假期作业10 三角恒等变换-【快乐假期】2025年高一数学暑假大作业（北师大版）

　　假期作业１０　三角恒等变换　　　　　　　　　 １．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝　　　　　　　　　　; cos(α∓β)＝　　　　　　　　　　; tan(α±β)＝　　　　　　　　　　 α±β,α,β均不为kπ＋ π ２ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ２．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin２α＝　　　　　　　　; cos２α＝　　　　　　　　 ＝　　　　　　　　 ＝　　　　　　　　; tan２α＝ ２tanα １－tan２α α,２α均不为kπ＋π２ ,k∈Z æ è ç ö ø ÷． ３．三角函数公式的变形 (１)tanα±tanβ＝tan(α±β)(１∓tanαtanβ); (２)cos２α＝１＋cos２α２ ,sin２α＝１－cos２α２ ; (３)１＋sin２α＝(sinα＋cosα)２, １－sin２α＝(sinα－cosα)２, sinα±cosα＝ ２sinα±π４ æ è ç ö ø ÷． ◆[考点一]　给角求值 １．３sin５π１２－cos ５π １２ 的值是 (　　) A．２ B．２２ C．－ ２ D．sin ７π １２ ２．(多选)下列式子的运算结果为 ３的是 (　　) A．tan２５°＋tan３５°＋ ３tan２５°tan３５° B．２(sin３５°cos２５°＋cos３５°cos６５°) C．１＋tan１５°１－tan１５° D． tanπ６ １－tan２ π６ ３．１－tan ２１５° ２tan１５° ＝ (　　) A．３ B．３３ C．１ D．－１ ４．化 简: cos ３２π－α æ è ç ö ø ÷－tanα２ (１＋cosα) １－cosα (０＜α＜π)＝　　　　． ◆[考点二]　给值求值 ５．已知α∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,２sin２α＝cos２α＋１,则 sinα＝ (　　) A．１５ B． ５ ５ C． ３ ３ D． ２ ５ ５ ６．(２０２３􀅰新课标Ⅱ卷)在复平面内,(１＋ ３i)(３－i)对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ７．已知i为虚数单位,x,y为实数,若(x＋ yi)＋２＝(３－４i)＋２yi,则x＋y＝(　　) A．２ B．３ C．４ D．５ ８．若tanα－π４ æ è ç ö ø ÷＝１６ ,则tanα＝　　　　． ◆[考点三]　三角变换的简单应用 ９．函数f(x)＝３sinx２cos x ２＋４cos ２x ２ (x∈ R)的最大值等于 (　　) A．５ B．９２ C． ５ ２ D．２ １０．若函数f(x)＝ ２sinx２cos x ２－ ２sin ２ x ２ , 则函数f(x)的最小正周期为　　　　; 函数f(x)在区间[－π,０]上的最小值是 　　　　． １１．已知OA → ＝(１,sinx－１),OB → ＝(sinx＋ sinxcosx,sinx),f(x)＝OA →􀅰OB →(x ∈R)．求: 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １２ (１)函数f(x)的最大值和最小正周期; (２)函数f(x)的单调递增区间． １２．已知角α的顶点与原点O 重合,始边与 x 轴的非负半轴重合,它的终边过点 P －３５ ,－４５ æ è ç ö ø ÷． (１)求sin(α＋π)的值; (２)若角β满足sin(α＋β)＝ ５ １３ ,求cosβ 的值． １．将 函 数 f (x)＝ ３２ sin ２x＋ π ３ æ è ç ö ø ÷ ＋ cos２ x＋π６ æ è ç ö ø ÷的图象向右平移φ(φ＞０)个 单位长度,得到函数g(x)的图象关于x ＝π６ 对称,则φ的最小值为 (　　) A．π６ B． π ４ C． π ３ D． ５π ６ ２．若tanα＝－２３ ,则sin２α＋π４ æ è ç ö ø ÷＝　　　　　． 前进步伐,永不停歇 　　六点起床很困难,背单词很困难,静下 心很困难􀆺􀆺但是总有一些人,五点可以 起床,一天背六课单词,耐心读完一本书． 谁也没有超能力,但是自己可以决定一天 去做什么事情．你以为没有路,事实上路可 能就在前方一点点．那些比自己强大的人 都在拼命,我们还有什么理由停下脚步． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２２ (２)由△ABC为钝角三角形,b＝a＋１,c＝a＋２,得c边 最大,所以C角最大 cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ a２＋(a＋１)２－(a＋２)２ ２a(a＋１) ＜０ , 得a２－２a－３＜０, 所以－１＜a＜３,因为a为正整数,所以a＝１或a＝２, 当a＝１时,b＝２,c＝３,此时a＋b＝c,与题不符 ∴存在正整数a＝２,使得△ABC为钝角三角形． １２．解:(１)在△OBC 中,BC＝４(３－１),OB＝OC＝４ ２, 所以由余弦定理得cos∠BOC＝OB ２＋OC２－BC２ ２OB􀅰OC ＝ ３２ ,所以∠BOC＝π６ ,于是BC︵ 的长为 π６􀅰４ ２ ＝２ ２３ π． (２)设∠AOC＝θ,θ∈ ０,２π３( ) ,则∠BOC＝ ２π ３－θ , S四边形OACB＝S△AOC＋S△BOC ＝ １ ２×４ ２×４ ２sinθ＋ １ ２ ×４ ２×４ ２􀅰sin ２π３－θ( )＝２４sinθ＋８ ３cosθ ＝１６ ３sinθ＋π６( ) ,由于θ∈ ０, ２π ３( ) , 所以θ＋π６∈ π ６ ,５π ６( )．所以１６ ３sinθ＋ π ６( ) ∈ (８ ３,１６ ３],所以四边形OACB面积的最大值为１６ ３． 新题快递 １．ABC　[由正弦定理可得a∶b∶c＝２∶３∶ ７．设a＝ ２m,b＝３m,c＝ ７m(m＞０), ∴S＝ １４ ７m ２􀅰４m２－ ７m ２＋４m２－９m２ ２( ) ２ [ ] ＝３ ３２ m ２＝６ ３,解得m＝２, ∴△ABC的周长为a＋b＋c＝４＋６＋２ ７＝１０＋２ ７,故 A正确;由余弦定理得cosC＝a ２＋b２－c２ ２ab ＝ １６＋３６－２８ ２×４×６ ＝１２ ,∵C∈(０,π),∴C＝ π３ ,∵A＋B＋C＝π,∴A＋B ＝２π３ ,∴２C＝A＋B,故 B 正 确;由 正 弦 定 理 知,△ABC 外接圆的直径２R＝ csinC＝ ２ ７ sin π３ ＝４ ２１３ ,故 C正确; 由中线定 理 得a２ ＋b２ ＝ １２c ２ ＋２CD２,即 CD２ ＝ １２ × １６＋３６－１２×２８( )＝１９,∴CD＝ １９,故 D错误． 故选 ABC．] ２．解析:设四门通天铜雕PQ 的高度h m, 由∠PAQ＝π６ ,∠PBQ＝ π４ ,可得AQ＝ ３ h,BQ＝h,CQ＝ ３３h , 在△ABC中,因为∠ABQ＋∠QBC＝π, 所以cos∠ABQ＝－cos∠QBC, 可得AB ２＋BQ２－AQ２ ２AB􀅰BQ ＝－ BC２＋BQ２－CQ２ ２BC􀅰BQ , 即４００＋h ２－(３h)２ ２×２０×h ＝ － ４００＋h２－ ３ ３h æ è ç ö ø ÷ ２ ２×２０×h ,解 得 h＝ １０ ６, 所以四门通天铜雕的高度为１０ ６m． 答案:１０ ６m 假期作业１０ 思维整合室 １．sinαcosβ±cosαsinβ　cosαcosβ±sinαsinβ　 tanα±tanβ １∓tanαtanβ 　２．２sinαcosα　cos２α－sin２α　２cos２α－１　 １－２sin２α 技能提升台　素养提升 １．A　 ２．ABC　[对于 A,tan２５°＋tan３５°＋ ３tan２５°tan３５° ＝tan(２５°＋３５°)(１－tan２５°tan３５°)＋ ３tan２５°tan３５° ＝ ３－ ３tan２５°tan３５°＋ ３tan２５°tan３５°＝ ３; 对于B,２(sin３５°cos２５°＋cos３５°cos６５°)＝２(sin３５°cos２５°＋ cos３５°sin２５°)＝２sin６０°＝ ３; 对于 C,１＋tan１５°１－tan１５°＝ tan４５°＋tan１５° １－tan４５°tan１５°＝tan６０°＝ ３ ; 对于D, tanπ６ １－tan２ π６ ＝１２× ２tanπ６ １－tan２ π６ ＝１２×tan π ３＝ ３ ２． 综上,式子的运算结果为 ３的选项为 ABC．故选 ABC．] ３．A　[原式＝ １２tan１５° １－tan２１５° ＝ １tan３０°＝ ３． ] ４．解析:∵０＜α＜π, ∴tanα２＝ １－cosα １＋cosα＝ sinα １＋cosα , ∴(１＋cosα)tanα２＝sinα． 又∵cos ３π２－α( )＝－sinα,且１－cosα＝２sin ２α ２ , ∴原式＝－sinα－sinα ２sin２α２ ＝ －２sinα ２ sinα２ ＝－ ２ ２sinα２ cos α ２ sinα２ ∵０＜α＜π,∴０＜α２＜ π ２ ,∴sinα２ ＞０． ∴原式＝－２ ２cosα２． 答案:－２ ２cosα２ ５．B　 ６．B　[因为sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则sinαcosβ＝ １ ２． 故sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝ １ ２＋ １ ６＝ ２ ３． 即cos(２α＋２β)＝１－２sin ２(α＋β)＝１－２× ２ ３( ) ２ ＝１９． ] ７．D　[由 半 角 公 式 可 知 sin２ α２ ＝ １－cosα ２ ,解 得 sinα２ ＝ ５－１４ ． ] ８．解析:tanα＝tan α－π４( )＋ π ４[ ] ＝ tanα－π４( )＋tan π ４ １－tanα－π４( ) 􀅰tan π ４ ＝ １ ６＋１ １－１６ ＝７５． 答案:７ ５ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０６ ９．B　[由题意知f(x)＝３２sinx＋４× １＋cosx ２ ＝ ３ ２sinx ＋２cosx＋２＝５２sin (x＋φ)＋２ 其中tanφ＝ ４ ３( ) ,又因 为x∈R,所以f(x)的最大值为９２． ] １０．解析:因 为 f(x)＝ ２sin x２cos x ２ － ２sin ２ x ２ ＝ ２ ２ (sinx＋cosx－１)＝sin x＋π４( ) － ２ ２ ,所 以 函 数 f(x)的最小正周期为２π;因为x∈ －π,０[ ] ,所以x＋ π ４∈ － ３π ４ ,π ４[ ] ,则当x＋ π ４＝－ π ２ ,即x＝－３π４ 时, 函数f(x)在区间[－π,０]上取最小值－１－ ２２． 答案:２π　－１－ ２２ １１．解:(１)∵f(x)＝OA→􀅰OB→ ＝sinx＋sinxcosx＋sin２x－sinx ＝ ２２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ ,∴当２x－ π４＝２kπ＋ π ２ (k∈ Z),即x＝kπ＋３π８ (k∈Z)时,f(x)取得最大值１＋ ２２ , f(x)的最小正周期为π． (２)∵f(x)＝ ２２sin ２x－ π ４( )＋ １ ２ , ∴当２kπ－π２≤２x－ π ４≤２kπ＋ π ２ ,k∈Z, 即kπ－π８≤x≤kπ＋ ３π ８ ,k∈Z时,函数f(x)为增函数． ∴f(x)的单调递增区间为 kπ－π８ ,kπ＋３π８[ ](k∈Z)． １２．解:(１)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) , 得sinα＝－４５ ,所以sin(α＋π)＝－sinα＝４５． (２)由角α的终边过点P －３５ ,－４５( ) ,得cosα＝－ ３ ５ , 由sin(α＋β)＝ ５ １３ ,得cos(α＋β)＝± １２ １３． 由β＝(α＋β)－α得cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα, 所以cosβ＝－ ５６ ６５ 或cosβ＝ １６ ６５． 新题快递 １．A　[f(x)＝ ３２sin ２x＋ π ３( )＋cos ２ x＋π６( ) ＝ ３２sin ２x＋ π ３( )＋ １ ２ １＋cos２x＋ π ３( )[ ] ＝ ３２sin ２x＋ π ３( )＋ １ ２cos２x＋ π ３( )＋ １ ２ ＝sin ２x＋π３＋ π ６( )＋ １ ２＝sin ２x＋ π ３＋ π ６( )＋ １ ２ ＝cos２x＋１２ , 所以g(x)＝cos２(x－φ)＋ １ ２＝cos (２x－２φ)＋ １ ２ , 因为函数g(x)的图象关于x＝π６ 对称,所以２× π６－２φ＝ kπ(k∈Z),所以φ＝ π ６－ kπ ２ (k∈Z),因为φ＞０,所以k＝０ 时,φ＝ π ６ 最小．] ２．解析:sin ２α＋π４( )＝ ２ ２ (sin２α＋cos２α) ＝ ２２ ２sinαcosα＋cos２α－sin２α sin２α＋cos２α ＝ ２２ ２tanα＋１－tan２α tan２α＋１ ＝ ２２× －４３＋１－ ４ ９ ４ ９＋１ ＝－７ ２２６ , 答案:－７ ２２６ 假期作业１１ 思维整合室 １．(１)a　b　(２)＝　≠　＝　≠　(３)a＝c且b＝d　(４)a＝c 且b＝－d　(５)|z|　|a＋bi| ３．(１)①(a＋c)＋(b＋d)i　②(a－c)＋(b－d)i　③(ac－bd)＋ (ad＋bc)i　④ac＋bd c２＋d２ ＋bc－ad c２＋d２ i　(２)z２＋z１　z１＋(z２＋z３) 技能提升台　素养提升 １．B　[由题意,z＝１－i,则z２＝(１－i)２＝－２i;z＋ii ＝ １－i＋i i ＝ １ i＝ －i －i２ ＝－i,是纯虚数;|z|＝ ２;i(z＋i) ＝i(１－i＋i)＝i,是纯虚数．故选B．] ２．BD　[∵z＝ ２１－i＝ ２(１＋i) (１－i)(１＋i)＝１＋i , ∴|z|＝ ２,z２＝２i,z的共轭复数为１－i,z的虚部为１．故 A, C错,B,D正确． ３．B　[由a＋３i＝(b＋i)i,得a＋３i＝bi－１,复数相等定义,知a ＝－１,b＝３,故选B．] ４．D　[z在复平面对应的点是(－１,３),根据复数的几何意 义,z＝－１＋ ３i,由共轭复数的定义可知,z＝－１－ ３i．] ５．A　[由题知(１＋３i)(３－i)＝３－i＋９i－３i２＝６＋８i,所以该复 数在复平面内对应的点为(６,８),位于第一象限．] ６．B　[根据复数加、减法的几何意义及|z１＋z２|＝ |z１－z２|,知以OA,OB为邻边所作的平行四边形的对角线 相等,则此平行四边形为矩形,故△AOB为直角三角形．] ７．BC　[由z(４＋３i)＝２－i,可得z＝２－i４＋３i＝ (２－i)(４－３i) (４＋３i)(４－３i)＝ ５－１０i １６＋９＝ １ ５－ ２ ５i． 对于A,z的虚部为－２５ ,故A错误;对于 B,z在复平面内对应的点 １５ ,－２５( ) 位于第四象限,故 B 正确;对于C, z＋􀭵z＝１５－ ２ ５i＋ １ ５＋ ２ ５i＝ ２ ５ ,故C正确;对于D, |z|＝１５ １ ２＋(－２)２＝ ５５． 故D错误．故选BC．] ８．解析:由题意将 z　１＋i－i　２i ＝０ 化简得,z􀅰２i＋i(１＋i)＝０, z＝１－i２i＝ i－i２ ２i２ ＝i＋１－２＝－ １ ２－ １ ２i ,所以􀭵z＝－１２＋ １ ２i , 所以复数􀭵z在复平面内对应的点在第二象限． 答案:二 ９．A　[因为z＝１－i２＋２i＝－ １ ２i ,所以z＝ １２i ,所以z－z＝ －i．] １０．解析:由题 意 可 得５＋１４i２＋３i＝ (５＋１４i)(２－３i) (２＋３i)(２－３i)＝ ５２＋１３i １３ ＝４＋i． 答案:４＋i １１．解:设z＝a＋bi(a,b∈R),由|z|＝１＋３i－z, 得 a２＋b２－１－３i＋a＋bi＝０, 则 a ２＋b２＋a－１＝０, b－３＝０,{ 所以 a＝－４, b＝３,{ 所以z＝－４＋３i． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １６