第03讲 全等三角形的判定（二～四）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（苏科版）

第03讲 全等三角形的判定（二~四） 思维导图 知识点1 全等三角形的判定二 ASA（ASA） ASA 1.用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的原理是什么？    动手做一做： 按下列作法，用圆规和直尺作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β． （1）作AB＝a． （2）在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α ， ∠NBA＝∠β ，AM、BN相交于点C． △ABC就是所求作的三角形． 通过自己实践后发现：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， ∠A＝∠D， AB＝DE， ∠B＝∠E， ∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）． AAS 如图，在▲ABC和▲DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E，BC=EF，那么这两个三角形全等吗？ 解：全等。 证：∵∠A=∠D，∠B=∠E ∴∠C=∠F（三角形的内角和为180°） 在▲ABC和▲DEF中 ∴▲ABC≌▲DEF（ASA） 通过自己实践后发现： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 （简写成“ 角边角 ”或“ AAS ” ） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， AB＝DE， ∠B＝∠E， ∠C=∠F， ∴ △ABC ≌ △DEF（AAS）． 知识点2 全等三角形的判定三 SSS SSS 按下列作法,用直尺和圆规作三角形ABC，使AB=c，AC=b，BC=a 作法： （1）作线段BC=a、 （2）分别以B、C为圆心，c、b的长为半径画弧，两弧相交于点A。 （3）连接AB、AC。 ▲ABC是所求的三角形。 通过自己实践后发现： 三边分别相等的两个三角形全等 （简写成“ 边边边 ”或“ SSS ” ） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， AB＝DE， BC=EF， AC=DF， ∴ △ABC ≌ △DEF（SSS）． 知识点3 直角三角形全等的判定 HL HL 按下列做法，用直尺和圆规作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。 作法： （1）作∠PCQ=90°； （2）在射线CP上截取CB=a； （3）以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ与点A； （4）连接AB。 Rt▲ABC就是所求作的三角形。 看一下自己作的三角形和其他同学完全重合吗？ 4.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′ 求证： △ABC≌△A′B′C′ 证：把两个直角三角形拼在一起，可证∠B=∠B′； 然后运用AAS证全等即可。 通过自己实践后发现： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （简写成“ 斜边、直角边 ”或“ HL ” ） 几何语言： 在Rt▲ABC与Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90° ∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL） 教材习题01 如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：． 教材习题02 如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：． 教材习题03 已知：如图，在中，，是边上的中线，求证：． 教材习题04 如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 教材习题05 已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 教材习题06 如图，在中，于点D，若，在上截取，连接并延长交与点E，试判断和的关系，并说明理由． 教材习题07 如图所示，点B、E、F、C在同一条直线上，有．，垂足分别为点E、F，且，，求证： (1)； (2)． 考点一、用ASA证全等 1．如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：． 3．如图，，，，求证：． 考点二、用AAS证全等 1．如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 2．如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 3．如图，．求证：． 考点三、用SSS证全等 1．如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 2．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 3．如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)若，，求的度数． 考点四、用HL证全等 1．如图，．求证：． 2．如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 3．如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 考点五、特殊的SSA证全等 1．【问题呈现】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点C，使，这样的点C有____________个，说明符合条件的三角形有____________种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形____________全等； 【拓展思考】如图2，已知，若且，那么一定是____________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 2．[教材呈现]如图是华师版八年级上册65页的部分内容． 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．   把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? (1)【操作】如图，，请你用圆规在的另一边找到点，使； (2)【发现】（1）中的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填一定或不一定）； (3)【思考】如图，已知，若，则下列判断不正确的是（   ）    A．一定是钝角三角形    B．    C．    D．的面积与的面积相等 3．教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做，如图，已知两条线段和一个角， 以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形． 　　　 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时符合条件的角形有几种？ (1)[操作发现] 如图（1），通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）． (2)[探究证明]阅读并补全证明 已知：如图（2），在和中，，，． 求证：． 证明：在上取一点G，使， ∵， ∴______， 又∵，而， ∴______， ∵， ∴______， 又∵______， ∴（______）， ∴（______）． 考点六、全等模型———线三等角 1．如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 3．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 考点七、全等模型——手拉手 1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．    2．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 3．如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 考点八、全等模型——倍长中线 1．安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 2．（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 3．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 知识导图记忆 1．如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 2．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合．过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 3．如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 4．如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 5．如图，是锐角，点在上，，点在上，点到直线的距离为2，当时，的形状、大小唯一确定，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 6．如图，用尺规作的依据是 ． 7．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是 ． 8．如图，已知，在不添加任何辅助线的前提下，请你添加一个条件 ，使． 9．生活情境·滑滑梯  如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，且左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，若，则 ． 10．如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 11．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形为“筝形”，，，对角线与相交于点．求证：． 12．【主题】军事训练中的距离测量问题 【素材】在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题： 【实践操作】如图所示： 步骤1：面向点竖直站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点： 步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤3：步测得米，已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】 (1)由上面实践操作可以知道距离是_____米； (2)如何测得我方阵地与对岸目标之间的距离？请用你所学数学知识说明． 13．小甬按如图方式测量旗杆高度，将处的绳子笔直拉至地面处，使，间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在处放置一块直角三角板，使直角顶点落在处，边与绳子重合，随后小甬后退至处直立，使眼睛与点，在同一直线上．小甬认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． 14．如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 15．已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 全等三角形的判定（二~四） 思维导图 知识点1 全等三角形的判定二 ASA（ASA） ASA 1.用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知识很快就画出了一个与原来完全一样的三角形，他的原理是什么？    动手做一做： 按下列作法，用圆规和直尺作△ABC，使AB＝a，∠A＝∠α，∠B＝∠β． （1）作AB＝a． （2）在AB的同一侧分别作∠MAB＝∠α ， ∠NBA＝∠β ，AM、BN相交于点C． △ABC就是所求作的三角形． 通过自己实践后发现：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， ∠A＝∠D， AB＝DE， ∠B＝∠E， ∴ △ABC ≌ △DEF（ASA）． AAS 如图，在▲ABC和▲DEF中，∠A=∠D， ∠B=∠E，BC=EF，那么这两个三角形全等吗？ 解：全等。 证：∵∠A=∠D，∠B=∠E ∴∠C=∠F（三角形的内角和为180°） 在▲ABC和▲DEF中 ∴▲ABC≌▲DEF（ASA） 通过自己实践后发现： 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 （简写成“ 角边角 ”或“ AAS ” ） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， AB＝DE， ∠B＝∠E， ∠C=∠F， ∴ △ABC ≌ △DEF（AAS）． 知识点2 全等三角形的判定三 SSS SSS 按下列作法,用直尺和圆规作三角形ABC，使AB=c，AC=b，BC=a 作法： （1）作线段BC=a、 （2）分别以B、C为圆心，c、b的长为半径画弧，两弧相交于点A。 （3）连接AB、AC。 ▲ABC是所求的三角形。 通过自己实践后发现： 三边分别相等的两个三角形全等 （简写成“ 边边边 ”或“ SSS ” ） 几何语言： ∵在△ABC和△DEF中， AB＝DE， BC=EF， AC=DF， ∴ △ABC ≌ △DEF（SSS）． 知识点3 直角三角形全等的判定 HL HL 按下列做法，用直尺和圆规作Rt▲ABC，使∠C=90°，CB=a，AB=c。 作法： （1）作∠PCQ=90°； （2）在射线CP上截取CB=a； （3）以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ与点A； （4）连接AB。 Rt▲ABC就是所求作的三角形。 看一下自己作的三角形和其他同学完全重合吗？ 4.已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′ 求证： △ABC≌△A′B′C′ 证：把两个直角三角形拼在一起，可证∠B=∠B′； 然后运用AAS证全等即可。 通过自己实践后发现： 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 （简写成“ 斜边、直角边 ”或“ HL ” ） 几何语言： 在Rt▲ABC与Rt▲A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90° ∴Rt▲ABC≌Rt▲A′B′C′（HL） 教材习题01 如图，点，，，在一条直线上，，，，求证：． 证明：， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ． 教材习题02 如图，点、、、在一条直线上，，，，求证：． 证明：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 教材习题03 已知：如图，在中，，是边上的中线，求证：． 证明：∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴． 教材习题04 如图，点，，，在同一直线上，点和点分别在直线的两侧，且，，．求证：． 证明：， ， ， ，， ． 教材习题05 已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： （1）证明：∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 教材习题06 如图，在中，于点D，若，在上截取，连接并延长交与点E，试判断和的关系，并说明理由． 解：，．理由如下， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 教材习题07 如图所示，点B、E、F、C在同一条直线上，有．，垂足分别为点E、F，且，，求证： (1)； (2)． （1）证明：∵， ∴， 即， ∵，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 考点一、用ASA证全等 1．如图，点B，F，C，E在直线l上，点A，D在l的两侧，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，根据平行线的性质证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得，则，即可求得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中 ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，点D是的边延长线上一点，且，过D作，且，连接交于点F，若，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键；由题意易得，，则有，然后问题可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．利用两直线平行同位角相等得到，由此根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 考点二、用AAS证全等 1．如图．已知是边的中线．，、与直线的交点分别为点、，请说明与全等的理由． 【答案】理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：中线得到，平行得到，利用，即可得证． 【详解】解：与全等的理由如下： ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据平行线的性质得到，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中，， ． 3．如图，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形内角和定理，平行线性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．根据平行线性质结合三角形内角和定理得到，再根据“”即可证明三角形全等． 【详解】证明：， ， ， ，即， ∵， ， 在与中， ， ． 考点三、用SSS证全等 1．如图，四边形中，，，， (1)求证：； (2)求证：； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由证明即可； （2）由全等三角形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质求出，再根据角的和差得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， （2）证明：由（1）可知，， ， 在和中， ， ， ， 即． 2．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，再运用SSS证明； （2）根据三角形内角和定理可求，由（1）知，从而可得结论． 【详解】（1） 在与中 （2） 3．如图，在中，，，为延长线上一点，点在上，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长度； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)9 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点． （1）利用证明与全等； （2）先根据全等三角形性质得出，进而求出，的长度，再计算； （3）先求出，再根据全等三角形性质得到，最后求出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：， ． ∵， ∴． 又， ． ， ， ； （3）解：，，，， ， ， ， ， ， ． 考点四、用HL证全等 1．如图，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定， 先根据，可得，再根据“斜边，直角边”证明即可． 【详解】证明：， ， 即． ， 和都是直角三角形， 在和中，， ∴． 2．如图，点C，D均在线段上，且，分别过点C，D 在 的异侧作，连接交于点G，． (1)求证：． (2)求证：G是线段的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质． （1）由得，证明，即可证明； （2）证明，得到即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 即G是线段的中点． 3．如图，于，于，若，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出； （2）根据全等三角形的性质得出，由线段的和差关系求出答案． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，，， ， 在和中， ， ， ． 考点五、特殊的SSA证全等 1．【问题呈现】如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形． 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种？ 【问题探究】如图1，，请你用圆规在的另一边找到点C，使，这样的点C有____________个，说明符合条件的三角形有____________种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形____________全等； 【拓展思考】如图2，已知，若且，那么一定是____________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）． 【答案】[问题探究]2，2，不一定；[拓展思考]钝角 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： [问题探究]根据全等三角形的几种判定方法解答即可；[拓展思考]根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：[问题探究] 如图，这样的点C有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等； [拓展思考] ∵是钝角三角形，， ∴一定是钝角三角形； 故答案为：[问题探究]2，2，不一定；[拓展思考]钝角． 2．[教材呈现]如图是华师版八年级上册65页的部分内容． 如图，已知两条线段和一个角，以长的线段为已知角的邻边，短的线段为已知角的对边，画一个三角形．   把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时，符合条件的三角形有多少种? (1)【操作】如图，，请你用圆规在的另一边找到点，使； (2)【发现】（1）中的点有______个，说明符合条件的三角形有______种；此时（即“边边角”对应相等）两个三角形______全等．（填一定或不一定）； (3)【思考】如图，已知，若，则下列判断不正确的是（   ）    A．一定是钝角三角形    B．    C．    D．的面积与的面积相等 【答案】(1)作图见解析 (2)2，2，不一定 (3)A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求画出图形即可得结论； （2）由（1）中所作图形，利用全等三角形的性质判断即可得到答案； （3）利用全等三角形的性质判断即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：   点及即为所求； （2）解：由（1）中所作图形可知，这样的点有2个，说明符合条件的三角形有2种；我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）两个三角形不一定全等， 故答案为：2，2，不一定； （3）解：，是钝角三角形， 一定是钝角三角形， 故选：A． 3．教材呈现：如图为华师版八年级上册数学教材第65页的部分内容．做一做，如图，已知两条线段和一个角， 以长的线段为已知角的邻边，画一个三角形． 　　　 把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，所画的三角形都全等吗？此时符合条件的角形有几种？ (1)[操作发现] 如图（1），通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形______全等（填“一定”或“不一定”）． (2)[探究证明]阅读并补全证明 已知：如图（2），在和中，，，． 求证：． 证明：在上取一点G，使， ∵， ∴______， 又∵，而， ∴______， ∵， ∴______， 又∵______， ∴（______）， ∴（______）． 【答案】(1)不一定 (2)，，，，，全等三角形对应边相等 【分析】本题主要考查了尺规作图作三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）依题意，通过作图可以得出结论； （2）根据已有的过程且结合全等三角形的判定与性质即可完成证明． 【详解】（1）解：如图1，通过作图我们可以发现，此时（即“边边角”对应相等）的两个三角形不一定全等， 故答案为：不一定； （2）证明：在上取一点G，使， ∵， ∴， 又∵，而， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴（全等三角形对应边相等）， 故答案为：，，，，，全等三角形对应边相等． 考点六、全等模型———线三等角 1．如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【详解】（1）证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. （2）解：， . 又，， . 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 【详解】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 3．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 考点七、全等模型——手拉手 1．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，点D在边AC上，且线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合，点F是ED与AB的交点． （1）求证：AE＝CD； （2）若∠DBC＝45°，求∠BFE的度数．    【答案】（1）证明见解析；（2）∠BFE＝105°． 【分析】（1）根据旋转的性质证明△ABE≌△CBD（SAS），进而得证； （2）由（1）得出∠DBC=∠ABE=45°，BD=BE，∠EBD=120°，最后根据三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵线段BD绕着点B按逆时针方向旋转120°能与BE重合， ∴BD＝BE，∠EBD＝120°， ∵AB＝BC，∠ABC＝120°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠ABE＝120°， ∴∠DBC＝∠ABE， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝CD； （2）解：由（1）知∠DBC＝∠ABE＝45°，BD＝BE，∠EBD＝120°， ∴∠BED＝∠BDE＝（180°﹣120°）＝30°， ∴∠BFE＝180°﹣∠BED﹣∠ABE ＝180°﹣30°﹣45°＝105°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，利用旋转的性质证明是解题的关键． 2．问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【答案】问题发现：，；拓展探究：成立，理由见解析 【分析】问题发现：根据题目条件证△ACE≌△DCB，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 拓展探究：用SAS证，根据全等三角形的性质即可证得． 【详解】解：问题发现：延长BD，交AE于点F，如图所示： ∵， ∴， 又∵, ∴（SAS）， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为：，； 拓展探究：成立． 理由如下：设与相交于点，如图1所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴（SAS）， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，依然成立． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，手拉手模型，熟练掌握全等三角形的判定和手拉手模型是解决本题的关键． 3．如图，，，三点在一条直线上，和均为等边三角形，与交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若把绕点任意旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）成立，理由见解析． 【分析】（1）根据等边三角形边长相等的性质和各内角为的性质可求得，根据全等三角形对应边相等的性质即可求得． （2）根据题意画出图形，证明方法与（1）相同． 【详解】解：（1）证明：如图1中，与都是等边三角形， ，，， ， ，， 即． 在和中， ， (SAS)． ． 即AE=BD， （2）成立；理由如下： 如图2中，、均为等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用及全等三角形的判定和性质的运用．解决本题的关键是证明三角形全等，属于中考常考题型． 考点八、全等模型——倍长中线 1．安安同学遇到这样一个问题：如图，中，，，是中线，求的取值范围. 宁宁提示她可以延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决.请解答： (1)和全等吗？请说明理由； (2)求出的取值范围. 【答案】(1)全等，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系； （1）根据中线的性质可得，延长到，使，根据证明 ，即可； （2）根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， 延长到，使， 又， ∴ （2）由（1）可知，，， 在中，，， ∴，即， ∴. 2．（1）如图，在中，，，点G是的中点，求中线的取值范围； （2）如图，在四边形中，，点E是的中点．若是的平分线．试探究，，之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）2＜DG＜5（2）AD=CD+AB，证明见解析 【分析】（1）延长DG至M，使GM=DG，连接MF，利用SAS可证得，利用全等三角形的对应边相等可得到DE=MF，再利用三角形的三边关系定理，可求出DG的取值范围； （2）延长AE，DC相交于点F， 利用平行线的性质可知∠BAE=∠F，利用AAS可证得△ABE≌△FCE，利用全等三角形的性质可证得AB=CF，∠F=∠DAF；利用角平分线的定义去证明∠F=∠DAF，利用等角对等边可证得AD=DF，然后根据DF=DC+CF，代入可证得结论． 【详解】（1）解：延长DG至M，使GM=DG，连接MF， 在和中， ∴(SAS)， ∴DE=MF=3， ∵DF-MF＜DM＜DF+MF， ∴7-3＜DM＜7+3， 即4＜DM＜10， ∵， ∴4＜2DG＜10， ∴2＜DG＜5； （2）AD=CD+AB，理由如下： 解：延长AE，DC相交于点F， ∵， ∴∠BAE=∠F， ∵点E是BC的中点， ∴BE=CE， 在和中， ∴（AAS）， ∴AB=CF， ∵∠BAE=∠F，∠DAF=∠BAE， ∴∠F=∠DAF， ∴AD=FD， ∵FD=CD+CF，CF=AB， ∴AD=CD+AB． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点并添加辅助线． 3．【发现问题】 （1）数学活动课上，马老师提出了如下问题：如图1，在中，，．是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到E，使得；②连接，通过三角形全等把、、转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题解决】 （2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________． ①；②；③；④ 【问题拓展】 （3）如图3，，，与互补，连接、，E是的中点，试说明：； （4）如图4，在（3）的条件下，若，延长交于点F，，，则的面积是________． 【答案】（1）；（2）②④；（3）见解析；（4） 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，即可求解； （3）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得结论； （4）由全等三角形的性质可得，，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：如图1中，延长至点，使． 在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 是中线， ， 又，， ， ，， ，， ， 为中线， ， ， ， 又， ， ，， ， ∴正确选项的序号是：②④； （3）证明：如图3，延长至，使，连接， 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， 又，， ， ， ； （4），， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中点的性质，平行线的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 知识导图记忆 1．如图，在与中，若，则，这个结论的理由是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，注意判定两三角形的全等方法有，，，，，选用适当的方法证明两三角形全等是解题的关键． 利用证明，即可求解． 【详解】解：在与中， ∵， ∴． 故选：C 2．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合．过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知：， ∴； 故选A． 3．如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选：C． 4．如图，，垂足为，且，点在上，若用“”证明，则需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用“”证明三角形全等，根据“”证明三角形全等的条件即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 当时， 在和中 ， ∴． 故选：B 5．如图，是锐角，点在上，，点在上，点到直线的距离为2，当时，的形状、大小唯一确定，则的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，点到直线的距离，关键是要分三种情况讨论． 当时，，的形状、大小唯一确定；当时，有两个；当时，的形状、大小唯一确定，于是得到m的取值范围． 【详解】解：当时，，由判定的形状、大小唯一确定； 当时，C的位置有两个，有两个； 当时，的形状、大小唯一确定； ∴m的取值范围是或． 故选：B． 6．如图，用尺规作的依据是 ． 【答案】全等三角形的对应角相等 【分析】此题考查了全等三角形的判定，尺规作一个角等于已知角，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 利用全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】解：由作法得：， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故答案为：全等三角形的对应角相等． 7．工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角，如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理．根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出答案即可． 【详解】解：在和中， . ∴， ∴， 即就是的平分线， 故答案为：． 8．如图，已知，在不添加任何辅助线的前提下，请你添加一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，和中，，，满足两组对角相等，根据全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：和中，，， 添加或，利用即可得到两三角形全等， 添加，利用即可得到两三角形全等， 故答案为：（答案不唯一）． 9．生活情境·滑滑梯  如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，且左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，若，则 ． 【答案】/58度 【分析】此题考查了全等三角形的应用，做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键． 由已知可根据判定，再根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∵ ∴ ∴． 故答案为：． 10．如图，在四边形中，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】5或 【分析】本题考查了全等三角形的性质和二元一次方程组的求解，正确理解题意、分情况讨论是解题的关键； 设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s，则，，，表示出，，再分与两种情况，根据全等三角形的性质构建方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为ts，动点M的速度为vcm/s， 由题意得，，，， 所以，， ∵， ∴， 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 当时，则， ∴， 解得：， ∴， 解得：； 综上，动点M的运动速度是2或； 故答案为：5或． 11．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形为“筝形”，，，对角线与相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明，即可证明． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴． 12．【主题】军事训练中的距离测量问题 【素材】在某次重要的军事训练任务中，士兵小王肩负着一项关键使命：精准测量我方阵地（点）与对岸目标（点）之间的距离．然而，摆在小王面前的是诸多棘手难题，河流湍急无法直接过河，且身处野外环境没有携带任何专业测量工具．但小王凭借着扎实的数学知识和冷静的头脑，巧妙地运用了以下方法来解决这一难题： 【实践操作】如图所示： 步骤1：面向点竖直站立，调整目视高度，使视线恰好经过帽檐到达点： 步骤2：保持身体姿态不变，原地转过一个角度，标记此时视线落在河岸的点； 步骤3：步测得米，已知小王身高为，帽顶到眼睛的垂直距离为． 【问题解决】 (1)由上面实践操作可以知道距离是_____米； (2)如何测得我方阵地与对岸目标之间的距离？请用你所学数学知识说明． 【答案】(1)28 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1）根据题意可得米； （2）可利用证明，则米． 【详解】（1）解：由题意得，由上面实践操作可以知道距离是28米； （2）解：由题意可得：，， 又， ， 米． 13．小甬按如图方式测量旗杆高度，将处的绳子笔直拉至地面处，使，间距离等于小甬直立时的眼睛离地高度，在处放置一块直角三角板，使直角顶点落在处，边与绳子重合，随后小甬后退至处直立，使眼睛与点，在同一直线上．小甬认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． 【答案】认同，理由见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用．证，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：认同． 理由：，， ， ， ， ， ， 又， ， ． 14．如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等及利用全等三角形的性质求解线段的长度”是解本题的关键. （1）先证明 再证明从而可得结论； （2）利用全等三角形的性质证明从而可得答案. 【详解】（1）证明：点E是边的中点， ∵ ； （2），， ， 15．已知，在四边形中，，，分别是边上的点．且．探究线段的数量关系． (1)为探究上述问题，小宁先画出了其中一种特殊情况，如图①当，小宁探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，请你补全小宁的解题思路：先证明________；再证明_________；即可得出线段之间的数量关系是______________________． (2)如图②，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，，分别是所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)或或； 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）依据题意，补全小宁的解题思路即可； （2）延长 到点G，使 ，连接 ，先证明，再证明，即可得出线段之间的数量关系； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，先利用证明三角形全等，再进行线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：补全小宁的解题思路如下： 先证明；再证明；即可得出线段之间的数量关系是， 故答案为： ，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图②，延长 到点G，使 ，连接， ∵， ∴， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：或或，理由如下： ①，如图：在 上截取，使 ，连接 ， ∵ ∴ 在 与 中， ∴ ∴， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， 在 与 中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ②，如图，在上截取， 同第一种情况，先证得，再证得， ∴ ； ③由（1）、（2）可知，； ④如图，点 在 延长线上，点 在延长线上，此时线段之间并无直接数量关系； 综上，线段之间的数量关系为或或． 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 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