新知预览4 直线方程的一般式与直线方程的点法式-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（北师大版）

新知预览４　直线方程的一般式与直线 方程的点法式 　　　　　　　 ★[学习目标]　１．了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次 方程的关系,能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化,能运用直线的一 般式方程解决有关问题．２．了解直线方程的点法式方程,会利用它求直线的方程． 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．直线的一般式方程 (１)定义:关于x,y的二元一次方程　　　 　　　　　(其中A,B 不全为０),表示 的是一条直线,称它为直线方程的一 般式． (２)适用范围:平面直角坐标系中,任何一 条直线都可用一般式表示． ２．直线方程的点法式 (１)直线的法向量:与直线的方向向量垂直 的向量称为直线的法向量． (２)定义:已知直线l经过点P(x０,y０),且 它的一个法向量为n＝(A,B)． 直线l的方程为A(x－x０)＋B(y－y０) ＝０,称这个方程为直线方程的点法式． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 典例探究———探究学习,素养形成 ◆[题型一]　直线的一般式方程 　根据下列条件分别写出直线方程,并 化成一般式: (１)斜率是 ３３ ,经过点A(８,－２); (２)经过点B(－２,０),且与x轴垂直; (３)斜率为－４,在y轴上的截距为７; (４)经过点A(－１,８),B(４,－２)． [解]　(１)由点斜式,得y＋２＝ ３３ (x－８), 化成一般式,得 ３x－３y－８ ３－６＝０． (２)直线方程为x＝－２,即x＋２＝０． (３)由斜截式,得y＝－４x＋７, 化成一般式为４x＋y－７＝０． (４)由两点式,得 y－８－２－８＝ x－(－１) ４－(－１) , 化成一般式为２x＋y－６＝０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　根据已知条件求直线方程的 解题策略 在求直线方程时,设一般式方程并不 简单,常用的还是根据给定条件选用四种 特殊形式之一求方程再化为一般式方程, 一般选用规律为: 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋(１)已知直线的斜率和直线上点的坐标时, 选用点斜式; (２)已知直线的斜率和在y 轴上的截距 时,选用斜截式; (３)已知直线上两点坐标时,选用两点式; (４)已知直线在x轴,y轴上的截距时,选 用截距式． [变式训练] １．根据下列条件分别写出直线的方程,并 化为一般式方程． (１)斜率是 ３,且经过点A(５,３); (２)斜率为４,在y轴上的截距为－２; (３)经过A(－１,５),B(２,－１)两点; (４)在x轴,y轴上的截距分别为－３,－１． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８４ ◆[题型二]　与含参数的一般式方程有关 的问题 　设直线l的方程为(m２－２m－３)x－ (２m２＋m－１)y＋６－２m＝０． (１)已知直线l在x 轴上的截距为－３,求 m 的值; (２)已知直线l的斜率为１,求m 的值． [解]　(１)令y＝０,则x＝ ２m－６m２－２m－３ , 所以 ２m－６ m２－２m－３ ＝－３,解得 m＝－５３ 或 m＝３(舍去)． 所以m＝－５３． (２)由直线l化为斜截式方程得 y＝m ２－２m－３ ２m２＋m－１ x＋ ６－２m ２m２＋m－１ , 则m ２－２m－３ ２m２＋m－１ ＝１,解得 m＝－２或 m＝ －１(舍去)． 所以m＝－２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 已知含参的直线的一般式 方程 求参数的值或取值范围的步骤 [变式训练] ２．设直线l的方程为(a＋３)x＋y＋３－a＝ ０(a∈R)． (１)若l在两坐标轴上的截距均为０,求l 的方程; (２)若l在两坐标轴上的截距相等,求l 的方程; (３)若l不经过第三象限,求实数a的取 值范围． ◆[题型三]　直线的点法式方程 　写出下列直线经过的一个点和直线 的一个法向量及方向向量: (１)(x＋１)－２(y－４)＝０; (２)－(x－３)＋４(y＋２)＝０． [解]　(１)直线(x＋１)－２(y－４)＝０经 过点(－１,４),一个法向量是(１,－２),一 个方向向量是(－２,－１)． (２)直线－(x－３)＋４(y＋２)＝０经过点 (３,－２),一个法向量是(－１,４),一个方 向向量是(４,１)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　利用直线的点法式方程 求直线的方程关键的问题是通过垂直关系 求解直线的法向量,再有直线上的一个点 即可代入方程求解． [变式训练] ３．求过点P(－３,１)且与向量n＝(－１,３) 垂直的直线方程． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９４ 检测评价———诊断落实,素养达标 一、选择题 １．在直角坐标系中,直线x＋ ３y－３＝０的 倾斜角是 (　　) A．３０°　　B．６０°　　C．１５０°　　D．１２０° ２．若直线x＋ay－１＝０的倾斜角为４５°,则 a＝ (　　) A．－ ２ B．２ C．－１ D．１ ３．直线３x－２y＝４的截距式方程是 (　　) A．３x４－ y ２＝１ B． x １ ３ －y１ ２ ＝４ C．３x４－ y －２＝１ D． x ４ ３ ＋ y－２＝１ ４．经过点 P(１,２),且一个法向量为n＝ (６,８)的直线方程为 (　　) A．３x－４y－１１＝０ B．３x＋４y－１１＝０ C．４x＋３y－１１＝０ D．４x－３y＋１１＝０ ５．斜率为－３,在x轴上截距为２的直线的 一般式方程是 (　　) A．３x＋y＋６＝０ B．３x－y＋２＝０ C．３x＋y－６＝０ D．３x－y－２＝０ ６．(多选)直线l１:ax－y＋b＝０与直线l２: bx＋y－a＝０(ab≠０)的图象可能是 (　　) ７．(多选)垂直于直线３x－４y－７＝０,且与 两坐标轴围成的三角形的面积为６的直 线在x轴上的截距是 (　　) A．４ B．－４ C．３ D．－３ 二、填空题 ８．若直线(２a２－４a)x＋(a２－４)y＋５a２＝０ 的倾斜角是π ４ ,则实数a是　　　　． ９．已 知 直 线l 过 点 P (３,１),且 与 两 点 P１(－１,０),P２(３,２)的连线垂直,则直线 l的方程为　　　　　　　　． １０．若方程(２m２＋m－３)x＋(m２－m)y－ ４m＋１＝０表示一条直线,则实数m 满 足　　　　． 三、解答题 １１．求 下 列 直 线 的 方 程,并 把 它 化 为 一 般式． (１)过点A(－２,３),斜率为－３５ ; (２)在x 轴、y 轴上的截距分别为－３ 和４． １２．已知直线l:５ax－５y－a＋３＝０． (１)求证:不论a为何值,直线l总经过 第一象限; (２)为使直线不经过第二象限,求a的 取值范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０５ １０．解析:设直线方程为xa ＋ y b ＝１ , 则 b＝３, a＋b＝５,{ 解得a＝２,b＝３, 则直线方程为x ２＋ y ３＝１ ,即３x＋２y－６＝０． 答案:３x＋２y－６＝０ １１．解:如图,由截距式,得AB 边所在直线 方程为 x －１＋ y －２＝１ ,即２x＋y＋２＝０, BC边所在直线方程为x２ ＋ y －２＝１ ,即 x－y－２＝０,由两点式,得CD 边所在 直线方程为y－０ ２－０＝ x－２ １－２ ,即２x＋y－４ ＝０,AD 边所在直线方程为y－０２－０＝ x＋１ １＋１ ,即x－y＋１ ＝０． １２．解:(１)∵直线l过点P(４,１),Q(－１,６), 所以直线l的方程为y－１６－１＝ x－４ －１－４ , 即x＋y－５＝０． (２)由题意知,直线l的斜率存在且不为０, 所以设直线l的斜率为k, 则其方程为y－１＝k(x－４)． 令x＝０,得y＝１－４k;令y＝０,得x＝４－１k． ∴１－４k＝２ ４－１k( ) ,解得k＝ １ ４ 或k＝－２． ∴直线l的方程为y－１＝１４ (x－４)或y－１＝－２(x－４), 即y＝１４x 或２x＋y－９＝０． 新知预览４ 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．Ax＋By＋C＝０ 典例探究———探究学习,素养形成 变式训练 １．解:(１)由直线方程的点斜式得y－３＝ ３(x－５), 即 ３x－y－５ ３＋３＝０． (２)由斜截式得直线方程为y＝４x－２, 即４x－y－２＝０． (３)由两点式得 y－５－１－５＝ x－(－１) ２－(－１) , 即２x＋y－３＝０． (４)由截距式得直线方程为 x－３＋ y －１＝１． 即x＋３y＋３＝０． ２．解:(１)当直线过原点时,该直线在x轴和y 轴上的截距 为零,所以３－a＝０,所以a＝３,方程为６x＋y＝０． (２)当直线过原点时, 该直线在x轴和y 轴上的截距为零, 所以３－a＝０,所以a＝３, 方程为６x＋y＝０; 当直线不过原点时,a≠３, 由a－３ a＋３＝a－３ ,得a＝－２, 方程为x＋y＋５＝０, 故所求的方程为６x＋y＝０或x＋y＋５＝０． (３)将l的方程化为y＝－(a＋３)x＋a－３, 要使l不经过第三象限, 当且仅当－(a＋３)≤０且a－３≥０, 解得a≥３,故所求a的取值范围为a≥３． ３．解:由直线方程的点法式, 得－(x＋３)＋３(y－１)＝０． 故所求直线方程为x－３y＋６＝０． 检测评价———诊断落实,素养达标 １．C　[直线斜率k＝－ ３３ ,所以倾斜角为１５０°．] ２．C　[直线x＋ay－１＝０化为斜截式可得y＝－ １ax＋ １ a ,由题意可得－１a＝tan４５°＝１ ,所以a＝－１．] ３．D　[将３x－２y＝４化为x４ ３ ＋ y－２＝１ 即得．] ４．B　[由点法式方程得６(x－１)＋８(y－２)＝０,即３x＋４y －１１＝０．] ５．C　[由题意得,此直线斜率为－３,过点(２,０),点斜式方 程为y－０＝－３(x－２),即３x＋y－６＝０．] ６．BC　[l１:y＝ax＋b,l２:y＝－bx＋a,在 A 中,由l１ 知a ＞０,b＜０,则－b＞０,与l２ 的图象不符;在 B中,由l１ 知 a＞０,b＞０,则－b＜０,与l２ 的图象相符;在C中,由l１ 知 a＜０,b＞０,则－b＜０,与l２ 的图象相符;在D中,由l１ 知 a＞０,b＞０,则－b＜０,与l２ 的图象不符．故选BC．] ７．CD　[设直线方程是４x＋３y＋d＝０,分别令x＝０和y ＝０,得直线在两坐标轴上的截距分别是－d３ ,－d４ ,所 以６＝１２× － d ３ × － d ４ ＝ d２ ２４． 所以d＝±１２．则直线在x轴上的截距为３或－３．] ８．解析:因为直线(２a２－４a)x＋(a２－４)y＋５a２＝０的倾斜 角是 π ４ ,所以直线(２a２－４a)x＋(a２－４)y＋５a２＝０的斜 率为 tan π４ ＝１ ,因 此 a２ －４≠０,y＝ ２a ２－４a －(a２－４) x＋ ５a２ －(a２－４) ,∴ ２a ２－４a －(a２－４) ＝１, ∴３a２－４a－４＝０,∴a＝－２３ 或a＝２(舍)． 答案:－２３ ９．解析:∵P１P２→⊥l, ∴P１P２→＝(３＋１,２－０)＝(４,２)为所求直线l的一个法 向量,即n＝(４,２), 又∵直线l过点(３,１), 代入直线的点法式方程得４(x－３)＋２(y－１)＝０． 故所求方程为２x＋y－７＝０． 答案:２x＋y－７＝０ １０．解析:当２m２＋m－３＝０时,m＝１或m＝－３２ ;当m２－ m＝０时,m＝０或 m＝１．要 使 方 程(２m２＋m－３)x＋ (m２－m)y－４m＋１＝０表示一条直线,则２m２＋m－３, m２－m 不能同时为０,所以m≠１． 答案:m≠１ １１．解:(１)由点斜式可得直线方程为y－３＝－３５ (x＋２)． 化为一般式为３x＋５y－９＝０． (２)由截距式可得直线方程为 x－３＋ y ４＝１． 化为一般式为４x－３y＋１２＝０． １２．解:(１)证明:将直线l的方程整理 为y－３５＝a x－ １ ５( ) , 所以l的斜率为a, 且过定点A １５ ,３ ５( )． 而点A １５ ,３ ５( ) 在 第 一 象 限,故l 必过第一象限． (２)直线OA 的斜率为k＝ ３ ５－０ １ ５－０ ＝３． 因为l不经过第二象限,所以a≥３． 故a的取值范围是[３,＋∞)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０７