暑假作业01 等差数列（21题型）-【暑假分层作业】2025年高二数学暑假培优练（人教A版2019）

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 等差数列 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：判断等差数列 】 1．（24-25高三上·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断等差数列 【分析】利用等差数列的定义，判断出是等差数列则也是等差数列，而也是等差数列不一定是等差数列，可得答案. 【详解】若是等差数列，设公差为, 则， 则， 所以是等差数列； 若是等差数列，设公差为, 则， 即的奇数项是等差数列，偶数项是等差数列， 则不一定是等差数列， 所以“是等差数列”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判断等差数列、等差中项的应用、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】根据的关系，构造法求数列的通项公式，并确定为等差数列，最后应用等差中项的性质求. 【详解】因为， 当时，，得， 当时，， 所以，则， 所以，又， 所以，所以是等差数列. 因为，所以. 故选：D 3．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断等差数列 【分析】根据充分性和必要性的判断，直接论证即可. 【详解】对任意的，都有， 令，可以得到，因此是公差为的等差数列； 若，则，，，可得， 故“对任意的，都有”是“是等差数列”的充分不必要条件. 故选：A 4．（21-22高二下·辽宁沈阳·开学考试）若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断等差数列 【分析】根据两者的之间的推出关系可判断条件关系. 【详解】若是等差数列，则成等差数列，故成立， 取，则， 而即为，因为， 故它们不成等差数列，故推不出是等差数列， 故“是等差数列”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 5．（23-24高二下·广东佛山·期末）已知数列的前项和为，则下列选项中，能使为等差数列的条件有（    ） A． B． C．对，有 D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】对A、B：利用与的关系计算后，结合等差数列定义即可得；对C：利用赋值法构造即可得；对D：借助分段函数性质计算即可得. 【详解】对A：，当时，， 则，即， ，则，故不为等差数列，故A错误； 对B：当时，，则， 即，即对任意的，有，此时， 即数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对C：令，则对，有， 故数列是以为公差的等差数列，故C正确； 对D：， 则，故数列是以为公差的等差数列，故D正确. 故选：BCD. 6．（22-23高二上·广东深圳·期末）数列的前项和为，已知，则（   ） A．是递减数列 B．是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】判断数列的增减性、判断等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由数列的通项公式与前n项和的关系即可求出，对选项分别讨论及计算即可得到正确答案. 【详解】当时，， 当时，， 不满足上式， 所以， 对于A，由于，，所以不是递减数列，所以A错误， 对于B，由于，，，所以， 所以不是等差数列，所以B错误， 对于C，由，得，所以当时，，所以C正确， 对于D，，因为， 所以当或4时，取得最大值，所以D正确， 故选：CD. 【题型二：利用等差数列的性质计算 】 1．（22-23高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列满足，则等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断等差数列、等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】根据已知确定为等差数列，再应用等差数列的性质求得、，进而求. 【详解】由，易知为等差数列， 所以，可得，且，可得， 所以. 故选：B 【题型三：利用定义求等差数列通项公式 】 1．（2024高三下·四川内江·专题练习）数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先由题设等式作差推得，再由和的关系推出，结合条件得到为公差是2的等差数列，利用通项公式计算即得. 【详解】由题知 ①， 则 ②， 由①－②，可得：，即，，， 在已知等式中令，得，则，显然满足上式， 故有③，则④． 由③－④，可得：，即， 即，∵，∴， 故为公差是2的等差数列，又由可解得， ∴． 故选：A. 2．（2025·重庆·三模）数列满足又则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推数列研究数列的有关性质、利用定义求等差数列通项公式 【分析】求出前12项，观察奇偶项规律可得，奇数项构成首项为1公差为1的等差数列，偶数项构成首项为1公差为 的等差数列，再利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为数列满足，且，，， 所以； ； ； ； ； ； ； ； ； 观察奇偶项规律： 奇数项：，构成首项为1公差为1的等差数列， 令，则，通项公式为； 偶数项：，构成首项为1公差为 的等差数列， 令，则，通项公式为，通项公式为， ，选项AB错误； ，选项C正确，选项D错误. 故选：C. 3．（2025·河北·模拟预测）在数列中，已知，设，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、裂项相消法求和 【分析】由得，，得到等差数列，求出，则，得到，再裂项求和即可. 【详解】由得，，所以， 则数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则， 所以， 所以， 故选：C． 4．（24-25高二下·安徽·期中）已知正项数列的前项和为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】求出的值，当且时，由可得，两式作差推导出数列从第二项开始为以为公差的等差数列，由此可求得的值. 【详解】因为正项数列的前项和为，且满足，， 当时，则有，即，解得（舍）或； 当且时，由可得， 上述两个等式作差得，整理得， 由题意可知，所以，且不满足， 所以，数列从第二项开始为以为公差的等差数列，故. 故选：B. 5．（24-25高二下·四川成都·期中）已知，且满足，则（        ） A．29 B．31 C．59 D．61 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系式求通项公式、由递推数列研究数列的有关性质、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据已知递推公式分奇偶计算通项公式即可求解. 【详解】因为，且满足， 当为偶数时，，所以， 当为奇数时，，所以奇数项是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以. 故选：B. 6．（24-25高二下·浙江·期中）设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项、构造法求数列通项 【分析】当时，可求出的值，当时，由可得，两式作差可判断出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，即可得出的表达式，逐项判断即可. 【详解】因为数列的前项和为，， 当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，整理可得， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 故，所以， 故，，故，A错B对； 由题意可得， 所以，CD都错. 故选：B. 7．（2025·江西·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．有最大值 D．不是单调数列 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】先对进行变形，构造新数列，求出数列的通项公式，结合作差法判断增减性，逐一分析选项. 【详解】设，则. 已知，将，代入可得： 可得. 两边取倒数，即. 又因为，所以，则. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 根据等差数列通项公式，则.所以. 当时，，所以选项A错误. 由前面计算可知，所以选项B错误. 因为，当增大时，减小，减小，且时，，，所以有最大值，选项C正确. 由可知，，所以是单调递减数列，选项D错误. 故选：C. 8．（24-25高二下·湖南·期中）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据已知条件构造等差数列，再结合通项公式计算求解. 【详解】因为，左右同乘，所以， 为首项是1，公差为3的等差数列，所以， 所以， 9．（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 【答案】116 【难度】0.85 【知识点】判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】为首项为2，公差为6的等差数列，利用等差数列求通项公式求出答案. 【详解】与的所有公共项由小到大构成一个新的数列为， 故为首项为2，公差为6的等差数列， 所以， 所以. 故答案为：116 10．（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列的定义有，即，利用关系求通项公式. 【详解】由题设，数列是首项、公差均为1的等差数列， 则，所以， 当，则，显然满足上式， 所以. 故答案为： 11．（2025·四川南充·三模）数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】由等差数列通项公式即可求解. 【详解】由题意可得：， 即， 所以， 故答案为： 12．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）若数列满足，若，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】变形给定的递推公式可得等差数列，设出公差并表示出通项公式，再利用裂项相消法求和求解. 【详解】数列中，由，得， 则数列是首项为的等差数列，设公差为，，， 于是，， 由，得，解得，因此， 所以. 故答案为： 13．（24-25高三上·广东深圳·期末）设正项数列的前项和为，满足（）. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）由，可得，两式相减可得，两式平方可得结论； （2）利用等差数列的通项公式结合（1）得：，配方求解可得，判断，可得结论. 【详解】（1）当时，，整理，又，所以. ，，， ，. ，数列为等差数列，首项为2，公差为4. （2）由（1）得：，，，. 由求根公式可知，.. 14．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列A：具有性质：对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和. (1)分别判断数列与数列是否具有性质P； (2)证明：； (3)证明：当时，成等差数列. 【答案】(1)数列不具有性质，数列具有性质P. (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】累加法求数列通项、判断等差数列、利用定义求等差数列通项公式、数列新定义 【分析】（1）利用数列新定义直接判断即可. （2）由定义知，，证明，利用累加法即可证得结论. （3）由（2）可证得，利用定义知是数列A中的项，可知，即可证得数列是以0为首项，公差为的等差数列． 【详解】（1）由于，所以数列不具有性质，六组数中，每一组至少有一个数属于，所以数列具有性质P. （2）由数列A：具有性质，则与中至少有一个属于，又，则，于是，即； 由具有性质P可知， 因此， 即， 上边个式子累加得：， 则，所以. （3）由（2）知，，则， 而不是数列中的项，则是数列中的项， 于是，则有， 因此， 所以数列是以0为首项，公差为的等差数列. 【点睛】关键点点睛：本题是一道新型的探索性问题，认真理解题目所给的数列新定义是解决问题的关键，通过解决探索性问题，培养学生综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力. 15．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，，求． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用等式求出数列是等差数列，然后根据等差数列的性质求出的通项公式，得到的表达式，从而可以求得. 【详解】因为， 又因为，， 所以，， 所以，所以是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， 所以． 当时，，所以． 16．（2025高三·全国·专题练习）已知正项数列满足，.求的通项公式. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据等差数列的定义写出的通项，在通过赋值求出，进而可求. 【详解】由题可知是以1为首项、为公差的等差数列， 故， 令，有， 即，解得. 代入得，即. 17．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足求数列中的最大项与最小项． 【答案】(1)证明见解析； (2)最大项，最小项. 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）利用倒数法化简得到，从而得证； （2）先计算得到，从而分析的单调性可得结果. 【详解】（1）证明：由，两边取倒数，可得， 即，，所以数列是以3为首项，2为公差的等差数列. （2）由（1），所以， 由则当时，， 所以的最大项为， 又当时，随着n增大，减小，故单调递增，故的最小项为. 18．（2025·河北·模拟预测）已知数列满足，． (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和 【分析】（1）变形给定等式，利用等差数列定义推理得证. （2）由（1）求出，再利用裂项相消法求和. 【详解】（1）数列中，，，则，， 所以数列是以为首项，公差为2的等差数列. （2）由（1）知，，则，， 所以数列的前项和. 19．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足． (1)求的值； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)3 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）利用递推公式即可求解； （2）利用得，即数列是等差数列，利用等差数列的通项公式即可求，最后即可求. 【详解】（1）， ． （2）由，得， 故． ， 即， 则， 所以数列是以首项为1，公差为1的等差数列， 所以， ， 又，满足上式，． 当时，， 又适合上式，． 20．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知数列满足，且． (1)求证：数列为等差数列； (2)已知，记数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】（1）根据等差数列的概念证明数列为等差数列. （2）根据数列的通项公式，写出数列的通项公式，分析数列的项满足，所以，即可证明. 【详解】（1）因为当时，， 所以，所以， 所以， 又， 所以数列为以3为首项，以3为公差的等差数列. （2）由（1）得：. 所以. 所以 21．（24-25高二上·湖南·阶段练习）在各项均不为零的数列中，，若，则（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据等差数列定义得出数列是等差数列，再结合等差数列基本量运算得出，进而可得解. 【详解】由已知，得， 则数列是等差数列，公差为． ，则． 故选：A． 22．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知数列的首项，则（    ） A．48 B．80 C．63 D．65 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】首先递推公式变形，结合等差数列的定义，即可求解. 【详解】数列的首项，则：， 整理得：，所以：， 即：（常数）， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 则：，整理得：（首项符合通项），则：， 所以：. 故选：C 【题型四： 等差中项的应用 】 1．（24-25高二上·北京·期末）和是两个等差数列，其中（）为一固定常数值，，，，则（    ） A．32 B．48 C．64 D．128 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项、等差中项的应用 【分析】由已知条件求出的值，利用等差中项的性质可求得的值. 【详解】由已知条件可得，，则， 根据等差中项的性质，，所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若数列是等差数列，且，则（    ） A．22 B．32 C．20 D．10 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用 【分析】利用等差中项列式求解即可. 【详解】数列是等差数列，则是和的等差中项，有. 故选：A 3．（24-25高二上·甘肃白银·期末）在等差数列中，，则（    ） A．20 B．10 C． D．5 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用 【分析】应用等差中项的性质有，结合已知即可求. 【详解】根据题意，得，则. 故选：D 4．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、诱导公式二、三、四、特殊角的三角函数值 【分析】由等差数列的性质得，从而，由此能求出的值. 【详解】因为数列为等差数列，所以， 解得， ， ， 故选：. 5．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值、利用等差数列的性质计算、等差中项的应用 【分析】结合等差数列的性质与基本不等式计算即可得. 【详解】由，则有，即， 由基本不等式得，当且时，等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 6．（22-23高二下·贵州黔东南·阶段练习）在等差数列中，若和是方程的两实数根，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用 【分析】借助韦达定理与等差数列性质计算即可得. 【详解】由和是方程的两实数根，则， 由等差数列性质可得，故. 故选：C. 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的性质知， 所以，解得， 所以， 故选：A 【题型五：验证是否为等差数列中的项 】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则k 的值可能为6 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、验证是否为等差数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】对于选项A：根据等差数列通项公式运算即可；对于BC：分析可知公差，结合等差数列通项公式运算求解；对于D：可知公差，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A 正确； 对于选项BC：当时，可知公差， 所以，故B正确； 则，令，解得， 所以是数列中的项，故 C错误； 对于选项D，当时，可知公差， 则，即， 所以若是数列中的项，则k 的值可能为6，故D正确. 故选 ：ABD. 2.（23-24高二下·河北承德·开学考试）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为7 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、验证是否为等差数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】求出通项判断A；求出公差、通项判断BC；探讨数列与的下标关系判断D. 【详解】对于A，由题意得，A正确； 对于B，新数列的首项为2，公差为2，故，B正确； 对于C，由B选项知，令，则，即是数列的第8项，C错误； 对于D，插入个数，则， 则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项，为公差的等差数列， 于是，而是数列的项，令，当时，，D正确. 故选：ABD 3．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）在等差数列中，，. (1)求的值； (2)2023是否为数列中的项？若是，则为第几项，若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)不是，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】验证是否为等差数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等差数列的首项为，公差为d，由，求解； （2）令求解. 【详解】（1）解：由题意，设等差数列的首项为，公差为d， 由，， 即，解得， 所以数列的通项公式为. 所以. （2）令， 解得， 所以2023不是数列中的项. 4．（2023高三·全国·专题练习）已知等差数列，试求所有的正整数m，使得为数列中的项． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】验证是否为等差数列中的项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由题意可得数列是等差数列，结合等差数列定义分析可得，首先要保证，则，结合题意逐个检验即可得结果. 【详解】∵，， 故数列是以首项为，公差为2的等差数列， 易知， 则， 若为数列中的项，则， 由，且，可知， 故，此时， 又∵，， 当时，，不合题意； 当时，，解得，符合题意， 综上所述，. 【题型六：等差数列通项公式的基本量计算 】 1．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知数列的通项公式为，数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则 ． 【答案】50 【难度】0.85 【知识点】判断等差数列、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】依题意求出的通项，通过分别列举找到两者的公共项，发现构成等差数列，利用等差数列的基本量运算即得. 【详解】由题意， 将两数列列举出来可得： 可得两数列的公共项依次为，构成公差为12的等差数列， 于是. 故答案为:50． 2．（24-25高二下·安徽·期中）若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】设方程的两个根为、，方程的两个根为、，不妨设，，且，则必有，求出这四个数的值，结合韦达定理求出、的值，即可得解. 【详解】由，得或． 设方程的两个根为、，方程的两个根为、， 由韦达定理可得，， 不妨设，，且，则必有， 所以，，，故数列、、、的公差为， 所以，， 由韦达定理可得，，因此. 故选：C. 3．（24-25高二下·江西萍乡·期中）若数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称是二阶等差数列.现有二阶等差数列，已知，则（    ） A．1264 B．1224 C．1128 D．1120 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据已知结合二阶等差数列的定义，即可得出，进而根据累加法，即可得出答案. 【详解】依题意，是等差数列， 设其公差为，则， 即①， ，即②. 由①②解得，所以， 所以. 所以， 将以上个等式左，右分别相加， 得，得， 所以. 故选：B. 4．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是等差数列，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设数列的公差为d，结合题设易得，进而结合求解即可. 【详解】设数列的公差为d，由，得， 整理得， 把该式看作关于d的一元二次方程， 则，解得． 故选：A． 5．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）在数列中，，，若，则（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据等差数列的定义可得数列为等差数列，再由等差数列的通项公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以数列为等差数列，公差为3， 因为，所以. 故选：. 6．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）数列 对任意的有成立，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断等差数列、等差数列通项公式的基本量计算、构造法求数列通项 【分析】变形给定的递推公式，利用构造法，结合等差数列通项公式求解. 【详解】依题意，， 则，数列是公差为1的等差数列， 于是，而所以. 故选：C 7．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列中，，，则数列的前2025项和为（   ） A．1012 B．1013 C．2025 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】先根据等差数列的通项公式求，再利用并项求和法求数列的前2025项和. 【详解】设数列的公差为d，则，解得.所以． 设， 所以，，…， 所以数列的前2025项和为： ． 故选：D 8．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知满足，且，则的值为（    ） A．6072 B．6075 C．6078 D．6069 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求函数值、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】通过赋值法得出，再通过赋值得出，结合等差数列的性质即可得结果. 【详解】因为，且， 令，则，解得， 令，，则， 即是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 故选：A. 9．（24-25高二上·广东潮州·期末）记数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，则的值为（    ） A．18 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由等差数列通项公式求得，再由与的关系即可求解； 【详解】∵，∴， 又∵是公差为的等差数列， ∴，∴， ∴当时，， ∴，整理得：，即， ∵，∴……2，∴ 故选：B 10．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知正项数列满足，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】首先对已知等式进行变形，得到数列的性质，判断出它是等差数列，然后根据等差数列的通项公式以及已知的来逐步求出的值. 【详解】已知，等式两边同时除以（因为是正项数列，）， 可得.这表明数列是公差为的等差数列. 已知，那么. 对于等差数列，其通项公式为（为公差），这里. 当时，. 把代入上式，可得，解得. 故选：A. 11．（24-25高三下·湖南·开学考试）记数列的前项和为，若数列是公差为1的等差数列，则（ ） A．1 B．2 C．2025 D．2022 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】利用前项和与通项公式的关系求出，判断是常数列，再求解目标式即可. 【详解】因为数列是公差为1的等差数列， 所以，故， 当时，，， 两式相减得， 则， 得到， 故，即， 故为常数列，则，即，故A正确. 故选：A． 12．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】由题意为方程的两根，结合数列的单调性确定，再根据等差数列通项公式求公差. 【详解】因为， 所以为方程的两根， 又因为为递增的等差数列， 所以，故公差为. 故选：D 13．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）若等差数列满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】辅助角公式、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用三角换元可求的取值范围. 【详解】设等差数列的公差为，则， 而， 故 设，故， 故选：D. 14．（24-25高二上·湖北·期末）已知公差为正数的等差数列，若，则等于（    ） A．11 B．9 C．7 D．11或1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列的性质和通项公式即可求解. 【详解】在公差为正数的等差数列中， 因为，所以， 又，所以或， 又因为公差为正数，所以，所以， 所以，则. 故选：A. 15．（24-25高三上·吉林·期末）若等差数列的公差，则（    ） A． B． C．15 D．28 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等差数列的通项公式结合题目条件可得结果. 【详解】设，则，解得， ∴，故， 故选：B. 16．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时，（    ） A．2026 B．2025 C．1012 D．2 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】根据二次方程求和，再根据等差数列的公式，即可求解. 【详解】方程的两个根是1和2024， 又等差数列递减，则，， 数列的公差为，所以，故． 故选：B． 17．（24-25高二上·湖南·阶段练习）在各项均不为零的数列中，，若，则（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据等差数列定义得出数列是等差数列，再结合等差数列基本量运算得出，进而可得解. 【详解】由已知，得， 则数列是等差数列，公差为． ，则． 故选：A． 18．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求等差中项、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列性质计算即可. 【详解】在等差数列中，因为， 所以， 所以. 故选：A 【题型七：由递推关系求数列通项 】 1．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知数列满足，当时，，则数列的通项公式 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由递推关系式求通项公式、判断等差数列 【分析】由数列的递推关系得是等差数列，再结合等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】因为当时，，两边同时除以得， 则数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，即． 故答案为：. 2．（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【答案】19 【难度】0.65 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、判断等差数列、构造法求数列通项、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得. 【详解】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 3．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知数列，，，且，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】由递推关系可得数列是从第二项起的等差数列，从而利用等差数列的通项公式求解即可. 【详解】因为，所以数列是从第二项起的等差数列， 即当时，有， 因为不满足上式，所以， 故答案为： 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列中，，，数列满足：，则 ；若、分别是数列的最大项与最小项，则 ． 【答案】 8 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】由递推公式得到，可解决第一空，进而得到，结合其单调性可解决第二空. 【详解】是定值， 所以数列是等差数列， 则， 所以； 又，则，， 当时递减，都大于2；当时递增，都小于2， 数列的最大项，最小项，所以． 故答案为：，8 5．（24-25高二下·广东广州·期中）数列满足，首项为，则数列的通项公式 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】结合递推公式的结构特点构建一个等差数列，利用等差数列的通项公式求出构建的数列的通项公式，进而得解. 【详解】因为，所以， 则数列是以为首项，以1为公差的等差数列， 所以，则. 故答案为：. 6．（24-25高二下·湖北武汉·期中）设，且，则数列的通项公式为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由已知得，代入得是以为首项，为公差的等差数列，求出通项公式可得答案. 【详解】由已知， 当时，，所以， 代入得，所以， 当时，，，解得， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 则数列的通项公式为. 故答案为：. 【题型八： 由递推关系证明数列是等差数列 】 1．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】依题意，对消去，得，等价于，所以， 所以是等差数列，故D正确，C错误；若是等差数列，则是等差数列，则是等差数列， 与是公差为1的等差数列矛盾，故B错误；因为，故A错误． 故选：D． 2．（24-25高二下·广东广州·开学考试）设数列的前项之积为，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得的值． 【详解】由，得，即，解得， 当时，，显然，则， 因此数列是首项为，公差为2的等差数列，， 则，所以. 故选：C 3．（24-25高二上·吉林·期末）已知数列的前n项和为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】将已知等式两边同时除以，可得数列是等差数列，从而可得数列的通项公式，进而可得，再由即可得解． 【详解】由，可得， 又，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，所以， 所以 故选：C. 4．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）数列满足，，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】首先根据递推公式变形得到，再根据等差数列的定义求数列的通项公式，变形后求的值. 【详解】由题意，易知， 由，两边取倒数得，即， 所以数列是首项，公差为2的等差数列， 所以，即， 则. 故答案为：. 5．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知数列的前项和，，则 ． 【答案】4050 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由已知根据递推关系可得数列为等差数列，再根据等差数列的通项公式求解即可. 【详解】当时，，可得， 当时，，又，所以，所以， 所以数列是首项为4，公差为2的等差数列， 所以，所以. 故答案为：4050. 6．（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）已知数列满足，且，，则=（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列 【分析】直接利用数列的递推关系式得出是等差数列，确定其首项和公差，进而利用通项公式求解即可． 【详解】由，则可得， 故可得， 所以， 又，，则，， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以， 则， 故， 故选：C. 【题型九：利用等差数列的性质进行计算 】 1．（24-25高二下·北京房山·期中）我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问：各得几何？”意思是：五个人分五钱（“钱”是古代的一种计量单位），每人所得依次相差一样多，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分得多少.在这个问题中分得最少的一个得到（    ） A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】由题意分析出五人所分钱成等差数列，得钱最多者为，列出等式和，根据等差数列的性质即可求出和，再求出即可. 【详解】由题意可知五人所分钱成等差数列，得钱最多者为，则公差， 所以有，解得， 又因为，即， 则，所以， 所以分得最少的一个得到钱. 故选：B 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、倒序相加法求和 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足， 则对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加可得，解得. 故选：C. 3．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（   ） A．24.5尺 B．25.5尺 C．37.5尺 D．96尺 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列下标的性质，通过已知的两个和式来推导出第三个和式的值. 【详解】设这十二个节气的日影长依次成等差数列，其中冬至的日影长为， 由题意可得，冬至、立春、春分日影长之和为， 小寒、雨水、清明日影长之和为， 大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为， 所以． 故选：B． 4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（    ） A．4047 B．4046 C．2024 D．4048 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】分与两种情况，结合等差数列的性质和得到方程，求出. 【详解】若，由题意知， 由等差数列的性质知，若，则有，所以， 因为公差，且，所以，所以， 所以． 若，可得， 由等差数列性质知，若，则有，所以， 因为公差，且，所以，所以， 所以． 故选：A 5．（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，，则数列的最大项为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】确定数列中的最大（小）项、利用等差数列的性质计算、利用an与sn关系求通项或项 【分析】借助等差数列的性质结合所给条件可计算出，表示出后结合对勾函数的性质计算即可得. 【详解】因为，所以是以1为公差的等差数列， 又，所以，即， 则当时，， 又符合上式，故， 则， 令，由对勾函数性质可得： 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 故数列的最大项为． 故选：C. 6．（2024·河北保定·三模）设是公差为3的等差数列，且，若，则（    ） A．21 B．25 C．27 D．31 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】累加法求数列通项、利用等差数列的性质计算 【分析】由，得，从而可得，进而可求解. 【详解】由，得，则， 从而. 故选：D 7．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项积为，若，则当取得最小值时，的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差中项的性质和公差的定义求出，再求出通项，然后求出当时的，即可求出结果. 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 则， 所以， 当时，解得， 因此当时，， 因此最小，故取得最小值时，， 故选：C． 8．（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．4048 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用等差数列的性质计算 【分析】根据题意，由递推关系可得数列的偶数项是以2为公差的等差数列，即可求得，从而得到结果. 【详解】由可得，且， 两式相减可得， 即数列的偶数项是以2为公差的等差数列， 则， 所以. 故选：B 9．（2024·辽宁大连·一模）在等差数列中，能被3 整除，能被7整除，则下列各项一定能被21 整除的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算 【分析】一方面假设，结合数列是等差数列算出即可排除ABD，另一方面考虑一般情况，设，通过等差数列性质以及数论知识可判断C正确. 【详解】一方面若，则，从而， 此时，即ABD不满足题意； 另一方面我们考虑一般情况，若，则， 从而， 所以， 又，所以，也就是说一定能被21整除. 故选：C. 【题型十：等差数列单调性 】 1．（22-23高二下·安徽·阶段练习）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它是世界数学史上光辉的一页，定理涉及的是整除问题.现有如下一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被3除余1且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ） A．133项 B．134项 C．135项 D．136项 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、等差数列的单调性 【分析】由，变形得到的通项公式，从而得到不等式组，求出此数列的项数. 【详解】由题意得：能被3除余1数为1，4，7，10,……，故，， 被5除余2的数为2，7，12，17，……，故，， 由，；，， 故，， 由，得， 又，故此数列共有135项， 故选：C 2．（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列的单调性 【分析】 根据题意求出，根据等差数列的各项符号得到数列的单调性，由此可求得结果. 【详解】解：依题意可得公差，， 所以当时，，当时，， 因为，，， ，， ， 又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增， 所以数列无最大项，数列有最小项. 故选：C 3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等差数列的单调性、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用特殊值说明充分性不成立，根据单调性得到，即可说明必要性成立，从而得解. 【详解】当，满足，但是，显然是递减数列，故充分性不成立， 当是递增数列，则， 若，则单调递减，显然不恒成立， 所以，所以必要性成立， 所以“”是“是递增数列”的必要不充分条件. 故选：B 4．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、判断数列的增减性、等差数列的单调性 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【详解】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 5．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明、等差数列的单调性 【分析】由等差数列的通项公式和一次函数性质，结合充分、必要性定义判断条件间的推出关系即可. 【详解】令公差为且的无穷等差数列，且， 若为递减数列，则，结合一次函数性质， 不论为何值，存在正整数，当时，充分性成立； 若存在正整数，当时，由于，即不为常数列， 故单调递减，即，所以为递减数列，必要性成立； 所以“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件. 故选：C 6．（2023·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等差数列的单调性、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用反例说明充分性不成立，再根据等差数列的性质判断必要性. 【详解】因为，所以且，则， 若，不妨令，则，，，，，， 显然不单调，故充分性不成立， 若为递减数列，则不是常数数列，所以单调， 若单调递减，又在，上单调递减，则为递增数列，矛盾； 所以单调递增，则，且，其中当，时也不能满足为递减数列，故必要性成立， 故“”是“为递减数列”的必要不充分条件. 故选：B 【题型十一： 求等差数列中的最大项 】 1．（2023·江西·模拟预测）已知函数满足：对于任意正整数，．若使得不等式成立的最小正整数是2023，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求等差数列中的最大（小）项、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】设，令得到，通过等差数列的通项公式求出，再根据列不等式求解即可. 【详解】设， 令得， 所以当为正整数时，由等差数列的通项公式， 得． 由题意知， 解得． 故答案为：. 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 【答案】16 【难度】0.85 【知识点】求等差数列中的最大（小）项 【分析】根据题意求通项公式，由通项公式得的单调性，进而根据单调性判断最值. 【详解】由题意，， 令，得，解得， 所以当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 又，，则， 因此当最小时，， 故答案为： 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列中的最大（小）项 【分析】先求得数列的公差，进而求得其通项公式，从而求得，利用二次函数的知识求得最小值. 【详解】设数列的公差为，则， 故， 故， 根据二次函数的性质可知：当或4时，取得最小值． 故答案为： 4．（2023·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 【答案】196 【难度】0.85 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列中的最大（小）项 【分析】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，再通过等差数列求数列最大项和最小项之和即可. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列， 则， 令，解得， 则数列的最大项为， 所以该数列最大项和最小项之和为． 故答案为：196. 【题型十二：等差数列奇数项或偶数项的和 】 1．（24-25高二·全国·课堂例题）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质及前和公式求解. 【详解】在等差数列中，设， 依题意，，解得， 而，， 所以. 故选：D 2．（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据奇数项的和与偶数项的和，可作比得到，由此可得项数和中间项. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， ，解得：，即等差数列的项数为； 项的数列的中间项为第项，即， 由得：，解得：，即中间项为. 故答案为：；. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的前40项和为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推关系式求通项公式、判断等差数列、分组（并项）法求和、等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据题中递推式可求得，，即的奇数项为首项为1公差为5的等差数列，偶数项是首项为3公差为5的等差数列，再利用分组并项求和从而可求解. 【详解】因为，，又，所以， 即，所以数列的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列； 同理，由知，数列的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列． 所以前40项和为． 故答案为：. 4．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【答案】10 【难度】0.85 【知识点】等差数列奇数项或偶数项的和 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质，即可求解. 【详解】奇数项有项，偶数项有项，所以奇数项和为，偶数项和为， 故，解得. 故答案为：10 【题型十三：由前n项和判断是否为等差数列 】 1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知数列的前项和（为常数，且），则“是等差数列”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明、由前n项和判断数列是否是等差数列 【分析】根据等差数列的定义及充分条件与必要条件定义判断即可． 【详解】若是等差数列，设其公差为，则， 所以， 若，则， 当时，，当时，，此时也满足， 所以，于是有是等差数列， 所以“是等差数列”是“”的充要条件． 故选：A 2．（22-23高二上·陕西西安·期末）已知数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求等差数列前n项和、由前n项和判断数列是否是等差数列 【分析】由与关系可化简已知等式证得数列为等差数列，利用等差数列求和公式可求得结果. 【详解】由得：，又， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ，. 故选：C. 3．（2025·河北唐山·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．27 B．28 C．54 D．55 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、由Sn求通项公式 【分析】利用等差数列的通项公式及性质求出和，再将转化为，即可求解. 【详解】设数列的公差为， 数列是等差数列，， 解得，即，① ，，解得， 代入①中得，， ，，即， ，即，解得. 故选：A. 【题型十四：两个等差数列的前n项和之比问题 】 1．（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由，可设，，利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，则，， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·河南·期中）已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】利用等差数列的性质计算、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列前n项和性质计算即可求得，代入计算可得结果. 【详解】根据等差数列性质可得； 所以. 故选：B 3．（24-25高二下·四川成都·期中）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】等差中项的应用、两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差中项及等差数列的前项公式变形求值即可. 【详解】由等差数列的性质可得， ， 故选：C． 4．（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）设等差数列和的前项和分别是和，若， 求（      ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、利用等差数列的性质计算 【分析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质求值. 【详解】因为数列和均为等差数列， 所以. 故选：B 5．（2025届高三筑梦杯第四次线上联考数学试题）数列，均为等差数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、等差数列前n项和的其他性质及应用 【分析】根据等差数列前项和的特征设，，可得，,进而可得. 【详解】设数列，的前项和分别为，， 则，，故， 根据等差数列前项和的特征，不妨设，， ，, 故， 故选：D 【题型十五： 等差数列前n项和的二次函数特征 】 1．（2023·河北·三模）设等差数列的前项和为，若，那么等于（    ） A．10 B．80 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列前n项和的二次函数特征 【分析】利用等差数列前项和的结构特征假设，从而利用题设条件列式求得，进而得解. 【详解】因为等差数列的前项和为，所以设， 则，即， 两式相减，得，所以， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·四川泸州·期中）已知数列的前项和，则下列正确的是（    ） A． B． C．取最小值时， D．为递增数列 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】等差数列的单调性、由Sn求通项公式、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】由求出数列的通项公式，可判断AB选项；利用二次函数的基本性质可判断C选项；利用数列的单调性可判断D选项. 【详解】因为，令得， 当时，①，②，    由①②可得：， 因当时，，故，A对B错； 因时，单调递增，且，故为递增数列，D对； 因为，故当或时，取最小值，C错. 故选：AD. 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】等差数列的单调性、等差数列前n项和的二次函数特征、利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数 【分析】根据的关系求出通项，然后根据公差即可判断ABC；利用数列的函数性，分析对应二次函数的开口方向和对称轴位置即可判断D. 【详解】当时，， 当时，， 显然时，上式也成立，所以. 对A，因为， 所以是以为公差的等差数列，A正确； 对B，由上可知，当时，为常数列，B错误； 对C，若为递增数列，则公差，即，C正确； 对D，若为递增数列，由函数性质可知，解得，D错误. 故选：AC 4．记为等差数列的前项和，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取得最小值 C．当时，取得最大值 D．使得成立的最大自然数是16 【答案】AC 【来源】广东省佛山市南海区2024-2025学年高二下学期素养提升学业水平测试数学试卷 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】由题意可得，公差，再结合等差数列及其前项和的性质逐项判断即可. 【详解】因为，则，公差， 当时，；当时，，所以当时，取得最大值． ，所以使得成立的最大自然数是15． 故选：AC． 5．已知等差数列的公差，其前n项和记为，，则下列说法正确的是（   ） A．数列中有最大项 B．数列中有最小项 C．若，则 D．若，，则取最小值时 【答案】BC 【来源】甘肃省金昌市金川高级中学2025届高三高考冲刺联考卷（三）数学试题 【知识点】确定数列中的最大（小）项、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】AB选项，根据首项和公差即可判断最大项及是否有最值；结合等差数列前n项和性质来判断CD选项. 【详解】对于A，因为，且，故中无最大项，A错误； 对于B，，，故，，，则为中的最小项（当时，，均为中的最小项），B正确； 对于C，若，则可知，，即，则可知，故，C正确； 对于D，，则可知，则，又，则可知，则，即，故，故最小，D错误. 故选：BC. 【题型十六：等差数列片段和的性质及应用 】 1．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】由等差数列和的性质求解 【详解】等差数列的前项和为，则也是等差数列， 即成等差数列，即. 解得 故选：C. 2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、等差数列片段和的性质及应用 【分析】设，结合等差数列片段和的性质求解即可； 【详解】由题意设，则， 由是等差数列，所以也成等差数列， 所以，解得； ，解得， 所以， 故选：C. 3．（24-25高三上·广东·开学考试）在等差数列中， ， ， （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、利用等差数列的性质计算 【分析】由等差数列性质可知，，仍为等差数列，代入即可求解. 【详解】由等差数列的性质可知， 在等差数列中，，仍为等差数列， 所以， 所以． 故选：C． 4．（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列前和的性质，得出，求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，， 所以根据等差数列前项和的性质可得成等差数列， 所以，所以，解得． 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】18 【难度】0.65 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列前项和的定义及性质先求出，再求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为，解得， 所以 . 故答案为：18 6．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）等差数列的前项和记为，若，，则 . 【答案】30 【难度】0.65 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列片段和的性质及应用 【分析】等差数列的性质，， ， 成等差数列.利用这个性质来求解的值. 【详解】等差数列的前项和记为，可知，，成等差数列. 已知， ，. 因为，，成等差数列， 所以. 将，代入方程可得：. 可得. 故答案为：30. 【题型十七： 由Sn求通项公式 】 1．（24-25高三上·辽宁·期中）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是(    ). A． B．为等差数列 C．不可能为常数列 D．若为递增数列，则 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】等差数列的单调性、由Sn求通项公式 【分析】根据与的关系求出通项，然后根据公差和即可判断结果. 【详解】对于A选项：当时，，A正确； 对于B选项：当时，， 显然时，上式也成立，所以. 因为， 所以是以2k为公差的等差数列，B正确： 对于C 选项，由上可知，当时，为常数列，C错误； 对于D选项，若为递增数列，则公差，即，D正确. 故选：ABD . 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知数列满足，则（    ）. A． B．的前10项和为150 C．的前11项和为 D．的前16项和为168 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、由Sn求通项公式、分组（并项）法求和 【分析】对于A，已知求的公式求解即可；对于B，运用等差数列求和公式求解；对于C，分组并项求和即可；对于D，分情况讨论，结合等差数列求和公式求和即可. 【详解】对于A，由， 当时，， 两式相减得，， 当时，符合，所以，A正确； 对于B，的前10项和为，B错误； 对于C，的前11项和为，C正确； 对于D，，解得， 所以，， 所以的前16项和为 ，D正确. 故选：ACD. 【题型十八：数列不等式恒成立问题 】 1．（2024·陕西西安·二模）已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】判断等差数列、分组（并项）法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】先求得数列的通项公式，进而可得，进而分为偶数与奇数两种情况求得，进而可得，求解即可. 【详解】因为数列满足，， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 所以， 所以， 当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 因为不等式恒成立，即， 所以， 所以，， 所以解得，所以的取值范围为. 故选：D 2．（2025·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由递推数列研究数列的有关性质、利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题 【分析】由题意可得、，结合等差数列的定义和通项公式可得，即可判断AB；结合数列的单调性即可判断C；结合放缩法计算即可判断D. 【详解】由，得， 所以数列是以为公差的等差数列， 而，，所以，得，故A正确； 所以，得，故B正确； 令，解得，对于， 为正，且依次递增； 为负，且依次递增， 所以，故C错误； ，故D正确. 故选：ABD 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知正项数列的前n项和为，，且满足，若对恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、利用an与sn关系求通项或项、数列不等式恒成立问题 【分析】利用数列的递推关系式，推出数列的相邻两项的关系式，可得数列为等差数列，然后求解数列的通项公式，利用数列的函数的特征，转化求解即可. 【详解】正项数列的前n项和为，，且满足， 可得，两式相减可得：， 化为，可得， 所以数列是等差数列，首项为1，公差为1， 所以，因为，即恒成立， 所以令， 由，可得， 时，数列是递减数列，时，数列是递增数列， 时，取得最大值， 所以即的取值范围是， 故答案为：. 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、裂项相消法求和、构造法求数列通项 【分析】分析可知数列是首项为3，公差为1的等差数列，进而可得，根据题意利用裂项相消法可得，运算求解即可. 【详解】因为数列满足，，可得， 可得数列是首项为3，公差为1的等差数列， 则，即， 则， 可得 ， 因为，可得，解得， 即所求的最大值为6. 故选：B. 【题型十九：求绝对值数列 】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】数列不等式恒成立问题、利用an与sn关系求通项或项、基本不等式的恒成立问题、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）对任意的，由，得，两式作差推导出数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列，求出、的值，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求出数列的通项公式，利用基本不等式求出的最小值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）对任意的，由①，得②， 两式相减，可得，即， 所以，所以． 所以，数列的奇数项、偶数项分别成以为公差的等差数列， 在①式中，令，可得，令，可得， 所以当为奇数时，， 当为偶数时，， 综上所述，. （2）因为，所以， 当时，． 可得，当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为，所以，即的取值范围为． 2．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，； (2) 【难度】0.65 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、含绝对值的等差数列前n项和、由Sn求通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用化简即可证明数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式求即可求得； （2）先求出，再分类求出的正负性，再利用数列的前项和，分两类即可求出. 【详解】（1）因，则， 即， 又因数列为正项数列，则，则， 又由，则数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以，则， （2）由（1）可得，， 又满足上式，所以， 则，， 所以当时，，当时，， 记数列的前项和为，则， 从而当时，； 当时，， 所以. 【题型二十： 数列新定义 】 1．（21-22高三上·北京丰台·期末）若有穷数列满足，则称为数列． (1)判断下列数列是否为数列，并说明理由． ①；②． (2)已知数列中各项互不相等，令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列． (3)已知数列是个连续正整数的一个排列，若，求的所有取值． 【答案】(1)①不是，②是，理由见解析 (2)证明见解析 (3)或 【难度】0.4 【知识点】充要条件的证明、判断等差数列、数列新定义 【分析】（1）根据数列的定义，即可求解； （2）根据充分必要条件的证明方法，结合等差数列的定义及数列的定义，即可求解； （3）根据数列的定义，可得不合题意，和符合题意，再证明时，不存在满足题意，即可求解. 【详解】（1）①因为，所以数列不是数列； ②因为，所以是数列． （2）证明：必要性： 若数列是等差数列，设其公差为，则， 所以数列是常数列． 充分性： 若数列是常数列， 则，即， 所以或． 因为数列的各项互不相等，所以， 所以数列是等差数列． 综上可知，数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列 （3）当时，因为，所以，不符合题意； 当时，数列为，此时，符合题意； 当时，数列为，此时，符合题意． 下面证当时，不存在满足题意． 令， 则，且， 所以有以下三种可能： ① ② ③ 当时，因为， 由（2）知：，，…，是公差为1（或）的等差数列， 当公差为1时，由得或， 所以或，与已知矛盾 当公差为时，同理得出与已知矛盾． 所以当时，不存在满足题意． 其他情况同理可得，不存在满足题意． 综上可知，的所有取值为或． 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 2．（23-24高二下·江西南昌·期末）若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”. (1)若 ，求 ； (2)证明： 数列 为等差数列. 【答案】(1) ，， (2)证明见解析 【难度】0.4 【知识点】判断等差数列、数列新定义 【分析】（1）由， ，解方程求，同理可求 ； （2）由条件，结合诱导公式可得或，结合条件 ，证明，结合等差数列定义证明结论. 【详解】（1）当时 ，由已知， ，知 ， 又由，可知， 所以，又， 所以符合题意， 同理，由 ，，得或， 又，所以， 由 ，，得， 又， 符合题意. （2）因为 ，所以 ， 所以或， 即或， 因为， 所以，， 所以，， 所以或或， 又，所以， 则， 所以， 所以数列 是公差为的等差数列. 【点睛】关键点点睛：由 ，由诱导公式可得 ，可得或，利用好“正余弦错位数列”的定义条件，即可得到，再利用等差数列的概念即可. 【题型二十一：数列在实际生活中的应用 】 1．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是等差数列，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】设数列的公差为d，结合题设易得，进而结合求解即可. 【详解】设数列的公差为d，由，得， 整理得， 把该式看作关于d的一元二次方程， 则，解得． 故选：A． 2．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）在数列中，，，若，则（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据等差数列的定义可得数列为等差数列，再由等差数列的通项公式计算即可. 【详解】因为，所以， 所以数列为等差数列，公差为3， 因为，所以. 故选：. 3．有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2024个数字为（    ） A．5983 B．5984 C．5985 D．以上都不对 【答案】B 【来源】【基础卷】第四章数列复习与小结（1）单元测试A-沪教版（2020）选择性必修第一册 【知识点】等差数列的简单应用、求等差数列前n项和 【分析】由数列的求和公式求解． 【详解】由题意知，A第n次报数的个数为：， 则A第n次报完数后共报的个数为：， 再代入正整数n，使得，则， 解得n的最小值为37，得， 而A第37次报时，3人总共报了次， 当A第109次报完数，3人总的报数个数为：， 则A报出的第2035个数字为5995， 故A报出的第2024个数字为：， 故选：B 4．王先生为购房于2019年12月初向银行贷款36万元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2020年1月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因资金充足准备向银行申请提前还款，银行规定：提前还款除偿还剩余本金外，另需收取违约金，贷款不满一年提前还款收取提前还款额的百分之三作为违约金；贷款的时间在一年到两年之间申请提前还款收取提前还款额的百分之二作为违约金；满两年之后提前还款收取提前还款额的百分之一作为违约金.王先生计划于2024年12月初将剩余贷款全部一次性还清，则他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少（    ） A．22450元 B．27270元 C．25650元 D．27450元 【答案】C 【来源】辽宁省部分学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题 【知识点】等差数列的简单应用 【分析】根据题意，得出所少还款的部分为按原计划还款时后60个月的利息，根据“等额本金还款法”，结合数列的知识计算后60个月的利息，从而得到结果. 【详解】根据题意，截止2024年12月，提前还款数额比按约定还款数额少的部分为： 按原计划还款时，从2024年12月起到原计划结束时所还的利息，即剩余60个月的利息， 同时减掉剩余还款额百分之一的违约金.因为每月所还本金为元， 所以2024年12月还完后本金还剩余元， 故违约金为1800元， 2025年1月应还利息为， 2025年2月应还利息为， 2025年3月应还利息为， 最后一次应还利息为， 所以后60个月的利息合计为 元）， 故他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少元. 故选：C. 5．张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 【答案】C 【来源】湖南省新高考教学教研联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题 【知识点】等差数列的简单应用、等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的通项公式求得尺码的总个数，再利用等差数列的前项和公式求得总尺码，继而得到缺货尺寸的总码数，进一步计算即可. 【详解】设第一个尺码为，公差为， 则， 则， 当时，， 故若不缺码，所有尺寸加起来的总和为 码， 所有缺货尺码的和为码， 又因为缺货的一个尺寸为码， 则另外一个缺货尺寸码， 故选：C. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 等差数列 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：判断等差数列 】 1．（24-25高三上·福建福州·期末）设是无穷数列，，则“是等差数列”是“是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高二上·陕西西安·期末）设数列的前项和为，若，且的等差中项为），则（    ） A．4 B．8 C．10 D．12 3．（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知是无穷数列，，则“对任意的，都有”是“是等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（21-22高二下·辽宁沈阳·开学考试）若数列是无穷数列，则“是等差数列”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二下·广东佛山·期末）已知数列的前项和为，则下列选项中，能使为等差数列的条件有（    ） A． B． C．对，有 D． 6．（22-23高二上·广东深圳·期末）数列的前项和为，已知，则（   ） A．是递减数列 B．是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 【题型二：利用等差数列的性质计算 】 1．（22-23高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知数列满足，则等于（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型三：利用定义求等差数列通项公式 】 1．（2024高三下·四川内江·专题练习）数列为正项数列，为数列的前项和，且，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·重庆·三模）数列满足又则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·河北·模拟预测）在数列中，已知，设，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·安徽·期中）已知正项数列的前项和为，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·四川成都·期中）已知，且满足，则（        ） A．29 B．31 C．59 D．61 6．（24-25高二下·浙江·期中）设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 7．（2025·江西·二模）已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．有最大值 D．不是单调数列 8．（24-25高二下·湖南·期中）已知数列满足，且，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·江苏苏州·期中）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 10．（2025·山东济南·二模）已知数列的前项和为，且满足，则 11．（2025·四川南充·三模）数列是以1为首项，2为公差的等差数列，则 . 12．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）若数列满足，若，则 . 13．（24-25高三上·广东深圳·期末）设正项数列的前项和为，满足（）. (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的通项公式. 14．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知数列A：具有性质：对任意与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和. (1)分别判断数列与数列是否具有性质P； (2)证明：； (3)证明：当时，成等差数列. 15．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，，，求． 16．（2025高三·全国·专题练习）已知正项数列满足，.求的通项公式. 17．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知数列的各项均为正数，，且． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列满足求数列中的最大项与最小项． 18．（2025·河北·模拟预测）已知数列满足，． (1)求证：是等差数列； (2)若，求数列的前项和． 19．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足． (1)求的值； (2)求数列的通项公式． 20．（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知数列满足，且． (1)求证：数列为等差数列； (2)已知，记数列的前n项和为，求证：． 21．（24-25高二上·湖南·阶段练习）在各项均不为零的数列中，，若，则（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 22．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知数列的首项，则（    ） A．48 B．80 C．63 D．65 【题型四： 等差中项的应用 】 1．（24-25高二上·北京·期末）和是两个等差数列，其中（）为一固定常数值，，，，则（    ） A．32 B．48 C．64 D．128 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若数列是等差数列，且，则（    ） A．22 B．32 C．20 D．10 3．（24-25高二上·甘肃白银·期末）在等差数列中，，则（    ） A．20 B．10 C． D．5 4．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知是各项均为正数的等差数列，且，则的最大值为（    ） A．10 B．20 C．25 D．50 6．（22-23高二下·贵州黔东南·阶段练习）在等差数列中，若和是方程的两实数根，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则（   ） A． B． C． D． 【题型五：验证是否为等差数列中的项 】 1．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则k 的值可能为6 2.（23-24高二下·河北承德·开学考试）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（    ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为7 3．（22-23高二上·广东广州·阶段练习）在等差数列中，，. (1)求的值； (2)2023是否为数列中的项？若是，则为第几项，若不是，请说明理由. 4．（2023高三·全国·专题练习）已知等差数列，试求所有的正整数m，使得为数列中的项． 【题型六：等差数列通项公式的基本量计算 】 1．（24-25高二上·重庆渝中·期末）已知数列的通项公式为，数列满足，将这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，则 ． 2．（24-25高二下·安徽·期中）若方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江西萍乡·期中）若数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，则称是二阶等差数列.现有二阶等差数列，已知，则（    ） A．1264 B．1224 C．1128 D．1120 4．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是等差数列，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 5．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）在数列中，，，若，则（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．（24-25高三下·重庆北碚·阶段练习）数列 对任意的有成立，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2025高三·全国·专题练习）已知等差数列中，，，则数列的前2025项和为（   ） A．1012 B．1013 C．2025 D． 8．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知满足，且，则的值为（    ） A．6072 B．6075 C．6078 D．6069 9．（24-25高二上·广东潮州·期末）记数列的前项和为，若数列是公差为的等差数列，则的值为（    ） A．18 B．12 C．6 D．3 10．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知正项数列满足，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（24-25高三下·湖南·开学考试）记数列的前项和为，若数列是公差为1的等差数列，则（ ） A．1 B．2 C．2025 D．2022 12．（24-25高二上·陕西西安·期末）已知数列为递增的等差数列，若，则的公差为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 13．（24-25高三上·安徽蚌埠·期末）若等差数列满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高二上·湖北·期末）已知公差为正数的等差数列，若，则等于（    ） A．11 B．9 C．7 D．11或1 15．（24-25高三上·吉林·期末）若等差数列的公差，则（    ） A． B． C．15 D．28 16．（24-25高二上·安徽蚌埠·阶段练习）已知递减等差数列，，是方程两个实根，当时，（    ） A．2026 B．2025 C．1012 D．2 17．（24-25高二上·湖南·阶段练习）在各项均不为零的数列中，，若，则（   ） A．13 B．16 C．19 D．22 18．（23-24高三上·四川成都·阶段练习）在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【题型七：由递推关系求数列通项 】 1．（24-25高二上·河北邯郸·期末）已知数列满足，当时，，则数列的通项公式 ． 2．（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ． 3．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知数列，，，且，则 . 4．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）已知数列中，，，数列满足：，则 ；若、分别是数列的最大项与最小项，则 ． 5．（24-25高二下·广东广州·期中）数列满足，首项为，则数列的通项公式 ． 6．（24-25高二下·湖北武汉·期中）设，且，则数列的通项公式为 . 【题型八： 由递推关系证明数列是等差数列 】 1．（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）已知数列和数列满足，，则下列数列为等差数列的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广东广州·开学考试）设数列的前项之积为，满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林·期末）已知数列的前n项和为，满足，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）数列满足，，则 ． 5．（24-25高二上·湖南永州·期末）已知数列的前项和，，则 ． 6．（22-23高三下·江苏连云港·阶段练习）已知数列满足，且，，则=（    ）． A． B． C． D． 【题型九：利用等差数列的性质进行计算 】 1．（24-25高二下·北京房山·期中）我国古代数学名著《九章算术》第六章“均输”中有这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问：各得几何？”意思是：五个人分五钱（“钱”是古代的一种计量单位），每人所得依次相差一样多，前两人所得钱数与后三人所得钱数一样多，问每个人分得多少.在这个问题中分得最少的一个得到（    ） A．钱 B．钱 C．钱 D．1钱 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 3．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（   ） A．24.5尺 B．25.5尺 C．37.5尺 D．96尺 4．（2024·广西贵港·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，，给定正整数m，使得对任意的（且）都有成立，则m的值为（    ） A．4047 B．4046 C．2024 D．4048 5．（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，，则数列的最大项为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河北保定·三模）设是公差为3的等差数列，且，若，则（    ） A．21 B．25 C．27 D．31 7．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列的前项积为，若，则当取得最小值时，的值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．（23-24高二下·河南驻马店·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．4048 B．2025 C．2024 D．2023 9．（2024·辽宁大连·一模）在等差数列中，能被3 整除，能被7整除，则下列各项一定能被21 整除的是（    ） A． B． C． D． 【题型十：等差数列单调性 】 1．（22-23高二下·安徽·阶段练习）我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它是世界数学史上光辉的一页，定理涉及的是整除问题.现有如下一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被3除余1且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ） A．133项 B．134项 C．135项 D．136项 2．（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知等差数列的公差为，前项和为，则“”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2023·北京海淀·三模）已知等差数列的公差为，数列满足，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【题型十一： 求等差数列中的最大项 】 1．（2023·江西·模拟预测）已知函数满足：对于任意正整数，．若使得不等式成立的最小正整数是2023，则的取值范围是 ． 2．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知等差数列{an}的首项a1＝11，公差，当|an|最小时，n＝ ． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列为等差数列，且，则的最小值为 ． 4．（2023·安徽·二模）中国古代经典数学著作《孙子算经》记录了这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），问物几何？”现将1到200共200个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列最大项和最小项之和为 ． 【题型十二：等差数列奇数项或偶数项的和 】 1．（24-25高二·全国·课堂例题）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（   ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·全国·专题练习）已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则的前40项和为 . 4．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知等差数列共有项，奇数项之和为60，偶数项之和为54，则 ． 【题型十三：由前n项和判断是否为等差数列 】 1．（23-24高三上·安徽·阶段练习）已知数列的前项和（为常数，且），则“是等差数列”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．（22-23高二上·陕西西安·期末）已知数列的前项和为.若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河北唐山·三模）已知等差数列的前项和为，，，若，则（    ） A．27 B．28 C．54 D．55 【题型十四：两个等差数列的前n项和之比问题 】 1．（2025·湖北·模拟预测）已知等差数列，的前n项和分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南·期中）已知等差数列和的前n项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·四川成都·期中）两个等差数列和，其前项和分别为，，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·黑龙江鸡西·阶段练习）设等差数列和的前项和分别是和，若， 求（      ） A． B． C．1 D． 5．（2025届高三筑梦杯第四次线上联考数学试题）数列，均为等差数列，若，则（   ） A． B． C．1 D． 【题型十五： 等差数列前n项和的二次函数特征 】 1．（2023·河北·三模）设等差数列的前项和为，若，那么等于（    ） A．10 B．80 C． D． 2．（24-25高二下·四川泸州·期中）已知数列的前项和，则下列正确的是（    ） A． B． C．取最小值时， D．为递增数列 3．（24-25高三上·云南昆明·阶段练习）数列的前n项和为，已知，则下列结论正确的是（    ） A．为等差数列 B．不可能为常数列 C．若为递增数列，则 D．若为递增数列，则 4．记为等差数列的前项和，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取得最小值 C．当时，取得最大值 D．使得成立的最大自然数是16 5．已知等差数列的公差，其前n项和记为，，则下列说法正确的是（   ） A．数列中有最大项 B．数列中有最小项 C．若，则 D．若，，则取最小值时 【题型十六：等差数列片段和的性质及应用 】 1．（24-25高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A． B．3 C． D． 3．（24-25高三上·广东·开学考试）在等差数列中， ， ， （    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 5．（2025高三·全国·专题练习）设等差数列的前项和为，若，则 . 6．（24-25高二上·福建福州·阶段练习）等差数列的前项和记为，若，，则 . 【题型十七： 由Sn求通项公式 】 1．（24-25高三上·辽宁·期中）数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是(    ). A． B．为等差数列 C．不可能为常数列 D．若为递增数列，则 2．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知数列满足，则（    ）. A． B．的前10项和为150 C．的前11项和为 D．的前16项和为168 【题型十八：数列不等式恒成立问题 】 1．（2024·陕西西安·二模）已知数列满足，，，若数列的前项和为，不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南京·二模）已知数列中，，，，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知正项数列的前n项和为，，且满足，若对恒成立，则的取值范围是 . 4．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知数列满足，，若成立，则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【题型十九：求绝对值数列 】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若，对任意，恒成立，求的取值范围． 2．（24-25高二下·四川眉山·阶段练习）已知正项数列的首项为1，其前项和为，满足. (1)求证：数列为等差数列，并求出； (2)设，求数列的前项和. 【题型二十： 数列新定义 】 1．（21-22高三上·北京丰台·期末）若有穷数列满足，则称为数列． (1)判断下列数列是否为数列，并说明理由． ①；②． (2)已知数列中各项互不相等，令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列． (3)已知数列是个连续正整数的一个排列，若，求的所有取值． 2．（23-24高二下·江西南昌·期末）若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”. (1)若 ，求 ； (2)证明： 数列 为等差数列. 【题型二十一：数列在实际生活中的应用 】 1．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是等差数列，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D．1 2．（24-25高二下·广东东莞·阶段练习）在数列中，，，若，则（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 3．有一个三人报数游戏：首先报数字1，然后报两个数字2、3，接下来报三个数字4、5、6，然后轮到报四个数字7、8、9、10，依次循环，直到报出10000，则报出的第2024个数字为（    ） A．5983 B．5984 C．5985 D．以上都不对 4．王先生为购房于2019年12月初向银行贷款36万元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2020年1月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因资金充足准备向银行申请提前还款，银行规定：提前还款除偿还剩余本金外，另需收取违约金，贷款不满一年提前还款收取提前还款额的百分之三作为违约金；贷款的时间在一年到两年之间申请提前还款收取提前还款额的百分之二作为违约金；满两年之后提前还款收取提前还款额的百分之一作为违约金.王先生计划于2024年12月初将剩余贷款全部一次性还清，则他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少（    ） A．22450元 B．27270元 C．25650元 D．27450元 5．张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（    ） A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$