第二十一章 一元二次方程 讲义 2025--2026学年人教版九年级数学上册

一元二次方程（3大知识点+7大题型）（知识梳理与题型） 目录 知识点整合梳理 知识点1：一元二次方程 1 知识点2：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 2 知识点3：一元二次方程的实际应用 3 分点对应题型 考点1 一元二次方程的定义 4 考点2 一元二次方程的解 4 考点3 一元二次方程的解法 5 考点4 一元二次方程的根的判别式 6 考点5 一元二次方程的根与系数的关系 7 考点6 与一元二次方程有关的新定义 8 考点7 一元二次方程的实际应用 10 类型1 增长率、下降率问题/P10 类型2 图形面积问题/P11 类型3 循环、传播问题/P12 类型4 商品销售问题/P13 知识点1：一元二次方程 概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的方程 一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0) 解法 开平 方法 x2＝m(m≥0)⇒x＝ ，(x＋m)2＝n(n≥0)⇒x＝ 因式 分解法 通过因式分解，转化为一次方程求解： ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(mx＋n)(px＋q)＝0mx＋n＝0或px＋q＝0，求得x的值 注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式，避免丢根 解法 公式法 适用于所有一元二次方程，当b2－4ac≥0(a≠0)时，实数根可写 为 在使用求根公式时：(1)要先将方程化为一般式，再利用公式求解； (2)a，b，c代入公式时应注意其符号 配方法 适用于：二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的一元二次方程 步骤： (1)移项：将常数项移到方程的右边； (2)变形：将二次项系数化为1； (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)求解：用直接开平方法求解 解题策略 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 　 法，再考虑用公式法． 知识点2：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 概念 一般地，式子b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac 【温馨提示】根据根的情况求字母系数的值时应注意： (1)使用之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出a，b，c的值； (2)若题目中未指明已知方程为一元二次方程，则应分情况讨论 根的情况 与判别式 的关系 (1)b2－4ac 0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程有两个 的实数根； (3)b2－4ac<0⇔一元二次方程 实数根 根与系数 的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ 【知识拓展】根与系数关系的变形： (1)＋＝； (2)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2； (3)＋＝＝ 知识点3：一元二次方程的实际应用 常见类型 等量关系 平均增长 (下降) 率问题 设a是基础量，b为增长(下降)后的量 若x为平均增长率，2为增长次数，则b＝ 若x为平均下降率，2为下降次数，则b＝ 面积问题 设矩形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则： S阴影＝ S阴影＝ S阴影＝ 每每问题 (1)常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润×销售量； (2)单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数量为·b 循环问题 握手总次数为(n为人数，且n≥2)(单循环问题) 礼物总份数为n(n－1)(n为人数，且n≥2)(双循环问题) 解决应用题的一般步骤 　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 【温馨提示】实际问题需要验根，检验根是否符合实际意义 分点对应题型 考点1 一元二次方程的定义 1．（2025春肥城市期中）下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2+1＝0 B． C．ax2+bx+c＝0 D． 2．（2025春崇川区校级月考）方程①；②2x2﹣5xy+y2＝0；③7x2+1＝0；④中，一元二次方程个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 考点2 一元二次方程的解 3．（2025东莞市模拟）若m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根，则m2+2m的值是（　　） A．2024 B．﹣2025 C．2025 D．4050 4．（2025春温州期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．﹣m B． C．m D． 5．（2025雁江区一模）已知m为方程x2+3x﹣2025＝0的根，那么m3+2m2﹣2028m+2025的值为　　 ． 6．（2025仙居县二模）已知关于x的两个方程x2﹣x+5c＝0，x2+x+c＝0（c≠0）．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是　　 ． 7．（2025永寿县校级模拟）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行．故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0和一元一次方程2x﹣6＝0为“相伴方程”，则c的值为　　 ． 考点3 一元二次方程的解法 8．（2025春青神县期中）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，下列配方法正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x+2）2＝2 9．（2025春闵行区校级期中）解方程时，如果设，那么原方程可化为（　　） A．3y2+y+2＝0 B．3y2+y+8＝0 C．3y2+y﹣4＝0 D．3y2+y＝0 10．（2025春崇川区校级月考）关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为（　　） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 11．（2024秋市中区校级期中）材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可设x2＝y，于是原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，解得y1＝﹣2，y2＝3．当y＝﹣2时，x2＝﹣2不合题意舍去；当y＝3时，x2＝3，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： （1）（x2+x）2+2（x2+x）﹣8＝0； （2）． 12．（2025春肥城市期中）按要求解下列方程： （1）4x2﹣8x+1＝0（用配方法）； （2）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）﹣10＝0（自己喜欢的方法）． 13．（2025春杭州校级期中）解方程： （1）x2﹣6x＝0； （2）4x（3+x）＝7（x+3）； （3）x2+2x+1＝4； （4）3x2+5x+1＝0． 考点4 一元二次方程的根的判别式 14．（2025春新野县期中）若关于x的方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜4 D．m＞4 15．（2025驻马店模拟）若关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．﹣9 B． C． D．9 16．（2025镇平县二模）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 17．（2025铁岭模拟）一元二次方程2x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 18．（2025石家庄二模）关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0存在两实数根x1，x2，下列说法错误的是（　　） A．若x1＝x2，则k＝﹣4 B．若x1≠x2，则k＞﹣4 C．x1和x2一定异号 D．若x1＝x2+2，则k＝﹣3 19．（2025昌平区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+（k+1）＝0有实根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数时，求该方程的两个根． 考点5 一元二次方程的根与系数的关系 20．（2025清新区三模）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝（　　） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 21．（2025铁岭模拟）若a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，则ab（a+b）的值为（　　） A．﹣4046 B．﹣2023 C．4046 D．2023 22．（2025淄川区二模）若一元二次方程4x2+12x﹣1147＝0的实数根为x1，x2，且x1＞x2，则3x1+x2的值为（　　） A．22 B．28 C．34 D．40 23．（2025青羊区校级模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且，则p的值为　　 ． 24．（2025春崇川区校级月考）关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的有两个实数根为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若|x1﹣x2|＝1，求m的值． 25．（2025春牟平区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0． （1）当m＝1时，解该一元二次方程； （2）求证：无论m为何实数，方程总有实数根； （3）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值． 考点6 与一元二次方程有关的新定义 26．（2024秋威宁县期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“凤凰方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程x2+mx﹣5＝0是“凤凰方程”，求m的值． 27．（2025春南岗区校级期中）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？ （1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ 　　 ． （2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值． 28．（2025春镇海区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程． 29．（2025春浙江月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 30．（2024秋丹东期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是　 　； （2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值； （3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为　　 ． 31．（2024秋姜堰区期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程x2+2x﹣3＝0是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 32．（2024春相山区校级期中）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． （1）已知关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程，则c的值为　 　； （2）如果关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，则m的值； （3）若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，求证：关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程． 33．（2024春杭州校级期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程（2x+1）2＝1是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为“有爱方程”的根； （3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值． 34．（2025春温州期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　（填序号）． ①x2﹣1＝0； ②x2﹣6x+9＝0； ③x2+3x+2＝0． （2）若（x+2）（x﹣n）＝0是“邻根方程”，求n的值． （3）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由． 考点7 一元二次方程的实际应用 类型1 增长率、下降率问题 35．（2025南安市二模）某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．设两次调整中每次的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A．150（1+x2）＝90 B．150（1﹣x）2＝90 C．150（1﹣x2）＝90 D．90（1+x）2＝150 36．（2025五华区校级模拟）随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为67.9万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为x，可列方程（　　） A．67.9（1+x）＝210 B．67.9（1+x）2＝210 C．67.9（1+2x）＝210 D．67.9（1+2x）2＝210 37．（2025杭州二模）2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品钠入补贴范图，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则符合题意的方程是（　　） A．2400（1﹣x2）＝1944 B．2400（1﹣x）2＝1944 C．2400（1﹣2x）＝1944 D．2400（1﹣2x）2＝1944 38．（2025双塔区校级二模）某种工业原料今年第一季度价格下降20%，价格下降后买50吨这种原料比原来便宜125万元． （1）求该种工业原料下降后的价格； （2）从第二季度开始，该种工业原料的价格开始回升，经过两个季度，该种工业原料的价格上升到每吨14.4万元，求第二和第三季度该种工业原料价格的平均增长率． 39．（2025芜湖三模）某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体单价见下表所列．设2023年降价的百分数为x． 年份 单价/万元 2022年 20 2023年 2024年 14.4 （1）用含x的代数式表示2023年该电动汽车的价格； （2）求2024年该电动汽车降价的百分数． 类型2 图形面积问题 40．（2025五华区校级模拟）傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长60cm，宽40cm的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽度为x cm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则下列方程正确的是（　　） A．（60+x）（40+2x）＝2816 B．（60+2x）（40+2x）＝2816 C．（60+2x）（40+x）＝2816 D．（60+x）（40+x）＝2816 41．（2025城中区校级三模）如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分未种花草，使绿化面积为126平方米，设路宽为x米，则可列方程（　　） A．（15﹣x）（10﹣x）＝126 B．15（10﹣x）＝126 C．10（15﹣x）＝126 D．15×10﹣10x﹣15x＝126 42．（2025五华区校级二模）如图，已知长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，分别在它的四个角上剪去边长为x cm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖长方体盒子，则可列方程为（　　） A．（10﹣2x）（8﹣2x）＝24 B．（10﹣x）（8﹣x）＝24 C．（10﹣x）（8﹣2x）＝24 D．（10﹣2x）（8﹣x）＝24 类型3 循环、传播问题 43．（2025春崇川区校级月考）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数是（　　） A．5人 B．4人 C．3人 D．6人 44．（2025沈阳模拟）一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（　　） A．x（x+1）＝306 B． C．x（x﹣1）＝306 D． 45．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间都比赛一场，共需安排21场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝21 B． C．x（x+1）＝21 D． 46．（2025春宁明县期中）某地区1月初疫情感染人数a万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至b万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（　　） A．a（1﹣2x）＝b B．a（1﹣x）2＝b C．a（1+2x）＝b D．a（1+x）2＝b 47．（2025确山县模拟）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 类型4 商品销售问题 48．（2025五华区校级模拟）目前，我国电动自行车保有量逾3亿辆，公安交警部门提醒市民，骑行电动自行车必须严格遵守“一盔一带”的法规，佩戴安全头盔可以有效降低头部损伤和致死风险．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售600个，3月份销售864个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　） A．600（1+x）2＝864 B．600（1+x2）＝864 C．864（1﹣x）2＝600 D．864（1﹣x2）＝600 49．（2025门头沟区二模）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，第三周商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． （1）用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量　 　个，第三周旅游纪念品销售数量为 　　 个； （2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 50．（2025春广饶县期中）2025年为大力响应广饶县乡村振兴政策，梨果村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． （1）请确定苹果、桃李的单价； （2）该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降0.1元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降0.1元，桃李每天可多销售5千克为了使每天获取更大的利润，该村决定把苹果和桃李的零售单价同时下降a（0＜a＜4）元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次方程（3大知识点+7大题型）（知识梳理与题型） 目录 知识点整合梳理 知识点1：一元二次方程 1 知识点2：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 2 知识点3：一元二次方程的实际应用 3 分点对应题型 考点1 一元二次方程的定义 4 考点2 一元二次方程的解 4 考点3 一元二次方程的解法 6 考点4 一元二次方程的根的判别式 9 考点5 一元二次方程的根与系数的关系 12 考点6 与一元二次方程有关的新定义 14 考点7 一元二次方程的实际应用 20 类型1 增长率、下降率问题/P20 类型2 图形面积问题/P22 类型3 循环、传播问题/P24 类型4 商品销售问题/P26 知识点1：一元二次方程 概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2 的方程 一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0) 解法 开平 方法 x2＝m(m≥0)⇒x＝±，(x＋m)2＝n(n≥0)⇒x＝－m± 因式 分解法 通过因式分解，转化为一次方程求解： ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(mx＋n)(px＋q)＝0mx＋n＝0或px＋q＝0，求得x的值 注：方程求解过程中，等式两边不能同时约去含有相同未知数的因式，避免丢根 解法 公式法 适用于所有一元二次方程，当b2－4ac≥0(a≠0)时，实数根可写为x＝ 在使用求根公式时：(1)要先将方程化为一般式，再利用公式求解； (2)a，b，c代入公式时应注意其符号 配方法 适用于：二次项系数化为1后，一次项系数为偶数的一元二次方程 步骤： (1)移项：将常数项移到方程的右边； (2)变形：将二次项系数化为1； (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)求解：用直接开平方法求解 解题策略 解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 　 法，再考虑用公式法． 知识点2：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 概念 一般地，式子b2－4ac叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac 【温馨提示】根据根的情况求字母系数的值时应注意： (1)使用之前一定要把方程化为一般形式，以便正确找出a，b，c的值； (2)若题目中未指明已知方程为一元二次方程，则应分情况讨论 根的情况 与判别式 的关系 (1)b2－4ac＞ 0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔一元二次方程有两个相等 的实数根； (3)b2－4ac<0⇔一元二次方程没有 实数根 根与系数 的关系 若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根，则x1＋x2＝－，x1·x2＝ 【知识拓展】根与系数关系的变形： (1)＋＝； (2)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2； (3)＋＝＝ 知识点3：一元二次方程的实际应用 常见类型 等量关系 平均增长 (下降) 率问题 设a是基础量，b为增长(下降)后的量 若x为平均增长率，2为增长次数，则b＝a(1＋x)2 若x为平均下降率，2为下降次数，则b＝a(1－x)2 面积问题 设矩形ABCD的长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则： S阴影＝(a－2x)(b－2x) S阴影＝(a－x)(b－x) S阴影＝(a－x)(b－x) 每每问题 (1)常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润×销售量； (2)单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数量为·b 循环问题 握手总次数为(n为人数，且n≥2)(单循环问题) 礼物总份数为n(n－1)(n为人数，且n≥2)(双循环问题) 解决应用题的一般步骤 　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 【温馨提示】实际问题需要验根，检验根是否符合实际意义 分点对应题型 考点1 一元二次方程的定义 1．（2025春肥城市期中）下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2+1＝0 B． C．ax2+bx+c＝0 D． 【解答】解：A．x2+1＝0是一元二次方程，符合题意； B．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意； C．ax2+bx+c＝0，当a＝0时，方程不是一元二次方程，不符合题意； D．，不是整式方程，不符合题意． 故选：A． 2．（2025春崇川区校级月考）方程①；②2x2﹣5xy+y2＝0；③7x2+1＝0；④中，一元二次方程个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【解答】解：在方程①；②2x2﹣5xy+y2＝0；③7x2+1＝0；④中，一元二次方程为7x2+1＝0；，共2个． 故选：B． 考点2 一元二次方程的解 3．（2025东莞市模拟）若m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根，则m2+2m的值是（　　） A．2024 B．﹣2025 C．2025 D．4050 【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根， ∴m2+2m﹣2025＝0， ∴m2+2m＝2025． 故选：C． 4．（2025春温州期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一根为x＝m，则关于x的一元二次方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）必有一根为（　　） A．﹣m B． C．m D． 【解答】解：∵m是若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）的一个根， ∴am2+bm+c＝0， ∴abc＝0， ∴（）2﹣（）b+a＝0， ∴是方程cx2﹣bx+a＝0（ac≠0）的一个根， 故选：D． 5．（2025雁江区一模）已知m为方程x2+3x﹣2025＝0的根，那么m3+2m2﹣2028m+2025的值为　　 ． 【解答】解：将x＝m代入原方程得：m2+3m﹣2025＝0， ∴m2+3m＝2025， ∴原式＝m3+3m2﹣m2﹣2028m+2025 ＝m（m2+3m）﹣m2﹣2028m+2025 ＝2025m﹣m2﹣2028m+2025 ＝﹣m2﹣3m+2025 ＝﹣（m2+3m）+2025 ＝﹣2025+2025 ＝0． 故答案为：0． 6．（2025仙居县二模）已知关于x的两个方程x2﹣x+5c＝0，x2+x+c＝0（c≠0）．若前一个方程中有一个根是后一个方程某个根的5倍，则实数c的值是　　 ． 【解答】解：设x2+x+c＝0的一个根为t，5t为方程x2﹣x+5c＝0的一个根， ∴t2+t+c＝0①，25t2﹣5t+5c＝0，即5t2﹣t+c＝0②， ②﹣①得4t2﹣2t＝0， 解得t1＝0，t2， 当t＝0时，把t＝0代入t2+t+c＝0得c＝0，不合题意舍去； 当t时，把t＝0代入t2+t+c＝0得c＝0，解得c， 综上所述，c的值为． 故答案为：． 7．（2025永寿县校级模拟）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行．故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0和一元一次方程2x﹣6＝0为“相伴方程”，则c的值为　　 ． 【解答】解：解方程2x﹣6＝0， 解得x＝3， ∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0和一元一次方程2x﹣6＝0为“相伴方程”， ∴x＝3为关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0的解， ∴9﹣12+c＝0， 解得c＝3． 故答案为：3． 考点3 一元二次方程的解法 8．（2025春青神县期中）用配方法解方程x2﹣4x+2＝0，下列配方法正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝6 B．（x+2）2＝6 C．（x﹣2）2＝2 D．（x+2）2＝2 【解答】解：x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝﹣2+4， （x﹣2）2＝2， 故选：C． 9．（2025春闵行区校级期中）解方程时，如果设，那么原方程可化为（　　） A．3y2+y+2＝0 B．3y2+y+8＝0 C．3y2+y﹣4＝0 D．3y2+y＝0 【解答】解：设， ∴可得（x）2＝x22＝y2， ∴3（y2﹣2）+y+2＝0， 原方程可化为：3y2+y﹣4＝0． 故选：C． 10．（2025春崇川区校级月考）关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的两个根是等腰△ABC的两条边长，已知一个根是2，则△ABC的周长为（　　） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣2mx+3m＝0得4﹣4m+3m＝0， 解得m＝4， 此时方程化为x2﹣8x+12＝0， 解得x1＝2，x2＝6， 当三角形的腰为6，底边长为2，此时三角形的周长为6+6+2＝14； 当三角形的腰为2，底边长为6，由于2+2＜6，不符合三角形三边的关系，舍去； 综上所述，三角形的周长为14． 故选：A． 11．（2024秋市中区校级期中）材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0，可设x2＝y，于是原方程可化为y2﹣y﹣6＝0，解得y1＝﹣2，y2＝3．当y＝﹣2时，x2＝﹣2不合题意舍去；当y＝3时，x2＝3，解得，，故原方程的根为：，． 请你参照材料给出的解题方法，解下列方程： （1）（x2+x）2+2（x2+x）﹣8＝0； （2）． 【解答】解：（1）由换元法可设y＝x2+x，原方程可化为y2+2y﹣8＝0， 解得y1＝﹣4，y2＝2， 当y＝﹣4时，x2+x＝﹣4，即x2+x+4＝0， ∵Δ＝﹣15＜0， ∴方程无解， 当y＝2时，x2+x＝2，即x2+x﹣2＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝1， 故原方程的根为x1＝﹣2，x2＝1； （2）由换元法可设，方程可化为y2﹣3y+2＝0， 解得y1＝1，y2＝2， 当y＝1时，， 解得x＝﹣1，经检验是原方程的解， 当y＝2时，， 解得x＝﹣2，经检验是原方程的解， 故原方程的根为：x1＝﹣1，x2＝﹣2． 12．（2025春肥城市期中）按要求解下列方程： （1）4x2﹣8x+1＝0（用配方法）； （2）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）﹣10＝0（自己喜欢的方法）． 【解答】解：（1）4x2﹣8x+1＝0， x2﹣2x， x2﹣2x+11，即（x﹣1）2， ∴x﹣1＝±， ∴x1＝1，x2＝1； （2）（x﹣1）2﹣3（x﹣1）﹣10＝0， （x﹣1﹣5）（x﹣1+2）＝0，即（x﹣6）（x+1）＝0， ∴x﹣6＝0或x+1＝0， ∴x1＝6，x2＝﹣1． 13．（2025春杭州校级期中）解方程： （1）x2﹣6x＝0； （2）4x（3+x）＝7（x+3）； （3）x2+2x+1＝4； （4）3x2+5x+1＝0． 【解答】解：（1）x2﹣6x＝0， x（x﹣6）＝0， 则x＝0或x﹣6＝0， 所以x1＝0，x2＝6． （2）4x（3+x）＝7（x+3）， 4x（x+3）﹣7（x+3）＝0， （x+3）（4x﹣7）＝0， 则x+3＝0或4x﹣7＝0， 所以． （3）x2+2x+1＝4， x2+2x﹣3＝0， （x﹣1）（x+3）＝0， 则x﹣1＝0或x+3＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣3． （4）3x2+5x+1＝0， Δ＝52﹣4×3×1＝13＞0， 则x， 所以． 考点4 一元二次方程的根的判别式 14．（2025春新野县期中）若关于x的方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．m＜4 D．m＞4 【解答】解：Δ＝（﹣1）2﹣4×1m＝1﹣4m． ∵关于x的方程x2﹣x+m＝0有两个不相等的实数根， ∴1﹣4m＞0． ∴m． 故选：A． 15．（2025驻马店模拟）若关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A．﹣9 B． C． D．9 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+m＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即9﹣4m＝0， 解得m． 故选：C． 16．（2025镇平县二模）若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+1＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+x+1＝0有实数根， ∴Δ≥0且m﹣2≠0， 即Δ＝1﹣4（m﹣2）≥0且m≠2， 解得m且m≠2， 故选：D． 17．（2025铁岭模拟）一元二次方程2x2﹣4x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【解答】解：由题意得Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣8＜0， ∴原方程没有实数根， 故选：B 18．（2025石家庄二模）关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣k＝0存在两实数根x1，x2，下列说法错误的是（　　） A．若x1＝x2，则k＝﹣4 B．若x1≠x2，则k＞﹣4 C．x1和x2一定异号 D．若x1＝x2+2，则k＝﹣3 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4（﹣k）＝16+4k， 若x1＝x2，则Δ＝0，解得k＝﹣4，所以A选项的说法正确； 若x1≠x2，则Δ＞0，解得k＞﹣4，所以B选项的说法正确； 因为x1x2＝﹣k，而k≥﹣4，则k＞0时，x1x2＝﹣k＜0，x1与x2异号，所以C选项的说法不正确； 因为x1+x2＝4，若x1＝x2+2，则x1＝3，x2＝1，所以﹣k＝3×1，解得k＝﹣3，所以D选项的说法正确． 故选：C． 19．（2025昌平区二模）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+（k+1）＝0有实根． （1）求k的取值范围； （2）当k取最大整数时，求该方程的两个根． 【解答】解：（1）由题知， 因为关于x的一元二次方程x2﹣2x+（k+1）＝0有实根， 所以Δ＝（﹣2）2﹣4（k+1）≥0， 解得k≤0， 所以k的取值范围是k≤0． （2）由（1）知，k的最大整数值为0， 则该方程为x2﹣2x+1＝0， 解得x1＝x2＝1， 所以方程的两个根都是1． 考点5 一元二次方程的根与系数的关系 20．（2025清新区三模）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝（　　） A．2020 B．2022 C．2024 D．2026 【解答】解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2024＝0的两个实数根， ∴m2+2m﹣2024＝0，m+n＝﹣2， ∴m2+2m＝2024， ∴m2+3m+n＝m2+2m+（m+n）＝2024﹣2＝2022， 故选：B． 21．（2025铁岭模拟）若a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根，则ab（a+b）的值为（　　） A．﹣4046 B．﹣2023 C．4046 D．2023 【解答】解：∵a，b是方程x2﹣2023x+2＝0的两个实数根， ∴， ∴ab（a+b）＝2×2023＝4046． 故选：C． 22．（2025淄川区二模）若一元二次方程4x2+12x﹣1147＝0的实数根为x1，x2，且x1＞x2，则3x1+x2的值为（　　） A．22 B．28 C．34 D．40 【解答】解：∵一元二次方程4x2+12x﹣1147＝0的实数根为x1，x2， ∴x1+x23， ∵a＝4，b＝12，c＝﹣1147， ∴Δ＝b2﹣4ac＝122﹣4×4×（﹣1147）＝144+18352＝18496， ∴x， ∴x1， ∴3x1+x2＝2x1+x1+x2＝31﹣3＝28． 故选：B． 23．（2025青羊区校级模拟）若关于x的一元二次方程x2+2x+p＝0两根为x1、x2，且，则p的值为　　 ． 【解答】解：∵x1+x2＝﹣2，x1x2＝p， ∴， 而， ∴5， ∴p， 故答案为：． 24．（2025春崇川区校级月考）关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的有两个实数根为x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）若|x1﹣x2|＝1，求m的值． 【解答】解：（1）因为关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的有两个实数根， 所以Δ＝（﹣2m）2﹣4m（m﹣2）≥0，且m≠0， 解得m＞0， 所以m的取值范围是m＞0． （2）因为关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的两个实数根为x1，x2， 所以． 又因为|x1﹣x2|＝1， 所以（x1﹣x2）2＝1， 则（x1+x2）2﹣4x1x2＝1， 所以221， 解得m＝8， 经检验m＝8是原方程的解，且符合题意， 所以m的值为8． 25．（2025春牟平区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0． （1）当m＝1时，解该一元二次方程； （2）求证：无论m为何实数，方程总有实数根； （3）若x1，x2是方程的两个实数根，且，求m的值． 【解答】（1）解：当m＝1时，原方程为x2﹣x﹣2＝0， （x﹣2）（x+1）＝0， ∴x﹣2＝0或x+1＝0， ∴x1＝2，x2＝﹣1； （2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4×1×（﹣3m2+m）＝（4m﹣1）2≥0， ∴不论m为何实数，方程总有实数根； （3）解：∵x1x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x﹣3m2+m＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2m﹣1， ∵， ∴， ∴，整理，得5m2﹣7m+2＝0， 解得，m2＝1， ∴m的值为或1． 考点6 与一元二次方程有关的新定义 26．（2024秋威宁县期末）如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”． （1）判断一元二次方程3x2+4x+1＝0是否为“凤凰方程”，并说明理由； （2）若关于x的方程x2+mx﹣5＝0是“凤凰方程”，求m的值． 【解答】解：（1）一元二次方程3x2+4x+1＝0是凤凰方程， 理由： 因为一元二次方程3x2+4x+1＝0满足3﹣4+1＝0， 所以一元二次方程3x2+4x+1＝0是凤凰方程； （2）若关于x的方程x2+mx﹣5＝0是“凤凰方程”， 则1﹣m﹣5＝0， 解得m＝﹣4． 27．（2025春南岗区校级期中）新定义：若关于x的一元二次方程：m（x﹣a）2+b＝0与n（x﹣a）2+b＝0，称为“同类方程”．如2（x﹣1）2+3＝0与6（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”？ （1）若2x2﹣4x+p＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”，求p＝ 　　 ． （2）现有关于x的一元二次方程：2（x﹣1）2+1＝0与（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝0是“同类方程”，求a和b的值． 【解答】解：（1）由条件可知2（x﹣1）2+p﹣2＝0与q（x﹣1）2+3＝0是“同类方程”， ∴p﹣2＝3， 解得p＝5； 故答案为：5； （2）由条件可知（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）（x﹣1）2+1， ∴（a+6）x2﹣（b﹣8）x+6＝（a+6）x2﹣2（a+6）x+a+7， ∴， 解得． 28．（2025春镇海区校级期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，如果a，b，c满足3a﹣2b+c＝0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． （1）判断方程2x2﹣x﹣8＝0是否为美妙方程，并说明理由． （2）已知关于x的美妙方程ax2+2x+c＝0的一个根是﹣1，求这个美妙方程． 【解答】解：（1）是美妙方方程． ∵a＝2，b＝﹣1，c＝﹣8， ∴3a﹣2b+c＝6﹣（﹣2）+（﹣8）＝0． 故此方程为美妙方程． （2）将x＝﹣1代入原方程得， a﹣2+c＝0①， ∵此方程为美妙方方程， ∴3a﹣4+c＝0②， 由①②得， ∴这个美妙方程为x2+2x+1＝0． 29．（2025春浙江月考）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． （1）判断一元二次方程x2﹣4x+3＝0是否为“C方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”，求代数式b2﹣4c﹣1的最小值． 【解答】解：（1）是“C方程”，理由如下： ∵x2﹣4x+3＝0， ∴（x﹣3）（x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝3，x2＝1， ∵c＝3， ∴一元二次方程x2﹣4x+3＝0是“C方程”； （2）∵关于x的一元二次方程4x2+bx+c＝0（c≠0）是“C方程”， ∴4c2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴b＝﹣4c﹣1， ∴b2﹣4c﹣1＝b2+b＝（b）2， ∵b0，∴b2﹣4c﹣1的最小值为． 30．（2024秋丹东期末）“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程cx2+bx+a＝0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的倒方程，其中a，b，c为常数（且a，c≠0）．根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是　 　； （2）若x＝﹣1是一元二次方程x2﹣2x+c＝0的倒方程的解，求出c的值； （3）若m是一元二次方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程的一个实数根，则m3+m2﹣6m+2025的值为　　 ． 【解答】解：（1）方程﹣4x2+3x+1＝0的倒方程是：x2+3x﹣4＝0； 故答案为：x2+3x﹣4＝0； （2）由条件可倒方程为cx2﹣2x+1＝0， 把x＝﹣1代入方程， 得c+2+1＝0， ∴c＝﹣3； （3）由题意得：方程﹣6x2+x+1＝0的倒方程为x2+x﹣6＝0， ∵m是方程x2+x﹣6＝0的一个实数根， ∴m2+m﹣6＝0， ∴m3+m2﹣6m+2025＝m（m2+m﹣6）+2025＝2025． 故答案为：2025． 31．（2024秋姜堰区期末）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（ac≠0）有一个根是c，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）判断一元二次方程x2+2x﹣3＝0是否为“黄金方程”，请说明理由； （2）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值． 【解答】解：（1）是“黄金方程”，理由如下： ∵x2+2x﹣3＝0， ∴（x+3）（x﹣1）＝0， ∴x+3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝1， ∵c＝﹣3， ∴一元二次方程x2+2x﹣3＝0是“黄金方程”； （2）∵关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”， ∴2c2+bc+c＝0， ∵c≠0， ∴2c＝﹣b﹣1， ∴b2﹣2c+1＝b2+b+1+1＝（b）2， ∵（b）2≥0， ∴b2﹣2c+1的最小值为． 32．（2024春相山区校级期中）定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫做常数根一元二次方程． （1）已知关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程，则c的值为　 　； （2）如果关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程，则m的值； （3）若关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根，求证：关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程． 【解答】解：（1）∵关于x的方程x2+x+c＝0是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为x＝c， 代入方程得，c2+2c＝0， 解得c＝0或﹣2； 故答案为：0或﹣2； （2）∵关于x的方程x2+2mx+m+1＝0是常数根一元二次方程， ∴方程的一个根为x＝m+1， 代入方程得，（m+1）2+2m（m+1）+m+1＝0， 整理得，3m2+5m+2＝0， 解得或﹣1． （3）∵关于x的常数根一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中不含零根， ∴方程的一个根为x＝c，且c≠0， 代入方程，得ac2+bc+c＝0，即c（ac+b+1）＝0， ∵c≠0， ∴ac+b+1＝0， ∴把y＝1代入方程acy2+by+1＝0，得左边＝ac+b+1＝0＝右边， ∴y＝1是关于y的方程acy2+by+1＝0的一个根， ∴关于y的方程acy2+by+1＝0是常数根一元二次方程． 33．（2024春杭州校级期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝a+c，那么我们称这个方程为“有爱方程”． （1）判断一元二次方程（2x+1）2＝1是否为“有爱方程”，并说明理由； （2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”，证明：x＝﹣1为“有爱方程”的根； （3）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”，若a是该“有爱方程”的一个根，求a的值． 【解答】（1）解：一元二次方程（2x+1）2＝1是“有爱方程”．理由如下： ∵（2x+1）2＝1， ∴4x2+4x+1＝1， ∴4x2+4x＝0， ∵a＝4，b＝4，c＝0， ∴b＝a+c， ∴一元二次方程（2x+1）2＝1是“有爱方程”． （2）证明：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）为“有爱方程”， ∴b＝a+c， ∴ax2+（a+c）x+c＝0， ∴（x+1）（ax+c）＝0， ∴x＝﹣1为“有爱方程”的根． （3）解：∵3x2﹣ax+b＝0是关于x的“有爱方程”， ∴﹣a＝3+b， ∴3x2﹣ax﹣（a+3）＝0， ∵a是该“有爱方程”的一个根， ∴3a2﹣a2﹣（a+3）＝0， ∴（a+1）（2a﹣3）＝0， ∴a＝﹣1或． 34．（2025春温州期中）定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a，b，c均为常数，a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　（填序号）． ①x2﹣1＝0； ②x2﹣6x+9＝0； ③x2+3x+2＝0． （2）若（x+2）（x﹣n）＝0是“邻根方程”，求n的值． （3）若一元二次方程x2+bx+c＝0（b，c均为常数）为“邻根方程”，请写出b，c满足的数量关系，并说明理由． 【解答】解：（1）①解方程x2﹣1＝0得x1＝1，x2＝﹣1， ∵x1﹣x2＝1﹣（﹣1）＝2， ∴方程x2﹣1＝0不是“邻根方程”； ②解方程x2﹣6x+9＝0得x1＝x2＝3， ∵x1﹣x2＝3﹣3＝0， ∴方程x2﹣6x+9＝0不是“邻根方程”； ③解方程x2+3x+2＝0得x1＝﹣1，x2＝﹣2， ∵x1﹣x2＝﹣1﹣（﹣2）＝1， ∴方程x2+3x+2＝0是“邻根方程”． 故答案为：③． （2）解方程（x+2）（x﹣n）＝0得：x1＝﹣2，x2＝n， ∵该方程是“邻根方程”， ∴n﹣（﹣2）＝1或﹣2﹣n＝1， 解得n＝﹣1或﹣3． （3）设方程x2+bx+c＝0的两个根x1，x2，则|x1﹣x2|＝1，x1+x2＝﹣b，x1x2＝c，b2﹣4c＞0， 由|x1﹣x2|＝1得（x1﹣x2）2＝1， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝1，即（﹣b）2﹣4c＝1， ∴b2﹣4c＝1． 考点7 一元二次方程的实际应用 类型1 增长率、下降率问题 35．（2025南安市二模）某校积极响应“双减”政策要求，分阶段缩减作业时长．已知该校七年级下学期学生平均每天书面作业时长为150分钟，经两次调整后，作业时长降至90分钟．设两次调整中每次的平均下降率为x，则可列方程为（　　） A．150（1+x2）＝90 B．150（1﹣x）2＝90 C．150（1﹣x2）＝90 D．90（1+x）2＝150 【解答】解：根据题意得：150（1﹣x）2＝90． 故选：B． 36．（2025五华区校级模拟）随着技术升级，近年来我国新能源汽车出口量快速增长．相关数据显示：2022年国产新能源汽车出口量为67.9万辆，2024年达到了210万辆．设这两年国产新能源汽车出口量的年平均增长率为x，可列方程（　　） A．67.9（1+x）＝210 B．67.9（1+x）2＝210 C．67.9（1+2x）＝210 D．67.9（1+2x）2＝210 【解答】解：根据题意得67.9（1+x）2＝210． 故选：B． 37．（2025杭州二模）2025年1月，福建新一轮以旧换新活动新增手机等数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表手环等3类数码产品钠入补贴范图，最高补贴500元．某款学习机经过两次降价，单价由2400元降为1944元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则符合题意的方程是（　　） A．2400（1﹣x2）＝1944 B．2400（1﹣x）2＝1944 C．2400（1﹣2x）＝1944 D．2400（1﹣2x）2＝1944 【解答】解：根据两次降价后的单价＝原来的单价×（1﹣x）2列出方程得： 2400（1﹣x）2＝1944， 故选：B． 38．（2025双塔区校级二模）某种工业原料今年第一季度价格下降20%，价格下降后买50吨这种原料比原来便宜125万元． （1）求该种工业原料下降后的价格； （2）从第二季度开始，该种工业原料的价格开始回升，经过两个季度，该种工业原料的价格上升到每吨14.4万元，求第二和第三季度该种工业原料价格的平均增长率． 【解答】解：（1）设该种工业原料原来的价格为x万元/吨，则下降后的价格为（1﹣20%）x万元/吨， 依题意得：50x﹣50（1﹣20%）x＝125， 解得：x＝12.5， ∴（1﹣20%）x＝0.8×12.5＝10， 答：该种该种工业原料下降后的价格为10万元/吨； （2）设第二和第三季度该种工业原料价格的平均增长率为y， 依题意得：10（1+y）2＝14.4， 解得：y1＝0.2＝20%，y2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：第二和第三季度该种工业原料价格的平均增长率为20%． 39．（2025芜湖三模）某品牌电动汽车的价格逐年下降，2024年下降的百分数是2023年的2倍，具体单价见下表所列．设2023年降价的百分数为x． 年份 单价/万元 2022年 20 2023年 2024年 14.4 （1）用含x的代数式表示2023年该电动汽车的价格； （2）求2024年该电动汽车降价的百分数． 【解答】解：（1）由题意得，2023年该电动汽车的价格为20（1﹣x）万元； （2）∵2023年降价的百分数为x， ∴2024年降价的百分数为2x， 由题意得，20（1﹣x）（1﹣2x）＝14.4， 解得x＝0.1或x＝1.4（不合题意，舍去）． 即2024年降价的百分数为20%， 答：2024年降价的百分数为20%． 类型2 图形面积问题 40．（2025五华区校级模拟）傣族剪纸源于生活，傣族剪纸分“剪”与“凿”两种方法：剪无需稿样，随手可剪；凿则需稿样，按样制作．傣族剪纸内容丰富多样，包括花鸟鱼虫、人物故事、民间传说等，展现了傣族人民的生活和信仰，对美好生活的追求和想象．如图，在一幅长60cm，宽40cm的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，若要使整个挂图的面积是2816cm2，设金色纸边的宽度为x cm（风景画四周的金色纸边宽度相同），则下列方程正确的是（　　） A．（60+x）（40+2x）＝2816 B．（60+2x）（40+2x）＝2816 C．（60+2x）（40+x）＝2816 D．（60+x）（40+x）＝2816 【解答】解：∵在一幅长60cm，宽40cm的傣族剪纸的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，金色纸边的宽度为x cm， ∴矩形挂图的长为（60+2x）cm，宽为（40+2x）cm． 根据题意得：（60+2x）（40+2x）＝2816． 故选：B． 41．（2025城中区校级三模）如图，在一块长15米、宽10米的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的道路，剩余部分未种花草，使绿化面积为126平方米，设路宽为x米，则可列方程（　　） A．（15﹣x）（10﹣x）＝126 B．15（10﹣x）＝126 C．10（15﹣x）＝126 D．15×10﹣10x﹣15x＝126 【解答】解：由题意可得， （15﹣x）（10﹣x）＝126， 故选：A． 42．（2025五华区校级二模）如图，已知长方形铁皮的长为10cm，宽为8cm，分别在它的四个角上剪去边长为x cm的正方形，做成底面积为24cm2的无盖长方体盒子，则可列方程为（　　） A．（10﹣2x）（8﹣2x）＝24 B．（10﹣x）（8﹣x）＝24 C．（10﹣x）（8﹣2x）＝24 D．（10﹣2x）（8﹣x）＝24 【解答】解：根据（长方形的长﹣2x）（长方形的宽﹣2x）＝24cm2可得： （10﹣2x）（8﹣2x）＝24， 故选：A． 类型3 循环、传播问题 43．（2025春崇川区校级月考）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，参加聚会的人数是（　　） A．5人 B．4人 C．3人 D．6人 【解答】解：设参加聚会的人数是x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝10， 解得：x1＝5，x2＝﹣4（不符合题意，舍去）． 即参加聚会的人数是5人． 故选：A． 44．（2025沈阳模拟）一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（　　） A．x（x+1）＝306 B． C．x（x﹣1）＝306 D． 【解答】解：设这个小组有x个人， 由题意得，x（x﹣1）＝306． 故选：C． 45．某校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为每两班之间都比赛一场，共需安排21场比赛．设七年级共有x个班，则下列方程正确的是（　　） A．x（x﹣1）＝21 B． C．x（x+1）＝21 D． 【解答】解：依题意得：x（x﹣1）＝21． 故选：B． 46．（2025春宁明县期中）某地区1月初疫情感染人数a万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至b万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（　　） A．a（1﹣2x）＝b B．a（1﹣x）2＝b C．a（1+2x）＝b D．a（1+x）2＝b 【解答】解：根据题意，得a（1﹣x）2＝b， 故选：B． 47．（2025确山县模拟）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，则该小组一共有多少名成员？（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学需送出（x﹣1）张卡片， ∴x（x﹣1）＝306． ∴x＝18或x＝﹣17（舍去）． 故选：C． 类型4 商品销售问题 48．（2025五华区校级模拟）目前，我国电动自行车保有量逾3亿辆，公安交警部门提醒市民，骑行电动自行车必须严格遵守“一盔一带”的法规，佩戴安全头盔可以有效降低头部损伤和致死风险．某安全头盔经销商统计了某品牌头盔1月份到3月份的销量，该品牌头盔1月份销售600个，3月份销售864个，且从1月份到3月份销售量的月增长率相同．设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（　　） A．600（1+x）2＝864 B．600（1+x2）＝864 C．864（1﹣x）2＝600 D．864（1﹣x2）＝600 【解答】解：由题意，得：600（1+x）2＝864； 故选：A． 49．（2025门头沟区二模）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，第三周商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出． （1）用含x的代数式表示第二周旅游纪念品销售数量　 　个，第三周旅游纪念品销售数量为 　　 个； （2）如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？ 【解答】解：（1）单价降低x元，由题意可得第二周的销售数量为（200+50x）个； 则第三周的销售量为：600﹣200﹣（200+50x）＝200﹣50x个． 故答案为：200+50x，200﹣50x； （2）由题意可得：200×10+（200+50x）（10﹣x）+4（200﹣50x）﹣600×6＝1250， 整理得：x2﹣2x+1＝0， 解得：x＝1， 所以第二周每个旅游纪念品的销售价格为10﹣x＝10﹣1＝9元． 50．（2025春广饶县期中）2025年为大力响应广饶县乡村振兴政策，梨果村大力发展经济作物，在苹果、桃李树种植已初具规模时，销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． （1）请确定苹果、桃李的单价； （2）该村平均每天卖出苹果100千克和桃李120千克．经调查发现，苹果零售单价每降0.1元，苹果每天可多销售10千克．桃李零售单价每降0.1元，桃李每天可多销售5千克为了使每天获取更大的利润，该村决定把苹果和桃李的零售单价同时下降a（0＜a＜4）元．在不考虑其他因素的条件下，当a定为多少时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元？ 【解答】解：（1）设苹果的单价为x元，桃李的单价为y元； ∵销售10千克苹果和5千克桃李收入130元，销售6千克苹果和10千克桃李收入148元． ∴， ∴， ∴苹果的单价为8元，桃李的单价为10元， 答：苹果的单价为8元，桃李的单价为10元； （2）依题意， ， 整理得，5a2﹣36a+31＝0， 即（5a﹣31）（a﹣1）＝0， 则（故舍去）， ∴当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元， 答：当a定为1时，才能使该村每天销售苹果、桃李两种水果共收入2930元． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$