新知预览1 一次函数的图象与直线的方程及直线的倾斜角、斜率及其关系-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（北师大版）

新知预览１　一次函数的图象与直线的方程及 直线的倾斜角、斜率及其关系 　　　　　　　　　　　　　 ★[学习目标]　１．理解一次函数的图象与直线方程的关系．２．在平面直角坐标系中,结合 具体图形,探索确定直线位置的几何要素．３．理解直线的倾斜角和斜率的概念,理解直线的 方向向量与直线的倾斜角、斜率的关系,掌握过两点的直线斜率的计算公式． 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．一次函数的图象与直线的方程 一般地,一次函数y＝kx＋b(k≠０)的图 象是一条直线,它是以满足y＝kx＋b的 每一对x,y 的值为坐标的点构成的．同 时函数解析式y＝kx＋b可以看作二元 一次方程． ２．直线的确定及直线的倾斜角 (１)直线的确定:在平面直角坐标系中,确 定直线位置的几何条件是:已知直线上 的　　　　和这条直线的　　　　． (２)直线的倾斜角: ①定义:在平面直角坐标系中,对于一 条与x 轴相交的直线l,把　　　　　 　　按　　　　　　方向绕着交点旋 转到和直线l首次重合时所成的角,称 为直线l的倾斜角,通常倾斜角用α表 示．当直线l与x 轴平行或重合时,规定 它的倾斜角为０． ②范围:　　　　． ３．直线的斜率 在直线l上任取两个不同的点P１(x１, y１),P２(x２,y２)记 Δx＝x２－x１(Δx≠０), Δy＝y２－y１,则k＝ Δy Δx 的大小与两点 P１,P２ 在 直 线 上 的 位 置 无 关,称 k＝ y２－y１ x２－x１ (其中x１≠x２)为经过不同两点 P１(x１,y１),P２(x２,y２)的直线l的斜率． 常用斜率来表示直线的倾斜程度． ４．直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系 (１)倾斜角不是π２ 的直线,它的斜率k和它 的倾斜角α满足k＝tanα 其中α≠π２ æ è ç ö ø ÷; (２)在直线l上任取两个不同的点P１(x１,y１), P２(x２,y２),则有关系k＝ y２－y１ x２－x１ ＝tanα (其中x１≠x２); (３)若k是直线l的斜率,则v＝(１,k)是它 的一个方向向量;若直线l的一个方向 向量的坐标为(x,y),其中x≠０,则它的 斜率k＝yx． ５．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角 (范围) α＝０ ０＜α＜π２ α＝ π ２ π ２＜α＜π 斜率 (范围) k＝０ k＞０ 不存在 k＜０ k的增 减情况 k随α的增 大而增大 k随α的增 大而增大 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８３ 典例探究———探究学习,素养形成 ◆[题型一]　直线的倾斜角 　设直线l过坐标原点,它的倾斜角为 α,如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋 转４５°,得到直线l１,那么l１ 的倾斜角为 (　　) A．α＋４５° B．α－１３５° C．１３５°－α D．当０°≤α＜１３５°时,倾斜角为α＋４５°; 当１３５°≤α＜１８０°时,倾斜角为α－１３５° [解析]　D　[根据题意,画出图形,如图 所示: 因为０°≤α＜１８０°,显然 A,B,C未分类讨 论,均不全面,不合题意,通过画图可知: 当０°≤α＜１３５°时,l１ 的倾斜角为α＋４５°; 当１３５°≤α＜１８０°时,l１ 的倾斜角为４５°＋ α－１８０°＝α－１３５°．故选 D．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　求直线的倾斜角的关注点 (１)求直线的倾斜角主要根据定义来求,其 关键是根据题意画出图形,找准倾斜 角,有时要根据情况分类讨论． (２)结合图形求角时,应注意平面几何知识 的应用,如三角形内角和定理及其有关 推论． [变式训练] １．图中α能表示直线l的倾斜角的是 (　　) ◆[题型二]　直线斜率的计算 　经过下列两点的直线的斜率是否存 在? 如果存在,求其斜率,并确定直线的 倾斜角α． (１)A(２,３),B(４,５); (２)C(－２,３),D(２,－１); (３)P(－３,１),Q(－３,１０)． [解]　(１)存在,直线 AB 的斜率kAB ＝ ５－３ ４－２＝１ , 即tanα＝１,又０°≤α＜１８０°, 所以倾斜角α＝４５°． (２)存 在．直 线 CD 的 斜 率 kCD ＝ －１－３２－(－２) ＝－１, 即tanα＝－１,又０°≤α＜１８０°, 所以倾斜角α＝１３５°． (３)不存在．因为xP＝xQ＝－３, 所以直线 PQ 的斜 率 不 存 在,倾 斜 角α ＝９０°． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　应用斜率公式求斜率应注意 的问题 (１)运用公式的前提条件是“x１≠x２”,即直 线不与x 轴垂直,因为当直线与x 轴 垂直时,斜率是不存在的． (２)斜率公式与两点P１,P２ 的先后顺序无 关,也就是说公式中的x１ 与x２,y１ 与 y２ 可以同时交换位置． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９３ [变式训练] ２．经过两点A(－１,３),B(２,４ ３)的直线 的斜率为　　　　,倾斜角为　　　　． ◆[题型三]　直线的倾斜角及斜率的应用 　若经过两点A(２,１),B(１,m２)的直线l的 倾斜角为锐角,则m的取值范围是 (　　) A．(－∞,１)　B．(－１,＋∞) C．(－１,１) D．(－∞,－１)∪(１,＋∞) [解析]　C　[因为直线l的倾斜角为锐 角,所以斜率k＝m ２－１ １－２ ＞０ ,所以－１＜m ＜１．] 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　解与斜率、倾斜角有关的参数 问题时应牢记斜率公式． [变式训练] ３．直线l过点P(１,０),且与以 A(２,１), B(０,３)为端点的线段有公共点,求直线 l的斜率的范围和倾斜角的范围． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 检测评价———诊断落实,素养达标 一、选择题 １．直线x＝１的倾斜角和斜率分别是 (　　) A．４５°,１　　　　　　B．１３５°,－１ C．９０°,不存在 D．１８０°,不存在 ２．过两点A(４,y),B(２,－３)的直线的倾斜 角为４５°,则y＝ (　　) A．－ ３２ B． ３ ２ C．－１ D．１ ３．直线l经过第二、四象限,则直线l的倾 斜角的范围是 (　　) A．０°≤α＜９０° B．９０°≤α＜１８０° C．９０°＜α＜１８０° D．０°＜α＜１８０° ４．若直线的倾斜角为６０°,则直线的斜率为 (　　) A．３　　B．－ ３　　C．３３　　D．－ ３ ３ ５．已知A(２,３),B(－３,－２),若直线l过点 P(１,１)与线段AB 有公共点,则直线l的 斜率的取值范围是 (　　) A．k≥３４ B． ３ ４≤k≤２ C．k≤３４ 或k≥２ D．k≤２ ６．(多选)下列说法中,正确的是 (　　) A．直线的倾斜角为α,则此直线的斜率 为tanα B．一条直线的倾斜角为－３０° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０４ C．若直线的倾斜角为α,则sinα≥０ D．任意直线都有倾斜角α,且α≠９０°时, 斜率为tanα ７．(多选)直线l１ 的倾斜角为α,l１⊥l２,则直 线l２ 的倾斜角可能为 (　　) A．９０°－α B．９０°＋α C．|９０°－α| D．１８０°－α 二、填空题 ８．经过A(２,０),B(０,－１)两点的直线的方 向向量为(１,k)．则k＝　　　　． ９．已知三点A(－３,－１),B(０,２),C(m,４) 在同一条直线上,则实数 m 的值为　　 　　． １０．已知O(O为坐标原点)是等腰直角三角 形OAB 的直角顶点,点A 在第一象限, ∠AOy＝１５°,则 斜 边 AB 的 斜 率 为 　　　　． 三、解答题 １１．求经过下列两点的直线的斜率,并判断 其倾斜角是锐角、直角还是钝角． (１)(－３,５),(０,２); (２)(４,４),(４,５); (３)(m,２ ３m＋ ３),(２m－１,３ ３m)(m ≠１)． １２．已知A(m,－m＋３),B(２,m－１),C(－１,４), 直线AC 的斜率等于直线BC 的斜率的 ３倍,求m的值． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １４ [第二部分]　新知预览１ 知识梳理———自学教材,素养奠基 ２．(１)一个点　方向　(２)①x轴(正方向)　逆时针　 ②[０,π) 典例探究———探究学习,素养形成 变式训练 １．A　[结合直线l的倾斜角的定义可知 A可以．] ２．解析:设此直线的倾斜角为α,则tanα＝k＝４ ３－ ３２－(－１)＝ ３．因为０°≤α＜１８０°,所以α＝６０°． 答案:３　６０° ３．解:如图所示．因为kAP＝ １－０ ２－１＝１ , kBP＝ ３－０ ０－１＝－ ３ , 所以k∈(－∞,－ ３]∪[１,＋∞), 所以４５°≤α≤１２０°． 检测评价———诊断落实,素养达标 １．C　[根据题意,作出图象,可知 C选 项正确．] ２．C　[tan４５°＝kAB＝y ＋３ ４－２ ,即y＋３ ４－２＝１ ,所以y＝－１．] ３．C　[直线倾斜角的取值范围是０°≤α＜１８０°,又直线l经 过第二、四象限,所以直线l的倾斜角的范围是９０°＜α ＜１８０°．] ４．A　[因为直线的斜率k和倾斜角α的关系是 k＝tanα(α≠９０°),所以当倾斜角为６０°时, 对应的斜率k＝tan６０°＝ ３．] ５．C　[kPA＝ ３－１ ２－１＝２ ,kPB＝ －２－１ －３－１＝ ３ ４． 因为直线l过点P(１,１)与线段 AB 有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是k≤３４ 或k≥２．故选 C．] ６．CD　[根据题意,依次分析选项:对于 A,直线的倾斜角 为α,当α＝９０°时,斜率不存在,A错误;对于B,直线的倾 斜角的范围为[０,π),B错误;对于 C,直线的倾斜角α的 范围为[０,π),则有sinα≥０,C正确;对于D,任意直线都 有倾斜角α,且α≠９０°时,斜率为tanα,D正确．] ７．ABC　[(１)当α＝０°时,l２ 的倾斜角为９０°,(如图１) (２)当０°＜α＜９０°时,l２ 的倾斜角为９０°＋α．(如图２) (３)当α＝９０°时,l２ 的倾斜角为０°．(如图３) (４)当９０°＜α＜１８０°时,l２ 的倾斜角为α－９０°．(如图４) ] ８．解析:因为A(２,０),B(０,－１), 所以AB→＝(－２,－１),所以k＝－１－２＝ １ ２． 答案:１ ２ ９．解析:因为A,B,C三点在同一条直线上, 所以kAB＝kBC,所以 ２－(－１) ０－(－３)＝ ４－２ m－０ , 所以m＝２． 答案:２ １０．解析:如图,设直线 AB 与x 轴 的交点为C, 则 ∠ACO ＝ １８０° － ∠A － ∠AOC ＝ １８０°－ ４５°－ １０５° ＝３０°． 所以kAB＝tan３０°＝ ３ ３． 答案:３ ３ １１．解:(１)k＝ ２－５０－(－３)＝－１＜０ ,倾斜角为钝角． (２)k不存在,倾斜角为直角． (３)k＝３ ３m－ (２ ３m＋ ３) (２m－１)－m ＝ ３m－ ３ m－１ ＝ ３＞０ ,倾斜 角为锐角． １２．解:由题意可知直线AC的斜率存在,即m≠－１． 所以kAC＝ (－m＋３)－４ m＋１ ,kBC＝ (m－１)－４ ２－(－１)． 所以 (－m＋３)－４ m＋１ ＝３ 􀅰(m－１)－４ ２－(－１)． 整理得－m－１＝(m－５)(m＋１),即(m＋１)(m－４)＝ ０,所以m＝４或m＝－１(舍去),所以m＝４． 新知预览２ 知识梳理———自学教材,素养奠基 １．每一点　２．y－y０＝k(x－x０)　y＝kx＋b 典例探究———探究学习,素养形成 变式训练 １．(１)A　[∵直线l的斜率k＝tan４５°＝１, ∴直线l的方程为y＋３＝x－２．] (２)C　[直线方程y＋２＝－x－１可化为y－(－２) ＝－[x－(－１)],故直线经过点(－１,－２),斜率为－１．] ２．(１)D　[直线的倾斜角为６０°,则其斜率为 ３,利用斜截 式得y＝ ３x－２．] (２)解析:直线y＝３x－２的斜率为３,在y轴上的截距 为－２． 答案:３　－２ ３．解:依题意直线的斜率存在,设为k, 直线方程为y－３＝k(x＋２), 令x＝０得纵截距为y＝２k＋３． 令y＝０得横截距为x＝－３k－２ , 依题意得,２k＋３＝－３k－２ , 解得k＝－３２ 或k＝－１, 所以直线方程为y＝－３２x 或y＝－x＋１． 检测评价———诊断落实,素养达标 １．D　[因为直线的点斜式方程不能表示斜率不存在的直 线,所以y－y０＝k(x－x０)不能表示与x轴垂直的直线, 故选 D．] ２．A　[直线的斜率为k＝tan１２０°＝－ ３． ∴直线的斜截式方程为y＝－ ３x＋２．] ３．A　[已知直线的点斜式方程为y－２＝k(x－３),所以直 线过定点(３,２)．] ４．C　[由y－b＝２(x－a),得y＝２x－２a＋b,故在y轴上 的截距为b－２a．] ５．D　[对于 A,由l１ 得a＞０,b＜０,而由l２ 得a＞０,b＞０, 矛盾;对于B,由l１ 得a＜０,b＞０,而由l２ 得a＞０,b＞０, 矛盾;对于 C,由l１ 得a＞０,b＜０,而由l２ 得a＜０,b＞０, 矛盾;对于 D,由l１ 得a＞０,b＞０,而由l２ 得a＞０,b＞０． 故选 D．] ６．BC　[对于 A,将(３,－２)代入l:３x－y－１＝０,可知不 满足方程,故 A不正确;对于B,由 ３x－y－１＝０,可得y ＝ ３x－１,所以k＝ ３,故 B正确;对于 C,由k＝ ３,即 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８６