第03讲 三角函数图像及其性质【十一大考点+十一大题型】-2024-2025学年高一数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019必修第二册）》

第03讲 三角函数图像及其性质 【复习目录】 · 一、三角函数的定义域 · 二、图像法求三角函数最值或值域 · 三、换元法求三角函数最值或值域 · 四、三角函数的单调区间问题 · 五、三角函数的对称性问题 · 六、三角函数的奇偶性问题 · 七、代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心 · 八、求三角函数解析式 · 九、三角函数图像的伸缩变换 · 十、利用图像平移求函数解析式或参数值 · 十一、三角函数与恒等式变换交汇问题 【知识梳理】 知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识点2.★★★求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 知识点3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 【题型归纳】 题型一、三角函数的定义域 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 题型二、图像法求三角函数最值或值域 4．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 6．（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 题型三、换元法求三角函数最值或值域 7．（23-24高一下·江西抚州·期中）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一下·辽宁锦州·期末）是函数的最小值点，则（    ） A． B． C． D． 题型四、三角函数的单调区间问题 10．（23-24高二下·浙江金华·期末）已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·云南红河·期末）若函数，则函数的单调递增区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五、三角函数的对称性问题 13．（23-24高一下·北京·期末）下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（   ） A． B． C． D． 14．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数的对称中心是，则（    ） A． B． C．3 D．0 题型六、三角函数的奇偶性问题 16．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·贵州黔西·期末）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（    ） A．2 B．6 C．10 D．14 题型七、代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心 19．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（   ） A．函数在区间上单调递增 B．直线是函数的一条对称轴 C．函数的图象关于点中心对称 D．若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 20．（24-25高一上·河北石家庄·期末）如图，函数（，，）的部分图象，则（   ）    A．的最小正周期为 B．将图象向右平移后得到函数的图象 C．在区间上单调递增 D．直线是图象的一条对称轴 21．（24-25高三上·云南昆明·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域是 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．图象的对称中心为 题型八、求三角函数解析式 22．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A．1 B． C． D．2 23．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）． A．的图象关于直线对称 B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．方程在区间有5个不等实根 D．在上单调递增 24．（2024·四川自贡·三模）函数（，）的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点对称 C．函数在单调递增 D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数 题型九、三角函数图像的伸缩变换 25．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·江苏徐州·期末）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 27．（24-25高一上·广东东莞·期末）为了得到函数的图象，只需要把函数上所有的点（    ） A．向右平移个单位，横坐标变为原来的倍 B．向左平移个单位，横坐标变为原来的2倍 C．横坐标变为原来的倍，向左平移个单位 D．横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位 题型十、利用图像平移求函数解析式或参数值 28．（24-25高一上·云南昆明·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25高三上·天津和平·期末）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十一、三角函数与恒等式变换交汇问题 31．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 32．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间及对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 33．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求的值及函数图像的对称中心； (2)设，若使得，求实数b的取值范围． 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏镇江·期末）若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 3．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A． B．2 C．5 D． 4．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 5．（24-25高一上·山西运城·期末）若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数的图像与轴交点的纵坐标为，且在区间上无最大值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·重庆·期末）若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·山东济南·期末）若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·山西·期末）已知函数的最小正周期为，且的图象经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 二、多选题 11．（24-25高一上·云南文山·期末）已知函数，则下列结论成立的是（    ） A．的最小正周期为 B．曲线关于直线对称 C．点是曲线的一个对称中心 D．在上单调递增 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知的部分图象如图所示，则（   ）    A．的最小正周期为 B．的图像可由的图象向左平移个单位得到 C．的对称轴为 D．在区间上的最大值为 13．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是增函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 14．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一条对称轴 B．的对称中心是 C．在区间上的值域是 D．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 15．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）． A． B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象 D．若方程在上有且只有一个实数根，则m的取值范围是 三、填空题 16．（24-25高一上·河南洛阳·期末）函数的单调递增区间为 ． 17．（24-25高一上·安徽合肥·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为 ． 18．（23-24高一下·四川成都·期末）若函数的图象向左平移后，得到的函数图象与的图象重合，则的最小值为 ． 19．（23-24高一下·辽宁朝阳·期末）将函数的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求出图象的一个对称中心的坐标 ． 20．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数在上单调递增，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合．若方程在上的解为，则 ． 四、解答题 21．（24-25高一上·湖南株洲·期末）已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)求函数的对称轴方程和对称中心； (3)当时，求的值域． 22．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数的最小值，及取最小值时的的值； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的最小正周期和单调递减区间． 23．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 24．（24-25高一上·广西河池·期末）函数在区间上的最大值为6. (1)求常数的值； (2)求函数的单调递增区间； (3)把函数图象上各点向右平移个单位长度得到函数，求函数的对称中心坐标. 25．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 三角函数图像及其性质 【复习目录】 · 一、三角函数的定义域 · 二、图像法求三角函数最值或值域 · 三、换元法求三角函数最值或值域 · 四、三角函数的单调区间问题 · 五、三角函数的对称性问题 · 六、三角函数的奇偶性问题 · 七、代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心 · 八、求三角函数解析式 · 九、三角函数图像的伸缩变换 · 十、利用图像平移求函数解析式或参数值 · 十一、三角函数与恒等式变换交汇问题 【知识梳理】 知识点1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z) 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象 定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 [2kπ－π，2kπ] 递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无 对称中心 (kπ，0) 对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ 无 知识点2.★★★求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)． (3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)． 知识点3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径 【题型归纳】 题型一、三角函数的定义域 1．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】因为，所以. 则函数的定义域为 故选：A. 3．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数特征，得到不等式，求出定义域. 【详解】由正切函数的定义域，令，即， 所以函数的定义域为. 故选：C. 题型二、图像法求三角函数最值或值域 4．（24-25高一上·云南红河·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用整体法，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则， 故，故的值域为. 故选:C. 5．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 6．（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据题设求得，结合正弦函数的图象，判断函数单调性，求出函数的最大、最小值，即得函数值域. 【详解】当时，. 因 在上单调递增，在上单调递减， 则当时，即时，取最大值1； 当，即时，取最小值. 故函数在上的值域为. 故选：C. 题型三、换元法求三角函数最值或值域 7．（23-24高一下·江西抚州·期中）函数在上的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【详解】解：依题意， 令， 故. 故当时，有最大值，当时，有最小值3， 故所求值域为. 故选：B. 8．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同角三角函数基本关系及二次函数的性质即可得. 【详解】因为， 由，故， 即. 故选：B. 9．（22-23高一下·辽宁锦州·期末）是函数的最小值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，则，然后利用二次函数的性质可求出函数的最小值，从而可求出的最小值点，进而可求得结果. 【详解】， 令，则， 对称轴为， 因为抛物线开口向上， 所以当时，取得最小值， 所以当时，取得最小值， 即， 故选：A 题型四、三角函数的单调区间问题 10．（23-24高二下·浙江金华·期末）已知函数的对称中心为，则能使函数单调递增的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据余弦函数的对称中心在其图象上，将代入解析式可求得，再利用余弦函数单调性求出单调递增区间即可的答案.. 【详解】由图象的一个对称中心是，所以， 则，，即，， 又，所以，得函数， 令，， 即，； 故的单调递增区间为，， 而当时，单调递增区间为，又， 所以C正确，其余区间都不符合题意. 故选：C 11．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由计算出的取值范围，根据正切函数的单调性可得出，由此可得出关于的不等式组，由此可得出实数的取值范围. 【详解】当时，由于，则， 因为在区间上单调递增，则， 所以，，解得，因此，的取值范围为. 故选：A. 12．（23-24高二下·云南红河·期末）若函数，则函数的单调递增区间为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将函数解析式化简整理，得到，根据，即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 则函数的单调递增区间为，， 故选：C 题型五、三角函数的对称性问题 13．（23-24高一下·北京·期末）下列函数中，以为周期，且图象关于点中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质判断A，根据函数的变换规则及正弦函数的性质判断B，利用三角恒等变换公式化简，再由正（余）弦函数的性质判断C、D. 【详解】对于A：函数的最小正周期，对称中心为，故A错误； 对于B：函数的图象是由将轴下方部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 所以的最小正周期，没有对称中心，故B错误； 对于C：，则最小正周期， 且当时，所以函数关于点中心对称，故C正确； 对于D：因为， 所以函数的最小正周期，故D错误. 故选：C 14．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的最小正周期为，则的图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用辅助角公式得到，根据余弦函数的周期得到，再求出其对称中心的通式，最后对每个选项验证即可. 【详解】由题意得，由题可知，所以. 令，得， 所以的图象的对称中心为，所以点符合. 故选：D. 15．（23-24高一上·河南商丘·期末）已知函数的对称中心是，则（    ） A． B． C．3 D．0 【答案】D 【分析】利用辅助角公式和对称中心得到最小正周期，求出，由求出，再计算出. 【详解】，其中， 由的对称中心是知，两个相邻的对称中心相距， 故的最小正周期， 即，所以， 解得，故． 故选：D． 题型六、三角函数的奇偶性问题 16．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）下列函数中最小正周期为且是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦函数、余弦函数，正切函数的奇偶性以及周期公式逐项判断即可. 【详解】对于A，的最小正周期，故A错误； 对于B，为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，为奇函数，且最小正周期为，故C正确； 对于D，为偶函数，故D错误. 故选：C. 17．（24-25高一上·贵州黔西·期末）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对A：对A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去， 轴及轴上方部分不变所得，其函数图象如下所示：    则的最小正周期为，且在上单调递减，故A正确； 对B：的最小正周期为，故B错误； 对C：的最小正周期为，但是在上单调递增，故C错误； 对D：的最小正周期为，故D错误. 故选：A. 18．（23-24高一上·浙江宁波·期末）已知函数.若为奇函数，为偶函数，且在上没有最小值，则的最大值是（    ） A．2 B．6 C．10 D．14 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性求出，再由在上没有最小值，求出答案. 【详解】由题意知， 因为为奇函数，所以， ， 因为为偶函数，所以， 相加得， 又因为，所以， 当代入得，即， 代入得，即，即； 当代入得，即， 代入得，即，即； 因为 在上没有最小值， 设，则，所以，的最大值是6. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用奇偶性求出及的表达式；二是利用区间上没有最小值可求的不等关系. 题型七、代入检验法判断三角函数的单调区间、对称轴、对称中心 19．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（   ） A．函数在区间上单调递增 B．直线是函数的一条对称轴 C．函数的图象关于点中心对称 D．若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为 【答案】BCD 【分析】对于A，由求出的范围，再结合正弦函数的性质分析判断即可，对于BC，代入验证即可，对于D，由题意可得为偶函数，则，从而可求出结果. 【详解】对于A，由，得，得， 因为在上不单调，所以在上不单调，所以A错误； 对于B，因为，所以直线是函数的一条对称轴，所以B正确； 对于C，因为，所以函数的图象关于点中心对称，所以C正确； 对于D，因为，所以， 因为的图像关于轴对称，所以为偶函数， 所以，得， 所以正数的最小值为，所以D正确. 故选：BCD 20．（24-25高一上·河北石家庄·期末）如图，函数（，，）的部分图象，则（   ）    A．的最小正周期为 B．将图象向右平移后得到函数的图象 C．在区间上单调递增 D．直线是图象的一条对称轴 【答案】ACD 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再逐项分析判断. 【详解】观察函数图象知，，函数的最小正周期，解得， 由，得，而，则，， 对于A，的最小正周期为，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增， 因此在区间上单调递增，C正确； 对于D，，直线是图象的一条对称轴，D正确. 故选：ACD 21．（24-25高三上·云南昆明·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的定义域是 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．图象的对称中心为 【答案】AC 【分析】利用正切函数的图象的性质求得定义域判断A；求得最小正周期判断B；求得单调区间判断C；求得对称中心判断D. 【详解】自变量的取值应满足，解得， 所以的定义域是，故A正确； 的最小正周期为，故B错误； 由解得， 所以在区间上单调递减，故C正确； 由，解得， 所以图像的对称中心为，故D错误. 故选：AC. 题型八、求三角函数解析式 22．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据函数图象求出相关参数得到解析式，再将自变量代入求函数值即可. 【详解】由题设且，则，故， 又，则， 所以， 则. 故选：B 23．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ）． A．的图象关于直线对称 B．将的图象向右平移个单位长度得到的图象关于原点对称 C．方程在区间有5个不等实根 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】根据函数图象对称轴间的距离得出周期，再代入点得出，代入验证对称轴判断A，根据平移后的解析式得出函数不关于原点对称判断B，解方程求出根判断C，应用周期得出单调区间长度为周期一半判断D. 【详解】由题意相邻对称轴间的距离为，可得， 因此，当时，，故． 由可得，由函数最大值为2可得，因此． A选项，，非最值，故不是的对称轴，A错误． B选项，图象向右平移个单位长度后的解析式为，不关于原点对称，B错误． C选项，令，可得或，解得或， 在上，实根为，共5个，C正确． D选项，的单调区间长度为，不可能在长为的区间上单调递增，D错误． 故选：C． 24．（2024·四川自贡·三模）函数（，）的部分图象如图所示，的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在图象上，点M、N关于点C对称，下列说法错误的是（    ） A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点对称 C．函数在单调递增 D．函数的图象向右平移后，得到函数的图象，则为奇函数 【答案】C 【分析】A选项，根据M、N关于点C对称得到点横坐标，从而得到最小正周期；B选项，根据的图象关于点对称和最小正周期得到B正确；C选项，求出，将代入解析式求出，，从而利用整体法判断出在不单调；D选项，求出，得到其奇偶性. 【详解】A选项，点M、N关于点C对称，故， 设的最小正周期为，则，故，A正确； B选项，可以看出函数的图象关于点对称， 又的最小正周期， 故函数的图象关于点对称，B正确； C选项，又，故， ，故将代入解析式得， 解得， 又，故当且仅当时，满足要求，故， 又当时，，故， 则， 当时，， 由于在上不单调， 故在上不单调，C错误； D选项，，定义域为R， 又，为奇函数，D正确. 故选：C 题型九、三角函数图像的伸缩变换 25．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据伸缩变换得到，再根据左加右减得到平移后的解析式. 【详解】图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图象， 再把所得曲线向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 故选：A. 26．（24-25高一上·江苏徐州·期末）将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位长度，所得到的图象的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角函数的图象变换，准确运算，即可求解. 【详解】将函数图象上每个点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 可得：， 再将得到的图象向左平移个单位长度可得：， 故选：C 27．（24-25高一上·广东东莞·期末）为了得到函数的图象，只需要把函数上所有的点（    ） A．向右平移个单位，横坐标变为原来的倍 B．向左平移个单位，横坐标变为原来的2倍 C．横坐标变为原来的倍，向左平移个单位 D．横坐标变为原来的2倍，向左平移个单位 【答案】A 【分析】由，依据函数 的图象平移伸缩变换的规则逐一判定即可. 【详解】，向右平移个单位，，横坐标变为原来的倍， 可得 故选：A 题型十、利用图像平移求函数解析式或参数值 28．（24-25高一上·云南昆明·期末）将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，所得图象关于直线对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出平移后的函数解析式，再结合余弦函数的性质列式求解. 【详解】依题意，的图象关于直线对称， 则，解得，而，则， 所以当时，取得最小值. 故选：B 29．（24-25高三上·天津和平·期末）已知函数的两条相邻对称轴之间的距离为，现将图象向右平移后得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两条相邻对称轴之间的距离可得周期，即可得，由平移性质即可得，再借助正弦型函数单调性计算即可得解. 【详解】由函数的两条相邻对称轴之间的距离为，则有， 则，又，则， 则， 当时，， 由函数在区间上单调递增，则有， 则有，解得， 则当时，，又，故. 故选：B. 30．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角函数变换规律求出，然后求出的单调递增区间，再由函数在上单调递增，得，从而可求出的取值范围. 【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度，得， 再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得 ， 所以， 由， 得， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以（）， 即（）， 解得， 因为，所以，所以. 故选：B 题型十一、三角函数与恒等式变换交汇问题 31．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）已知函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式及对称中心； (2)求函数在上的值域； (3)先将的图像纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图像，求函数的单调减区间． 【答案】(1)，， (2) (3)， 【分析】（1）根据题意，结合函数的图像分别求得，再由正弦型函数的对称中心公式代入计算，即可得到结果； （2）由正弦型函数的值域，代入计算，即可得到结果； （3）先由三角函数的图像变换得到的解析式，再由正弦型函数的单调区间代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）根据函数的部分图像， 可得，，所以， 再根据五点法作图，可得，， 又因为，可得，所以， 令，，解得，， 故函数对称中心为，． （2）因为，可得， 当时，即，； 当时，即，， 所以函数的值域为． （3）先将的图像纵坐标缩短到原来的，可得的图像， 再向左平移个单位，得到的图像， 即． 令，，解得，， 可得的减区间为，． 32．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间及对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】(1)单调递增区间为（），对称中心为（）. (2). 【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质求出函数的单调递增区间及对称中心即可； （2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即可求得函数在区间上的值域. 【详解】（1）函数 ， ∴. 令，，得，， 即函数的单调递增区间为（）. 令，，得，， 所以函数的对称中心为（）. （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 可得的图象； 再向下平移个单位长度得到函数的图象. 因为，所以，所以， 所以，即的值域为. 33．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数的最小正周期为． (1)求的值及函数图像的对称中心； (2)设，若使得，求实数b的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用和差角，二倍角以及辅助角公式化简函数解析式，然后由周期求得求的值，然后利用正弦函数的对称中心求得函数图像的对称中心； （2）整理函数解析式，然后令，得到函数的取值范围，然后得到函数在上的最大值；由正弦函数的单调性求出的单调区间，从而求出在区间的最大值.由使得得到函数在上的最大值小于在上的最大值.由此解出实数b的取值范围. 【详解】（1）， ， ， ， ， ∵周期，∴， ∴， 令，解得， ∴函数图像的对称中心. （2）， ， 令，在上单调递增，∴， ∴， 令，解得 ∴函数在区间上单调递增，所以函数在区间上的最大值为， ∵使得， ∴， 当时，的图象的对称轴为，函数在时单调递减，所以符合题意， ∴. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏镇江·期末）若将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向右平移个长度单位，则所得到的曲线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意求解即可. 【详解】将函数的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，得， 再将图象向右平移个长度单位，得. 故选：A 2．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（    ） A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位长度 D．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位长度 【答案】B 【分析】根据三角函数图象变换规律结合题意分析判断即可. 【详解】把函数图象上所有的点横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得， 再将图象向左平移个单位长度，得. 故选：B 3．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A． B．2 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【详解】函数的最小正周期且，得， 由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得， 综上，， 又关于直线对称，所以，解得，， 在的范围内，满足条件的值为和和， 验证可知，这两个值均满足函数在上单调， 因此，符合要求的所有值的和为 故选：D 4．（24-25高一上·河北秦皇岛·期末）已知直线是函数（其中）的图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】由是函数的一条对称轴，可得，再根据在区间上单调，则，可得，运算可求得的值. 【详解】由直线是函数的图象的一条对称轴，有，可得， 又由函数在区间上单调，则，可得， 有，有，可得，. 故选：A. 5．（24-25高一上·山西运城·期末）若函数在区间上单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可求出的取值范围，根据正切型函数的单调性可得出集合的包含关系，可得出关于的不等式组，即可求正实数的取值范围. 【详解】因为，则函数在区间上只能单调递增， 当时，， 所以，，其中， 所以，，解得， 由解得，且， 当时，； 当时，则，可得. 综上所述，正实数的取值范围是. 故选：D. 6．（24-25高一上·广东惠州·期末）已知函数在区间上单调递减，且在区间上有且仅有1个零点，则ω的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用余弦函数单调性，结合零点情况求出的范围即可得解. 【详解】函数，当时，， 而余弦函数在上单调递减，又， 因此，解得， 由，得，当时，， 而函数在上有且仅有1个零点，则，解得， 因此，ABD不满足，C满足. 故选：C 7．（24-25高一上·福建福州·期末）已知函数的图像与轴交点的纵坐标为，且在区间上无最大值，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图像与轴交点求出，由函数在区间上有最大值，求出的取值范围，从而知道函数在区间上无最大值时的取值范围. 【详解】由条件得，又，得，所以. 由，解得. 若在区间上存在最大值，则，解得， 则，所以若在上无最大值，的取值范围为， 故选：D. 8．（24-25高一上·重庆·期末）若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，即可求出，再由的取值范围求出的取值范围，从而确定左端点的取值范围，即可得到，解得即可. 【详解】函数在区间上单调递增且， 所以，解得， 由，则，则， 所以，解得，即正数的取值范围为. 故选：A 9．（24-25高一上·山东济南·期末）若函数在上有且仅有三个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得到，由得到：，结合正弦函数零点构造不等式即可； 【详解】 由可得：， 函数在上有且仅有三个零点， 则， 解得：， 故选：D 10．（24-25高一上·山西·期末）已知函数的最小正周期为，且的图象经过点，则关于的方程在上的不同解的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据已知条件求得的解析式，然后结合函数的图象求得正确答案. 【详解】因为函数的最小正周期为，所以，解得． 因为的图象经过点，所以，即． 又，所以，所以． 在坐标系中结合五点法画出函数及的图象， 如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点． 故选：C 二、多选题 11．（24-25高一上·云南文山·期末）已知函数，则下列结论成立的是（    ） A．的最小正周期为 B．曲线关于直线对称 C．点是曲线的一个对称中心 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】借助整体思想，利用正弦型函数的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：设的最小正周期为，故A正确： 对B：因，故B错误： 对C：因，故点是曲线的一个对称中心，即C正确： 对D：由，可得，则在上单调递减，故D错误. 故选：AC. 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知的部分图象如图所示，则（   ）    A．的最小正周期为 B．的图像可由的图象向左平移个单位得到 C．的对称轴为 D．在区间上的最大值为 【答案】ABD 【分析】 由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式．再根据的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】 解：根据函数的部分图象，可得，. 再根据五点法作图可得，，因为，， 又最大值为，∴. 的最小正周期为，故A正确； 的图像可由的图象向左平移个单位得到，故B正确； 令，则，所以的对称轴为，故C不正确； 时，，在区间上单调递增，故当时，，故D正确， 故选：ABD． 13．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最小正周期是 B．函数在区间上是增函数 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的图象可以由函数的图象向左平移个单位长度而得到 【答案】ACD 【分析】利用正弦型函数的周期公式可判断A正确，再由正弦型函数的单调性可判断B错误，结合正弦型函数的对称性利用检验法代入计算可判断C正确，由三角函数图象的变换规则可得D正确. 【详解】对于A，易知函数的最小正周期是，可得A正确； 对于B，当时，，易知在上不单调， 所以函数在区间上不单调，即B错误； 对于C，因为， 因此直线是函数图象的一条对称轴，即C正确； 对于D，将的图象向左平移个单位长度可得，因此D正确. 故选：ACD 14．（24-25高一上·新疆昌吉·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是的一条对称轴 B．的对称中心是 C．在区间上的值域是 D．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则 【答案】AD 【分析】求得函数的对称轴与对称中心可判断AB；利用余弦函数的性质求得最小值可判断C；求得函数的解析式，计算可判断D. 【详解】由，解得， 所以的对称轴方程为， 当时，，所以是的一条对称轴，故A正确； 由，可得， 所以的对称中心是，故B错误； 当时，， 此时的最小值为，故C错误； 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 所以，所以是奇函数， 所以，故D正确. 故选：AD. 15．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是（   ）． A． B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向右平移个个单位得到函数的图象 D．若方程在上有且只有一个实数根，则m的取值范围是 【答案】AC 【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由函数图象可得，由，解得，故A正确； 所以，又函数过点，即， 所以，，即，，又，所以， ∴， 对于B：当时，， 所以的图象不关于点对称，故B错误； 对于C：将函数的图象向右平移个单位得到： ，故C正确； 对于D：当时，， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 又，，， 故方程在上有且只有一个实数根时，则的取值范围是，故D错误． 故选：AC 三、填空题 16．（24-25高一上·河南洛阳·期末）函数的单调递增区间为 ． 【答案】（开区间也给分） 【分析】利用整体法，结合复合函数的单调性即可求解. 【详解】令,解得， 令，则， 由于，故， 故单调递增区间为：， 故答案为： 17．（24-25高一上·安徽合肥·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式． 【详解】由图象可知：，，所以. 由，且，可得. 所以. 故答案为： 18．（23-24高一下·四川成都·期末）若函数的图象向左平移后，得到的函数图象与的图象重合，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】先求出平移后的函数图象，再依据图象重合列出方程求解即可. 【详解】的图象向左平移得到, 因为图象重合，所以, 即, 因为,所以的最小值为3. 故答案为：3. 19．（23-24高一下·辽宁朝阳·期末）将函数的图象向左平移1个单位长度后，再将所得图象向上平移1个单位长度，得到函数的图象，求出图象的一个对称中心的坐标 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数图像平移法则可得出的解析式，再由余弦函数的对称中心可得出答案. 【详解】由题可知 则函数图象的一个对称中心的横坐标满足， 所以 则函数的对称中心为． 故答案为：（答案不唯一） 20．（23-24高一上·云南昆明·期末）函数在上单调递增，且的图象向左平移个单位后与原来的图象重合．若方程在上的解为，则 ． 【答案】/0.5 【分析】设出最小正周期为，根据题意得到，求出，分两种情况，讨论后得到，，由对称性可得，代入求值，得到答案. 【详解】设的最小正周期为，则，故， 又的图象向左平移个单位后与原来的图象重合，故为函数的一个周期， 故最小正周期，即，解得， 若，则， 时，， 由于在上单调递减，故在上单调递减，不合要求， 若，则， 时，， 此时满足在上单调递增，满足要求， ，， ，由对称性可得， 即， 故 故答案为：. 四、解答题 21．（24-25高一上·湖南株洲·期末）已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)求函数的对称轴方程和对称中心； (3)当时，求的值域． 【答案】(1) (2)对称轴方程：，；对称中心：， (3) 【分析】（1）由正弦函数的单调性求解正弦型函数的单调区间即可； （2）根据正弦函数的对称轴以及对称中心可求得结果； （3）先由，求出，然后转化为正弦函数的值域问题求解即可． 【详解】（1）由， 所以函数的单调增区间是． （2）根据，可得对称轴为，； 根据，解得，， 因为函数为， 所以对称中心为，； （3）由，可得， 从而，所以． 所以的值域为． 22．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数的最小值，及取最小值时的的值； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的最小正周期和单调递减区间． 【答案】(1)当，时，取得最小值：. (2)最小正周期为：；单调递减区间为：， 【分析】（1）先根据三角函数的有关公式（诱导公式、和角公式、辅助角公式）把函数化成的形式，再求函数的最小值及对应的的值. （2）先根据三角函数的图象变换确定的解析式，再分析其性质即可. 【详解】（1）. 所以的最小值为， 此时：，，即，. （2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象，再将的图象向右平移个单位，得到. 由，得函数的最小正周期为. 由， 得，， 所以，. 所以函数的单调递减区间为：，. 23．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式及单调递减区间； (2)将函数的图象向右平移，再向上平移m（），得到函数的图象．若对任意的，都有成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由图象结合正弦函数的周期，最值，单调递减区间可得； （2）由图象平移得到，再将问题转化为当时，恒成立，然后结合正弦函数的单调性求解即可； 【详解】（1）由图象可得，， 所以，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 令，可得， 所以单调递减区间为. （2）， 因为对任意的，都有成立，即当时，恒成立， 由可得，此时， 由可得，此时， 所以，解得. 24．（24-25高一上·广西河池·期末）函数在区间上的最大值为6. (1)求常数的值； (2)求函数的单调递增区间； (3)把函数图象上各点向右平移个单位长度得到函数，求函数的对称中心坐标. 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）先根据辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数在区间上的最值即可求得常数的值； （2）由，求解可得函数的单调递增区间； （3）根据题意可得变换后的函数解析式为，再根据余弦函数的对称中心结合整体思想即可求解． 【详解】（1） 因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以函数的最大值为， 所以，得； （2）由（1）得. 由，解得. 所以函数的单调递增区间为 （3）由（1）得，把函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数. 令，解得 所以，函数的对称中心坐标为. 25．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在上的值域； (3)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先利用三角函数的两角和公式、二倍角公式等对f(x)进行化简，得到形的形式，再根据正弦函数的性质求最小正周期和单调递增区间.（2）在已知x的取值范围的情况下，通过分析的范围，进而得出函数的值域. （3）根据三角函数图象的伸缩变换得到，再将进行化简，参变分离，转化为对任意的恒成立且，通过换元构造函数，利用函数在给定区间上的单调性求a的取值范围. 【详解】（1） ． 最小正周期． 令，解得． 故的增区间为. （2）时，故． 即在上的值域为． （3），原不等式可化为对任意的恒成立对任意的恒成立， 对任意的恒成立且， 记，条件可化为对任意的成立， 设，则， 设， 则， 由在上递减，上递增可得，在上递减，在上递增， 即时，， 即时，， 因此的最大值为，由题意得，故． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$