假期作业14 空间点、直线、平面之间的位置关系-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（北师大版）

　 假期作业１４　空间点、直线、平面之间 的位置关系 　　　　　　　　 １．三个基本事实 基本事实１:如果一条直线上的　　　　 在一 个 平 面 内,那 么 这 条 直 线 在 此 平 面内． 基本事实２:过　　　　　　　的三点, 有且只有一个平面． 基本事实３:如果两个不重合的平面有一 个公共点,那么它们　　　　　　　过 该点的公共直线． 基本事实３的三个推论 推论１:经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面; 推论２:经过两条相交直线有且只有一个 平面; 推论３:经过两条平行直线有且只有一个 平面． ２．空间直线的位置关系 共面直线 　　　　　 　　　　{ 异面直线:不同在　　　　一个平面内 ì î í ïï ï ３．空间中直线与平面、平面与平面的位置 关系 图形语言 符号语言 公共点 直 线 与 平 面 相交 a∩α＝A 　　个 平行 a∥α 　　个 在平 面内 a⊂α 　　个 平 面 与 平 面 平行 α∥β 　　个 相交 α∩β＝l 　　个 ４．异面直线所成的角 (１)定义:设a,b是两条异面直线,经过空间 中任一点O 作直线a′∥a,b′∥b,把a′ 与b′所成的　　　　　　叫做异面直 线a与b所成的角． (２)范围:０,π２ æ è ç ù û úú． ◆[考点一]　平面的基本性质 １．(多选)已知α,β为平面,A,B,M,N 为 点,a为直线,下列推理正确的是 (　　) A．A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β B．M ∈α,M ∈β,N ∈α,N ∈β⇒α∩β ＝MN C．A∈α,A∈β⇒α∩β＝A D．A,B,M∈α,A,B,M∈β,且 A,B,M 不共线⇒α,β重合 ２．下列两个相交平面的画法中正确的是 (　　) ３．下列命题中正确的个数为 (　　) ①若△ABC 在平面α 外,它的三条边所 在的直线分别交α于P,Q,R,则P,Q,R 三点共线; ②若三条直线a,b,c互相平行且分别交 直线l 于A,B,C 三点,则这四条直线 共面; ③空间中不共面五个点一定能确定１０ 个平面． A．０　　　B．１　　　C．２　　　D．３ ４．若直线l与平面α 相交 于点O,A,B∈l,C,D∈ α,且AC∥BD,则O,C, D 三 点 的 位 置 关 系是　　　　． ◆[考点二]　空间两直线 的位置关系 ５．设BD１ 是正方体ABCD －A１B１C１D１ 的 一条对角线,则这个正方体中,面对角线 与BD１ 异面的有 (　　) A．０条 B．４条 C．６条 D．１２条 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０３ ６．若直线a,b,c满足a∥b,a,c异面,则b 与c (　　) A．一定是异面直线 B．一定是相交直线 C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线 ７．(２０２３􀅰上海卷)如图 所示,在 正 方 体 ABＧ CDＧA１B１C１D１ 中,点 P 为边A１C１ 上的 动 点,则下列直线中,始 终 与 直 线 BP 异 面 的是 (　　) A．DD１　B．AC　C．AD１　D．B１C ８．如图,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶 点或所在棱的中点,则表示直线 GH, MN 是异面直线的图形有　　　　． ◆[考点三]　异面直线所成的角 ９．(２０２１􀅰全国乙卷文,１０)在正方体ABCD －A１B１C１D１ 中,P 为B１D１ 的中点,则直 线PB 与AD１ 所成的角为 (　　) A．π２　　　B． π ３　　　C． π ４　　　D． π ６ １０．(２０２３􀅰全国甲卷(理))在正方体 ABＧ CDＧA１B１C１D１ 中,E,F 分 别 为 CD, A１B１ 的中点,则以EF 为直径的球面与 正方体每条棱的交点总数为　　　　． １１．如图所示,在长方体 ABCD －EFGH 中, AB＝AD＝２ ３,AE ＝２． (１)求直线BC和EG 所成的角; (２)求直线AE 和BG 所成的角． １２．如图,在正方体ABCD－ EFGH 中,O 为 侧 面 ADHE 的中心,求: (１)BE 与CG 所成的角; (２)FO与BD 所成的角． １．如图所示,圆锥底面半径为１,母线AC＝ ２,D 为弧AB 的中点,E 是BC 中点,则 异面直线AC与DE 夹角的正弦值是 (　　) A．１２　　B．１　　C． ２ ２　　D． ２ ４ ２．正方体ABCDＧA１B１C１D１ 的棱长为２,E, F分别是BC,CC１ 的中点,则平面AEF 截该正方体所得的截面面积为 (　　) A．９８ B． ３ ２ C． ９ ４ D． ９ ２ 踏上幽径,追逐星光 人有两条路要走,一条是必须走的,一 条是想走的,你必须把必须走的路走漂亮 才可以走想走的路,有些路,你不走下去, 就不会知道那边的风景有多美,所以内心 难过也不要把自己丢在黑暗中．按时睡觉, 好好吃饭,洗个热乎的澡,喝甜甜的奶茶． 看看长河落日,花朵树木,驱逐丧气再努力 奔跑,生活到处是发光的星星． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １３ １２．解:如图所示,作出轴截面,O 是球心, 与边 BC,AC 相 切 于 点 D,E．连 接 AD,OE, 因为△ABC是正三角形, 所以CD＝１２AC． 因为 Rt△AOE∽Rt△ACD,所以OEAO＝ CD AC． 因为CD＝１cm,所以AC＝２cm,AD＝ ３cm, 设OE＝r,则AO＝ ３－r,所以 r ３－r ＝１２ , 所以r＝ ３３ cm , V球 ＝ ４３ π ３ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝４ ３２７ π (cm３ ),即 球 的 体 积 等 于４ ３ ２７πcm ３． 新题快递 １．B　[在△AOB 中,∠AOB＝１２０°,而 OA＝OB＝ ３,取 AB 中点C,连接OC,PC,有OC⊥AB,PC⊥AB,如图, ∠ABO＝３０°,OC＝ ３２ ,AB＝２BC＝３,由△PAB 的面积 为９ ３ ４ ,得１ ２×３×PC＝ ９ ３ ４ , 解 得 PC ＝ ３ ３２ , 于 是 PO ＝ PC２－OC２ ＝ ３ ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ － ３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝ ６, 所以圆锥的体积V＝１３π×OA ２×PO＝１３π× (３)２× ６ ＝ ６π．] ２．解析:四面体的体积最大时 即面SAB⊥面ABC, SA＝SB＝２,且 SA⊥SB, BC＝ ５,AC ＝ ３,所 以 ∠ACB＝９０°, 取 AB 的 中 点 H,连 接 CH,SH, SH⊥AB,平面SAB∩平面 ABC ＝ AB,SH 在 平 面 SAB 内,而SH＝１２ 􀅰 ２􀅰 SA＝ ２ 所以SH⊥平面ABC,所以VSＧABC ＝ １ ３ 􀅰S△ABC 􀅰SH＝ １ ３ 􀅰１ ２ 􀅰 ５􀅰 ３􀅰 ２＝ ３０６ ; 则外接球的球心在SH 上,设球心为O,连接OC,CH＝ １ ２ 􀅰AB＝１２ 􀅰 ２􀅰SA＝ ２,因为SH＝１２ 􀅰 ２􀅰SA＝ ２,所以O 与H 重合,所以R＝CH＝SH＝ ２, 所以四面体的外接球的表面积S＝４πR２＝８π． 答案: ３０ ６ 　８π 假期作业１４ 思维整合室 １．两点　不在一条直线上　有且只有一条 ２．平行　相交　任何　３．１　０　无数　０　无数 ４．(１)锐角(或直角) 技能提升台　素养提升 １．ABD　[选项 C中,α与β 有公共点A,则它们有过点 A 的一条交线,故 C错．] ２．D　 ３．C　[在①中,因为P,Q,R 三点既在平面ABC 上,又在 平面α上,所以这三点必在平面ABC 与α 的交线上,即 P,Q,R 三点共线,故①正确;在②中,因为a∥b,所以a 与b确定一个平面α,而l上有A,B 两点在该平面上,所 以l⊂α,即a,b,l三线共面于α;同理a,c,l三线也共面, 不妨设为β,而α,β有两条公共的直线a,l,所以α与β重 合,故这些直线共面,故②正确;在③中,不妨设其中四 点共面,则它们最多只能确定７个平面,故③错．] ４．解析:∵AC∥BD, ∴AC与BD 确定一个平面,记作平面β,则α∩β＝CD． ∵l∩α＝O,∴O∈α． 又∵O∈AB⊂β,∴O∈直线CD,∴O,C,D 三点共线． 答案:共线 ５．C ６．C　[由 于a∥b, a,c异 面,此 时,b 和c可能相交,也 即共面,如图所示 b与c相交;b和c 也可能异面,如图所示b′与c异面．综上所述,b与c不可 能是平行直线．] ７．B　[对于 A,当P 是A１C１ 的中点时,BP 与DD１ 是相交 直线;对于B,根据异面直线的定义知,BP 与AC 是异面 直线;对于C,当点P 与C１ 重合时,BP 与AD１ 是平行直 线;对于 D,当 点 P 与C１ 重 合 时,BP 与B１C 是 相 交 直线．] ８．解析:①中 HG∥MN;③中GM∥HN 且GM≠HN,所 以直线 HG 与MN 必相交． 答案:②④ ９．D　[由 题 意 可 知,连 接 BP,BC１,PC１(图 略),则 BP, BC１ 所成角即为所求角θ,设AB＝２,则BP＝ ６,BC１＝ ２ ２,PC１＝ ２,由余弦定理可知cosθ＝ BP２＋BC２１－C１P２ ２BP􀅰BC１ ＝ ６＋８－２ ２ ６􀅰２ ２ ＝ ３２ ,所以夹角为π ６． ] １０．解析:在正方体ABCDＧ A１B１C１D１ 中,E,F 分 别 为 CD,A１B１ 的 中点, 设 正 方 体 ABCDＧ A１B１C１D１ 中 棱 长 为 ２,EF 中点为O, 取AB,BB１ 中点G,M, 侧 面 BB１C１C 的 中 心 为N, 连接FG,EG,OM,ON,MN,如图, 由题意 得 O 为 球 心,在 正 方 体 ABCDＧA１B１C１D１ 中, EF＝ FG２＋EG２＝ ４＋４＝２ ２, ∴R＝ ２, 则球 心 O 到 BB１ 的 距 离 为 OM ＝ ON２＋MN２ ＝ １＋１＝ ２, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４６ ∴球O 与棱BB１ 相切,球面与棱BB１ 只有一个交点, 同理,根据正方体ABCDＧA１B１C１D１ 的对称性可知,其 余各棱和球面也只有一个交点, ∴以EF 为 直 径 的 球 面 与 正 方 体 每 条 棱 的 交 点 总 数 为１２． 答案:１２ １１．解:(１)连接AC(图略),∵EG∥AC, ∴∠ACB 即是BC 和EG 所成的角． ∵在长方体ABCD－EFGH 中,AB＝AD＝２ ３, ∴tan∠ACB＝１,∴∠ACB＝４５°, ∴直线BC和EG 所成的角是４５°． (２)∵AE∥BF,∴∠FBG即是AE和BG所成的角． 易知tan∠FBG＝ ３, ∴∠FBG＝６０°, ∴直线AE 和BG 所成的角是６０°． １２．解:(１)∵CG∥FB, ∴∠EBF 是异面直线BE 与CG 所 成的角． 在 Rt△EFB 中,EF＝FB, ∴∠EBF＝４５°, ∴BE 与CG 所成的角为４５°． (２)连接FH, ∵FB∥AE,FB＝AE,AE∥HD,AE＝HD, ∴FB＝HD,FB∥HD, ∴四边形FBDH 是平行四边形, ∴BD∥FH, ∴∠HFO 或 其 补 角 是 FO 与 BD 所 成 的 角,连 接 HA,AF, 则△AFH 是等边三角形, 又O 是AH 的中点,∴∠HFO＝３０°, ∴FO 与BD 所成的角为３０°． 新题快递 １．C　[设底面圆心为 O,连接 EO,CO, OD,如 图 所 示,可 知 EO ∥AC,故 ∠OED 为异面直线AC 与DE 所成的 角(或其补角)． ∵CO⊥底面ABD, ∴CO⊥OD．又∵点D 为半圆弧AB 的 中点, ∴AB⊥OD,又CO∩AB＝O, ∴OD⊥平面ABC, ∴OD⊥EO,在 Rt△ODE 中,OD＝OE＝１, ∴∠OED＝ π４ ,∴sin∠OED＝ ２２ ,故 异 面 直 线 AC 与 DE 夹角的正弦值是 ２２． 故选 C．] ２．D　[连 接 AD１,则 AD１∥ EF,连接FD１,则平面AEF 截正方 体 所 得 截 面 多 边 形 为梯形AD１FE, ∵正方体棱长为２,故 AD１ ＝２ ２,EF＝ ２, 又 AE＝D１F＝ ２２＋１２ ＝ ５, ∴ 等 腰 梯 形 AD１FE 的 高为 (５)２－ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３ ２ , ∴梯形AD１F１E 的面积为＝ ２＋２ ２ ２ × ３ ２ ＝９２． ] 假期作业１５ 思维整合室 １．(１)平行　(２)相等或互补 ２．这个平面内　交线　３．相交直线　相交　交线 技能提升台　素养提升 １．A　 ２．BCD　[对于 A,若直线l在平面α内,l上有两点到α 的 距离为０,相等,此时l不与α平行,所以 A错误;对于B, 因为l∥β,所以存在直线m⊂β使得l∥m,因为l⊥α,所 以m⊥α,又m⊂β,所以β⊥α,所以 B正确;对于 C,l∥α, 故存在m⊂α使得l∥m,因为α∥β,所以m∥β,因为l∥ m,l⊄β,所以l∥β,C正确．对于 D由面面平行的判定定 理知 D正确．] ３．D　[A 可由上底面与下底面平行的性质定理判定正确, B,C可由线面平行的判定定理判定正确性．D错在D１B１ ∥l,l与B１C１ 所成角是４５°．] ４．解析:连 接 HN,FH,FN(图 略),则 FH ∥DD１,HN ∥BD, 易知平面FHN∥平面B１BDD１,只需 M∈FH,则 MN ⊂平面FHN,∴MN∥平面B１BDD１． 答案:点 M 在线段FH 上(或点 M 与点H 重合) ５．C ６．BD　[A:若α∩γ＝a,β∩γ＝b,且a∥b,则α,β可能相交、 平行,错误;B:若a,b相交,且都在α,β外,a∥α,b∥α,a ∥β,b∥β,由面面平行的判定可得α∥β,正确;C:若a∥ α,b∥β,且a∥b,则α,β可能相交、平行,错误;D:若a⊂ α,a∥β,α∩β＝b,由线面平行的性质定理得a∥b,正确．] ７．AB　[如 图,∵EG∥E１G１,EG⊄ 平 面E１FG１,E１G１⊂平面E１FG１, ∴EG∥平面E１FG１．又G１F∥H１E, 同理可证 H１E∥平面E１FG１, 又 H１E∩EG＝E,∴平 面 E１FG１∥ EGH１,故 A正确,同理可得 B正确, 故选 AB．] ８．解析:∵平面 MNE∥平面ACB１, 由平面平行的性质定理可得EN∥B１C,EM∥B１A, 又∵E 为BB１ 的中点, ∴M,N 分别为BA,BC的中点, ∴MN＝１２AC． 即MN AC ＝ １ ２． 答案:１ ２ ９．D　[如图,任 取 线 段 A１B 上 一 点 M,过 M 作 MH ∥AA１,交 AB 于 H,过 H 作HG∥AC 交BC 于G, 过G 作CC１ 的平行 线,与CB１ 一 定有交点 N,连接 MN, 可证平面 MNGH∥平面ACC１A１ 所以 MN∥平面 ACC１A１,则这样 的 MN 有无数条．] １０．解析:∵EF∥DG,BE∥AD,BE∩EF＝E,AD∩DG＝ D,BE,EF⊂平面BEF,AD,EG⊂平面ADGC,∴平面 BEF∥平面ADGC． ∵BF⊂平面BEF, ∴BF∥平面ACGD,故①正确; 由于DG＝２EF, 则四边形EFGD 是梯形, GF 的延长线必与直线DE 相交,故④不正确; 选项②③不能推出． 答案:① 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ５６