假期作业15 空间直线、平面的平行-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（北师大版）

　　　　　　假期作业１５　空间直线、平面的平行　　　　 １．(１)基本事实４:平行于同一条直线的两 条直线互相　　　　． (２)等角定理:空间中如果两个角的两边分 别对 应 平 行,那 么 这 两 个 角 　 　 　 　　． ２．直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 平面外一条直线 与　　　　　的 一条直线平行,则 该直线与此平面 平行(线线平行⇒ 线面平行) 因为l∥ a,a⊂α,l ⊄α,所以 l∥α 性 质 定 理 一条直线与一个 平面平行,则过这 条直线的任一平 面 与 此 平 面 的 　　　　 与该直 线平 行 (简 记 为 “线面平行⇒线线 平行”) 因为l∥ α,l⊂β, α∩β＝b, 所以l∥b ３．平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面内的两条 　　　　　　与另 一个平面平行,则 这两个平面平行 (简记为“线面平行 ⇒面面平行”) 因为a∥ β,b∥β, a∩b ＝P, a⊂α, b⊂α, 所以α∥β 性 质 定 理 如果两个平行平 面同时和第三个 平面　　　　,那 么它们的　　　 平行 因为α∥ β,α∩γ ＝a, β∩γ＝b, 所以a∥b ◆[考点一]　直线与平面平行的判定与 性质 １．设AB,BC,CD 是不在同一平面内的三 条线段,则经过它们的中点的平面和直 线AC的位置关系是 (　　) A．平行　　　　　　B．相交 C．平行或相交 D．AC在此平面内 ２．(多选)已知α,β,γ是三个不重合的平面,l 是直线．给出下列命题中正确的命题是 (　　) A．若l上两点到α的距离相等,则l∥α B．若l⊥α,l∥β,则α⊥β C．若α∥β,l⊄β,且l∥α,则l∥β D．若α∥β,α∥γ则β∥γ ３．已知l是过正方体ABCD－A１B１C１D１ 的顶点的平面 AB１D１ 与下底面 ABCD 所在平面的交线,下列结论错误的是 (　　) A．D１B１∥平面ABCD B．BD∥平面AD１B１ C．l∥平面A１C１ D．l⊥B１C１ ４．(答案不唯一型)如图所示, 在 正 四 棱 柱 ABCＧ DA１B１C１D１ 中,E,F,G,H 分别是棱CC１,C１D１,D１D, DC的中点,N 是BC 的中 点,点M 在四边形EFGH 及其内部运动, 则M 只需满足条件　　　　时,就有MN ∥平面B１BDD１．(注:请填上你认为正确的 一个条件即可,不必考虑全部可能情况) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２３ ◆[考点二]　平面与平面平行的判定与性质 ５．平面α内有不共线的三点到平面β的距 离相等且不为零,则α与β的位置关系为 (　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．可能重合 ６．(多选)已知a,b表示两条直线,α,β,γ表 示三个不重合的平面,给出下列命题,正 确的是 (　　) A．若α∩γ＝a,β∩γ＝b,且a∥b,则α∥β B．若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥ α,a∥β,b∥β,则α∥β C．若a∥α,b∥β,且a∥b,则α∥β D．若a⊂α,a∥β,α∩β＝b,则a∥b ７．(多选)在正方体EFGH－ E１F１G１H１ 中,下列四对平 面彼此平行的一对是 (　　) A．平面E１FG１ 与平面EGH１ B．平面FHG１ 与平面EF１H１ C．平面F１H１H 与平面FHE１ D．平面E１HG１ 与平面EH１G ８．如图,在长方体ABＧ CD－A１B１C１D１ 中, 过BB１ 的中点E 作 一 个 与 平 面 ACB１ 平行的平面交AB 与M,交BC 与N,则 MN AC ＝　　　　． ◆[考点三]　平行的综合应用 ９．如图,在棱长均为１的正 三 棱 柱 ABCＧA１B１C１ 中,M,N 分 别 为 线 段 A１B,B１C 上的动点,且 MN∥平面 ACC１A１,则 这样的 MN 有 (　　) A．１条　　　　B．２条 C．３条 D．无数条 １０．如图,在多面体 ABC － DEFG 中,平 面 ABC∥ 平 面 DEFG, AD∥BE,AC∥DG∥ EF,且 AB＝DE,DG ＝２EF,则下列说法中正确的是　　　　． (填序号) ①BF∥平面ACGD; ②CF∥平面ABED; ③BC∥FG; ④平面ABED∥平面CGF． １１．如 图,在 平 行 六 面 体 ABCD － A１B１C１D１ 中,E,M,N,G,H 分 别 是 AA１,CD,CB, CC１,BB１ 的 中 点, 求证: (１)MN∥B１D１; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３３ (２)AC１∥平面EB１D１; (３)平面EB１D１∥平面BDG． １２．如图,ABCD 与 ADEF 均为平行四边形,M,N, G 分别是 AB,AD,EF 的中点．求证: (１)BE∥平面DMF; (２)平面BDE∥平面MNG． １．已知a,b表示直线,α,β表示平面,下列 选项正确的是 (　　) A．α∩β＝a,b⊂α⇒a∥b B．α∩β＝a,a∥b⇒b∥α且b∥β C．a∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α⇒α∥β D．α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b⇒a∥b ２．设α∥β,A∈α,B∈β,C是AB 的中点,当 A,B 分别在平面α,β内运动时,那么所 有的动点C (　　) A．不共面 B．当且仅当A,B 分别在两条直线上移 动时才共面 C．当且仅当A,B 分别在两条给定的异 面直线上移动时才共面 D．不论A,B 如何移动,都共面 １．不要向这个世界 认输,因为你还有牛逼 的梦想! ２．即使梦想不能实 现,我 们 也 不 会 放 弃 努力! ３．所有的伤害只会让我变强,用更强 大的自己守护我的梦想! ４．我若不努力,那谁来替我完成梦想! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４３ ∴球O 与棱BB１ 相切,球面与棱BB１ 只有一个交点, 同理,根据正方体ABCDＧA１B１C１D１ 的对称性可知,其 余各棱和球面也只有一个交点, ∴以EF 为 直 径 的 球 面 与 正 方 体 每 条 棱 的 交 点 总 数 为１２． 答案:１２ １１．解:(１)连接AC(图略),∵EG∥AC, ∴∠ACB 即是BC 和EG 所成的角． ∵在长方体ABCD－EFGH 中,AB＝AD＝２ ３, ∴tan∠ACB＝１,∴∠ACB＝４５°, ∴直线BC和EG 所成的角是４５°． (２)∵AE∥BF,∴∠FBG即是AE和BG所成的角． 易知tan∠FBG＝ ３, ∴∠FBG＝６０°, ∴直线AE 和BG 所成的角是６０°． １２．解:(１)∵CG∥FB, ∴∠EBF 是异面直线BE 与CG 所 成的角． 在 Rt△EFB 中,EF＝FB, ∴∠EBF＝４５°, ∴BE 与CG 所成的角为４５°． (２)连接FH, ∵FB∥AE,FB＝AE,AE∥HD,AE＝HD, ∴FB＝HD,FB∥HD, ∴四边形FBDH 是平行四边形, ∴BD∥FH, ∴∠HFO 或 其 补 角 是 FO 与 BD 所 成 的 角,连 接 HA,AF, 则△AFH 是等边三角形, 又O 是AH 的中点,∴∠HFO＝３０°, ∴FO 与BD 所成的角为３０°． 新题快递 １．C　[设底面圆心为 O,连接 EO,CO, OD,如 图 所 示,可 知 EO ∥AC,故 ∠OED 为异面直线AC 与DE 所成的 角(或其补角)． ∵CO⊥底面ABD, ∴CO⊥OD．又∵点D 为半圆弧AB 的 中点, ∴AB⊥OD,又CO∩AB＝O, ∴OD⊥平面ABC, ∴OD⊥EO,在 Rt△ODE 中,OD＝OE＝１, ∴∠OED＝ π４ ,∴sin∠OED＝ ２２ ,故 异 面 直 线 AC 与 DE 夹角的正弦值是 ２２． 故选 C．] ２．D　[连 接 AD１,则 AD１∥ EF,连接FD１,则平面AEF 截正方 体 所 得 截 面 多 边 形 为梯形AD１FE, ∵正方体棱长为２,故 AD１ ＝２ ２,EF＝ ２, 又 AE＝D１F＝ ２２＋１２ ＝ ５, ∴ 等 腰 梯 形 AD１FE 的 高为 (５)２－ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３ ２ , ∴梯形AD１F１E 的面积为＝ ２＋２ ２ ２ × ３ ２ ＝９２． ] 假期作业１５ 思维整合室 １．(１)平行　(２)相等或互补 ２．这个平面内　交线　３．相交直线　相交　交线 技能提升台　素养提升 １．A　 ２．BCD　[对于 A,若直线l在平面α内,l上有两点到α 的 距离为０,相等,此时l不与α平行,所以 A错误;对于B, 因为l∥β,所以存在直线m⊂β使得l∥m,因为l⊥α,所 以m⊥α,又m⊂β,所以β⊥α,所以 B正确;对于 C,l∥α, 故存在m⊂α使得l∥m,因为α∥β,所以m∥β,因为l∥ m,l⊄β,所以l∥β,C正确．对于 D由面面平行的判定定 理知 D正确．] ３．D　[A 可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确, B,C可由线面平行的判定定理判定正确性．D错在D１B１ ∥l,l与B１C１ 所成角是４５°．] ４．解析:连 接 HN,FH,FN(图 略),则 FH ∥DD１,HN ∥BD, 易知平面FHN∥平面B１BDD１,只需 M∈FH,则 MN ⊂平面FHN,∴MN∥平面B１BDD１． 答案:点 M 在线段FH 上(或点 M 与点H 重合) ５．C ６．BD　[A:若α∩γ＝a,β∩γ＝b,且a∥b,则α,β可能相交、 平行,错误;B:若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a ∥β,b∥β,由面面平行的判定可得α∥β,正确;C:若a∥ α,b∥β,且a∥b,则α,β可能相交、平行,错误;D:若a⊂ α,a∥β,α∩β＝b,由线面平行的性质定理得a∥b,正确．] ７．AB　[如 图,∵EG∥E１G１,EG⊄ 平 面E１FG１,E１G１⊂平面E１FG１, ∴EG∥平面E１FG１．又G１F∥H１E, 同理可证 H１E∥平面E１FG１, 又 H１E∩EG＝E,∴平 面 E１FG１∥ EGH１,故 A正确,同理可得 B正确, 故选 AB．] ８．解析:∵平面 MNE∥平面ACB１, 由平面平行的性质定理可得EN∥B１C,EM∥B１A, 又∵E 为BB１ 的中点, ∴M,N 分别为BA,BC的中点, ∴MN＝１２AC． 即MN AC ＝ １ ２． 答案:１ ２ ９．D　[如图,任 取 线 段 A１B 上 一 点 M,过 M 作 MH ∥AA１,交 AB 于 H,过 H 作HG∥AC 交BC 于G, 过G 作CC１ 的平行 线,与CB１ 一 定有交点 N,连接 MN, 可证平面 MNGH∥平面ACC１A１ 所以 MN∥平面 ACC１A１,则这样 的 MN 有无数条．] １０．解析:∵EF∥DG,BE∥AD,BE∩EF＝E,AD∩DG＝ D,BE,EF⊂平面BEF,AD,EG⊂平面ADGC,∴平面 BEF∥平面ADGC． ∵BF⊂平面BEF, ∴BF∥平面ACGD,故①正确; 由于DG＝２EF, 则四边形EFGD 是梯形, GF 的延长线必与直线DE 相交,故④不正确; 选项②③不能推出． 答案:① 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５６ １１．证明:(１)因 为 M,N 分 别 是CD,CB 的中点, 所以 MN∥BD．又 因 为 BB１􀱀DD１, 所以四边形BB１D１D 是平行四边形, 所以BD∥B１D１, 从而 MN∥B１D１． (２)连接A１C１,交B１D１ 于点O,连接OE． 因为四边形A１B１C１D１ 为平行四边形,则O 点是A１C１ 的中点．因为E 是AA１ 的中点,所以EO 是△AA１C１ 的 中位线,所以EO∥AC１． 又AC１⊈平面EB１D１,EO⫋平面EB１D１, 所以AC１∥平面EB１D１． (３)连接GH,因为EA􀱀B１H,则四边形EAHB１ 是平 行四边形,所以 EB１∥AH．因为 AD􀱀HG,则四边形 ADGH 是平行四边形,所以DG∥AH,所以EB１∥DG． 又因为BB１􀱀DD１,所以四边形BB１D１D 是平行四边形, 所以BD∥B１D１． 因为BD∩DG＝D, 所以平面EB１D１∥平面BDG． １２．证明:(１)连接AE,则AE 必过DF 与 GN 的 交 点 O,连 接 MO,则 MO 为 △ABE 的中位线,所以BE∥MO． 又 BE ⊄ 平 面 DMF,MO ⊂ 平 面DMF, 所以BE∥平面DMF． (２)因为 N,G 分别为平行四边形ADEF 的边AD,EF 的中点,所以DE∥GN, 又DE⊄平面 MNG,GN⊂平面 MNG, 所以DE∥平面 MNG．又 M 为AB 的中点, 所以 MN 为△ABD 的中位线,所以BD∥MN, 又 MN⊂平面 MNG,BD⊄平面 MNG, 所以BD∥平面 MNG, 又DE,BD⊂平面BDE,DE∩BD＝D, 所以平面BDE∥平面 MNG． 新题快递 １．D　[A中,α∩β＝a,b⊂α,a,b可能平行也可能相交;B 中,α∩β＝a,a∥b,则可能b∥α,b∥β,也可能b在平面α 或β内;C中,α∥β,b∥β,a⊂α,b⊂α,根据平面平行的判 定定理,若加上条件a∩b＝A,则α∥β．故选 D．] ２．D　[如图所示,A′,B′分别是 A,B 两点在α,β上运动后的 两点,此 时 AB 中 点C 变 成 A′B′中 点 C′．连 接A′B,取 A′B 的 中 点 E,连 接 CE, C′E′,CC′,AA′,BB′．则 CE ∥AA′,又AA′⊂α,CE⊄α, ∴CE∥α,同理C′E∥β． 又∵α∥β,∴C′E∥α． ∵C′E∩CE＝E,∴平面CC′E∥平面α．∴CC′∥α．故不 论A,B 如何移动,所有的动点C都在过点C 且与α,β平 行的平面上．] 假期作业１６ 思维整合室 １．两条相交 直 线 　 平 行 　２．垂 线 　 交 线 　３．(１)锐 角 　∠PAO 技能提升台　素养提升 １．D　 ２．A　[过点A 作AH⊥BD 于点H(图略),由平面ABD⊥ 平面BCD,得AH⊥平面BCD,则AH⊥BC．又DA⊥平 面ABC,所以BC⊥AD,所以BC⊥平面 ABD,所以BC ⊥AB,即△ABC为直角三角形．故选 A．] ３．C　[连接AC,因为ABCD 是菱 形,所以AC⊥BD, 又 MC⊥菱形 ABCD 所在 的 平 面,BD⊂平面 ABCD,所以 MC ⊥BD, 又 MC∩AC＝C,MC,AC⊂平面 MAC,所以BD⊥平面 MAC,MA⊂平面 MAC, 所以 MA⊥BD．] ４．解析:连接A１C１,则∠AC１A１ 为AC１ 与平面A１B１C１D１ 所成的角． 因为AB＝BC＝２,所以A１C１＝AC＝ ２ ２,又AA１＝１,所以AC１＝３, 所以sin∠AC１A１＝ AA１ AC１ ＝１３． 答案:１ ３ ５．D ６．BCD　[A中当m⊥n,m⊥α,n∥β时,两个平面的位置关 系不确定,A 不正确．B中,过直线n作平面γ 与β 交于 c,则n∥c． 由m⊥α,所以m⊥c,所以m⊥n,B正确．C中由面面平行 的性质,易得 m∥β,C正确．D 中,由线面角的定义与等 角定理可知 D正确．] ７．A　[对于 A 选项,在正方 体 ABCD－A１B１C１D１ 中,因 为 E,F 分别为AB,BC 的中点, 易知EF⊥BD,EF⊥DD１,又 BD∩DD１＝D,从而 EF⊥平 面B１BDD１,又 因 为 EF⊂ 平 面B１EF,所 以 平 面 B１EF⊥ 平面 BDD１,所 以 A 选 项 正 确;对 于 B 选 项,因 为 平 面 A１BD∩平面BDD１＝BD,由上述过程易知平面 B１EF ⊥平面A１BD 不成立;对于 C选项,由题意知直线 AA１ 与直线B１E 必相交,故平面B１EF 与平面A１AC 有公共 点,从而 C选项错误;对于 D 选项,连接AC,AB１,B１C, 易知平面AB１C∥平面A１C１D,又因为平面 AB１C 与平 面B１EF 有公共点B１,故平面AB１C 与平面B１EF 不平 行,所以 D选项错误．] ８．解析:如 图,取 AB 的 中 点E,连 接 DE,CE, 因为△ADB 是等边三角形, 所以DE⊥AB． 当平面ADB⊥平面ABC时, 因为平 面 ADB∩ 平 面 ABC＝AB, DE⊂平面ABD, 所以DE⊥平面ABC．又CE⊂平面ABC, 可知DE⊥CE．由已知可得DE＝ ３,EC＝１, 在 Rt△DEC中,CD＝ DE２＋CE２＝２． 答案:２ ９．C　[如图,过E 做EO⊥平面ABCD,垂足为O,过E 分 别 做 EG ⊥BC,EM ⊥AB,垂 足 分 别 为 G,M,连 接 OG,OM, 由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底 面夹角分别为∠EMO 和∠EGO, 所以tan∠EMO＝tan∠EGO＝ １４５ ． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ６６