把所给二次根式化简，再根据同类二次根式的定义判断即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不能合并，原选项不符合题意； 、与能合并，原选项符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 、与不能合并，原选项不符合题意； 故选：． 2．下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方根，算术平方根，立方根的定义，二次根式的加减法则逐项判断即可． 本题考查平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：，则A不符合题意， ，则B不符合题意， ，则C符合题意， ，则D不符合题意， 故选：C． 3．已知那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数大小比较，分母有理化，掌握倒数法比较大小的方法是解题关键．利用倒数法比较大小即可． 【详解】解：∵ ∴，，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．若，，则（    ） A．6 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的应用，二次根式的乘法运算；两式相乘，根据平方差公式及二次根式的乘法即可求解． 【详解】解：， 即； 故选：A． 5．若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①； ②； ③若（其中为有理数）则； ④若，则． 以上结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式，二次根式的混合运算，二次根式的化简，利用有理化因式进行变形计算后即可一一判断，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：①，故①错误，不合题意； ②，故②正确，符合题意； ③ ， 若， 则， 解得， ∴，故③错误， ④∵， 又∵， ∴，故④正确，符合题意； 综上，结论正确的有个， 故选：． 6．计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式计算即可求解，掌握平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．写一个二次根式，使它与是同类二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类二次根式的定义，根据定义直接写出一个的同类二次根式即可． 【详解】解：与是同类二次根式的可以是， 故答案为：（答案不唯一） 8．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除，解题关键是理解二次根式的加减乘除法则． 先化简小括号里的，再计算乘法． 【详解】解：原式= =， 故答案为：1 ． 9．古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦－秦九韶公式．若中，，，请你利用海伦－秦九韶公式计算的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，三角形面积的计算，读懂题意，弄清海伦公式的计算方法是解题的关键． 先根据的三边长求出的值，然后再代入面积公式，进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， 故答案为：． 10．在中，，，点P为射线上一动点，连接，．作点B关于线段的对称点D，连接，，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，分类讨论，即分为当在线段上时和当在线段延长线上时，两种情况，逐一解答即可，正确画出图形，寻找图中全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，当在线段上时， ， ， ， 点B关于线段的对称点D， ，， ， ， ， 如图，当在线段延长线上时， ， ， ， 点B关于线段的对称点D， ，， ， ， ， 设，则，， ，， ， ， ， , 根据对称可得， 即， 解得， ， 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 11．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式混合运算以及零次幂，熟记二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式性质以及零次幂化简，再计算即可． 【详解】解：原式． 12．计算：． 【答案】 【分析】利用平方差公式、完全平方公式及二次根式的性质计算即可；此题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是首先化最简二次根式，同时也注意利用公式简化计算． 【详解】解：原式 ． 13．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，及二次根式的分母有理化，熟练掌握以上化简技巧是解题的关键． 先通分，因式分解，然后变除为乘，约分即可，最后代入的值，得出结果 【详解】解： ． 当时， 原式． 14．探究： 观察下列等式： ； ； ； …… 解答下列问题： (1)模仿：化简：__________，__________． (2)拓展：比较和的大小． (3)运用：计算 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）仿照例题化简即可； （）先求出和的倒数，进而比较倒数即可判断求解； （）利用二次根式的化简方法对括号内的各项化简，进而利用平方差公式计算即可求解； 本题考查了二次根式的分母有理化，掌握二次根式运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：， ， ， ， ； （3）解： ． 15．阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 【答案】(1)， (2)， (3) (4)这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是 【分析】本题考查了二次根式的性质，理解题意是解题的关键； （1）根据，当且仅当时取到等号．(，均为正数)即可求解． （2）根据例题的方法，，即可求解． （3）将看成整理，即，进而根据，代入即可求解； （4）设这个矩形的长为x米，根据宽=面积÷长，可得宽为米，则所用的篱笆长等于长加宽的和乘以2，根据阅读材料即可求解； 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，． （2）解：∵， ∴ ∴当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：，． （3）解：∵ ∴ 设 ∴ 当时，即时，有最小值，最小值为 故答案为：． （4）设这个矩形的长为，所用的篱笆总长为， ∵围一个面积为的长方形花园， ∴宽为， ∴ ∵， ∴， 当且仅当时，即时有最小值，最小值为40． 时，=10， ∴当这个长方形的长、宽为时：所用的篱笆最短，最短的篱笆是． 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的加减思维导图 知识点1 二次根式的加法 一、同类二次根式 定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式。 判断方法： 1.化成最简二次根式。 2.看被开方数是否相同，根指数是否相同（都等于2）。 注意：几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。 二、二次根式的加法 实质：合并同类二次根式。 步骤： 1.将每个二次根式化为最简二次根式。 2.找出其中的同类二次根式。 3.合并同类二次根式，即把系数相加减，根指数和被开方数不变。 注意：对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中。在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用。 知识点2 二次根式的除法 一、二次根式的减法运算 二次根式的减法实质上就是合并同类二次根式，即把它们的系数相减，根指数和被开方数都不变。进行二次根式的减法运算时，一般步骤为： 1、将每一个二次根式化成最简二次根式； 2、找出其中的同类二次根式； 3、合并同类二次根式，即把它们的系数相减。 需要注意的是，不是同类二次根式的不能合并。另外，过去在学习整式的加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则在二次根式的加减运算中仍然适用。二次根式的加减运算结果应写成最简结果或几个非同类二次根式的和。 二、二次根式的混合运算 在进行二次根式的混合运算时，运算顺序与实数运算类似，即先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的。同时，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的运算中仍然适用。 教材习题01 计算： 教材习题02 化简：． 教材习题03 计算： (1)； (2)． 考点一、同类二次根式 1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．若与最简二次根式可以合并，则 ． 3．若最简二次根式与最简二次根式可以合并，求的值． 考点二、比较二次根式的大小 1．比较大小：与的结果是（   ） A．前者大 B．一样大 C．后者大 D．无法确定 2．比较大小： ．（填>，<或=） 3．一般地，当、时，如果，那么．例如：，等．试用这个结论比较下列两数的大小： (1)与： (2)与． 考点三、二次根式的加减运算 1．计算：． 2．计算：． 3．计算：． 考点四、二次根式乘法公式运算 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1)． (2)． 3．计算： (1) (2) 考点五、二次根式化简求值 1．先化简，再求值：，其中． 2．已知，求下列代数式的值． (1)； (2)． 3．已知：，求： (1) (2) 考点六、二次根式的应用 1．如图，王师傅家的院子里有一块矩形空地，他准备在空地中间修建一个矩形水池，其余地方种植蔬菜．已知矩形空地的长为，宽为，矩形水池的长为，宽为． (1)求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） (2)求种植蔬菜的面积． 2．高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高空抛出的物体下落所需时间t（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）． (1)从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间________；（结果保留根号） (2)从高空抛出的物体，经过落地，求所抛物体下落的高度是多少？ (3)资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位：），，h为高度（单位：）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量是否会伤害到楼下无防护的行人？请说明理由． 3．现有两块同样大小的长方形纸片，小黑采用如图①所示的方式，在长方形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片，． (1)求原长方形纸片的周长．（结果化为最简二次根式）； (2)小红想采用如图②所示的方式，在长方形纸片上裁出面积为的两块正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 考点七、二次根式分母有理化 1．、（）、（）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． (1)请写出以下代数式的一个有理化因式：：________，：________； (2)化简：； 2．阅读理解下列材料，并解决相应的问题． ［材料一］两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．例：，，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是 （写出一个即可），的有理化因式是 （写出一个即可）； ［材料二］如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简计算：． ［材料三］与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化．比如：． （3）试利用分子有理化比较和的大小．并说明理由． 3．阅读材料，并完成下列任务： 我们知道，对于式子，可以通过分母有理化进行化简．分母有理化就是利用平方差公式，将其分子分母同时乘以，得到： 同理，对于，分子分母同时乘以，则有： 问题： (1)按照上述方法，化简； (2)计算的值． 考点八、秦九韶——海伦公式 1．文化我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，则其中三角形的面积．此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，如果设，那么其三角形的面积，这个公式便是海伦公式，也被称为海伦——秦九韶公式．    (1)如图，若的三边长依次为，，． 利用以上任一公式（任选一个公式即可），求该三角形的面积S； 除了利用以上公式，你还可以用什么办法求出该三角形的面积？请写出求解过程； (2)如图，在四边形中，，，，，，求该四边形的面积． 2．阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，我国南宋时期数学家秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦——秦九韶公式”．完成以下问题：如图，在中，，，． (1)直接写出p的值，p=________． (2)求的面积； (3)过点A作，垂足为D，求线段的长． 3．设一个三角形的三边长分别为，，，则有下列面积公式： （秦九韶公式）； （海伦公式），其中． 如图1，在中，，，．    (1)求的面积． (2)以为坐标原点，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． ①证明：； ②已知“角平分线上的点到这个角的两边的距离相等”．设的三条角平分线交于一点，求点的坐标． 知识导图记忆 1．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 2．下列算式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．若，，则（    ） A．6 B． C．3 D． 5．若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①； ②； ③若（其中为有理数）则； ④若，则． 以上结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．计算的结果等于 ． 7．写一个二次根式，使它与是同类二次根式： ． 8．计算： ． 9．古今中外的不少学者对三角形面积的计算做出了诸多思考，尤其值得一提的是古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶均提出了类似的计算办法：若三角形三边长分别为a，b，c，记，则三角形的面积为，因此后人将他们的发现合称为海伦－秦九韶公式．若中，，，请你利用海伦－秦九韶公式计算的面积为 ． 10．在中，，，点P为射线上一动点，连接，．作点B关于线段的对称点D，连接，，若是以为直角边的等腰直角三角形，则的长为 ． 11．计算： 12．计算：． 13．先化简，再求值：，其中． 14．探究： 观察下列等式： ； ； ； …… 解答下列问题： (1)模仿：化简：__________，__________． (2)拓展：比较和的大小． (3)运用：计算 15．阅读材料: 若两个正数，，则有下面不等式，当时取等号，我们把叫作正数，的算术平均数，把叫作正数，的几何平均数，于是上述不等式可以表述为：两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最大(小)值问题的有力工具．不等式可以变形为不等式，当且仅当时取到等号．(，均为正数) 例：已知x>0，求的最小值． 解：由得，当且仅当，即时，有最小值，最小值为．根据上面材料回答下列问题： (1)______；______；(用“”“”“”填空) (2)当，则的最小值为，此时_____； (3)当，则的最小值为______； (4)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短篱笆是多少？ 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$