第十章 概率 章末综合质量检测-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章《概率》章末综合质量检测 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B B D B C A D D BC BCD AC 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是 【解析】B 对于A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，所以A错； 对于B.事件发生的可能性越大，它的概率越接近1，所以B正确； 对于C.某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票不一定会中奖，所以C错； 对于D.任意投掷两枚质地均匀的骰子，共有36种可能， 其中能被2整除的可能是两个数同时为奇数或同时为偶数，共有18种可能， 所以点数和是2的倍数的概率是，所以D错. 2. 打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 【解析】B 表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发. 3. 已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品都不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是(　　) A．F与G互斥 B．E与G互斥但不对立 C．E，F，G任意两个事件均互斥 D．E与G对立 【解析】D 由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确．事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B不正确，D正确． 4. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【解析】B 因为事件与事件互为对立，所以， 因为事件与事件互斥，则. 5. 踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，是一项简便易行的健身活动．某单位组织踢毽子比赛，有名男员工和名女员工参加．其中男员工每人分钟内踢毽子的数目为、、、；女员工每人分钟内踢毽子的数目为、、、、、．则从分钟内踢毽子的数目大于的员工中随机抽取名，恰有人是男员工的概率是（    ） A． B． C． D． 【解析】C 分钟内踢毽子的数目大于的男员工有名，分别记为、， 分钟内踢毽子的数目大于的女员工有名，分别记为、、， 从上述人中随机抽取名，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共个基本事件， 其中，事件“恰有人是男员工”所包含的基本事件有：、、、、、，共个基本事件， 故所求概率为. 6. 甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同，从甲、乙两袋中各任取1个球，则取得同色球的概率为（   ） A． B． C． D． 【解析】A 设从甲袋中任取1个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”；从乙袋中任取1个球，事件为“取得白球”，则事件B为“取得红球”．因为事件A与B相互独立，所以事件与相互独立．所以从甲、乙两袋中各任取1个球，取得同色球的概率为． 7. 素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对，其中p，均为素数．当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”．在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p，，令事件“为孪生素数”，“为表兄弟素数”，“满足”．则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【解析】D 不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个， 从中随机选取两个不同的素数p，，有45种选法． ，共包含4个样本点， ，共包含4个样本点， ， 共包含10个样本点，所以，， 故，，故ABC错误，D正确． 8. 连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 【解析】D 根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正. 则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正. 对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误； 对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C错误； 对于D，，，所以，故D正确. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与不互斥 C．事件与相互独立 D．事件与不一定相互独立 【解析】BC 故错误； 又所以事件与不互斥，故正确； 则事件与相互独立，故正确； 因为事件与相互独立，所以事件与一定相互独立，故错误. 10. 将一枚质地均匀且各面分别标有数字，，，的正四面体骰子连续抛掷次，观察底面上的数字，则下列说法正确的是（    ） A．三次都出现相同数字的概率为 B．没有出现数字的概率为 C．至少出现一次数字的概率为 D．三个数字之和为的概率为 【解析】BCD 由题意知：实验发生所包含的事件为3个均匀的正四面体与底面接触，共有种结果； 三次都出现相同数字的事件为：111,222,333,444，共4种结果，三次都出现相同数字的概率为，故A错误； 没有出现数字，即这3次抛掷出的均为2，3，4中的其中一个，共有种，没有出现数字的概率为，故B正确； 至少出现一次数字的概率为，故C正确； 三个数字之和为的事件为：441，414，144，333，432，423，234，243，342，324共10种，三个数字之和为的概率为，故D正确； 11. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为．则（   ） A． B．若第3次传球后，戊开始加入传球训练，则 C．若第2次传球后，球恰好在丁手中，他将球传出后便离开了，则 D．若添加规定：当球在甲手中时，甲只能传给乙，乙再等可能传给其他人，则 【解析】AC对于A，由题意可知第次传球后，球在甲手中的概率为，所以在其他人手中的概率为， 因为每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他3人中的任意1人， 所以第次传球后，球在甲手中的概率为，可以得到传球递推关系： ，且，由此可算得，所以A正确； 对于B，当传球3次后，球在甲手中的概率，而接下来， ，所以B错误； 对于C，第2次传球后，球恰好在丁手中，第3次传球丁传给甲、乙、丙的概率均相等为， 故第3次传球后球在甲手中的概率，而接下来，， ，所以C正确； 对于D，添加的规定不影响传球递推关系：，所以，所以D错误． 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为________． 【解析】如图，从O，A，B，C，D 5个点中任取3个有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)共10个样本点.3点共线有(O，A，C)与(O，B，D)共2个样本点，由古典概型的概率计算公式知，取到的3点共线的概率为＝. 13. 已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 【解析】由题可知，， 又，所以，解得，， 所以. 14. 一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为________． 【解析】“两次得分和为0分”可能的情况有第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 或第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”，或两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”， 记黄球为，2个白球为、1个红球为， 利用枚举法可知从中一次取2个小球为， 共有10种取法，而颜色相同的取法有两种， 故第一次取2个小球颜色相同的概率为，第二次取2个小球中有红球的概率为， 所以第一次“2个小球颜色相同”，第二次“2个小球中有红球”的概率为． 第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”， 第一次取2个小球中有红球的概率为，第二次2个小球颜色相同的概率为， 所以第一次“2个小球中有红球”，第二次“2个小球颜色相同”的概率为． 两次均为“2个小球颜色一黄一白”， 第一次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 第二次取2个小球，“2个小球颜色一黄一白”的概率为， 所以两次均为“2个小球颜色一黄一白”的概率为． 所以两次先后取2个小球，得分为零分的概率为. 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 书包里有3双不同的手套（白色、红色、蓝色），分别用，，，，，表示6只手套．从中不放回随机取出2只． (1)写出试验的样本空间； (2)分别求取出的两只恰好是一双的概率和取出的两只都是同一只手的概率 【解析】（1）由题知，试验的样本空间. （2）设“取出的两只恰好是一双”，“取出的两只都是同一只手”分别为事件A，B， 事件A包含的基本事件有：，共3个， 事件B包含的基本事件有：，共6个， 则，， 所以取出的两只恰好是一双的概率和取出的两只都是同一只手的概率分别为，． 16. 甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？ (3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 【解析】（1）分别用2，3，4，4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有情况为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种不同的情况． (2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到的牌的数字比3大的概率是. (3)不公平．甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3，2)，(4，2)，(4，3)，(4′，2)，(4′，3)，共5种情况，因此甲胜的概率为，乙胜的概率为. 因为<，所以此游戏不公平． 17. 某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛的平均成绩； (2)按照成绩从高到低选出样本中前的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？ (3)在（2）的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率． 【解析】（1）因为频率分别直方图每组小矩形的面积之和为1， 可得，解得， 竞赛的平均成绩：. （2）由频率分别直方图的数据，可得： 成绩在内的频率为：， 成绩在内的频率为：， 所以成绩从高到低选出样本中前的学生，即为分位数，设为， 可得分，即估计进入宣传队的学生成绩至少需要分. （3）由题意得，样本中宣传队学生的人生为， 其中成绩在的学生人数为， 成绩在的学生人数为， 从样本中按分层抽样的方法抽取6人，则成绩在的学生有2人，记为， 在的学生有4人，记为， 从中选2人担任正副队长的样本空间为： ,， 记事件“正副队长中至少有1名学生成绩在”，则： ， 由古典摡型的概率计算公式，可得. 18. 甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响． (1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率； (2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； (3)若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次？（参考数据：） 【解析】（1）记甲射击一次击中目标为事件，乙射击一次击中目标为事件，丙射击一次击中目标为事件， 依题意，，所以， ，所以， 所以乙射击一次击中目标的概率为，丙射击一次击中目标的概率为； （2）记甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标为事件， 则 ， 所以甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； （3）设甲射击次，则至少有一次击中目标的概率为， 令，所以， 所以， 又为正整数，所以，即甲至少要射击次. 19. 某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； (2)若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 【解析】（1）（i）. （ii） ， （2）设事件为“第一局乙对丙最终乙获胜”，为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 第一，第一局乙获胜，第二局乙获胜； 第二，第一局乙获胜，第二局甲获胜，第三局丙获胜，第四局乙获胜； 第三，第一局丙获胜，第二局甲获胜，第三局乙获胜，第四局乙获胜， 故； 同理可得； ， 由于，故， 所以，故乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲. ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十章《概率》章末综合质量检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 一．单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（    ） A．“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B．事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C．某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票一定会中奖 D．任意投掷两枚质地均匀的骰子，则点数和是2的倍数的概率是 2. 打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（　　） A．全部击中 B．至少击中1发 C．都未击中 D．击中3发 3. 已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品都不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是(　　) A．F与G互斥 B．E与G互斥但不对立 C．E，F，G任意两个事件均互斥 D．E与G对立 4. 已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（    ） A．0.2 B．0.5 C．0.6 D．0.9 5. 踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，是一项简便易行的健身活动．某单位组织踢毽子比赛，有名男员工和名女员工参加．其中男员工每人分钟内踢毽子的数目为、、、；女员工每人分钟内踢毽子的数目为、、、、、．则从分钟内踢毽子的数目大于的员工中随机抽取名，恰有人是男员工的概率是（    ） A． B． C． D． 6. 甲袋中有8个白球、4个红球，乙袋中有6个白球、6个红球，这些小球除颜色外完全相同，从甲、乙两袋中各任取1个球，则取得同色球的概率为（   ） A． B． C． D． 7. 素数分布是数论研究的核心领域之一，含有众多著名的猜想．19世纪中叶，法国数学家波利尼亚克提出了“广义孪生素数猜想”：对所有自然数k，存在无穷多个素数对，其中p，均为素数．当时，称为“孪生素数”，时，称为“表兄弟素数”．在不超过30的素数中，任选两个不同的素数p，，令事件“为孪生素数”，“为表兄弟素数”，“满足”．则下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 8. 连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（    ） A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件 C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列说法正确的是（    ） A． B．事件与不互斥 C．事件与相互独立 D．事件与不一定相互独立 10. 将一枚质地均匀且各面分别标有数字，，，的正四面体骰子连续抛掷次，观察底面上的数字，则下列说法正确的是（    ） A．三次都出现相同数字的概率为 B．没有出现数字的概率为 C．至少出现一次数字的概率为 D．三个数字之和为的概率为 11. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给其他人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为．则（   ） A． B．若第3次传球后，戊开始加入传球训练，则 C．若第2次传球后，球恰好在丁手中，他将球传出后便离开了，则 D．若添加规定：当球在甲手中时，甲只能传给乙，乙再等可能传给其他人，则 第II卷（非选择题92分） 3. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为________． 13. 已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则________． 14. 一只不透明的袋子中装有形状、大小都相同的5个小球，其中2个黄球、2个白球、1个红球．先后从中无放回地取两次小球，每次随机取出2个小球，记下颜色计算得分，得分规则如下：“2个小球颜色相同”加1分，“2个小球颜色一黄一白”得0分，“2个小球中有红球”减1分，则“两次得分和为0分”的概率为________． 4. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 书包里有3双不同的手套（白色、红色、蓝色），分别用，，，，，表示6只手套．从中不放回随机取出2只． (1)写出试验的样本空间； (2)分别求取出的两只恰好是一双的概率和取出的两只都是同一只手的概率 16. 甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (1)写出甲、乙抽到牌的所有情况； (2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？ (3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？ 17. 某校为普及安全知识，举办了安全知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图．    (1)求频率分布直方图中的值，并估计这次竞赛的平均成绩； (2)按照成绩从高到低选出样本中前的学生组成安全宣传队，请估计进入宣传队的学生成绩至少需要多少分？ (3)在（2）的条件下，按成绩采用样本量比例分配的分层抽样从宣传队中抽取6名学生担任宣传队骨干，再从这6人中随机选取2人担任正副队长，求正副队长中至少有1名学生成绩在的概率． 18. 甲、乙、丙三人结伴去游乐园玩射击游戏，其中甲射击一次击中目标的概率为，甲、乙两人各射击一次且都击中目标的概率为，乙、丙两人各射击一次且都击中目标的概率为，且任意两次射击互不影响． (1)分别计算乙，丙两人各射击一次击中目标的概率； (2)求甲、乙、丙各射击一次恰有一人击中目标的概率； (3)若想击中目标的概率不低于，甲至少需要射击多少次？（参考数据：） 19. 某校举行围棋比赛，甲､乙､丙三个人通过初赛，进入决赛.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为. (1)决赛规则如下：首先通过抽签的形式确定甲､乙两人进行第一局比赛，丙轮空；第一局比赛结束后，胜利者和丙进行比赛，失败者轮空，以此类推，每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，首先累计到2分者获得比赛胜利，比赛结束.假设，且每局比赛相互独立. （i）求乙连胜两局获得最终胜利的概率； （ii）求比赛结束时乙获胜的概率； (2)若，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. ( 第 1 页 共 11 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$