第01讲 二次根式 二次根式的乘除-【暑假自学课】2025年新九年级数学暑假提升精品讲义（华东师大版）

第01讲 二次根式 二次根式的乘除思维导图 易错辨析、概念比较、重点记忆 知识点1 二次根式 一、二次根式的定义 形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。其中，a称为被开方数，它必须是非负数。此外，形如b√a（a≥0）的式子也是二次根式，它表示b与√a的积。 二、二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是：被开方数必须是非负数。如果二次根式的被开方数是含有字母的式子，那么需要求出使该式子非负的字母的取值范围。 三、二次根式的性质 1.非负性：√a（a≥0）是一个非负数，其最小值是0。 2.双重非负性：若a≥0，则√a具有双重非负性，即√a是非负的，且（√a）²=a。 知识点2 二次根式的乘除 一、二次根式的乘法 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。即，若有两个二次根式√a和√b（其中a≥0，b≥0），则它们的乘积为√(a×b)。此外，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。 二、二次根式的除法 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除，再取商的算术平方根。即，若有两个二次根式√a和√b（其中a≥0，b>0），则它们的商为√(a/b)=√a/√b。同时，商的算术平方根等于被除数和除数的算术平方根的商。 在学习二次根式的乘除法时，需要注意以下几点： 1. 确保被开方数为非负数，以保证根式有意义。 2. 在进行乘除法运算时，可以先将根式外的数进行乘除运算，再将结果与被开方数相乘或相除。 3. 运算结果需要化简，使被开方数中不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，得到最简二次根式。 教材习题01 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）； （2）； （3）； （4）． 解：（1）， 则a+2≥0， 解得：a≥-2； （2）， 则3-a≥0， 解得：a≤3； （3）， 则5a≥0， 解得：a≥0； （4）， 则2a+1≥0， 解得：a≥-． 教材习题02 计算： (1)． (2) (3)． (4)． （1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． 教材习题03 化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解： 教材习题04 计算： （1）；                     （2）. 解：（1）. （2） 教材习题05 化简： (1)； (2)； (3)； (4)． （1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 考点一、二次根式有意义 1．要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， ∴， 故选：D． 2．要使有意义，x的取值应满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式，根据二次根式有意义的条件得出，然后解不等式即可． 【详解】解∶根据题意，得， ∴， 故答案为：． 3．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3)，且 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式和分式有意义的条件， 对于（1），根据二次根式有意义的条件可知，可求出答案； 对于（2），根据题意可知，可得答案； 对于（3），根据二次根式和分式有意义的条件可知，且，求出答案； 对于（4），根据题意可得，可得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知， 解得． 所以当得时，原式有意义； （2）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义； （3）解：根据题意，得，且， 解得，且． 所以当，且时，原式有意义； （4）解：根据题意，得， 解得． 所以当时，原式有意义． 考点二、最简二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不能含有分母，分母中不含有根号，即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、是最简二次根式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：B． 2．若是最简二次根式，则自然数 ． 【答案】0或1 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 由是最简二次根式，可得，由n是自然数，作答即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， 又∵n是自然数， ∴或1， 故答案为：0或1． 3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义列出a，b的方程求出，再代入计算求值 【详解】解：∵ 与是被开方数相同的最简二次根式 解得： ∴符合题意 【点睛】本题考查了最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开的尽的因数或因式，满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．本题求出a，b后还需检验，因为被开方数必须为非负数． 考点三、二次根式化简 1．化简结果为（    ） A． B． C．2ab D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键；利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：； 故选：A． 2．若，则 ． 【答案】4 【分析】根据二次根式被开方数不小于零的条件得到，解不等式组求出a的值，进而求出b的值即可得到答案． 本题考查二次根式有意义的条件、化简二次根式，熟练掌握二次根式被开方数不小于零的条件是解题的关键． 【详解】解：由题可知，， 解得， 把代入，解得， 则 故答案为： 3．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，三角形的三边关系，解题的关键是首先利用三角形三边关系得出c的取值范围，进而化简求出答案． 【详解】解：由三边关系定理，得，，即， 原式． 考点四、二次根式的乘法 1．计算，正确的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则． 直接利用二次根式的乘法运算求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 2．如图，四边形是菱形，过点C作，交的延长线于点B，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，先证明，再证明，进一步利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵， ∴， 故答案为： 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键． （1）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可； （2）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点五、积的算术平方根 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查化最简二次根式，掌握化最简二次根式的方法是解题关键．根据化简即可． 【详解】解：． 故选B． 2．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的乘法法则以及根式的性质是解题的关键．本题可先将被开方数进行因数分解，然后利用二次根式的乘法法则（）进行化简计算． 【详解】解：， 故答案为：． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)36 (2) (3)12 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法和二次根式的性质化简． （1）根据二次根式的乘法的性质计算可求解； （2）将50化为，再开方可求解； （3）将被开方数利用平方差公式化简为，再开方计算可求解； （4）根据二次根式的性质化简可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 考点六、二次根式的除法 1．计算，结果为（   ） A．1 B．9 C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘除运算，直接利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 故选：D． 2． ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式除法计算，直接根据二次根式除法计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)2 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． （1）利用二次根式的除法法则计算即可； （2）利用二次根式的除法法则计算即可； （3）利用二次根式的除法法则计算即可； （4）利用二次根式的除法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 考点七、商的算术平方根 1．可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的性质是解答的关键．根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解： 故选：C． 2．化简的结果是 ． 【答案】 【分析】利用两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变得到答案． 【详解】解：， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解题关键． 3．化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的除法，熟练掌握二次根式的性质以及运算法则是解答的关键． （1）根号内分子、分母乘以即可求解． （2）分母乘以即可求解； （3）根号内的分数先化为假分数，即可求解． （4）根号内分子、分母乘以即可求解． （5）根据二次根式的除法进行计算，再根据二次根式的性质化简，即可求解； （6）根据二次根式的除法进行计算，再根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：． 考点八、二次根式乘除混合运算 1．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，正确运用运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式除法法则进行计算即可； （3）原式先计算二次根式的乘法，再计算除法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （2）先逆用二次根式相乘法则，把写成，进行约分即可； （3）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （4）根据二次根式的除法法则：系数相除，根指数不变，被开方数相除进行计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式运算的相关法则． （1）根据二次根式除法的法则进行计算即可得出结果； （2）根据二次根式乘除法的法则进行计算即可得出结果． 【详解】（1） ； （2） ． 知识导图记忆 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数为非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件得出，解之即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：． 故选：D． 2．如图，数轴上点A 表示的数为a，化简 的结果为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，二次根式的性质，掌握是解题关键．由数轴可得，，再根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴可得： ， 故选：B． 3．下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的特征：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的定义和特征，逐项进行判断即可． 【详解】解：A中，，故不是最简二次根式，故选项不符合题意； B中，，故不是最简二次根式，故选项不符合题意； C中，是最简二次根式，故选项符合题意； D中，，被开方数含分母，故不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选:：C． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 【详解】解： 故选：B 5．已知，且．则A 的值为（   ） A．5 B．6 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的化简求值，先把变形为，再把化简为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故选：B． 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，根据二次根式性质解答即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件即可得出、，再代入即可得解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得： ，， ，， 则． 故答案为：． 8．若计算的结果为正整数，则无理数m的值可以是 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式，注意是解题的关键． 根据为12，即可得到一个无理数的值． 【详解】解：∵， ∴当时，的结果为正整数． 故答案为（答案不唯一）． 9．的对角线、相交于点O，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形可得，，再利用勾股定理求得的长，即可得到的长． 【详解】解：， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 10．如图，正方形和正方形的边长分别是4和2，连接，H是的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，延长交于M，可证明四边形是矩形，得到的长，进而可得的长，再由勾股定理求出的长，再证明，即可根据直角三角形的性质求出答案． 【详解】解：如图所示，延长交于M， ∵正方形和正方形的边长分别是4和2， ∴， ， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，H是的中点， ∴， 故答案为：． 11．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式性质化简，熟记二次根式性质是解决问题的关键． （1）由二次根式性质求解即可得到答案； （2）由二次根式性质求解即可得到答案； （3）由二次根式性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 12．计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，先计算被开方数，再化简即可． 【详解】解： ； 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)18 (2)15 (3) (4)5 (5)4 (6) 【分析】本考查积的算术平方根的性质，二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质和二次根式乘法运算法则是解题的关键． （1）根据积的算术平方根的性质求解； （1）根据二次根式的乘法法则计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则计算即可； （3）根据二次根式的乘法法则计算即可； （4）根据二次根式的乘法法则计算即可； （5）根据二次根式的乘法法则计算即可； （6）根据二次根式的乘法法则计算即可. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 14．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查二次根式的除法运算，熟练掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （3）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （4）化为，再根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （5）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解； （6）根据二次根式的除法法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 15．阅读并回答问题： 为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘法与化简、完全平方公式，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键． （1）根据二次根式的乘法和完全平方公式可得，由此即可得； （2）根据二次根式的乘法和完全平方公式可得，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 所以． （2）解： ， 所以． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式 二次根式的乘除思维导图 易错辨析、概念比较、重点记忆 知识点1 二次根式 一、二次根式的定义 形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式。其中，a称为被开方数，它必须是非负数。此外，形如b√a（a≥0）的式子也是二次根式，它表示b与√a的积。 二、二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件是：被开方数必须是非负数。如果二次根式的被开方数是含有字母的式子，那么需要求出使该式子非负的字母的取值范围。 三、二次根式的性质 1.非负性：√a（a≥0）是一个非负数，其最小值是0。 2.双重非负性：若a≥0，则√a具有双重非负性，即√a是非负的，且（√a）²=a。 知识点2 二次根式的乘除 一、二次根式的乘法 两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘。即，若有两个二次根式√a和√b（其中a≥0，b≥0），则它们的乘积为√(a×b)。此外，积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积。 二、二次根式的除法 两个二次根式相除，将它们的被开方数相除，再取商的算术平方根。即，若有两个二次根式√a和√b（其中a≥0，b>0），则它们的商为√(a/b)=√a/√b。同时，商的算术平方根等于被除数和除数的算术平方根的商。 在学习二次根式的乘除法时，需要注意以下几点： 1. 确保被开方数为非负数，以保证根式有意义。 2. 在进行乘除法运算时，可以先将根式外的数进行乘除运算，再将结果与被开方数相乘或相除。 3. 运算结果需要化简，使被开方数中不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，得到最简二次根式。 教材习题01 当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1）； （2）； （3）； （4）． 教材习题02 计算： (1)． (2) (3)． (4)． 教材习题03 化简： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 教材习题04 计算： （1）；                     （2）. 教材习题05 化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点一、二次根式有意义 1．要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．要使有意义，x的取值应满足的条件是 ． 3．当 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 考点二、最简二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．若是最简二次根式，则自然数 ． 3．若与是被开方数相同的最简二次根式，求的值． 考点三、二次根式化简 1．化简结果为（    ） A． B． C．2ab D． 2．若，则 ． 3．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简． 考点四、二次根式的乘法 1．计算，正确的结果是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．如图，四边形是菱形，过点C作，交的延长线于点B，若，，则的长为 ． 3．计算： (1)； (2)． 考点五、积的算术平方根 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点六、二次根式的除法 1．计算，结果为（   ） A．1 B．9 C． D． 2． ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点七、商的算术平方根 1．可以化简为（   ） A． B． C． D． 2．化简的结果是 ． 3．化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 考点八、二次根式乘除混合运算 1．计算： (1)； (2)； (3)． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)． 知识导图记忆 1．若二次根式有意义，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点A 表示的数为a，化简 的结果为（    ） A． B．5 C． D． 3．下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 4．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．已知，且．则A 的值为（   ） A．5 B．6 C．18 D．20 6．计算： ． 7．已知，则的值为 ． 8．若计算的结果为正整数，则无理数m的值可以是 9．的对角线、相交于点O，，，，则的长为 ． 10．如图，正方形和正方形的边长分别是4和2，连接，H是的中点，连接，则的长为 ． 11．计算： (1)； (2)； (3)． 12．计算：． 13．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 14．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 15．阅读并回答问题： 为了化简，我们尝试找到两个数m、n，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式： (1)； (2)． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$